68 3.4 Anwendung 0 Modellieren mit linearen Funktionen 101 1. a) Individuelle Schülerlösungen b) Das Diagramm stellt für die beiden Autotypen die Kosten dar, die durch Anschaffung und laufende Ausgaben für Benzin u. a. entstehen. Die Anschaffungskosten kann man auf der y-achse, also für x = 0 ablesen: 10 000 bzw. 0 000 gefahrene km 30 000 60 000 90 000 10 000 Kosten Typ I 14 000 18 000 000 6 000 Kosten Typ II 1 500 3 000 4 500 6 000 gefahrene km 150 000 180 000 10 000 Kosten Typ I 30 000 34 000 38 000 Kosten Typ II 7 500 9 000 30 500 Typ I ist bei den laufenden Kosten teurer als Typ II, aber in der Anschaffung billiger. Der Schnittpunkt gibt an, bei welcher km-leistung die Gesamtkosten bei beiden Typen gleich sind. Die Kosten pro km entsprechen der Steigung der Graphen. Bei Typ I ist das etwa 0,135 /km, bei Typ II 0,055 /km. c) Bis zu einer Fahrleistung von etwa 10 000 km ist Typ I günstiger, darüberhinaus Typ II. 10. a) In der ersten Phase fällt der Fallschirmspringer ohne geöffneten Fallschirm, seine Fallgeschwindigkeit wächst. In der zweiten Phase hat der Fallschirmspringer seine Grenzgeschwindigkeit aufgrund der Reibungskräfte erreicht und fällt mit konstanter Geschwindigkeit von 50 m. In der s dritten Phase ist der Fallschirm geöffnet und der Springer fällt mit einer geringeren Grenzgeschwindigkeit bis zum Erdboden. Sowohl die zweite als auch die dritte Phase können durch eine lineare Funktion modelliert werden. b) Funktionsgleichung für die dritte Phase: y 0650 x. 1 90 0 5x. 1 90 130 Bei der Landung ist die Höhe y = 0; das ergibt x = 58. Die Landung erfolgt nach etwa 58 Sekunden = 4 min 18 s.
69 10 104. c). Phase: 50 m/s = 180 km/h 3. Phase: 5 m/s = 18 km/h 3. a) K 1 = 0,5t + 3 K = 0,5t + 1,75 K 3 = 0,86t Bei einer monatlichen Telefonierdauer bis etwa 35 min ist der Tarif 3 Call-Ya der günstigste; bei einer Telefonierdauer ab etwa 41 min ist Tarif 1 D-Classik der günstigere; in der Zeitspanne dazwischen ist Tarif D-Fun am günstigsten. Frau Fendt sollte sich also für Tarif 1 oder 3 entscheiden. b) Nebenzeit: K 1 = 0,t + 3 Tarif ist stets günstiger als Tarif 1. K = 0,t + 1,75 Bis zu einer Telefonierdauer von 85 min ist K 3 = 0,35t Tarif 3 günstiger als Tarif. Wochenende: K 1 = 0,t + 3 Tarif 3 ist stets der günstigere. K = 0,t + 1,75 K 3 = 0,08t c) Man kann neue Funktionsterme aufstellen: K 1 0,5 1t. 0, 1t. 0, 1t. 3 0,5t. 3 4 4 K 0,5 1t. 0, 1t. 0, 1t. 1,75 0,35t. 1,75 4 4 K 3 0,68 1t. 0,35 1t. 0,08 1t 0,5375t 4 4 Tarif 3 ist bis zu 68 min am günstigsten, Tarif von 68 min bis 8 min, Tarif 1 ab 8 min. 4. - 5. a) Frau Meyer brauchte für die 600 km lange Strecke insgesamt 6 Stunden. Sie fuhr also im Durchschnitt 100 km/h. Die ersten 100 km fuhr Frau Meyer im Schnitt 100 km/h; dann machte sie eine Pause von etwa 0 Minuten. Danach fuhr sie zunächst etwa 40 Minuten langsamer, dann eine Stunde lang über 160 km/h. Nach 3 Stunden und 300 km Fahrt machte sie 1 Stunde Pause. Die letzten 300 km fuhr Frau Meyer in Stunden, also im Schnitt 150 km/h. b) Das kann sein; Frau Meyer fuhr auf dem Teilstück im Durchschnitt mehr als 160 km/h. c) Die Vereinfachung erfolgt dadurch, dass man nicht die tatsächliche Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt abbildet, sondern Durchschnittsgeschwindigkeiten während einzelner Zeitspannen. d) Der Graph wäre dann eine Gerade vom Ursprung durch den Punkt (6 600).
70 105 6. a) Der rote Graph gehört zum ICE, der blaue Graph zum Interregio. Der rote Graph ist eine Gerade, das bedeutet, dass der Zug auf der gesamten Strecke nicht anhält. Außerdem ist die durch den roten Graphen abgebildete Fahrzeit kürzer, als die durch den blauen Graphen abgebildete. b) Der ICE startet um 11.15 Uhr in Mainz und fährt die 93 km lange Strecke nach Koblenz ohne Halt; um 1.05 Uhr erreicht der Zug Koblenz. Der Interregio startet um 11.09 Uhr in Koblenz, hält von 11.0 Uhr bis 11. Uhr in Boppard und von 11.47 Uhr bis 11.48 Uhr in Bingen. Mainz erreicht der Zug um 1.04 Uhr. Durch Berechnen der Steigung kann die Geschwindigkeit bestimmt werden. c) (Für die Entfernung Bingen Stadt 0 Bingen Hbf wurden km angenommen.) 7. a) Hein vermutet, dass das Seil bei einer Lastenzunahme von jeweils 500 kg um mm dicker sein muss. Er unterstellt einen linearen Zusammenhang zwischen Seildurchmesser und Belastungsmöglichkeit. b) Für 3 t ist eine Seilstärke von etwa mm nötig. 8. a) G (t) = 9 + 1,5 t Zeit (in min) 0 1 3 4 5 10 Gewicht (in t) 9 10,5 1 13,5 15 16,5 4 b) R (t) = 7 0 1,5 t Zeit (in min) 0 5 10 15 18 Restlademenge (in t) 7 19,5 1 4,5 0
71 105 8. c) 90% von 7 t = 4,3 t Die Restlademenge ist dann,7 t. Diese Menge wird innerhalb von 1,8 min = 1 min 48 s geladen. 106 9. Auftrag Arbeitszeit Rechnungsbetrag Peter 1:40 h 135 Müller 18 min 60 1 Schröder h 60 Köhler 90 min 10 Der Graph rechts ist zutreffend, da die Rechnungsbeträge stufenweise alle 15 min steigen. 10. a) Individuelle Schülerlösungen b) Erster Fall: Höhe h 1 (n) = 100 + 5 n Zweiter Fall: Höhe h (n) = 0,01 n Projekt Anzahl der Schritte 30 50 100 Höhe h 1 50 cm 350 cm 6 m Höhe h 107,4 km 1,13 10 8 km 1,7 10 5 km 107 a) Hamburg liegt etwa 14 m über NN (Fuhlsbüttel); Siedetemperatur: 99,96 C Der höchste Berg der Welt ist mit 8 848 m der Mt. Everest im Himalaya in Tibet. Je geringer der Druck, desto niedriger ist der Siedepunkt von Wasser. b) Die Funktionsvorschrift beschreibt die Abhängigkeit des Siedepunktes von der Höhe sehr gut. Der Siedepunkt auf dem Mount Everest liegt bei 73,6 C. Bei dieser Temperatur werden Kartoffeln nicht gar. c) Samuel Baker hat den Siedepunkt des Wassers bestimmt und dann mithilfe der Funktionsvorschrift die Ortshöhe berechnet. Wenn die Höhe um 150 m wächst, fällt der Siedepunkt um 0,45 C. 3.5 Geraden in Parameterform 108 1. a) t (in s) 0 1 3 4 t (in s) 0 1 3 4 y (t ) (in m) 0 50 100 150 00 y (t ) (in m) 0 7 14 1 8 b) x (t) = 50 t y (t) = 7 t x (10) = 6 000 y (10) = 840 Nach 10 s ist das Flugzeug 840 m hoch und 6 km entfernt (in der Horizontalen). c) Rund 86 s; rund 14,3 km
7 109. a) x (0) = 0 x (1) = 0 y (0) = 4 y (1) = 19 b) x (4) = 80, y (4) = 64 Nach 4 Stunden ist das Schiff 80 Seemeilen weiter östlich und 64 Seemeilen weiter nördlich. c) y = 15. 0 x 4 3. a) t x (t) y (t) b) 03 03 0 = 05 0 (03) + 3 = 9 0 0 0 = 04 0 (0) + 3 = 7 01 01 0 = 03 0 (01) + 3 = 5 0 0 0 = 0 0 0 + 3 = 3 1 1 0 = 01 0 1 + 3 = 1 0 = 0 0 + 3 = 01 3 3 0 = 1 0 3 + 3 = 03 Die Punkte liegen auf einer Geraden. c) y = 0x 0 1 111 4. - 5. a) 1) t 03 0 01 0 1 3 x (t) 06 04 0 0 4 6 y (t) 03 0 01 0 1 3 ) t 0 1 3 4 x (t) 0 3 6 9 1 y (t) 0 05 010 015 00 3) t 05 04 03 0 01 0 1 3 x (t) 07 06 05 04 03 0 01 0 1 y (t) 010 08 06 04 0 0 4 6 4) t 0 1 3 4 5 6 7 8 x (t) 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 y (t) 0 01,75 01,5 01,5 01 00,75 00,5 00,5 0 b) 1. y 1 x. y 0 5 3 x 3. y x. 4 4. y 0 1 x 6. a) Mithilfe einer Wertetabelle und der Graphen stellt man fest, dass beide Darstellungen dieselbe Gerade darstellen. b) Beispiel: (x y) ist der Ort, t der Zeitpunkt, zu dem man sich an diesem Ort befindet. Individuelle Schülerlösungen. c) Nur bei der Parameterform gibt es die Möglichkeit neben der Festlegung eines Punktes durch seine Koordinaten auch eine dritte Variable, die Zeit t, darzustellen.
73 111 7. a) Individuelle Schülerlösungen b) 1) t 01 0 1 3 ) t 01 0 1 3 x (t) 5 5 5 5 5 x (t) 01 0 1 3 y (t) 01 0 1 3 y (t) 10 10 10 10 10 Parallele zur y-achse durch x = 5. Parallele zur x-achse durch y= 10. 3) t 0 01 0 1 4) t 0 01 0 1 x (t) 0 01 0 1 x (t) 04 0 0 4 y (t) 04 0 0 4 y (t) 08 04 0 4 8 Die Gerade y = x. Die Gerade y = x. 5) t 0 01 0 1 6) t 0 01 0 1 x (t) 0 01 0 1 x (t) 0 01 0 1 y (t) 0 01 0 1 y (t) 1 0 01 0 Die Gerade y = x. Die Gerade y = 0x. 8. a) t 0 1 3 4 5 6 x (t) 0 4 6 8 10 1 y (t) 0 1 3 4 5 6 b) t 0 1 3 4 5 6 x (t) 0 1 3 4 5 6 y (t) 0 1 4 9 16 5 36 Die Gerade y 1 x Die Parabel y x c) t 0 1 3 4 5 6 x (t) 0 1 4 9 16 5 36 y (t) 0 1 3 4 5 6 d) t 0 1 3 4 5 6 x (t) 0 01 0 1 3 4 y (t) 0 1 4 9 16 5 36
74 11 9. a) t x1 y1 x y 0 0 10 0 50 1 500 10 750 50 1 000 10 1 500 50 3 1 500 10 50 50 4 000 10 3 000 50 5 500 10 3 750 50 b) Beide Schiffe fahren auf demselben Kurs, ihr Fahrweg verläuft parallel im Abstand von 40 m. Schiff fährt schneller als Schiff 1. 10. a) - b) Den Parallelkurs erkennt man daran, dass sowohl y 1 als auch y konstant sind, d. h. Parallelen zur x-achse beschreiben. Der Faktor von t ist bei x größer als bei x 1, d. h. Schiff ist schneller. 11. a) x (t) = 7 t y (t) = 1 000 0 3 t b) t (in s) 0 50 100 150 00 50 300 333 1 3 x (in m) 0 3600 700 10800 14400 18000 1600 4000 y (in m) 1000 850 700 550 400 50 100 0 Das Flugzeug setzt nach 333 s auf; es hat bis dahin eine horizontale Strecke von 4 000 m (4 km) zurückgelegt. 1. a) Gewicht: x (t) = 3 600 + 900 t (t in Monaten, x in g) Größe: y (t) = 5 + 1,1 t (t in Monaten, y in cm) Es gilt dabei t 6. b) x (t) = 8 000 für t = 44 4,9 9 y (4,9) = 57,39 Nach fast 5 Monaten wiegt das Baby 8 kg und ist etwa 57 cm groß. c) Babys entwickeln sich sehr unterschiedlich und auch in Wachstumsschüben. 13. a) x (t) = 3t + 1 Der Graph ist die Gerade y x 0. 3 3 y (t) = t b) x (t) = 15 0 5t Der Graph ist die Gerade y 0 3 x. 11. 5 y (t) = + 3t c) x (t) = t y (t) = 3t
75 113 14. a) An der Schnittstelle (30 4) der beiden Graphen befindet sich die Stella nach genau 3 Stunden. Zu diesem Zeitpunkt ist die Auria auf der Position (4 30). Es wird also nicht zu einer Kollision kommen. b) Der Graph allein eignet sich nicht, da er nichts aussagt über den Zeitpunkt, an dem die Schiffe an bestimmten Positionen sind. 15. a) - b) Man muss die Faktoren 10 und 8 von t um den gleichen Anteil verringern, also z. B. auf 7,5 und 6 oder auf 5 und 4. Zur Kollision an der Stelle (30 4) kommt es für x 1 (t) = 8t und y 1 (t) = 6,4 t. 16. a) 00 Sekunden b) x (t) = 0,5t y (t) = 1,5t t 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 x (t) 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 y (t) 0 15 30 45 60 75 90 105 10 135 150 t 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 x (t) 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 y (t) 165 180 195 10 5 40 55 70 85 300 Bis der Schwimmer nach 00 Sekunden das andere Ufer erreicht, ist er um 300 m nach Norden abgetrieben.