Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Berufsoberschule im Schuljahr / Fach (A) Prüfungstag 5. Mai Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise 9: - : Uhr Nicht graphikfähiger Taschenrechner mit gelöschtem Programmierteil; Formelsammlung, Rechtschreib-Wörterbuch (Duden) Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus-Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Aus den fünf Aufgaben müssen Sie drei auswählen. Die Aufgabe (Exponentialfunktionen) ist eine Pflichtaufgabe. Sie muss von allen bearbeitet werden! Spezielle Arbeitshinweise Zwischen Aufgabe (Gebrochenrationale Funktionen) und Aufgabe (Trigonometrische Funktionen) müssen Sie wählen. Auch zwischen Aufgabe (Analytische Geometrie) und Aufgabe 5 (Stochastik) müssen Sie wählen. Die Lösungswege müssen klar gegliedert, schrittweise und eindeutig nachvollziehbar sowie angemessen kommentiert sein. Nebenrechnungen sind durch Einrücken etc. kenntlich zu machen. Nur einwandfrei Leserliches wird bewertet. Die erste nicht durchstrichene Lösung zählt. Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter: Blätter Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte Aufgabe Nr. Soll oder oder 5 Summe: Ist Ist (Zweitkorrektur) Notenpunkte 5 /5 Punkten /5 Punkten Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt Punkte Punkte Datum, Unterschrift:
Abschlussprüfung Berufsoberschule Aufgabenvorschlag A Exponentialfunktionen / Die Abbildung stellt einen sehr weit links eingespannten, biegsamen Draht dar. In der Grundplatte befindet sich zwischen den Punkten A! ( ) und B( ) eine Öffnung, durch die der Draht mit einer Kraft nach unten gezogen und dadurch in dargestellter Weise gebogen wird. (Darstellung nicht maßstabsgetreu). Der Verlauf des gebogenen Drahtes lässt sich durch eine Exponentialfunktion beschreiben. Welche der folgenden Funktionsgleichungen passt zum dargestellten Verlauf? Begründen Sie Ihre Wahl. / a) f (x) = ( x!)e!x b) f (x) = ( x! x! )e x c) f (x) =!( x!)e,5x Der Verlauf des Drahtes wird ebenfalls durch folgende Funktion beschrieben: f (x) = (,5x!,5x!)e,5x. Zeigen Sie, dass der Graph von f durch die Punkte A (! ) und B( ) verläuft. /. Weisen Sie nach, dass f '(x) = (,5x +,75x!)e,5x die. Ableitung von f ist. /. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen der Draht links der Öffnung am weitesten nach oben und in der Öffnung am weitesten nach unten reicht. [Hinweis: Ein Nachweis mithilfe der. Ableitung ist erforderlich.] /9 Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /7 Seiten
Exponentialfunktionen (Fortsetzung).5 In welchen Punkten ändert der Draht seine Krümmungsrichtung? [Hinweis: Auf einen Nachweis mithilfe der. Ableitung kann verzichtet werden.].6 Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die der Draht mit der x -Achse unterhalb der Grundplatte umschließt? Weisen Sie dafür zunächst nach, dass F(x) = ( x!5x +8)e,5x eine Stammfunktion von f ist. /5 /5 Alle Funktionen vom Typ f k (x) = ( x! x! )e kx berühren die Grundplatte in den Punkten A (! ) und B( )..7 Zeigen Sie zunächst, dass für die Ableitung gilt: f k '(x) = k! x + ( k)! x ( k + / )!ek!x.8 Bestimmen Sie k so, dass der Winkel, den der Draht im Punkt A (! ) mit der Grundplatte bildet, genau 5 beträgt. /5 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /7 Seiten
Gebrochenrationale Funktionen / Durch die Gleichung f ( x) = 9 x +, D f = IR, sei eine Funktion f gegeben.. Untersuchen Sie f auf Symmetrie und berechnen Sie den Extremalpunkt und die Wendepunkte von f. [Zur Kontrolle: f '( x) =! 8x ( x + ) ] [Hinweis: Auf den Nachweis mithilfe der. Ableitung kann verzichtet werden.] /. Zeichnen Sie den Graphen für! x in ein Koordinatensystem.. Zwischen der x-achse und dem Graphen von f soll ein achsenparalleles Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimmen Sie die Abmessungen dieses Rechtecks. 5!8x [Zur Kontrolle: A' ( x) = ( x + ) ] [Hinweis: Auf einen Nachweis mithilfe der. Ableitung kann verzichtet werden.] / /6. Das Dreieck, welches durch die Tangenten bei x =! und x = und die x-achse gebildet wird, soll als Vorlage für eine Schablone (Muster) verwendet werden. Bestimmen Sie die beiden Tangentengleichungen. Zeichnen Sie die Schablone in das Koordinatensystem aus.. /5.5 Die Form der Schablone soll zwischen x =! und x = (siehe.) verändert werden. Dabei wird der obere Teil des Dreiecks durch einen Parabelbogen ersetzt, der die Tangenten an f ebenfalls als Tangenten besitzt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Parabel. [Zur Kontrolle: p x ( ) =!,565x +,85] Um wie viel würde der Flächeninhalt der Schablone durch diese Veränderung abnehmen? /8 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /7 Seiten
Trigonometrische Funktionen / Gegeben seien die Funktionen f und g und das Intervall I =,! mit f ( x) = sin x!,5 und g ( x) =,5cos( x).. Bestimmen Sie die Nullstellen von f und g im Intervall I.. Zeichnen Sie die Graphen von f und g in ein Koordinatensystem.. Neben den beiden gemeinsamen Nullstellen tritt eine weitere Schnittstelle in I auf. Berechnen Sie diese. [Hinweis: Benutzen Sie nur für diesen Aufgabenteil, dass gilt: f x ( ) =,5! cos x und g ( x) = 6cos x!,5cos x ] /6 /5 /8. Berechnen Sie das bestimmte Integral ( f ( x)! g( x) )!dx!!!! und begründen Sie, warum der Wert nicht den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen über I ergibt. /5.5 Bestätigen Sie, dass der (senkrechte) Abstand zwischen f und g bei x E = cos!! + 85 8 ' (,58966 ein relatives Maximum annimmt. /6.6 Berechnen Sie den Parameter k für eine g -ähnliche Funktion g! (x) = k cos x ( ), die f nicht an der in. berechneten Stelle, sondern an der Stelle! schneidet. / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /7 Seiten
Analytische Geometrie / Es soll eine Sonnenuhr konstruiert werden. Der Schattenstab mündet an seinem oberen Ende in einer geraden Pyramide. Drei Punkte dieser Pyramide sind: ( ), B( ) und C ( 6 5) ( LE ˆ= cm) A! In der Konstruktionsplanung ist auch die folgende Punktmenge vorgesehen: P k ( k +5k 9,5+ k), k! IR. Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C eindeutig eine Ebene E bestimmen. /. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für diese Ebene E. [Zur Kontrolle: E : x! z = 9 ]. Begründen Sie, dass ein weiterer Punkt D so gewählt werden kann, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D und des Mittelpunktes M dieses Quadrates..5 Die Punkte der Punktmenge P k bilden eine Gerade g, auf der ein Sonnenstrahl liegt. Geben Sie die Geradengleichung für g an und zeigen Sie, dass g parallel zur Ebene E verläuft, aber nicht in E liegt..6 Der Sonnenstrahl auf der Geraden g trifft auf die Pyramidenspitze S. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S und den Winkel!ASC. ( ) ] [Zur Kontrolle: S!,5,5 7,5.7 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. /.8 Die Sonnenuhr wird so auf einem Berliner Schulhof aufgestellt, dass die x - y - Ebene parallel zur Schulhofebene verläuft und die Achse SM der Sonnenuhr nach Norden zeigt. Die Sonnenuhr muss so ausgerichtet werden, dass die Achse SM parallel zur Erdachse verläuft. Der Winkel zwischen Erdachse und Schulhofebene beträgt in Berlin 5. Um wie viel Grad muss der Winkel α, der von der Achse SM und der x - y - Ebene bisher eingeschlossen wird, korrigiert werden, damit die Achse SM parallel zur Erdachse verläuft?.9 Der nun parallel zur Erdachse ausgerichtete Schattenstab einschließlich der Pyramide sei m lang. Berechnen Sie die Länge s des Schattens, wenn die Sonnenstrahlen parallel zur Geraden g auf die Erde treffen. / / / / /7 / / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 5/7 Seiten
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung / Auf einer fernen Insel sollen in Vergnügungsparks nur faire Glücksspiele angeboten werden, d. h. auf lange Sicht darf der Veranstalter nur das einnehmen, was er auszahlt. Seine Kosten und sein Gewinn werden durch die Eintrittsgelder gedeckt. Ein Veranstalter bietet für den Einsatz von einem Taler (T) das folgende Glücksspiel an: In einer Urne liegen vier Kugeln mit den Zahlen,, und. Der Spieler zieht ohne Zurücklegen so lange Kugeln, bis die Summe der Zahlen oder größer ist. Benötigt er nur einen Zug, so erhält der Spieler drei Taler ausgezahlt. Benötigt der Spieler zwei Züge, so erhält er einen halben Taler zurück. Ansonsten geht er leer aus. 5. Erstellen Sie ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm, mit dessen Hilfe Sie die folgenden Fragen beantworten können: Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt der Spieler nur einen Zug? Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt der Spieler zwei Züge? Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt der Spieler mehr als zwei Züge? [Zur Kontrolle: Die Ergebnisse sind angenähert:,5;,58 und,7] 5. Mit G = Auszahlung! Einsatz werde der Gewinn des Spielers bezeichnet. Der Gewinn kann also durchaus auch negativ sein. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von G und den Erwartungswert E ( G), also den durchschnittlichen Gewinn, z. B. mit Hilfe einer übersichtlichen Tabelle. [Zur Kontrolle: E G ( ) = T ] /6 /5 Nach einer Saison ist dem Veranstalter aufgefallen, dass dieses Glücksspiel zwar den Spielern, nicht aber ihm Glück bringt. Daher lässt er die Spieler nun mit Zurücklegen ziehen. Die anderen Spielregeln bleiben unverändert. 5. Weisen Sie nach, dass das Spiel nun fair ist. / Mit der Wahrscheinlichkeit p = muss der Veranstalter bei beiden Spielvarianten pro Spiel drei Taler an den Spieler auszahlen. 5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Veranstalter bei den kommenden zehn Spielen zwischen zwei- und viermal drei Taler auszahlen muss. 5.5 Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Veranstalter in den kommenden vier Spielen nicht einmal drei Taler auszahlen, wohl aber im fünften Spiel? 5.6 Pro Tag wird das Spiel im Mittel Mal gespielt. Wie oft wird der Veranstalter im Mittel drei Taler auszahlen müssen? /5 / / Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 6/7 Seiten
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung (Fortsetzung) Der folgende Aufgabenteil hat mit den vorangegangenen sechs nichts zu tun. 5.7 In einer Urne liegen Kugeln, rote und schwarze. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen. Wie viele rote Kugeln müssen in der Urne liegen, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei rote und eine schwarze Kugel zu ziehen, maximal wird? Wie groß ist diese maximale Wahrscheinlichkeit? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. [Zur Kontrolle: r ( r! ) (! r) ist der Term der Zielfunktion.] ( ' / Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 7/7 Seiten
Abschlussprüfung Berufsoberschule Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. b) f (x) = ( x! x! )e passt zum Verlauf des Drahtes, da f als einzige Funktion durch A und B verläuft: f ( ) = und f ( ) =. f ( ) = und f ( ) =, also verläuft f durch A (! ) und B( ).. f '(x) = ( x!,5)e + (,5x!,5x!)e = (,5x +,75x!)e. f '(x) = (,5x +,75x!)e,5x ; f '( x E ) = ;,5x E +,75x E!= ; x E + x E! = ; x E = und x E = f ''(x) = (,5x +,875x +,5)!e,5x f ''(!)!,7 <, lokales Maximum; f ''( ), 6 >, lokales Minimum; H!, ( ) ; T (!,65).5 f ''(x) = (,5x +,875x +,5)!e,5x ; f '' x W x und x 6 7; W!,!,69 W, W, ( ) = ; x W + 7x W + = ; ( ) und W (!6,7,87).6 F '(x) = ( x!5)e,5x + ( x!5x +8),5e,5x = ( x!5) + (,5x!,5x + ) e,5x = (,5x!,5x!)e,5x = f (x) F ist Stammfunktion von f. A = f (x) dx = F()! F(!) 5,!8,9 =,5!.7 f k '(x) = ( x!)e kx + ( x! x! ) k e kx = ( x!) + ( k x! k x! k ) ekx = k x + (! k) x! ( k + ) ekx.8 Winkel von 5 : f k '( ) = f k '(!) = k! (! k)! ( k + ) e!k =! ;!e!k =! ; k = ln = ln( ), Summe (Aufgabe ) 6 8 Mögliche BE 5 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /9 Seiten
Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. f!x. ( ) = f ( x) ; f ist achsensymmetrisch. Ableitungen: f ' x Extremalpunkt: f ' x E ( ) =! 8x ( x + ) ; f '' ( x ) = 5x!5 x + ( ) = ; x E = ; f ''( ) =! < ; H Wendepunkte: f ''( x W ) = ; x W =!; W!,5 ( ) ( ) ( ) ; x W =; W (,5) f (!) = f ( ) = 9 9,7.. t x A( x) = x! 9 x + = 8x x + 5!8x A' ( x) = ( x + ) ; A' ( x E ) = ; x E/ = ±! ±,7 Die Breite des Rechtecks beträgt!,6 und die Höhe,5. ( ) = m x + n ( ) =,5x +,75 für x =!: t ( x) = 9 8 x + 7 8 bzw. t x für x =: t ( x) =! 9 8 x + 7 8 bzw. t x ( t durch Berechnung oder Achsensymmetrie) ( ) =!,5x +,75 Zeichnung Zwischensumme (Aufgabe ) Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben.5 p x Erwartete Teilleistung Übertrag (Aufgabe ) ( ) = ax + b, p' ( x) = ax In W (,5) gelten f ( ) = p( ) und f '( ) = p' ( ) = a, also! 9 8 = a, woraus a =! 9 6 und b = 5 6 folgen. p( x) =! 9 6 x + 5 6 bzw. p ( x ) =!,565x +,85 ( ) t ( ) A Dreiecksspitze =!! t ( ) =,75,5 =,5 A Parabelsegment = ( p( x)!,5)dx =! 6 x + 9 6 x ( ' = Der Flächeninhalt würde um,75 abnehmen. Summe (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben. Erwartete Teilleistung f : sin x N!, 5=; sin x N = ±, 5 ergibt in I :! x f,! =! 6 und x f,! = 5! 6 g :, 5cos( x N ) = ; x N =! oder!=! oder!= 5! ; 6. x g,! =! 6, x g,! =! und x g,! = 5! 6 5. f ( x S ) = g ( x S ) ;,5! cos x S = 6cos x S!,5cos x S ergibt mit der Substitution c:=cos x S 6c +c!,5c!,5 =. Bekannt sind die Lösungen x =! 6 und x = 5! 6, d. h. c =! = und c =!. Es kann also durch (c! c )(c! c ) = c! ' c + ' =(c!,75) dividiert werden. 6c + c!, 5c!, 5 ( ): c!, 75 ( )=6c+ 6c+= liefert als gesuchte dritte Schnittstelle c =! und damit 6 x!, 9. Zwischensumme (Aufgabe ) 7 6 6 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite /9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben Erwartete Teilleistung Übertrag (Aufgabe ) 7 6 6. ( f ( x)! g ( x) )dx = ( x!,5sin( x)!,5x)!,5sin( x )' =!,5x!,5sin( x)!,5sin( x ) =,5! Da sich f und g in I mehrfach schneiden, ergibt das Integral nicht den Flächeninhalt, sondern die Summe der orientierten Flächenstücke..5 Abstand d ( x):= f ( x)! g ( x) = sin x!,5!,5cos( x) Die Bedingungen werden durch Nachrechnen überprüft:.) d '( x)=sin xcos x +,5sin ( x) Mit x E = cos!! + 85 8 ' folgt d! ( x E )=sin x E cos x E +,5sin( x E ) =..) d ''( x)=cos x! sin x +,5cos( x) d ''( x E )= cos x E! sin x E ( )!5,7 <.6 g! ' ( = f ( ) +,5cos x E ' ( ; k cos!! ( ) = sin! ',5 ; k =, 75!, 5 = Summe (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 5/9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben!!!. Z. B.: AB Erwartete Teilleistung!!! und AC sind nicht kollinear. Durch A, B und C ist somit eine Ebene eindeutig festgelegt.. E : x! ' ' ' =! ' + r 5 ' + s 5 ';!r,!s ( IR. ; n = ; E : x! z = 9 ' ' '.!!!!!!!!!!!! Da AB = BC = 5 und AB! BC =, gibt es einen Punkt D mit den gewünschten Eigenschaften.. OD = OA + AD = OA + BC = + ; D( 6! 5), M (,5,5 ).5! g : x! k!! = +5k = + k 5 ; k ' IR. 9,5+ k 9,5 Die rechte Seite der Geradengleichung von g wird in die Ebenengleichung von E eingesetzt: + k ( )! ( 9,5+ k) = 9 ;!8,5 9, also g E, g! E.6 Da S die Spitze einer geraden Pyramide ist, liegt S auf der Geraden! h : x!,5! =,5 + t ; t ( IR. ' S ist der Schnittpunkt der Geraden g und h. Das Gleichungssystem k =!,5, daher ist S!,5,5 7,5 ( ) =! SA cos!asc!! SC!!! SA! SC!!! =,5 + t = + k,5 = + 5k! t = 9,5 + k hat u. a. die Lösung ( ) die gesuchte Pyramidenspitze. ' 7, 5 ' ) ) ), 5 ) ) (, 5 ) ( *, 667 ;!ASC 5,8 68, 75 68, 75, 5, 5 6, 5 Zwischensumme (Aufgabe ) 8 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 6/9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben.7 Erwartete Teilleistung Übertrag (Aufgabe ) 8 V Pyramide =!!! AB! d S;E wobei d ( S; E) = ( ),! (,5)!7,5 9 + = 7,5 (cm).8 V Pyramide =! 5!7,5 = 6,5 (cm ) Das Volumen der Pyramide beträgt 6,5 cm. ( (!!! SM! n (! ( xy ( ( ' ' sin! =!!! SM! n = =,6 ;! 6,87 5 xy Die Achse SM muss noch um 5!6,9 =5, angehoben werden..9! sei der Winkel zwischen g und der x - y - Ebene.!! 5 ' sin! = = (,5657 ;!!,5 5 5 Der Schatten mit der Länge l ist Basis eines Dreiecks. Ihm gegenüber liegt der Winkel! = 8!5!,5 = 9,5. Der Sinussatz ergibt l = sin9,5 sin,5!,5. Der Schatten des Schattenstabes ist ca.,5 m lang. Summe (Aufgabe ) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 7/9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben 5. 5. Erwartete Teilleistung /6 / / / / / / / / Hinweis: bedeutet oder. Ein Zug genügt. = P Zwei Züge benötigt 7 =, P ({ }), ({ }) P ({ als zwei Züge benötigt} ) Mehr = 6 g T! T!T Σ 5. ({ G g} ) P = ({ G g} ) g P = 7 T! 7 T! 6 T T / / / / / / / / / Ein Zug genügt. = P Zwei Züge benötigt =, P ({ }), ({ }) P ({ als zwei Züge benötigt} ) Mehr = 6 5 g T! T!T Σ ({ G g} ) P = ({ G g} ) g P = T! T! T T Zwischensumme (Aufgabe 5) 7 8 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 8/9 Seiten
Erwartungshorizont A Teilaufgaben Erwartete Teilleistung Übertrag (Aufgabe 5) 7 8 5. Die Anzahl der Auszahlungen des Hauptgewinns werde mit X bezeichnet. X ist binomialverteilt mit p =, n = und k = ;;. 8 7 6 P ({ X } ) = + +,67788 5.5 P( { In den ersten vier Spielen kein Hauptgewinn, wohl aber im 5. Spiel} ) =,79 5.6 E ( X ) = = 5 5.7 Liegen in der Urne r, r = ; ;, rote Kugeln, so gilt! r! ( r ' P( { Zwei der drei gezogenen Kugeln sind rot} ) = =! 8! ( r! r)! ( r) = ( 8!r + r! r). Der Term f r f ' r ( ) :=!r + r! r, r = ; ;, soll maximiert werden. ( ) =!r + 6r! =! r! 6 r + ' und f '' r ( ) = ergibt r E!,7 ( r E!, 96 entfällt). ( )! 59, < und f f ' r E Wegen f '',7 und f ( ) = folgt: r max =, P max = 8 8!,68 ( ) =!6r + 6 ( ) = 8, f ( ) = 78, f ( ) = Summe (Aufgabe 5) 7 6 Mögliche BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Berufsoberschule Seite 9/9 Seiten