1. Algebraische Strukturen: Boole sche Algebra

1. Algebraische Strukturen: Boole sche Algebra Der Begriff Algebra wird im allgemeinen Verständnis mit Lehre von den Zahlen gleich gesetzt. Das ergibt sich aus unserer Schulausbildung, die sich mit den praktischen Aspekten der Lehre von den Zahlen auseinander setzt, die man auch als elementare Algebra bezeichnet. Als Teilgebiet der Mathematik spricht man von abstrakter Algebra. Der Untersuchungsgegenstand der Algebra sind nämlich nicht nur die Rechenregeln mit Zahlen, sondern die Verknüpfungsregeln abstrakter Strukturen, sog. algebraischer Strukturen. Sie schließen die elementaren Strukturen ein. Typische algebraische Strukturen sind z.b. Gruppe, Ring, Körper, Verband und eben Algebra, d.h. in diesem Zusammenhang wird der Begriff Algebra auch als Bezeichnung einer algebraischen Struktur verwendet. Eine besondere algebraische Struktur ist die Boole sche Algebra. Eine der mathematisch exakten Definitionen des Begriffes Boole sche Algebra geht von der algebraischen Struktur Verband aus, deren Eigenschaften gezielt erweitert werden. In diesem Sinne gilt: Ein distributiver komplementärer Verband heißt Boole sche Algebra. Definition: Boole sche Algebra als erweiterter Verband Eine Boolesche Algebra ist eine Menge S mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen und sowie einer einstelligen Verknüpfung. Für die Verknüpfungen gilt: (S,, ) ist ein Verband, d.h. und sind assoziativ und kommutativ: a ( b c ) = ( a b ) c, a ( b c ) = ( a b ) c, a b = b a a b = b a Absorption: x (x y) = x x (x y) = x Zusätzlich soll gelten: Es gibt ein Element 1, so dass x 1 = x für alle x (Einselement) Es gibt ein Element 0, so dass (Nullelement) x 0 = x für alle x 1

ist distributiv über : x (y z) = (x y) (x z) Existenz der Komplemente: x x = 0, x x = 1 Aus diesen Eigenschaften ergeben sich die folgenden: Idempotenz (Boolesche Kongruenz): x x = x x x = x Distribution: ist auch distributiv über : x (y z) = (x y) (x z) Absorption durch die neutralen Elemente x 0 = 0 x 1 = 1 Doppeltes Komplement: ( x) = x 1 = 0, 0 = 1 De Morgansche Regeln: (x y) = x y, (x y) = x y Die wesentlichen Eigenschaften, die den Verbandeigenschaften hinzugefügt werden, sind die Distributiv- und die Komplement-Eigenschaft. Eine Boole sche Algebra ist in diesem Sinne ein distributiver Verband mit einer eindeutigen Komplementbildung. Ein anderer Ansatz zur Definition der algebraischen Struktur Boole sche Algebra geht einer minimalen Anzahl von angenommenen Grundeigenschaften aus (minimales Axiomensystem). Definition: Boole sche Algebra aus einem minimalen Axiomensystem Eine Boolesche Algebra ist eine Menge S mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen und sowie einer einstelligen Verknüpfung. Für die Verknüpfungen werden die folgenden grundsätzlichen Annahmen getroffen: und sind kommutativ: a b = b a a b = b a ist distributiv über : x (y z) = (x y) (x z) 2

ist auch distributiv über : x (y z) = (x y) (x z) Es gibt ein Element 1, so dass x 1 = x für alle x (neutrales Element von = Einselement) Es gibt ein Element 0, so dass x 0 = x für alle x (neutrales Element von = Nullelement) Existenz der Komplemente: x x = 0, x x = 1 Daraus ergeben sich folgende weiteren Eigenschaften: Idempotenz (Boolesche Kongruenz): x x = x x x = x Absorption durch die neutralen Elemente x 0 = 0 x 1 = 1 Absorption: x (x y) = x x (x y) = x und sind assoziativ: a ( b c ) = ( a b ) c, a ( b c ) = ( a b ) c, Doppeltes Komplement: ( x) = x 1 = 0, 0 = 1 De Morgansche Regeln: (x y) = x y, (x y) = x y Ein tabellarisches Merkmalsschema der Boole schen Algebra soll einen Überblick zu den grundsätzlichen Merkmalen geben. 3

Boole sche Algebra S Beachte: In einer Boole schen Algebra kann jedes der Axiome in zwei zueinander dualen Formen ausgedrückt werden. Ersetzt man jeweils durch bzw. durch, sowie 1 durch 0 bzw. 0 durch 1, dann erhält man das Axiom in der jeweils dualen Form. neutrales Element von (Einselement) neutrales Element von (Nullelement Es gibt nun verschiedene algebraische Strukturen vom Typ Boole sche Algebra, die Thema der mathematischen Grundausbildung sind. Eine davon ist die Mengenalgebra, die auf der Basis der grundsätzlichen Eigenschaften der Boole schen Algebra mit mengentheoretischen Betrachtungseinheiten arbeitet. Das wird hier nicht vertieft. Das tabellarische Schema macht grundsätzliche Strukturmerkmale und mengenalgebraische Begriffe vergleichbar. Mengenalgebra Potenzmenge P(S) Menge aller Teilmengen in der Grundmenge Vereinigung U Durchschnitt Leere Menge {} Grundmenge S Komplementmenge A Die Potenzmenge P(S) einer Menge S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer Booleschen Algebra. Dabei ist 0 die leere Menge und 1 ist S selbst. Dieser Verband heißt Teilmengenverband von S. Hier interessieren Boole sche Algebren mit hauptsächlich technischer Bedeutung. Das sind die Aussagen-Algebra und die Schaltalgebra. Sie haben ein grundsätzliches Merkmal, das sofort auffällt: es gibt nur zwei verknüpfbare Elemente, also das Null- und das Eins-Element. 4

2. Aussagen-Algebra Aussagen sind eine der wichtigsten Formen von Nachrichten. Aber nicht nur aufgrund dieser Tatsache wurde der Formalismus der Aussagen-Algebra erfunden. Der Begriff Aussage wird strenger gefasst, als man umgangssprachlich gewohnt ist. Beispiele für Aussagen: Nach dem SS04 findet im Fach Technische Informatik eine schriftliche Prüfung statt. Eine schlechte Prüfungsvorbereitung ist eine Garantie für einen guten Prüfungsabschluss. Aussagen sind Sätze, die Sachverhalte beschreiben, denen man als Wahrheitswert richtig, wahr, true, logisch 1, oder falsch, unwahr, false, logisch 0 zuordnen kann. Führt eine Aussage zu Widersprüchen, ist es im Sinn der Boole schen Algebra keine Aussage. Exkurs: Aussagen-Algebra {wahr, falsch} ODER, V UND, Λ wahr = 1= Einselement falsch = 0 = Nullelement = NEGATION Man kann in einer bestimmten Sprache Sätze formulieren, die grammatikalisch richtig, inhaltlich aber widersprüchlich sind. Wenn sich ein Satz auf sich selbst bezieht, kann es zu einer nicht entscheidbaren Situation kommen. Es gibt ein bekanntes Beispiel aus dem griechischen Altertum: Der Kreter Epimenides sagt:,,alle Kreter sind Lügner." Die Sätze,,Ich lüge." und,,diese Aussage ist falsch." geben den gleichen Sachverhalt wider. Der Widerspruch versteckt sich. Wenn Epimenides die Wahrheit sagt (seine Aussage also wahr ist), dann lügen alle Kreter. Alle Kreter, also auch er. D.h., seine Aussage,,Alle Kreter sind Lügner." wäre gelogen. Daraus folgt: Wenn Epimenides die Wahrheit sagt, lügt er. Das Ergebnis ist ein Widerspruch. Da Epimenides ein Kreter ist, weiß man nicht, ob er lügt oder die Wahrheit sagt, wenn er etwas über die Kreter sagt. Seine Aussagen über Kreter sind nicht entscheidbar. Verallgemeinert lässt sich sagen: Jede Aussage, die ihre eigene Falschheit besagt, kann nie falsch oder richtig sein. Sie ist nicht entscheidbar. Man kann sprachlich formulierte Aussagen bzw. deren Verknüpfungen auch formal mit Hilfe der Aussagen-Algebra ausdrücken. 5

Beispiel: An einer Tür gibt es fünf Knöpfe, nummeriert von A bis E. Um die Tür zu öffnen, muss man die Knöpfe drücken, und zwar nach folgenden Regeln: 1) Von D und A mindestens einen drücken. 2) Wenn C nicht gedrückt wird, darf A nicht, muss jedoch B gedrückt werden. 3) Entweder C oder von A und B mindestens einen drücken. 4) Wenn B gedrückt wird, muss auch E gedrückt werden. 5) Wenn C gedrückt wird, darf weder D noch E gedrückt werden. Wenn die verbale Formulierung eines logischen Problems hinreichend genau ist, ist die verbale Form in die Form der Aussagen-Algebra übertragbar. Achtung bei der Formulierung Wenn, dann..: Die Formulierung 4) Wenn B gedrückt wird, muss auch E gedrückt werden (, um die Tür zu öffnen.) könnte man spontan wie folgt interpretieren: Man muss B und E gleichzeitig drücken (, um die Tür zu öffnen). Das ist eine falsche Interpretation der Formulierung. Tatsächlich sagt die Formulierung: Wenn man B drückt, dann muss man auch E drücken, um die Tür zu öffnen. Wenn man B nicht drückt, dann ist es unbedeutend, ob man E drückt oder nicht. Würde man die Formulierung 4) als einzige Bedingung für das Öffnen der Tür setzen, dann müsste man nur das Drücken von B vermeiden, d.h. man müsste irgendeinen anderen Knopf als B drücken, um die Tür zu öffnen. Das bedeutet etwas ganz anderes als die Formulierung: Man muss B und E gleichzeitig drücken (, um die Tür zu öffnen.) Die allgemeine Form einer Wenn,dann-Aussage ist: Wenn die Aussage X wahr ist, dann muss auch die Aussage Y wahr sein, um den Zweck zu erfüllen, der mit der bedingten Aussage verbunden ist. Man nennt die bedingende Aussage X Voraussetzung und die bedingte Aussage Y Folge. Die bedingte Aussage insgesamt heißt Implikation. Wenn die Voraussetzung erfüllt ist, dann ist die Erfüllung der Folge notwendig, um den Zweck zu erfüllen. Wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist, dann ist es gleichgültig, ob die Folge erfüllt wird oder nicht. Anders ausgedrückt: Der Zweck wird erfüllt, wenn X und Y wahr sind, oder wenn X nicht wahr ist und Y wahr, oder wenn X nicht wahr ist und Y nicht wahr. Die beiden letzten Bedingungen sagen aber, dass in dem Fall, in dem X nicht wahr ist, Y wahr oder nicht wahr sein kann, d.h. dass Y gleichgültig ist. Ein Diagramm zeigt die durch die Implikation erfassten Aussagealternativen anschaulich. X=1 X=0 Y=1 Y=0 6

Im Folgenden gilt: Die Symbole a bis e, i {A,.., E} stehen jeweils für die Aussage Knopf i wird gedrückt. Die Symbole a bis e stehen jeweils für die Aussage Knopf i wird nicht gedrückt. 1) d ODER a 2) c IMPLIZIERT ( a UND b) 3). c ENTWEDER/ODER (a ODER b) 4). b IMPLIZIERT e 5). c IMPLIZIERT ( d UND e) Zwischen je zwei Aussagen steht die Angabe einer Verknüpfungsoperation. Dadurch entsteht eine Verknüpfung zwischen zwei Operanden, die wahr oder falsch sein kann. Die Operanden können selbst Verknüpfungen sein. Dabei erzeugen Klammern eine eindeutige Reihenfolge, in der die Wahrheitswerte der Verknüpfungen bestimmt werden müssen. Man bezeichnet solche Verknüpfungskonstrukte als logische Ausdrücke. Um leicht lesbare Ausdrücke zu erhalten, werden die Verknüpfungen mit standardisierten Symbolen angegeben: 1) d V a 2) c a Λ b 3). c / (a V b) 4). b e 5). c d Λ e 7

Die Ausdrücke werden mit der einstelligen Operation NEGATION ( ) und den zweistelligen Operationen UND (Λ), ODER (V), ENTWEDER/ODER ( / ) und IMPLIZIERT ( ) gebildet. Das Beispiel zeigt, dass es sinnvoll ist, mehr Verknüpfungsoperationen zu haben als die elementaren Operationen NEGATION, UND, ODER, die für die Algebra gelten. Diese zusätzlichen Operationen müssen so definiert sein, dass sie sich durch die drei grundsätzlichen Verknüpfungen ausdrücken lassen. Eine verbale Formulierung für eine (beliebige) Implikation a b mit den drei elementaren Operationen ist: der Verknüpfungsausdruck trifft zu, wenn a zutrifft UND b zutrifft ODER wenn a nicht zutrifft UND b zutrifft ODER wenn a nicht zutrifft UND b nicht zutrifft. Eine solche Beschreibung ist zu unhandlich. Sie muss geeignet formalisiert werden. Die formale Beschreibung von Verknüpfungen geschieht mit Hilfe von Tabellen. Sie ordnen jeder möglichen Kombination von Werten der verknüpften Aussagen einen eindeutigen Wert der Verknüpfung zu. Solche Tabellen werden im Kontext der Aussagen-Algebra Wahrheitswerttabellen oder Wertetabellen genannt werden. Für NICHT (NOT), UND (AND) und ODER (OR) gelten: a a 0 1 1 0 a b a Λ b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 a b a V b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Für IMPLIZIERT gilt: a b a b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 In Analogie zur verbalen Festlegung der Implikation kann man daraus folgenden Verknüpfungsausdruck mit, Λ, V bilden: ( a Λ b) V ( a Λ b) V ( a Λ b) Man erfasst also die Kombinationen, deren Verknüpfung eine 1 erzeugt, mit einzelnen UND-Verknüpfungen und verknüpft diese mit ODER. Das deutet an, dass man jede logische Verknüpfungsoperation durch einen logischen Ausdruck ersetzen kann, der nur, Λ, V enthält. Formale Einführung später. Für ENTWEDER/ODER (EXOR, ANTIVALENT) gilt: a b a / b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Die logische Verknüpfung ENTWEDER/ODER wird auch als EXKLUSIV ODER bezeichnet. 8

Beim ODER wird der Ausdruck bei den Kombinationen wahr, bei denen mindestens eine der verknüpften Aussagen wahr ist. Beim EXKLUSIV ODER wird der Ausdruck bei den Kombinationen wahr, bei denen nur eine der verknüpften Aussagen wahr ist, mit anderen Worten, wenn die Wahrheitswerte der beiden verknüpften Aussagen ANTIVALENT sind. Deshalb spricht man auch von einer Antivalenz-Verknüpfung. Die Negation der Antivalenz-Verknüpfung ist die Äquivalenz-Verknüpfung. Für ÄQUIVALENT gilt: a b a b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Die Negation der Und-Verknüpfung wird mit NAND bezeichnet, die Negation der Oder-Verknüpfung mit NOR. Für NAND gilt: Für NOR gilt: a b (a Λ b) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 a b (a V b) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Man kann insgesamt 2 4 = 16 zweistellige Verknüpfungsoperationen definieren, weil man den vier Wertekombinationen von (a, b) insgesamt 16 unterschiedliche Ergebnismuster zuordnen kann. Die für die Praxis wichtigen sind genannt. Genauso, wie man Wertetabellen aufstellen kann, die einen Ausdruck mit einer einzigen zweistelligen Operation enthalten, kann man das auch für Ausdrücke, die mehrere zweistellige Operationen enthalten. Maßgeblich die elementaren Aussagen, also die, die nicht aus Verknüpfungen entstehen. Im Beispiel gibt es die fünf elementaren Aussagen a bis e. Da jede Aussage einen der Werte 0 oder 1 annehmen kann, muss die Wertetabelle für die gesamte Verknüpfungsvorschrift 2 5 = 32 Wertekombinationen berücksichtigen. Die Ausdrücke 1) bis 5) müssen einzeln für jede Wertekombination bestimmt werden. Das bedeutet, dass für jeden Ausdruck eine Spalte angelegt sein muss. 1 2 bis 31 32 a b c d e 1) 2) 3) 4) 5) 9

Die beiden Ausdrücke sind am leichtesten zu bewerten. 1) d V a 4) b e Bei jeder Kombination, in der mindestens eine 1 in d oder a vorliegt, trägt man in der Spalte 1) eine 1 ein. Die anderen Kombinationen sind mit 0 besetzt. Die Implikation ergibt eine 0, wenn die Voraussetzung 1 ist und die Folge 0. Man muss also bei jeder Kombination eine 0 eintragen, bei der b = 1 ist und e = 0. Die anderen Kombinationen sind mit 1 besetzt. a b c d e 1) 2) 3) 4) 5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Die Vervollständigung der Tabelle um die Einträge der Ausdrücke 2), 3) und 5) ergibt die vollständige Wertetabelle für das Beispiel: 10

a b c d e 1) 2) 3) 4) 5) o 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 Damit ist das Anwenderproblem gelöst. Um die Tür zu öffnen, müssen alle Aussagen 1) bis 5) gleichzeitig zutreffen. Man muss also die Wertekombinationen suchen, bei denen alle Aussagen 1 sind. Das gilt für die hervorgehobenen Kombinationen. Das formale Lösungsverfahren führt zu folgendem Ergebnis: Die Tür kann geöffnet werden, wenn Knopf A nicht und Knopf B und Knopf C nicht und Knopf D und Knopf E gedrückt werden Die Bedingung, dass die Tür sich öffnet kann man formal so angeben: ( a Λ b Λ c Λ d Λ e) Angenommen, man hat die Aussage Die Tür öffnet sich. und bezeichnet sie mit o. Man kann nun den Wert des Verknüpfungsausdruckes berechnen und den errechneten Wert der Aussage o zuordnen. Dann ist für jede Wertekombination im Verknüpfungsausdruck eindeutig bestimmt, welchen Wert die Aussage o hat. 11

Für das Gleichsetzen von Verknüpfungsausdruck und Aussage gilt: o = ( a Λ b Λ c Λ d Λ e) Dadurch ist eine Boole sche Funktion entstanden, in der a, b, c, d, e die unabhängigen Boole schen Variablen sind und o die davon abhängige Boole schen Variable. Wertetabellen legen Boole sche Funktionen fest und umgekehrt. Definition: Es sei ein n-tupel von Boole schen Variablen (x 1, x 2,...,x n ) gegeben. Eine n-stellige Boolesche Funktion ordnet jeder Belegung der Variablen x 1, x 2,...,x n mit den Wahrheitswerten wahr oder falsch genau einen Wahrheitswert zu. Jede Spalte einer Wertetabelle repräsentiert eine Boole sche Variable. Die Spalten für die unabhängigen Variablen müssen alle möglichen Belegungen enthalten. Jeder dieser Belegungen ist genau ein Wahrheitswert in der Spalte der abhängigen Variablen zugeordnet. Eine Wahrheitstabelle kann mehrere n-stellige Boole sche Funktionen für ein n-tupel von Boole schen Variablen definieren. Dann enthält sie entsprechend viele Spalten für die abhängigen Variablen. Im Kontext der Aussagen-Algebra sind Boole sche Variable Aussagen, die wahr oder falsch sein können. Im weiteren sollen aber nicht Aussagen, sondern elektronische Signale im Vordergrund stehen, die ebenfalls zweiwertig (binär) sind. Alle Merkmale, die bisher entwickelt wurden, gelten auch in der Algebra, die hierfür entwickelt wurde, nämlich in der Schaltalgebra. Definitionen und Begriffe richten sich nach dem Anwendungszweck der Schaltalgebra und sollen in ihrem Kontext besprochen werden. 12