Pfade durch die Theoretische Mechanik 1

Pfade durch die Theoretische Mechanik 1

Tobias Henz Gerald Langhanke Pfade durch die Theoretische Mechanik 1 Die Newtonsche Mechanik und ihre mathematischen Grundlagen: anschaulich axiomatisch abstrakt

Tobias Henz Heidelberg, Deutschland pfade_mechanik@posteo.de Gerald Langhanke Heidelberg, Deutschland ISBN 978-3-662-48263-6 DOI 10.1007/978-3-662-48264-3 ISBN 978-3-662-48264-3 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Margit Maly Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort Sucht man im Katalog der Bibliothek der Universität Heidelberg, an der wir beide Physik studiert haben, die Begriffe Theoretische Mechanik, Newtonsche Mechanik oder Klassische Mechanik, erhält man jeweils mehr als 500 Treffer. Warum also bringen wir ein weiteres Lehrbuch zu diesem Thema heraus, wenn es doch eine große Vielzahl von Büchern gibt, die die Newtonsche Mechanik in unterschiedlichster Art und Weise behandeln, von anschaulich bis mathematisch abstrakt? Darüber hinaus warum sollte man sich überhaupt mit Newtonscher Mechanik beschäftigen? Mit einer inzwischen fast 350 Jahre alten Theorie, die zwar das Alltagsleben gut beschreibt, aber deren mathematische und physikalische Grenzen wohlbekannt sind und die längst durch elegantere und physikalisch viel weiter reichende Theorien abgelöst wurde? Der Grund liegt darin, dass bei der Formulierung der Newtonschen Gesetze zum ersten Mal Naturbeobachtungen umfassend und systematisch in der Sprache der Mathematik aufbereitet wurden. Ausgehend von den Untersuchungen von Kepler, Galilei und anderen hat Newton Ende des 17. Jahrhunderts erstmals das damalige Wissen über Mechanik axiomatisiert und damit die Methode der Theoretischen Physik geprägt. Will man über die konkrete Formulierung von Gesetzen hinaus die Denk- und Arbeitsweise der Theoretischen Physik kennenlernen, ist die Newtonsche Mechanik daher der natürliche Ausgangspunkt. Es lassen sich an ihr wesentliche Züge und Merkmale physikalischer Theoriebildung in einem der eigenen Vorstellung vergleichsweise einfach zugänglichen Umfeld verstehen. Das ist auch der Grund, warum im Studium die Newtonsche Mechanik immer Stoff der ersten Vorlesung zur Theoretischen Physik ist. Die Entstehung der Theoretischen Physik fiel dabei zusammen mit der Entwicklung der modernen Mathematik, insbesondere der Differential- und Integralrechnung, sodass diese beiden Wissenschaften heute noch sehr eng miteinander verknüpft sind. Warum aber ein weitere Lehrbuch zur Netwontschen Mechanik? Unsere Motivation, dieses Lehrbuch herauszubringen, beruht auf zwei Beobachtungen, die wir während unseres vor Kurzem abgeschlossenen Physikstudiums und insbesondere als Übungsgruppenleiter gemacht haben. Zum einen stellt die unumgängliche mathematische Abstraktion immer wieder eine große Hürde beim Verständnis der Theoretischen Physik dar insbesondere am Anfang des Studiums. Wir wollen mit diesem Buch eine Möglichkeit bieten, die anfangs oft als schwer zugänglich empfundene Abstraktion stückchenweise zu begreifen. Zu diesem Zweck zeigen wir neben grundlegenden Begriffen und Rechenmethoden vor allem den Nutzen und die Vorteile, die durch die Verwendung von höherer Mathematik und durch Formalisierung für das Verständnis der Physik

vi entstehen ohne dass dafür in ein anderes Buch mit anderen Bezeichnungen und Themenschwerpunkten gewechselt werden muss. Wir behandeln dazu alle Themen nicht nur einmal, sondern jeweils auf drei unterschiedlichen Abstraktionsniveaus, die wir Pfade nennen. Wir haben dabei besonderen Wert darauf gelegt, die Verbindungen zwischen den verschiedenen Pfaden aufzuzeigen. In der Einleitung wird dieses Konzept näher beschrieben. Zum anderen hat unsere Erfahrung gezeigt, dass es insbesondere am Anfang des Studiums unmöglich ist, die schiere Masse an Literatur zu einem Themengebiet zu überblicken. Daher ist es auch schwierig, diejenigen Lehrbücher zu finden, die den eigenen Anforderungen an die behandelten Themen und ihre Aufbereitung am besten entsprechen. Dieser Schwierigkeit begegnen wir, indem wir viele Hinweise auf verschiedenartige weiterführende Literatur geben angepasst an den sprachlichen, inhaltlichen und mathematischen Hintergrund des jeweiligen Abschnitts. Unser Buch soll damit ein Leitfaden durch die ersten Semester in Theoretischer Physik sein, ein Ratgeber, den man immer wieder zur Hand nimmt: zum erstmaligen Lesen, zum Wiederholen und auch zum Nachschlagen bei konkreten Fragen, der dabei gleichzeitig den persönlichen Anforderungen und Vorlieben gerecht wird. Dieses Buch ersetzt also nicht die bereits vorhandene Literatur. Vielmehr möchten wir einen von unserer Perspektive direkt nach dem Studienabschluss inspirierten Blick auf die Mechanik geben und damit sowohl die Schönheit mathematischer Abstraktion als auch die vielfältigen Darstellungsweisen in der vorhandenen Literatur gleich zu Beginn des Studiums zugänglich machen. Vor diesem Hintergrund freuen wir uns über Rückmeldungen, Anregungen und Meinungen per E-Mail an pfade_mechanik@posteo.de und wünschen viel Vergnügen bei der Lektüre des Buches und vor allem beim Entdecken des eigenen Wegs durch die Theoretische Mechanik und das ganze Physikstudium! Danksagung Wir danken Margit Maly und Vera Spillner vom Springer-Verlag für die Gelegenheit unsere Ideen in diesem Buch umsetzen zu können und das geduldige Lektorat. Ohne unsere unermüdlichen Korrekturleser wäre dieses Buch ein anderes. Besonderer Dank gilt hier insbesondere Andreas, Katharina und Rima. Wir danken Prof. Arthur Hebecker dafür, dass er uns am Anfang unseres Studiums für die klassische Mechanik begeistert hat. Nicht zuletzt möchten wir uns bei unserem Heidelberger Umfeld am Philosophenweg und anderswo und insbesondere bei Rima für die große Unterstützung bedanken. Heidelberg und Darmstadt im August 2015, Tobias Henz und Gerald Langhanke

Inhaltsverzeichnis Einleitung Zum Gebrauch dieses Buches... 1 Pfad A anschaulich und intuitiv... 9 A 1 Beschreibung physikalischer Vorgänge... 11 A1.1 SprachederPhysik... 11 A1.1.1 RaumundZeit... 11 A1.1.2 VereinfachungundIdealisierung... 13 A1.2 Bewegungenmathematischbeschreiben... 14 A1.2.1 BewegungineinerDimension... 14 A1.2.2 BewegunginmehrerenDimensionen... 16 A1.3 WichtigeKoordinatensysteme... 18 A1.3.1 KartesischeKoordinaten... 19 A1.3.2 KrummlinigeKoordinaten... 20 A1.MMathematischeAbschnitte... 26 A 2 Ursachen der Bewegung... 39 A2.1 BegriffefürdieUntersuchungvonBewegungen... 39 A2.2 NewtonscheBewegungsgesetze... 41 A2.3 LösungeinfachermechanischerProbleme... 44 A2.3.1 BeispielefürKräfte... 45 A2.3.2 ArbeitenmitBewegungsgleichungen... 48 A2.3.3 EnergieundLeistung... 52 A2.MMathematischeAbschnitte... 53 A 3 Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen... 61 A3.1 Erhaltungsgrößen... 61 A3.1.1 Energieerhaltung... 62 A3.1.2 Impulserhaltung... 63 A3.1.3 Drehimpulserhaltung... 63 A3.2 BewegteundbeschleunigteBezugssysteme... 65 A 3.3 Systeme von zwei Massepunkten.......... 68 Pfad B axiomatisch und formal... 75 B1 Kinematik... 77 B1.1 BegriffederKinematik... 77 B 1.2 Bogenlänge und Parametrisierung von Bahnkurven.... 79 B1.3 KoordinatensystemeundphysikalischerRaum... 81

viii Inhaltsverzeichnis B 1.3.1 Lokale Koordinaten und begleitendes Dreibein. 81 B1.3.2 AllgemeineKoordinatensysteme... 83 B1.MMathematischeAbschnitte... 87 B 2 Grundlagen der Dynamik... 101 B2.1 ImpulsundKraft... 101 B2.2 NewtonsAxiomederklassischenMechanik... 103 B 2.3 Einfache mechanische Systeme und ihre Eigenschaften.. 108 B 2.3.1 Beschreibung von Kräften durch Felder...... 109 B 2.3.2 Bewegungsgleichungen, Arbeit und Potential.. 110 B2.3.3 EnergieundihrezeitlicheErhaltung... 113 B2.MMathematischeAbschnitte... 116 B 3 Folgerungen aus den dynamischen Grundlagen.. 127 B3.1 Erhaltung... 127 B3.1.1 ErhaltungssätzeundSymmetrien... 127 B3.1.2 ErhaltungssätzefürEinteilchensysteme... 129 B3.2 InertialeundbeschleunigteBezugssysteme... 130 B 3.2.1 Galilei-Transformationen............ 130 B3.2.2 Trägheits-oderScheinkräfte... 134 B3.3 SystemevonmehrerenTeilchen... 138 B3.3.1 ErhaltungssätzefürGesamtgrößen... 139 B3.3.2 ErhaltungsgrößenundInvarianz... 144 B3.MMathematischeAbschnitte... 145 Pfad C geometrisch und abstrakt... 151 C 1 Geometrische Kinematik... 153 C1.1 NotationundkinematischeAxiome... 153 C1.1.1 MethodederPhysik:AxiomeundGesetze... 153 C 1.1.2 Kinematische Axiome der klassischen Mechanik 155 C1.2 KinematikdesEuklidischenRaums... 156 C 1.3 Galilei-Euklidischer Raum........ 163 C 2 Axiomatik der Dynamik... 167 C2.1 MasseundImpuls... 167 C2.2 DynamischeAxiomeundNewtonscheGleichungen... 169 C2.3 LösungenderBewegungsgleichung... 171 C 3 Ausgewählte Themen der Dynamik... 175 C3.1 ErhaltungssätzeundPhasenraum... 175

Inhaltsverzeichnis ix C 3.2 Transformationen der Raumzeit und Galilei-Gruppe... 177 C 3.3 Konfigurationsraum des n-teilchensystems... 182 Pfade A-B-C Anwendungen und Aufgaben... 187 4 Anwendungen der Newtonschen Mechanik... 189 4.1 Differentialgleichungen freier Fall mit Reibung.... 190 4.2 PotentialeundArbeit... 197 4.2.1 ArbeitimkonservativenZentralfeld... 197 4.2.2 Arbeitimnicht-konservativenKraftfeld... 199 4.3 DynamikinbesonderenBezugssystemen... 201 4.3.1 Hantelbewegung in Schwerpunktkoordinaten... 201 4.3.2 Die Erde als beschleunigtes Bezugssystem..... 203 4.4 Harmonischer Oszillator........ 206 4.4.1 Grundlagen.... 206 4.4.2 Relevanz des harmonischen Oszillators..... 212 4.4.3 AbstraktionindenPhasenraum... 214 4.4.4 Abstrakte Lösung der Bewegungsgleichungen.. 215 4.5 KonservativeZentralkraft... 217 4.5.1 Bewegungsgleichungen... 217 4.5.2 MöglicheBahnkurven... 220 4.5.3 Spezialfälle... 222 5 Aufgaben zur Newtonschen Mechanik... 225 Checkliste für das Lösen von Übungsaufgaben...... 227 Literaturüberblick zu Übungsaufgaben..... 228 5.1 Koordinatensysteme... 230 5.1.1 Vektorfelder in verschiedenen Koordinaten 230 5.1.2 OrthonormalitätderBasisvektoren... 231 5.1.3 Ableitungen in krummlinigen Koordinaten 231 5.1.4 ParabolischeZylinderkoordinaten... 231 5.1.5 AngepasstekartesischeKoordinaten... 232 5.1.6 Wechsel zwischen Koordinatensystemen.. 232 5.1.7 BegleitendesDreibein... 233 5.1.8 Gruppe der Galilei-Transformationen..... 234 5.2 BahnkurveneinfacherphysikalischerSysteme... 234 5.2.1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung..... 234 5.2.2 GekrümmteSpiralenimRaum... 234 5.2.3 FallundWurfimSchwerefeld... 235

x Inhaltsverzeichnis 5.2.4 ÜberlagerungvonBewegungen... 235 5.2.5 Fadenpendel... 236 5.2.6 FreierFallbeiErddrehung... 237 5.3 Zweikörperstoß... 237 5.3.1 AllgemeinerStoß... 238 5.3.2 ElastischerStoß... 239 5.3.3 InelastischerStoß... 240 5.3.4 ErhaltungimStoßprozess... 240 5.4 Schwingungen... 241 5.4.1 Gedämpfter harmonischer Oszillator 1... 241 5.4.2 Gedämpfter harmonischer Oszillator 2... 242 5.4.3 ErzwungeneSchwingung... 242 5.4.4 Anharmonischer Oszillator...... 243 5.5 Kepler-Problem... 243 5.5.1 Allgemeine Lösung des Kepler-Problems.. 244 5.5.2 BahnkurvenimKepler-Problem... 244 5.5.3 LenzscherVektor... 247 5.5.4 DieKeplerschenGesetze... 247 5.5.5 GeometrischeFormderKepler-Bahn... 248 5.5.6 GestörtesKepler-Potential... 248 Liste der Matheabschnitte... 251 Literaturverzeichnis... 253 Index... 257