Übungen zur Mechanik Serie 8: Gravitationsgesetz, Umlaufbahnen und Ortsfaktoren 1. Erdumrundung im Space Shuttle Im Imax-Space Shuttle-Film The Dream is Alive wird gesagt: Die Maschinen stehen jetzt still. Der Orbiter umkreist die Erde auf 450 km Höhe. (a) Des weiteren wird behauptet, eine Erdumrundung dauere 90 Minuten. Überprüfen Sie diese Umlaufszeit ausgehend von der Flughöhe. Hinweise: Erdmasse M E = 5.97 10 24 kg, Erdradius R E = 6370km. (b) Welche Bahngeschwindigkeit weist der Space Shuttle Orbiter auf? (c) Überlegen Sie ausgehend vom Resultat unter (b): Weshalb umkreisen wohl die meisten Satelliten die Erde in Richtung Osten? Weshalb liegen Raumhäfen also Abschussrampen für Raketen typischerweise in Äquatornähe? Tipp: Wie gross ist Geschwindigkeit, mit der ein Körper am Äquator aufgrund der Erdrotation die Erdachse umrundet? 2. Berechnung der Sonnenmasse Die Erde umkreist die Sonne in einem Jahr genau einmal. Der mittlere Abstand zwischen Sonne und Erde beträgt 1.496 10 11 m. (a) Mit welcher Bahngeschwindigkeit (in km s ) umkreist die Erde die Sonne? (Vgl. Serie 6, Aufg. 2.(b)) (b) Bestimmen Sie mit dem Resultat von (a) die Masse der Sonne. Geben Sie Ihre Antwort in Kilogramm unter Verwendung einer Zehnerpotenz. (c) Vergleichen Sie das Resultat von (b) mit der Erdmasse M Erde 5.97 10 24 kg. Geben Sie an, um welchen Faktor die Sonnenmasse grösser ist. 3. Der Mond alles über unseren Trabanten Mittlerer Abstand zwischen Erd- und Mondmittelpunkt: Masse des Mondes: Mittlerer Radius des Mondes: Umlaufzeit des Mondes um die Erde: r = 380 000 km M Mond = 7.35 10 22 kg R Mond = 1740km T = 27.3Tage (a) Die Erdmasse beträgt etwa M Erde = 5.97 10 24 kg. Zuerst zum Verständnis der Zehnerpotenzen. Um welchen Faktor ist die Erde schwerer als der Mond? (b) Welche Bahngeschwindigkeit weist der Mond auf seinem Weg um die Erde auf? Geben Sie das Resultat in km s. (c) Wie gross ist die Anziehungskraft zwischen Erde und Mond? Notieren Sie das Resultat in Newton mit einer Zehnerpotenz. (d) Welcher Ortsfaktor herrscht auf der Mondoberfläche? Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Ortsfaktor auf der Erdoberfläche. 1
4. Der Ortsfaktor auf der Oberfläche des Planeten Mars Der Mars ist mit einem Durchmesser von D Mars = 6800km deutlich kleiner als die Erde. Deshalb ist auch seine Masse geringer. Sie beträgt lediglich M Mars = 6.4 10 23 kg. Bestimmen Sie aus diesen Angaben den Ortsfaktor auf der Oberfläche des Planeten und vergleichen Sie ihn mit demjenigen an der Erdoberfläche. 5. Newtons Gedankenexperiment Die Skizze rechts stammt aus Isaac Newtons Hauptwerk Philosophiae naturalis principia mathematica kurz: die Principia. (Die ursprüngliche Ausgabe erschien 1687, die Zeichnung ist einer bearbeiteten Fassung von 1728 entnommen). Würde man auf dem Mount Everset stehen und eine Stein mit immer grösserer Gechwindigkeit horizontal wegwerfen. So würde er immer weiter fliegen. Theoretisch könnte man ihn so schnell werfen, dass er gar nicht mehr auf den Boden fällt, weil die Erdoberfläche sich quasi vorher von der Flugbahn wegkrümmt. Dazu dürfte allerdings keine Luft vorhanden sein, denn diese würde den Stein vom ersten Moment an enorm abbremsen. Diese Überlegung funktioniert tatsächlich, einfach nicht an der Erdoberfläche, weil hier ja bekanntlich Luft vorhanden ist. Aber der Mond, jeder um die Erde fliegende Satellit und natürlich auch Raumstationen oder das Space Shuttle fliegen genau in solchen Umlaufbahnen um die Erde. Nur die Gewichtskraft wirkt jeweils auf das Objekt und zwingt es auf die Umlaufbahn! Einmal mit der richtigen Geschwindigkeit auf der zugehörigen Bahn, läuft die Bewegung von alleine ab. Der Körper fällt auf seiner Kreisbahn ständig am Zentralkörper vorbei. Nehmen wir an, es gäbe keine Erdatmosphäre, also keine Luft an der Erdoberfläche. Wie schnell müsste man dann den Stein vom Mount Everest aus werfen, damit er die Erde umkreisen und wieder am Ausgangspunkt vorbeikommen könnte und wie lange würde ein Umlauf dauern? Hinweise: Erdradius: R Erde = 6370km, Gewichtskraft: F G = m g mit g = 9.81 N kg. 6. GPS Global Positioning System Ich zitiere kurz Wikipedia: Global Positioning System (GPS), offiziell NAVSTAR GPS, ist ein globales Navigationssatellitensystem zur Positionsbestimmung und Zeitmessung. Es wurde seit den 1970er- Jahren vom US-Verteidigungsministerium entwickelt. D.h., die Erde wird von einer Vielzahl GPS-Satelliten umkreist. Die zeitliche Messung des Funkkontaktes zu mehrerer dieser Satelliten erlaubt eine sehr genaue Ortsbestimmung des Sende- und Empfangsgerätes auf der Erdoberfläche. Das ist übrigens Physik auf höchstem Niveau! Die GPS-Satelliten kreisen auf Umlaufbahnen mit Bahnradien von etwa r = 20 200 km. Bestimmen Sie aus dieser Angabe und mit der Erdmasse von M Erde = 5.97 10 24 kg die Umlaufszeit eines GPS- Satelliten. Wählen Sie für die Angabe des Resultates eine passende Zeiteinheit. 2
7. Die Vorbereitung der Formelsammlung Aktuell verwenden wir lediglich eine Handvoll Gleichungen: v = 2π r T F Z = m v2 r a Z = v2 r F G = G m1 m 2 r 2 F G = m g g = G M R 2 Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Kreisbewegung (gfk) = m a Z Zentripetalkraft = resultierende Kraft bei einer gfk Zentripetalbeschleunigung Newton sches Gravitationsgesetz Gewichtskraft bei vorgegebenem Ortsfaktor Ortsfaktor an der Oberfläche eines Himmelkörpers Es ist wichtig, dass Ihnen diese Gleichungen etwas sagen. Notieren Sie sich deshalb zu jeder einzelnen, wofür die jeweiligen Grössen stehen und machen Sie sich klar, für Situation sie gebraucht wird. 8. Erde vs. Jupiter Jupiter ist der fünfte Planet im Sonnensystem. Hier ein paar planetarische Daten: Mittlerer Abstand Sonne Jupiter: r = 7.42 10 11 m Mittlerer Planetenradius des Jupiter: R J = 69500km Masse des Planeten Jupiter: M J = 1.90 10 27 kg (a) Jupiter ist der grösste um die Sonne kreisende Planet. Das Bild zeigt den direkten Grössenvergleich mit der Erde ein wahrer Planetenriese! Verdeutlichen Sie sich dies auch anhand eines Massenvergleichs mit der Erde. Um welchen Faktor ist die Jupitermasse grösser als jene der Erde? (Erdmasse M E = 5.97 10 24 kg) (b) Bestimmen Sie aus den Daten den Ortsfaktor an der Jupiteroberfläche. Vergleichen Sie anschliessend Ihr Resultat mit dem Ortsfaktor an der Erdoberfläche. (c) Der Jupiter kreist auf einer ebenso nahezu kreisförmigen, aber wesentlich grösseren Umlaufbahn als die Erde um die Sonne. Dem entsprechend benötigt er auch viel mehr Zeit für einen Umlauf. Wie lange dauert ein Jupiterjahr, also ein Umlauf des Jupiters um die Sonne? Geben Sie das Resultat in Erdenjahren an (Sonnenmasse M S = 1.99 10 30 kg). (d) Kallisto ist der zweitgrösste Jupitermond. Er umkreist Jupiter mit einer Umlaufzeit von 16.69 d. Wie gross sind der Bahnradius und die Bahngeschwindigkeit von Kallisto, wenn wir von einer kreisförmigen Umlaufbahn um Jupiter ausgehen? 3
9. Meteosat ein geostationärer Satellit (Zwischenprüfungsaufgabe) EUMETSAT (= European Organisation for the Exploitation of Meteorological Satellites) ist die europäische Organisation, welche sich um den Betrieb von Wettersatelliten kümmert und den Wetterdiensten die Daten zur Verfügung stellt. Auf der Website von EUMETSAT findet sich die folgende Beschreibung über das aktuelle Wettersatellitensystem Meteosat (Second Generation): Meteosat Second Generation (MSG) is a significantly enhanced follow-on system to the previous generation of Meteosat. MSG consists of a series of four geostationary meteorological satellites, along with ground-based infrastructure, that will operate consecutively until 2018. The first MSG satellite to be launched was Meteosat-8, in 2002. The second followed up in December 2005. Von Meteosat-8 und Meteosat-9 beziehen unsere Wetterdienste die Satellitenbilder, die Sie täglich in den Medien zu sehen bekommen. Diese Satelliten können rund um die Uhr Bilder von Europa liefern, weil sie in geostationären Umlaufbahnen parkiert sind. D.h., sie stehen immer über derselben Stelle auf der Erdoberfläche. (a) Überlegen Sie zuerst einmal ganz genau, was geostationär bedeutet. Über welchen Stellen auf der Erde können geostationäre Satelliten überhaupt stehen? (b) Nun interessiert uns der Bahnradius r, mit welchem ein geostationärer Satellit um die Erde kreist. Seine Umlaufbahn wird nämlich durch die Bedingung geostationär bereits genau festgelegt. Die für diese Rechnung notwendige Erdmasse kennen wir aus früheren Aufgaben. Die Umlaufszeit des Satelliten folgt aus der Bedingung geostationär. Vergleichen Sie das Resultat mit dem Erdradius, den Sie ebenfalls aus früheren Aufgaben kennen. Ist die Umlaufbahn von Meteosat weit oben? 4
10. Herausfordernd: Briefpost auf Utopia VII In den Tiefen des Weltraums besucht das Raumschiff Enterprise den neu entdeckten Planeten Utopia VII. Dieser relativ kleine Planet weist einen Radius von R = 1640km auf. Seine Oberfläche ist glatt (keine Hügel oder Gebirge) und er besitzt keine Atmosphäre. (a) Mit abgeschaltetem Antrieb umkreist die Enterprise Utopia VII auf einer Höhe von 715 km über der Planetenoberfläche. Ein Umlauf dauert 2h25min. Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Masse von Utopia VII. (b) Zwei Aussenteams landen auf Utopia VII, Team Kirk am Nordpol und Team Spock am Südpol. Da die Kommunikation ausgefallen ist, kommt Team Kirk auf die Idee eine Mitteilung in Form eines Steins ans Team Spock zu senden. Der Stein würde praktisch unmittelbar über der Planetenoberfläche dahinsausen. Nach welcher Reisedauer würde der Stein den Südpol erreichen? Geben Sie die Antwort in einer passenden Zeiteinheit. (c) Tatsächlich hängt die unter (b) berechnete Reisedauer t des Steins gar nicht von der Grösse des Planeten ab. D.h., die Planetenmasse M und der Planetenradius R sind nur scheinbar relevant. Bei genauerer Analyse stellt sich heraus, dass einzig die Dichte des Planeten diese Reisezeit bestimmt (sofern man davon ausgehen darf, dass der Planet überall etwa gleich dicht ist). Zeigen Sie, dass für die Reisedauer t des Steins vom Nord- bis zum Südpol der folgende formale Zusammenhang mit der Planetendichte gilt: t = 1 3π 2 G Hinweis 1: Dichte := Masse m pro Volumen V, also = m V. Hinweis 2: Das Volumen einer Kugel mit Radius r beträgt: V = 4π 3 r3 11. Sehr herausfordernd: Spin 4 ein Rotationswunder in den Tiefen des Weltraums Die Enterprise begegnet auf ihrer Entdeckungsreise einem kleinen Planeten mit Radius R = 1340 km. Er dreht sich in T = 84.0min einmal. Der Planet besitze zudem die lustige Eigenschaft, dass man sich am Pol genau viermal so schwer fühlt wie am Äquator. Die Crew tauft ihn deshalb Spin 4. (a) Bestimmen Sie die Masse von Spin 4. Tipp: Schauen Sie bei Aufgabe 4 in Serie 7 nach, um wieder zu wissen, worum es geht. (b) Berechnen Sie mit dem Resultat von (a) die mittlere Dichte von Spin 4 in kg m 3 (vgl. Aufgabe 10). (c) Zusatzaufgabe: Zeigen Sie formal, dass die unter (b) berechnete Dichte gar nicht vom Planetenradius R abhängt, sondern direkt aus der Eigendrehzeit T berechnet werden kann. Tipp: Lösen Sie die ganze Aufgabe formal ausgehend von der Gleichung gäquator = g Pol a Z. 5