angehängte Masse m in g Länge l in cm 9,6 13,0 16,4 19,8 23,2

Transkript

1 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe An eine Schraubenfeder wurden nacheinander Gewichtsstücke mit unterschiedlichen Massen gehängt und jeweils die Länge der Feder mit einem Maßstab gemessen. Die Messung ergab die folgende Wertetabelle: angehängte Masse m in g Länge l in cm 9,6, 6,4 9,8 2,2 zwischen der angehängte Masse m und der Länge l. Dabei soll die angehängte Masse auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Länge auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der angehängten Masse und der Länge durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der angehängten Masse und der Länge. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der angehängten Masse und der Länge. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Länge der Feder bei einer angehängten Masse von 25g. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne die an die Feder angehängte Masse bei einer Länge von 22,7cm. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach; Abbildung aus: Höfling, O.: Physik. Band I. 2.Auflage Bonn 975. S.2.

2 Lineare Funktionen - Fallschirmsprung Ein Fallschirmspringer öffnet seinen Fallschirm und misst mit Hilfe eines Höhenmessers zu verschiedenen Zeitpunkten nach dem Öffnen des Schirms seine Höhe über dem Erdboden. Die Messung ergab die folgende Wertetabelle: Fallzeit t in s Höhe h in m 22,5 2, 87,5 65, 42,5 a) Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Fallzeit t und der Höhe h. Dabei soll die Fallzeit auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Höhe auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. b) Trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere kritisch diesen Wert für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Fallzeit und der Höhe. i) Berechne die Höhe des Fallschirmspringers über dem Erdboden nach einer Fallzeit von s. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). j) Berechne die Fallzeit, nach der der Fallschirmspringer eine Höhe von m über dem Erdboden hat. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 28 Thomas Unkelbach; Idee und Abbildung aus: Tischel, G. (Hrsg.): spektrum der mathematik 8. Frankfurt a.m. 986.

3 Lösung a) siehe Abbildung rechts b) siehe Abbildung rechts c) In gleich großen Zeitabständen von 5sec verringert sich die Höhe des Springers um jeweils den gleichen Betrag, nämlich um 22,5m. d) Bestimmung Steigungsfaktors v mit Hilfe der Punkte (sec 2m) und (2sec 65m): 65m 2m v = 2sec sec m v = 4,5 sec Erläuterung: Die Höhe des Fallschirmspringers nimmt pro Sekunde um 4,5m ab. e) Bestimmung des Ordinatenabschnitts h : Einfache Methode: Die Höhe verringert sich pro 5sec Fallzeit um 22,5m, sodass für die Höhe zur Zeit sec gelten muss: h = 22,5m + 22,5m = 255m. Standardmethode: m Funktionsgleichung: h = 4,5 t + h sec Einsetzen der Koordinaten eines Punktes des Graphen (z.b. (sec 2m)) in die Funktionsgleichung: 2 m = 4,5 sec+ h 255m = h m sec Erläuterung: Der Fallschirm wurde in einer Höhe von 255m geöffnet. m f) Funktionsterm: h (t) = 4,5 t + 255m. ( h (5 sec) = 22,5m; h(sec) = 2,m;...) sec g) siehe Abbildung rechts h) h (t) = m t = 56,6 sec : Der Springer erreicht nach rund 57,7sec den Erdboden. i) h (sec) = 6,5m. j) h (t) = m t = 4,4sec : Nach etwa 4,4sec hat der Springer eine Höhe von m über dem Erdboden. 28 Stefan Thul

4 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe Biologen vermuten, dass bei den meisten Schlangenarten ein Zusammenhang zwischen der Schwanz- und der Gesamtlänge besteht. Messungen bei verschiedenen Arten ergaben die folgende Wertetabelle: Schwanzlänge s in mm Gesamtlänge g in mm zwischen der Schwanzlänge s und der Gesamtlänge g. Dabei soll die Schwanzlänge auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Gesamtlänge auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Schwanzlänge und der Gesamtlänge durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Schwanzlänge und der Gesamtlänge. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere kritisch diesen Wert für den Zusammenhang zwischen der Schwanzlänge und der Gesamtlänge. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Erläutere kritisch diesen Wert für den Zusammenhang zwischen der Schwanzlänge und der Gesamtlänge. i) Berechne die Gesamtlänge bei einer Schwanzlänge von 5mm. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). j) Berechne die Schwanzlänge bei einer Gesamtlänge von 52,5mm. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach; Idee und Abbildung aus: Tischel, G. (Hrsg.): spektrum der mathematik 8. Frankfurt a.m. 986.

5 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 4 In einer Klinik wird ein Patient an den Tropf gelegt, d.h. ihm wird aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung sehr langsam in die Blutbahn eingeträufelt. Die computergesteuerte Messung des Flascheninhalts zu verschiedenen Zeitpunkten ergab die folgende Wertetabelle: Zeit t in min Flascheninhalt I in cm zwischen der Zeit t und dem Flascheninhalt I. Dabei soll die Zeit auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und der Flascheninhalt auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Ze it und dem Flascheninhalt. i) Berechne den Flascheninhalt nach einer Zeit von 75min. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). j) Berechne die Zeit, nach der der Flascheninhalt 2cm beträgt. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

6 Lineare Funktionen - Treibstoffmenge Der Airbus A ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit ständig z.b. die geflogene Strecke oder die noch vorhandene Treibstoffmenge abrufen. Die computergesteuerte Messung der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge ergab die folgende Wertetabelle: geflogene Strecke s in km Treibstoffmenge M in t 2,,5,,5, zwischen der geflogenen Strecke s und der Treibstoffmenge M. Dabei soll die geflogene Strecke auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die noch vorhandene Treibstoffmenge auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge. i) Berechne die Treibstoffmenge nach einer Strecke von 75km. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). j) Berechne die Strecke, nach der die Treibstoffmenge 5,25t beträgt. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 28 Thomas Unkelbach

7 Lösung a) siehe Abbildung rechts b) siehe Abbildung rechts c) Auf geflogenen Strecken gleicher Länge, km (2km), verringert sich die vorhandene Treibstoffmenge um den gleichen Betrag, nämlich um,5t (,t). d) Bestimmung des Steigungsfaktors m mit Hilfe der Punkte (2km 2t) und (km,5t):,5t 2t m = km 2km,5t t m = =,5 km km Erläuterung: Der Airbus verbraucht eine halbe Tonne Treibstoff auf km. e) Bestimmung des Ordinatenabschnitts M : Einfache Methode: Die Treibstoffmenge verringert sich pro km zurückgelegter Flugstrecke um,5t, sodass für die Treibstoffmenge nach km geflogener Strecke gelten muss: M = 2t + 2,5t = t. t Standardmethode: Funktionsgleichung: M =,5 + M. Einsetzen der Koordinaten eines km Punktes des Graphen (z.b. (2km 2t)) in die Funktionsgleichung: t 2 t =,5 2km + M t = M. km Erläuterung: Der Airbus ist mit t Treibstoff an Bord gestartet. t f) Funktionsterm: M (s) =,5 s + t; ( M(2km) = 2t; M(km) =,5t ) km g) siehe oben t h) M (s) = t t =,5 s + t s = 66km. km Erläuterung: Nach einer Flugstrecke von 66km wären die Tanks des Airbus leer. t i) M (75km) =,5 75km + t = 29,25t km t j) M (s) = 5,25t 5,25t =,5 s + t s = 555km km 28 Dr. Martin Lehmann-Greif

8 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 6 In der obigen Abbildung siehst du einen Gaszähler. Auf diesem kann zu jedem Zeitpunkt die bis dahin vom Energieversorger ins Haus oder in die Wohnung gelieferte Gasmenge abgelesen werden. Die folge n- de Wertetabelle gibt für verschiedene Monate den Gasverbrauch und den jeweiligen Rechnungsbetrag an: Monat Januar Februar März April Mai Gasmenge M in m Rechnungsbetrag B in 52,9 45,5 56,6 9,98 8, zwischen der Gasmenge M und dem Rechnungsbetrag B. Dabei soll die Gasmenge auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und der Rechnungsbetrag auf der Ordinate, das ist die vertik a- le Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Gasmenge und dem Rechnungsbetrag durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Gasmenge und dem Rechnungsbetrag. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Gasmenge und dem Rechnungsbetrag. f) Gib den Funktionsterm dieser Linearen Funktion an. Überprüfe, ob die ge messenen Wertepaare die Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne den Rechnungsbetrag bei einer Gasmenge von 55m. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne die Gasmenge bei einem Rechnungsbetrag von 58,48. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

9 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 7 In der obigen Abbildung siehst du einen Stromzähler. Auf diesem kann zu jedem Zeitpunkt die bis dahin vom Energieversorger ins Haus oder in die Wohnung gelieferte elektrische Energie abgelesen werden. Die folgende Wertetabelle gibt für verschiedene Monate die im jeweiligen Monat gelieferte elektrische Energie und den jeweiligen Rechnungsbetrag an: Monat Januar Februar März April Mai Elektrische Energie E in kwh Rechnungsbetrag B in 52,9 64,99 59,9 48,9 56,59 zwischen der Elektrischen Energie E und dem Rechnungsbetrag B. Dabei soll die Elektrische Energie auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und der Rechnungsbetrag auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Elektrischen Energie und dem Rechnungsbetrag durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Elektrischen Energie und dem Rechnungsbetrag. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Elektrischen Energie und dem Rechnungsbetrag. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne den Rechnungsbetrag bei einer Elektrischen Energie von 275kWh. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne die Elektrischen Energie bei einem Rechnungsbetrag von 4,9. Überprüfe das Erge bnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

10 Lineare Funktionen - Wasserverbrauch In der obigen Abbildung siehst du eine Wasseruhr. Auf dieser kann zu jedem Zeitpunkt die bis dahin vom Versorgungsunternehmen ins Haus oder in die Wohnung gelieferte Wassermenge abgelesen werden. Die folgende Wertetabelle gibt für verschiedene Monate die im jeweiligen Monat gelieferte Wassermenge und den jeweiligen Rechnungsbetrag an: Monat Januar Februar März April Mai Wassermenge M in m 4,5 28,,5, 4,5 Rechnungsbetrag B in 5,4 95,5,6,6 6,28 zwischen der Wassermenge M und dem Rechnungsbetrag B. Dabei soll die Wassermenge auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und der Rechnungsbetrag auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Wassermenge und dem Rechnungsbetrag durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Wassermenge und dem Rechnungsbetrag. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Wassermenge und dem Rechnungsbetrag. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne den Rechnungsbetrag bei einer Wassermenge von 24,5m. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne die Wassermenge bei einem Rechnungsbetrag von 69,84. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 28 Thomas Unkelbach

11 Lösung a) siehe Abbildung rechts b) siehe Abbildung rechts c) Jeder gelieferte Kubikmeter Wasser erhöht den Rechnungsbetrag um,2. d) Bestimmung des Steigungsfaktors m mit Hilfe der Punkte (4,5m 5,4 ) u n d (,5m,6 ) : 5,4,6 m = 4,5m,5m m =,2 m Erläuterung: Ein m kostet,2. Wasser e) Bestimmung des Ordinatenabschnitts M : Einfache Methode: Der Rechnungsbetrag verringert sich je m Wasserverbrauch um,2. Gehe man bei einem Verbrauch von 28m Wasser von einem Rechnungsbetrag über 95,5 a u s ergibt sich bei einem Verbrauch von m ein Rechnungsbetrag von: B = 95,5 28,2 =,95. Standardmethode: Funktionsgleichung: B =,2 + B. Einsetzen der Koordinaten eines Punktes m des Graphen (z.b. (28,m 95,5 )) in die Funktionsgleichung: 95,5 =,2 28,m + B,95 = B. m Erläuterung: Ohne Wasserverbrauch besteht der Rechnungsbetrag nur aus den Grundgebühren für den Wasseranschluss in der Höhe von,95. f) Funktionsterm: B(M) =,2 M +,95. (B(4,5m ) = 5,4 ; B(28,m ) = 95,5 ) m g) siehe oben h) B(24,5m ) =,2 24,5m +,95 = 84,94 m i) B(M) = 69,84 69,84 =,2 M +,95 9,5m = M m 28 Dr. Martin Lehmann-Greif

12 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 9 In der obigen Abbildung siehst du einen Wärmezähler. Auf diesem kann zu jedem Zeitpunkt die bis dahin vom Versorgungsunternehmen ins Haus oder in die Wohnung gelieferte Wärmemenge abgelesen werden. Die folgende Wertetabelle gibt für verschiedene Monate die im jeweiligen Monat gelieferte Wärmemenge und den jeweiligen Rechnungsbetrag an: Monat Januar Februar März April Mai Wärme menge W in MWh,2 4,,5 2,8,6 Rechnungsbetrag B in 27,76 252,86 22,6 9,6 42,6 zwischen der Wärmemenge W und dem Rechnungsbetrag B. Dabei soll die Wärmemenge auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und der Rechnungsbetrag auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Wärmemenge und dem Rechnungsbetrag durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Wärmemenge und dem Rechnungsbetrag. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Wärmemenge und dem Rechnungsbetrag. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne den Rechnungsbetrag bei einer Wärmemenge von,mwh. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne die Wärmemenge bei einem Rechnungsbetrag von 7,86. Überprüfe das Erge bnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

13 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe Der Airbus A ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit beim Start z.b. die Zeit seit dem Start oder die Höhe über Normalnull (NN) abrufen. Die computergesteuerte Messung der Zeit und der Höhe über NN ergab die folgende Wertetabelle: Zeit t in s Höhe über NN h in m zwischen der Zeit t und der Höhe über NN h. Dabei soll die Zeit auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Höhe über NN auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe über NN durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe über NN. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe über NN. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Höhe über NN nach einer Zeit von s. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). i) Berechne die Zeit, nach der die Höhe über NN 5m beträgt. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

14 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe Der Airbus A ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit bei der Landung z.b. die Entfernung zur Rollbahn oder die Höhe über dem Boden abrufen. Die computergesteuerte Messung der Entfernung und der Höhe ergab die folgende Wertetabelle: Entfernung s in km 2,, 8, 6, 4, Höhe h in m zwischen der Entfernung s und der Höhe h. Dabei soll die Entfernung auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Höhe auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Höhe durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Höhe. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere kritisch diesen Wert für den Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Höhe. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Höhe. i) Berechne die Höhe bei einer Entfernung von 2,5km. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). j) Berechne die Entfernung, bei der die Höhe 5m beträgt. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach

15 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 2 Kohlenstoffdioxid (CO 2 ) ist ein Gas, welches in der Luft nur in einem geringen Anteil von,6% vorkommt, aber trotzdem für die Lebensvorgänge auf der Erde bedeutend ist. CO 2 ist das Gas, das die Pflanzen bei der Photosynthese aufnehmen und die Tiere als Verbrennungsprodukt wieder ausatmen. Das Kohlenstoffdioxid ermöglicht aufgrund des natürlichen Treibhauseffekts die Erwärmung der Erdatmosphäre und schafft somit ein Klima, das für die Lebewesen günstig ist. Die CO 2 -Konzentration in der Luft wird auf der gesamten Welt regelmäßig in 9 bis 2km Höhe gemessen, und zwar in der Maßeinheit ppm ( parts per million, d.h. Anzahl der CO 2 -Moleküle pro Million Luftmoleküle) Die Messungen in den letzten Jahren ergab die folgende Wertetabelle: Zeit seit 9 t in a CO 2 -Konzentration K in ppm zwischen der Zeit t und der CO 2 -Konzentration K. Dabei soll die Zeit auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die CO 2 -Konzentration auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. c) Weise rechnerisch nach, dass nach diesen Messwerten der Zusammenhang zwischen der Zeit und der CO 2 -Konzentration durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der CO 2 -Konzentration. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der CO 2 -Konzentration. Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) und i) auch ohne Maßeinheiten durchführen, h) Berechne die voraussichtliche CO 2 -Konzentration im Jahr 2. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). i) Berechne, in welchem Jahr die CO 2 -Konzentration bei einen Wert von 4ppm liegen würde. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach Seite von

16 Lineare Funktionen - Temperaturumrechnung CELSIUS-FAHRENHEIT In den USA wird zur Angabe von Temperaturen nicht die bei uns gebräuchliche Celsius-Skala (nach Anders CELSIUS, 7-744) mit der Temperatureinheit C ( Grad Celsius), sondern die Fahrenheit-Skala (nach Daniel Gabriel FAH- RENHEIT, ) mit der Temperatureinheit F ( Grad Fahrenheit) benutzt. In der Abbildung siehst du ein Thermometer, dass sowohl eine Celsius als auch eine Fahrenheit-Skala besitzt. Temperatur T C in o C Temperatur T F in o F 5 86 a) Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Temperatur T C in Grad Celsius und der Temperatur T F in Grad Fahrenheit. Dabei soll die Temperatur in Grad Celsius auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Temperatur in Grad Fahrenheit auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. b) Vervollständige mit Hilfe der beiden Skalen des abgebildeten Thermometers die obige Tabelle und trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Grad Fahrenheit durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. d) Bestimme den Steigungsfaktor dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Grad Fahrenheit. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Grad Fahrenheit. f) Gib den Funktionsterm dieser Linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare die g) Zeichne den Graphen dieser Linearen Funktion in das Koordinatensystem aus a). Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben. h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Diese Temperatur ist übrigens die Temperatur einer von FAHRENHEIT entwickelten Kältemischung aus Eis, Salmiak und Wasser. i) Berechne die Siedetemperatur von Wasser als Temperatur in Grad Fahrenheit. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). j) FAHRENHEIT setzte als F seine eigene durchschnittliche Körpertemperatur fest. Berechne diese als Temperatur in Grad Celsius. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 28 Thomas Unkelbach; Idee und Abbildung aus: Tischel, G. (Hrsg.): spektrum der mathematik 8. Frankfurt a.m. 986.

17 Lösung a) siehe Abbildung rechts b) siehe Abbildung rechts c) Eine Temperaturerhöhung um C entspricht immer einer Temperaturerhöhung um 8 F. F d) Siehe c): m 8 F = m =,8 C C Erläuterung: Einer Temperaturerhöhung um C entspricht eine Temperaturerhöhung um,8 F. F e) Funktionsgleichung: T F =,8 T C + T C Einsetzen der Koordinaten eines Punktes C 4 F ) in die des Graphen (z.b. ( ) F Funktionsgleichung: 4 F =,8 ( C) + T T = 2 F C Erläuterung: C = 2 F (Gefriertemperatur des Wassers) F f) Funktionsterm: TF (TC ) =,8 TC + 2 F. ( T ( C) 5 F F =,...) C g) siehe Abbildung rechts 7 h) TF(TC ) = F TC = 7 C. 9 F i) TF ( C) =,8 C + 2 F = 22 F C 7 j) TF (TC ) = F TC = 7 C 9 28 Stefan Thul

18 Lineare Funktionen - Anwendungsaufgabe 4 In der Physik wird zur Angabe von Temperaturen nicht die bei uns gebräuchliche Celsius-Skala (nach Anders CELSIUS, 7-744) mit der Temperatureinheit C ( Grad Celsius), sondern die Kelvin-Skala (nach William THOMSON, nach der Erhebung in den Adelsstand Lord KELVIN, ) mit der Temperatureinheit K ( Kelvin) benutzt. In der Abbildung siehst du ein Thermometer, dass sowohl eine Celsius als auch eine Kelvin-Skala besitzt. Temperatur T C in o C Temperatur T K in K a) Erstelle ein Koordinatensystem mit beschrifteten und skalierten Achsen zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Temperatur T C in Grad Celsius und der Temperatur T K in Kelvin. Dabei soll die Temperatur in Grad Celsius auf der Abszisse, das ist die horizontale Achse, und die Temperatur in Kelvin auf der Ordinate, das ist die vertikale Achse, aufgetragen werden. b) Vervollständige mit Hilfe der beiden Skalen des abgebildeten Thermometers die obige Tabelle und trage die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein. c) Weise rechnerisch nach, dass der Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Kelvin durch eine Lineare Funktion beschrieben werden kann. d) Bestimme den Steigungsfaktor dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Kelvin. e) Bestimme den Ordinatenabschnitt dieser Linearen Funktion mit Maßeinheit. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Temperatur in Grad Celsius und der Temperatur in Kelvin. f) Gib den Funktionsterm dieser Linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare die g) Zeichne den Graphen dieser Linearen Funktion in das Koordinatensystem aus a). Bemerkung: Du kannst die Rechnungen in den Aufgaben h) bis j) auch ohne Maßeinheiten durchführen, musst aber die Endergebnisse immer mit Maßeinheiten angeben. h) Berechne die Nullstelle dieser Linearen Funktion. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). Diese Temperatur ist übrigens die Temperatur des absoluten Nullpunktes, d.h. die tiefste im Universum mögliche Temperatur. i) Die durchschnittliche Körpertemperatur eines Menschen beträgt 6,5 C. Berechne diese Temperatur in Kelvin. Überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen aus g). j) BEDNORZ und MÜLLER erhielten im Jahr 987 den Physik-Nobelpreis für ihre Entdeckung sogenannter Hochtemperatur -Supraleiter, die bei einer Temperatur von ca. K Strom widerstandslos leiten. Berechne diese Temperatur in Grad Celsius. Überprüfe das Ergebnis ebenfalls anhand des Graphen aus g). 2 Thomas Unkelbach; Abbildung aus: Bredthauer, W. u.a.: Impulse Physik. Stuttgart 99.

19 Lineare Funktionen - Wiederholungsaufgabe Gegeben ist die Funktion f durch den Funktionsterm y(x) = 2x. a) Fertige eine Wertetabelle der Funktion mit mindestens 5 Wertepaaren an. b) Zeichne den Graphen der Funktion in das nebenstehende Koordinatensystem ein. c) Prüfe rechnerisch nach, ob die Punkte ( 2 2 ), Q(5 9,5 ) und P R( 4 2 ) auf dem Graphen der Funktion liegen. Überprüfe deine Ergebnisse anhand des Graphen aus b). d) Bestimme rechnerisch den Ordinatenabschnitt des Graphen. e) Bestimme rechnerisch die Werte zu den 2 Stellen x =, x =,, x = 2 und x 4 =,25. Überprüfe deine Ergebnisse anhand des Graphen aus b). f) Bestimme rechnerisch die Nullstelle des Graphen. g) Bestimme rechnerisch die Stellen zu den 2 Werten y =, y =,, y = 2 und y 4 =,25. Überprüfe deine Ergebnisse anhand des Graphen aus b). Bei den folgenden Aufgaben sollst Du jeweils den Funktionsterm der Funktion angeben den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem aus b) einzeichnen rechnerisch den Schnittpunkt des Graphen der Funktion f mit dem der jeweiligen Funktion bestimmen und schließlich das Ergebnis anhand der Graphen überprüfen. h) Gegeben ist eine zweite Funktion g durch die Steigung und den Ordinatenabschnitt 2. i) Gegeben ist eine dritte Funktion h durch die Steigung und den Punkt ( 2 ), durch den der Graph der Funktion h verläuft. j) Gegeben ist eine vierte Funktion i durch den Ordinatenabschnitt und den Punkt ( 4 4), durch den der Graph der Funktion i verläuft. k) Gegeben ist eine fünfte Funktion j durch die Nullstelle und den Ordinatenabschnitt 2. l) Gegeben ist eine sechste Funktion k durch die Punkte ( 2 ) und ( ), durch die der Graph der Funktion k verläuft. 2 Thomas Unkelbach y 5 O -5 x

20 Lineare Funktionen - Wiederholungsaufgabe Lösung a) x -4, -, -2, -,,, 2,, 4, f: y(x) = 2x -9, -7, -5, -, -,,, 5, 7, b) y O x c) P G(f ), Q G(f), R G(f ) d) Ordinatenabschnitt = y e) y = ; y 2 = 2 ; y = 4 ; y 5 4 = 7, f) L = { 2 }, also Nullstelle x = 2 g) 5 5 L = { 4 }, also x = ; L 2 2 = {,25}, also x 2 =, 25; L = { 6 }, also x = ; L 6 4 = { }, also 8 x = 8 h) g : y(x) = x 2 ; Die Gleichung 2x = x 2 liefert L = {}, also Schnittpunkt S fg ( ) i) h : y(x) = x 5 ; Die Gleichung 2x = x 5 liefert L = {4}, also Schnittpunkt S fh (4 7) j) i : y(x) = 5 x + ; Die Gleichung 2x = 5 x + liefert L = { }, also Schnittpunkt S fi ( 8 ) k) 2 2 j: y(x) = x 2 ; Die Gleichung 2x = x 2 liefert L = {- 4 }, also Schnittpunkt S fj (- 4-2 ) 2 l) k : y(x) 4 = x ; Die Gleichung 2x = 4 x liefert L = {}, also Schnittpunkt S fk ( ) 2 Thomas Unkelbach