Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 1 Grundlegendes Niveau

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 1 Grundlegendes Niveau Thermoschalter Der Konzern Thermosicherheit stellt Thermoschalter in Massenproduktion her. Jeder Thermoschalter ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % fehlerhaft. Der Fehler besteht darin, dass der Thermoschalter erst bei einer zu hohen Temperatur auslöst, also die Stromzufuhr zu spät unterbricht. Es wird eine Stichprobe von 50 Schaltern aus der laufenden Produktion entnommen. Dabei soll angenommen werden, dass die Anzahl der fehlerhaften Schalter in der Stichprobe binomialverteilt ist (n = 50, p = 0,1). Punkte a) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Anzahl fehlerhafter Schalter in der Stichprobe. 5 Berechnen Sie (ohne Tafelwerk) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 50 Schaltern genau 5 fehlerhaft sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 50 Schaltern höchstens 5 fehlerhaft sind. 20 b) Nennen Sie Gründe, warum man annehmen kann, dass die Anzahl der fehlerhaften Schalter in der Stichprobe binomialverteilt ist (n = 50, p = 0,1). 10 Die Firma Maschinenfix ist Kunde des Konzerns Thermosicherheit. Sie stellt Maschinen her, die sie vor Überhitzung schützen möchte. In jede dieser Maschinen baut sie 2 Thermoschalter in Reihe ein, d. h. die Stromzufuhr wird genau dann unterbrochen, wenn einer der Schalter oder auch beide zugleich auslösen. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer neu gebauten Maschine der Firma Maschinenfix im Falle einer Überhitzung die Stromzufuhr tatsächlich unterbrochen wird. 15 d) Bei jeder neu gebauten Maschine ist die Thermosicherung ja mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % defekt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 neu gebauten Maschinen in mindestens einer Maschine die Thermosicherung defekt ist. 15 e) Der Konzern Thermosicherheit möchte die Qualität der Schalterproduktion erhöhen. Dazu wird ein Team beauftragt, entsprechende Maßnahmen zu ergreifen. Falls der Anteil der fehlerhaften Schalter deutlich gesenkt werden kann, soll das Team eine großzügige Prämie erhalten. Zur Überprüfung der Qualitätsverbesserung wird eine Stichprobe vom Umfang 50 der neuen Produktion entnommen. Wenn sich unter diesen 50 Schaltern höchstens 3 fehlerhafte befinden, soll das Team die Prämie erhalten. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 137

(1) Nehmen Sie an, dass überhaupt keine Qualitätsverbesserung eingetreten ist, und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team die Prämie erhält. 10 (2) Nehmen Sie andererseits an, dass eine große Qualitätsverbesserung eingetreten ist und der Anteil der fehlerhaften Schalter auf 5 % gesunken ist, und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Team die Prämie verweigert wird. 10 Die Firma Maschinenfix produziert die Maschinen mit den eingebauten Thermoschaltern in großer Stückzahl. Überhitzungen ihrer Maschinen treten leider häufiger auf. Die Thermoschalter lassen sich auch nicht vorher testen. Überhitzungen der Maschinen, die nicht durch die Thermoschalter verhindert werden, führen zu Maschinenschäden und sind sehr teuer. f) Begründen Sie, dass auch eine bessere Produktionsqualität des Konzerns Thermosicherheit mit nur 5 % fehlerhaften Schaltern die Probleme der Firma Maschinenfix nicht lösen kann. Geben Sie begründet eine bessere Möglichkeit an, den Schutz vor einem Maschinenschaden durch Überhitzung zu erhöhen. 15 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2005 Hinweise und Tipps Teilaufgabe a Erwartungswert r Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich mit: µ = E(X) = n p Wahrscheinlichkeit genau 5 fehlerhaft r Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor. r Bestimmen Sie aus der Aufgabenstellung n, k und p. Wahrscheinlichkeit höchstens 5 fehlerhaft r Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P(X 5). r P(X 5) ist die Summe aus sechs einzelnen Wahrscheinlichkeiten. r Berechnen Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. r Alternativ kann man auch die Wahrscheinlichkeit aus der Formelsammlung Tabelle Binomialverteilung kumulativ ablesen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 138

Teilaufgabe b r Die Ausprägung des Merkmalergebnisses muss zufällig sein, d. h., die Ausprägungen A oder B müssen voneinander unabhängig sein. r Es wird von einer Stichprobennahme mit Zurücklegen ausgegangen. r Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n ist die Binoimialverteilung eine brauchbare Wahrscheinlichkeitsverteilung. Teilaufgabe c r Der Stromfluss wird genau dann unterbrochen, wenn ein oder beide Schalter gleichzeitig auslösen. r Beachten Sie, die Wahrscheinlichkeit p = 0,9 gilt für Schalter, die auslösen. r Fertigen Sie ein Baumdiagramm an. r Berechnen Sie mithilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stromzufuhr unterbrochen wird. Teilaufgabe d r Beachten Sie, dass P(X 1) = 1 P(X = 0) ist. Teilaufgabe e Keine Qualitätsverbesserung r Bestimmen Sie n, k und p. r Berechnen Sie P(X 3) oder lesen Sie die Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab. Große Qualitätsverbesserung r Beachten Sie, dass sich hier die Wahrscheinlichkeit p geändert hat. Teilaufgabe f r Nehmen Sie wie bei Teilaufgabe d für n = 100 und p = 0,05. r Ermitteln Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis. r Dieses Ergebnis kann keineswegs zufriedenstellend sein. Geben Sie anhand von Beispielen (Einbau von mehr als 2 Schaltern) an, dass dann ein besserer Schutz erreicht werden kann. r Berechnen und vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten nach der alten und neuen Qualität. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 139

Lösung a) E(X) = p n E(X) = 50 0,1 = 5 Bei einer Stichprobe vom Umfang 50 ist zu erwarten, dass 5 Schalter defekt sind. Bernoulli-Experiment; n = 50; k = 5; p = 0,1 P(X = 5) = 50 5 45 ( ) 0,1 0,9 0,18492 5 Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 50 Schaltern genau 5 fehlerhaft sind, beträgt etwa 18,5 %. P(X 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 50 ( 0 ) 50 ( 1 ) 50 ( 2 ) 50 ( 3 ) 50 ( 4 ) 50 ( 5 ) P(X = 0) = 0,10 0,950= 1 1 0,950 0,00515 P(X = 1) = 0,11 0,9 49 0,02863 P(X = 2) = 0,12 0,9 48 0,07794 P(X = 3) = 0,13 0,9 47 0,13857 P(X = 4) = 0,14 0,9 46 0,18090 P(X = 5) = 0,15 0,9 45 0,18492 Damit ist P(X 5) 0,61611. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schaltern höchstens 5 fehlerhaft sind, beträgt etwa 61,6 %. Alternative Lösung: Sie können die Wahrscheinlichkeit aus der Formelsammlung Tabelle Binomialverteilung kumulativ ablesen. Dort findet man für n = 50 und p = 0,1 den Wert P(X 5) = 0,6161. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Schaltern höchstens 5 fehlerhaft sind, beträgt etwa 61,6 %. b) Bei der Herstellung der Thermoschalter handelt es sich um eine Massenproduktion. Das Auftreten von Fehlern in der Produktion kann wegen regelmäßiger Wartung und Kontrolle als zufällig angenommen werden. Dadurch ist die Annahme der Unabhängigkeit im Produktionsprozess gegeben. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann somit das Urnenmodell Ziehen mit Zurücklegen verwendet werden. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 140

c) Die Stromzufuhr wird genau dann unterbrochen, wenn ein Thermoschalter oder beide gleichzeitig auslösen. S 1 Schalter versagt ( d. h. Schalter löst nicht aus), p = 0,1 S 2 Schalter löst aus, p = 0,9 Baumdiagramm: P( Strom fließt nicht ) = 0,81 + 0,09 + 0,09 = 0,99 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stromzufuhr unterbrochen wird, beträgt 99 %. Alternative Lösung: Das Gegenereignis zum betrachteten Ereignis ist, dass beide Schalter versagen: 0,1 0,1 = 0,01 P( Strom fließt nicht ) = 1 0,01 = 0,99. d) P( mindestens 1 defekt ) = P(X 1) P(X 1) = 1 P(X = 0) Mit p = 0,01; n = 100; k = 0 P(X = 0) = 100 0 100 ( ) 0,01 0,99 0 P(X 1) = 1 0,99100 P(X 1) 0,63397 Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 100 Maschinen zu mindestens einer Überhitzung kommt, beträgt etwa 63,4 %. e) (1) n = 50; k = 3; p = 0,1 P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 50 0 50 ( 0 ) P(X = 0) = 0,1 0,9 0,00515 P(X = 1) 0,02863 P(X = 2) 0,07794 P(X = 3) 0,13857 Damit ist P(X 3) 0,25029. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 141

Alternativ liest man in der Formelsammlung aus der Tabelle Binomialverteilung kumulativ für n = 50 und p = 0,1 den Wert P(X 3) = 0,2503 ab. Unter der Annahme, dass keine Qualitätsverbesserung eingetreten ist, erhält das Team die Prämie mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 25 % zu Unrecht. (2) n = 50; k = 3; p = 0,05 P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 50 ( 0 ) 50 ( 1 ) 50 ( 2 ) 50 ( 3 ) P(X = 0) = 0,050 0,9550 0,07694 P(X = 1) = 0,051 0,9549 0,20249 P(X = 2) = 0,052 0,9548 0,26110 P(X = 3) = 0,053 0,9547 0,21987 Damit ist P(X 3) 0,7604. Alternativ liest man in der Formelsammlung aus der Tabelle Binomialverteilung kumulativ für n = 50 und p = 0,05 den Wert P(X 3) 0,7604 ab. Unter der Annahme, dass eine große Qualitätsverbesserung eingetreten ist und der Anteil der fehlerhaften Schalter auf 5 % gesunken ist, wird dem Team die Prämie mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 24 % verweigert. D. h., mit einer Wahrscheinlichkeit von 24 % erhält das Team die Prämie (zu Unrecht) nicht. f) Nehmen wir wie bei Teilaufgabe d für n = 100 und p = 0,05, dann gilt: 1 (1 0,052 ) 100 = 1 0,9975100 0,22144 Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 100 Maschinen und der Annahme, dass 5 % der Thermoschalter defekt sind, zumindest bei einer Maschine zur Überhitzung kommt, beträgt immerhin noch etwa 22 %. Dieser Wert ist noch sehr hoch und kann von der Firma Maschinenfix wohl kaum akzeptiert werden. Eine bessere Möglichkeit wäre, wenn anstelle der zwei Schalter mindestens drei oder mehr in Reihe eingebaut werden. So beträgt der Schutz beispielsweise beim Einbau von drei Schaltern in alter Qualität: 1 (1 0,13 ) 100 = 1 0,999100 0,0952 neuer Qualität: 1 (1 0,053) 100 = 1 0,999875100 0,0124 Bei 4 Schaltern gilt in alter Qualität: 1 (1 0,14 ) 100 = 1 0,9999100 0,00995 neuer Qualität: 1 (1 0,054 ) 100 = 1 0,99999375100 0,000625 Ein Maschinenschaden würde damit im Mittel sehr viel seltener auftreten, bei 4 Schaltern in neuer Qualität nur bei 0,06 %. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 142

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 2 Grundlegendes Niveau Schrauben Bei einer Firma, die Schrauben herstellt, gibt es zwei Qualitäten, die beide in Kartons zu je 10 000 Stück verpackt werden. Die höhere Qualität A wird zum Beispiel an Maschinenbauer verkauft, bei denen die Exaktheit des Profils sehr wichtig ist. Man weiß, dass 98 % dieser Schrauben ein brauchbares Profil haben. Die mindere Qualität B wird zum Beispiel an Baumärkte verkauft, erfahrungsgemäß sind nur 70 % dieser Schrauben im Profil so exakt, dass z. B. ein Maschinenbauer damit etwas anfangen könnte, für Heimwerker ist dies aber nicht problematisch. Punkte a) Aus einer Kiste der Qualität B werden 10 Schrauben entnommen und auf das Profil geprüft. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass (1) alle Schrauben von brauchbarem Profil sind, 10 (2) genau 9 von brauchbarem Profil sind, 10 (3) mindestens 8 von brauchbarem Profil sind. 5 (Kontrolle: 0,0282; 0,1211 und 0,3828) Wenn die 10 Schrauben aus einer Kiste der Qualität A entnommen und auf das Profil geprüft werden, gilt entsprechend: P( alle Schrauben von brauchbarem Profil ) = 0,8171, P( genau 9 Schrauben von brauchbarem Profil ) = 0,1667 und P( mindestens 8 Schrauben von brauchbarem Profil ) = 0,9991. Für den Fall, dass eine Kiste ohne Beschriftung ist, hat man keinen Anhaltspunkt, welche Qualität in der Kiste ist, da beide Qualitäten in gleicher Stückzahl produziert werden. D. h.: Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Kiste der Qualität A handelt, beträgt 50 %. Es werden nun aus einer Kiste ohne Beschriftung 10 Schrauben entnommen und auf das Profil geprüft. b) Bestimmen Sie in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass (1) alle Schrauben von brauchbarem Profil sind, 5 (2) genau 9 von brauchbarem Profil sind, 5 (3) mindestens 8 von brauchbarem Profil sind. 5 c) Nun ergab die Prüfung der 10 Schrauben, dass davon genau 9 ein brauchbares Profil haben. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Kiste der Qualität A handelt. 15 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 143

Als Mitarbeiter des Schraubenherstellers werden Sie aufgefordert, eine Entscheidungsregel aufzustellen, mit der aufgrund des Ergebnisses der Prüfung von 10 Schrauben entschieden wird, ob die Kiste als Qualität A oder als Qualität B verkauft werden soll. Eine mögliche Entscheidungsregel ist, dass Sie sich bis zu der Grenze von 8 Schrauben mit brauchbarem Profil für Qualität B entscheiden und bei mehr als 8 brauchbaren Schrauben für Qualität A. d) Geben Sie die beiden denkbaren Fehlentscheidungen an. 10 e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es bei dieser vorgegebenen Entscheidungsregel zu einer Fehlentscheidung kommt. 5 Bestimmen Sie ebenso diese Wahrscheinlichkeit für die Grenze 9. 5 Beurteilen Sie, welche Entscheidungsregel die sinnvollere ist. 5 Hinweis: Bedenken Sie, dass einerseits die Qualität einer Kiste unbekannt ist und andererseits die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung davon abhängt. (Kontrollergebnis: 0,0828) f) Ihr Chef meint, man sollte nicht nur die Wahrscheinlichkeiten betrachten, denn die beiden Fehler sind nicht gleichwertig. Verkauft man fälschlicherweise eine Kiste hoher Qualität als Kiste minderer Qualität, so tritt als Konsequenz eine Erlösminderung ein, also ein Verlust von 600.. Wenn aber einem Maschinenbauer eine minderwertige Qualität geliefert wird, so beträgt als Konsequenz dieser Fehlentscheidung der Verlust für Ihre Firma nach Schätzung Ihres Chefs 1 100.. Ermitteln Sie unter dieser Vorgabe den erwarteten Verlust bei den beiden Entscheidungsregeln aus Teilaufgabe e und entscheiden Sie, welches nun die kostengünstigere Grenze ist. 20 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2007 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 144

Hinweise und Tipps Teilaufgabe a Wahrscheinlichkeit Alle Schrauben sind von brauchbarem Profil r Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor. r Beachten Sie, dass als Zufallsgröße die brauchbaren Schrauben gewählt werden. r Bestimmen Sie aus der Aufgabenstellung n, k und p und berechnen dann die Wahrscheinlichkeit P(X = k). r Wenn n = k gilt P(X = k) = p k Wahrscheinlichkeit Mindestens 8 Schrauben sind von brauchbarem Profil r P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) Teilaufgabe b Mittelwerte r Für beide Kisten liegt die Wahrscheinlichkeit von p = 0,5 vor. r Die Wahrscheinlichkeiten für die Kiste B haben Sie in der Teilaufgabe a berechnet. r Die Wahrscheinlichkeiten für die Kiste A finden Sie in der Aufgabenstellung. r Bilden Sie den Mittelwert aus den beiden Wahrscheinlichkeiten für Kiste A und Kiste B. r Verwenden Sie P(A) + P(B) P(X ) =. 2 Teilaufgabe c Wahrscheinlichkeit, dass es Kiste A ist r Stellen Sie ein Baumdiagramm auf. Hieraus können Sie alle Wahrscheinlichkeiten ablesen. r Das Eintragen dieser Wahrscheinlichkeiten in eine Vierfeldertafel erleichtert das Ablesen bedingter Wahrscheinlichkeiten. r Alternativ können Sie auch anhand des Baumdiagramms die Bayes sche Formel anwenden. Teilaufgabe d r Eine mögliche Entscheidungsregel wäre, dass Sie sich für Qualität A bei mehr als 8 Schrauben mit brauchbarem Profil (Fehler 1) und bis zur Grenze von 8 brauchbaren Schrauben für Qualität B (Fehler 2) entscheiden. r Formulieren Sie die beiden möglichen Fehlentscheidungen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 145

Teilaufgabe e Grenze genau 8 brauchbare r Ein Fehler 1 tritt auf, wenn genau 9 und genau 10 brauchbare Schrauben in der Stichprobe sind. r Die Wahrscheinlichkeit p 1 des Fehlers 1 ist also die Summe der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe a. r Ein Fehler 2 mit der Wahrscheinlichkeit p 2 tritt auf, wenn 0 bis 8 brauchbare Schrauben gezogen wurden. r Sie kennen aus Teilaufgabe b die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. r Für die Wahrscheinlichkeit berechnen Sie den Mittelwert aus p 1 und p 2. Sinnvolle Entscheidung r Treffen Sie nun auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeiten aus genau 8 brauchbare und genau 9 brauchbare eine Entscheidung, welche Grenze man als sinnvolle Entscheidung annehmen kann. Teilaufgabe f Erwartete Verluste r Die Kosten für einen Fehler 1 sind 1 100 E, Fehler 2 kostet nur 600 E. r Es müssen die Wahrscheinlichkeiten mit den entstehenden Kosten gewichtet werden. r Führen Sie die Betrachtungen wieder für die zwei Fälle genau 8 brauchbare und genau 9 brauchbare durch. r Verwenden Sie die unter Teilaufgabe e ermittelten Werte der Wahrscheinlichkeiten p 1 und p 2. r Die sinnvollere Entscheidungsregel wird dann die sein, bei der der Verlust am kleinsten ist. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 146

Lösung a) (1) Es liegt ein Bernoulli-Experiment mit n = 10, p = 0,7 vor. Alle 10 Schrauben sind von brauchbarem Profil. P(X = 10) = 10 0,7 0,3 10 ( ) 10 0 P(X = 10) = 0,710 0,0282475 Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 2,8 %. (2) Genau 9 Schrauben sind von brauchbarem Profil. P(X = 9) = 10 9 1 ( ) 0,7 0,3 0,12106 9 Die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 9 Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 12,1 %. (3) Mindestens 8 Schrauben sind von brauchbarem Profil. P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) 10 8 2 ( 8 ) P(X = 8) = 0,7 0,3 0,23347 Mit den Ergebnissen von (1) und (2) ist P(X 8) 0,23347 + 0,12106 + 0,02825 P(X 8) 0,38278 Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 8 Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 38,3 %. b) Das arithmetische Mittel (der Mittelwert) der beiden Qualitäten ist jeweils zu bilden: Die Wahrscheinlichkeit ist für jede Kiste p = 0,5. (1) Alle Schrauben von brauchbarem Profil P(X = 10) 0,5 (0,0282 + 0,8171) 0,42265 Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 42,3 %. (2) Genau 9 Schrauben von brauchbarem Profil P(X = 9) 0,5 (0,12106 + 0,1667) 0,14388 Die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 9 Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 14,4 %. (3) Mindestens 8 Schrauben von brauchbarem Profil P(X 8) 0,5(0,38278 + 0,9991) 0,6909 Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 8 Schrauben von brauchbarem Profil sind, beträgt etwa 69,1 %. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 147

c) Mithilfe eines Baumdiagramms, durch das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten oder aus dem Vergleich der Wahrscheinlichkeiten für genau 9 brauchbare kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass es sich um eine Kiste der Qualität A handelt: Es seien A Kiste der Qualität A A Kiste der Qualität B Q brauchbares Profil Q unbrauchbares Profil Baumdiagramm: Aus dem Baumdiagramm kann man nun alle Wahrscheinlichkeiten ablesen. Das Eintragen dieser Wahrscheinlichkeiten in eine Vierfeldertafel erleichtert das Ablesen bedingter Wahrscheinlichkeiten: A A Q Q Summe P(A Q) = 0,5 0,1667 = 0,08335 P(A Q) = 0,5 0,1211 = 0,06055 P(A Q) = 0,5 0,8333 = 0,41665 P(A Q) = 0,5 0,8789 = 0,43945 Summe P(Q) = 0,1439 P(Q) = 0,8561 1 P(A) = 0,5 P(A) = 0,5 Für die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die Kiste der Qualität A handelt, gilt dann: P Q (A) = P(A Q) P(A Q) = P(Q) 0,08335 P(A Q) = = 0,57922 0,1439 Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die Kiste mit der Qualität A handelt, beträgt etwa 57,9 %. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 148

Alternative Lösung: Bayes sche Formel anwenden anhand des Baumdiagramms: P(A) P(Q A) P Q (A) = P(A Q) = P(A) P(Q A) + P(A) P(Q A) 0,5 0,1667 P(A Q) = 0,5 0,1667 + 0,5 0,1211 0,5 0,1667 0,1667 P(A Q) = = 0,5 (0,1667 + 0,1211) 0,2878 P(A Q) 0,57922 d) Es gibt zwei mögliche Fehlentscheidungen: Fehler 1: Man entscheidet sich für die Kiste mit der Qualität A, obwohl es die Qualität B ist. Fehler 2: Man entscheidet sich für die Kiste mit der Qualität B, obwohl es die Qualität A ist. e) Die Grenze ist genau 8 brauchbare Schrauben Das heißt für den Fehler 1, eine Kiste der Qualität B wird A zugeordnet, wenn genau 10 brauchbare Schrauben und genau 9 brauchbare Schrauben in der Kiste sind. Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1 ist p1= 0,0282 + 0,1211 = 0,1493 Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2 ist entsprechend, dass die Kiste mit der Qualität A der Qualität B zugeordnet wird. Wenn also das Gegenereignis von alle Schrauben sind von brauchbarem Profil oder genau 9 Schrauben sind von brauchbarem Profil zutrifft, wird die Kiste falsch eingeordnet: p2 = 1 0,8171 0,1667 = 0,0162 Mit p1 p2 p= 0,5 (p1+ p 2) p = 0,5 (0,1493 + 0,0162) p = 0,08275 Die Wahrscheinlichkeit der Fehlentscheidung beträgt somit etwa 8,3 %. Grenze genau 9 brauchbare Bei Fehler 1 ist p 1 = 0,0282 bei Fehler 2 ist p 2 = 1 0,8171 = 0,1829 Mit p1 p2 p= 0,5 (p1+ p 2) p = 0,5 (0,0282 + 0,1829) p = 0,10555 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 149

Die Wahrscheinlichkeit der Fehlentscheidung beträgt etwa 10,6 %. Die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung ist bei der Grenze genau 8 brauchbare niedriger, also ist das die sinnvollere Entscheidung. f) Es müssen die Wahrscheinlichkeiten mit den entstehenden Kosten gewichtet werden. Kosten für Fehler 1: 1 100 E Kosten für Fehler 2: 600 E Grenze genau 8 brauchbare Erwartete Verluste V8 = 0,5 0,1493 1100 E+ 0,5 0,0162 600 E V8 = 86,975 E Grenze genau 9 brauchbare V9 = 0,5 0,0282 1100 E+ 0,5 0,1829 600 E V = 70,38E 9 Unter Berücksichtigung der Verluste (V 9 < V 8 ) ist die sinnvollere Entscheidung mit der Grenze genau 9 brauchbare zu treffen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 150

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 3 Grundlegendes Niveau Schwarzfahrer Nach Angaben des HVV beträgt der Anteil der Schwarzfahrer, das sind Fahrgäste, die keinen gültigen Fahrschein vorzeigen können, am gesamten Fahrgastaufkommen etwa 3 %. Zwei Kontrolleure steigen an der Haltestelle Berliner Tor in eine Bahn der Linie U3 und kontrollieren alle 25 Fahrgäste im Wagen. An der Haltestelle Hauptbahnhof Süd steigen sie um in einen Zug der Linie U1, in dem sie weitere 18 Fahrgäste kontrollieren. Es soll vereinfachend angenommen werden, dass die Anzahl der Schwarzfahrer bei den Kontrollen binomialverteilt ist. Punkte a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) die Kontrolleure bei beiden Kontrollen zusammen genau 2 Schwarzfahrer ermitteln. 5 (2) die Kontrolleure bei den Kontrollen mindestens einen Schwarzfahrer ermitteln. 5 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kontrolleure erst in der Linie U1 auf den ersten Schwarzfahrer treffen. 5 b) Berechnen Sie, wie viele Schwarzfahrer die Kontrolleure bei ihrer oben beschriebenen Kontrolle erwarten können. 5 c) Bestimmen Sie, wie viele Fahrgäste überprüft werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % mindestens ein Schwarzfahrer ermittelt wird. 15 Genaue Untersuchungen zeigen, dass die Anteile der Schwarzfahrer in den verschiedenen Linien deutlich unterschiedlich sind. In der Linie U3 sind 2 % Schwarzfahrer zu erwarten, in der Linie U1 dagegen 4 %. d) Berechnen Sie aufgrund dieser genaueren Informationen noch einmal die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kontrolleure bei der oben beschriebenen Kontrolle mindestens einen Schwarzfahrer ermitteln. 5 Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil a und geben Sie Gründe für die Abweichung an. 5 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 151

e) Der HVV geht davon aus, dass 10 % der Schwarzfahrer erwischt werden. Ein erwischter Schwarzfahrer muss 40 E erhöhtes Beförderungsgeld zahlen. Besitzt er eine Zeitkarte, die er nur zu Hause vergessen hat, muss er diese innerhalb einer Woche vorzeigen und zahlt dann nur eine Bearbeitungsgebühr von 5 E. Dieser Fall trifft etwa bei der Hälfte der erwischten Schwarzfahrer zu. Gehen Sie davon aus, dass jeder nicht erwischte Schwarzfahrer im Durchschnitt entgangene Einnahmen von 3 E verursacht. Untersuchen Sie, ob das erhöhte Beförderungsgeld angehoben werden muss, um die erwarteten Verluste, die durch die Schwarzfahrer entstehen, auszugleichen. Die Kosten, die die Entlohnung der Kontrolleure verursacht, sollen hier unberücksichtigt bleiben. 10 Berechnen Sie gegebenenfalls ein erhöhtes Beförderungsgeld, bei dem Kostendeckung zu erwarten ist. 10 f) Bei dem HVV gibt es auch Überlegungen, zwei Fliegen mit einer Klappe zu schlagen, nämlich einerseits die Einnahmenseite durch Anhebung des erhöhten Beförderungsgelds zu verbessern und andererseits die Schwarzfahrerquote durch diese gezielte Abschreckung zu senken. Ein Planer macht folgende Modellannahme: Die Anhebung des erhöhten Beförderungsgelds von 40 E um z E führt zu einer Abnahme der ursprünglichen Schwarzfahrerquote von 3 % um 0,1 z Prozentpunkte. (Eine Erhöhung um z. B. 4 E würde so die Schwarzfahrerquote auf 2,6 % senken.) Bestimmen Sie den Wert für das erhöhte Beförderungsgeld, bei dem die Bilanz für den HVV am besten wäre. Gehen Sie dabei z. B. von 100 000 Fahrten pro Tag aus. 5 Beurteilen Sie das Ergebnis. 10 g) Nach einer erheblichen Preiserhöhung befürchtet der HVV, dass der durchschnittliche Anteil der Schwarzfahrer deutlich über 3 % angestiegen ist. Um diese Vermutung zu untersuchen, wird eine Großkontrolle durchgeführt, bei der 10 000 Fahrgäste kontrolliert werden. Der HVV ist unsicher, bei welchen Ergebnissen der Großkontrolle er die oben genannten Befürchtungen als statistisch begründet ansehen sollte. Geben Sie eine Entscheidungshilfe an und begründen Sie diese. 20 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2008 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 152

Hinweise und Tipps Teilaufgabe a Wahrscheinlichkeit genau zwei Schwarzfahrer r Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor: r Beachten Sie, dass als Zufallsgröße die Schwarzfahrer gewählt werden. r Wenn n = k P(X = k) = p k r Bestimmen Sie aus der Aufgabenstellung n, k und p und berechnen dann die Wahrscheinlichkeit P(X = k). Wahrscheinlichkeit mindestens ein Schwarzfahrer r Beachten Sie, dass P(X 1) = 1 P(X = 0) ist. r Bestimmen Sie n, k und p und berechnen dann die Wahrscheinlichkeit P(X 1). Wahrscheinlichkeit erster ertappter Schwarzfahrer in der U1 r In der U3 gibt es keinen Schwarzfahrer, also P(X = 0). r In der U1 gibt es mindestens einen Schwarzfahrer, also P(X 1) = 1 P(X = 0). r Beachten Sie die 1. Pfadregel. Teilaufgabe b r Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich mit: µ = E(X) = n p Teilaufgabe c r Ansatz: P(X 1) = 1 P(X = 0) 0,9 r Wenn k = 0 P(X = 0) = (1 p) n r Setzen Sie die Werte ein und lösen Sie die Ungleichung. r Sie erhalten eine Exponentialgleichung (n ist Exponent). r Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie beide Seiten der Ungleichung logarithmieren. r Multipliziert bzw. dividiert man beide Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl, dann kehrt sich das Relationszeichen um (aus wird dann und umgekehrt). Teilaufgabe d Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schwarzfahrer erwischt wird r Analog zur Teilaufgabe a (2) kann hier das Gegenereignis (kein Schwarzfahrer) genommen werden. r Beachten Sie hierbei wiederum die 1. Pfadregel. r X 3 sei die Anzahl der ertappten Schwarzfahrer in der U3 und X 1 sei die Anzahl der ertappten Schwarzfahrer in der U1. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 153

Vergleich der Ergebnisse r Vergleichen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe a mit dem Ergebnis. r Geben Sie mögliche Ursachen dafür an, dass beide Ergebnisse nicht übereinstimmen. r Vergleichen Sie z. B. die Anzahl der Fahrgäste. Teilaufgabe e Gewinn und Verluste durch Schwarzfahrer r Bei einem ertappten Schwarzfahrer mit Zeitkarte nimmt der HVV 5 E und bei einem ertappten Schwarzfahrer ohne Zeitkarte 40 E ein. Bei den nicht ertappten Schwarzfahrern hat er einen Verlust von 3 E. r Das Produkt aus der Einnahme (Verlust) mit der Wahrscheinlichkeit und die Summe dieser Teilprodukte liefert den zu erwartenden Geldbetrag (in diesem Falle ist es ein Verlust). r Bestimmen Sie den Erwartungswert E(G) und den Gewinn /Verlust pro Schwarzfahrer. Kein Verlust, aber auch kein Gewinn r Setzen Sie in der Gleichung E(G) in (1) anstelle von 40 die Variable x Gleichung mit einer Variablen. r Lösen Sie diese Gleichung nach x auf neues erhöhtes Bußgeld. Teilaufgabe f r Der neue Prozentsatz der Schwarzfahrer bei 100 000 Fahrgästen ist (3 0,1z)% r Berechnen Sie den Anteil der Schwarzfahrer an 100 000 Fahrgästen. r Das erhöhte Bußgeld beträgt (40 + z) E. r Stellen Sie die Gleichung für den jetzt zu erwartenden Gewinn E(G) auf. r Das Produkt aus E(G) und Anteil der Schwarzfahrer ergibt die Gesamteinnahmen in Abhängigkeit von z, also G(z) = Anteil E(G). r Im Ergebnis erhalten Sie eine Parabel mit der Öffnung nach unten. r Über die quadratische Ergänzung kann man den Scheitelpunkt dieser Parabel bestimmen, der z-wert des Scheitels liefert dann das Maximum. r Damit ist (40 + z) E das erneute erhöhte Bußgeld. Teilaufgabe g r Getestet werden könnte die Nullhypothese: Der Anteil der Schwarzfahrer liegt unverändert bei 3 % oder weniger. r Ermitteln Sie den Erwartungswert E = n p und die Standardabweichung σ= n p (1 p). r Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich beispielsweise auf dem 98 %-Niveau. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 154

Lösung a) Zufallsgröße X: Anzahl der Schwarzfahrer n = 43, p = 0,03, k = 2 (1) P(X = 2) = 43 2 41 ( ) 0,03 0,97 2 P(X = 2) 0,23312 Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Schwarzfahrer bei diesen Kontrollen ertappt werden, beträgt etwa 23,3 %. (2) P(X 1) = 1 P(X = 0) P(X 1) = 1 0,9743 0,73011 Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Schwarzfahrer bei diesen beiden Kontrollen zu ertappen, beträgt ca. 73 %. In der U3 kein Schwarzfahrer, in der U1 mindestens 1 Schwarzfahrer. P( Schwarzfahrer in U1 ) = P(X3= 0) (1 P(X1= 0) = 0,9725 (1 0,97 18) 0,19709 Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste ertappte Schwarzfahrer in der U1 sitzt, beträgt etwa 19,7 %. b) Erwartungswert µ = E(X) = p n µ= 0,03 43 = 1,29 Es sind also 1 2 Schwarzfahrer zu erwarten. c) P( mindestens 1 Schwarzfahrer ) = P(X 1) = 1 P(X = 0) 0,9 1 0,97n 0,9 0,1 0,97n lg n lg 0,97 lg 0,1 n lg0,97 lg0,1 :lg0,97 lg0,1 n = 75,595 lg 0,97 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 155

Damit mit 90 %iger Sicherheit mindestens ein Schwarzfahrer erwischt wird, müsste man mindestens 76 Fahrgäste kontrollieren. d) Es seien X 3 die ertappten Schwarzfahrer in U3. Es seien X 1 die ertappten Schwarzfahrer in U1. P( mindestens 1 Schwarzfahrer ) P(X 1) = 1 P(X = 0) n3= 25; p3= 0,02 n1= 18; p1= 0,04 Analog Teilaufgabe a gilt auch hier das Gegenereignis kein Schwarzfahrer : P( mindestens 1 Schwarzfahrer ) = 1 [P(X3= 0) P(X1= 0)] = 1 (0,9825 0,96 18 ) 0,71058 Die (neue) Wahrscheinlichkeit, dass bei Kontrollen mindestens ein Schwarzfahrer auf beiden Linien ertappt wird, beträgt etwa 71,1 %. Diese Wahrscheinlichkeit weicht etwas von der in Teilaufgabe a (ca. 73 %) ab. Ursachen hierfür sind u. a. die unterschiedliche Anzahl der kontrollierten Fahrgäste, in der U3 sind es 25 Fahrgäste, in der U1 sind es 18. Der geringere Anteil der Schwarzfahrer in der U3 wirkt sich damit stärker aus als der höhere Anteil der Schwarzfahrer in der U1. e) Es sei G die zusätzliche Einnahme bzw. die zusätzlichen Kosten des HVV, die pro Schwarzfahrer entstehen: Schwarzfahrer wird nicht ertappt Ertappter Schwarzfahrer hat Zeitkarte G in E 3,00 5,00 40,00 P(G) 0,9 0,05 0,05 Der Erwartungswert von G ist: E(G) = ( 3,00 E) 0,9 + 5,00 E 0,05 + 40,00 E 0,05 = 0, 45 E Ertappter Schwarzfahrer hat keine Zeitkarte Pro Schwarzfahrer entsteht dem HVV also durchschnittlich ein Verlust von 0,45 E. Es entstehen keine Verluste, wenn der Erwartungswert E(G) = 0 ist. Um das zu erreichen, wird das erhöhte Beförderungsgeld mit x bezeichnet. Dann gilt folgende Gleichung: ( 3,00) 0,9+ 5,00 0,05+ x 0,05= 0 2,7 + 0, 25 + 0,05x = 0 + 2, 45 0,05x = 2, 45 : 0,05 x = 49 Damit kein Verlust entsteht, müsste das Bußgeld auf mindestens 49 E erhöht werden. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 156

f) Der neue Prozentsatz der Schwarzfahrer bei 100 000 Fahrgästen ist (3 0,1z) % und damit beträgt der Anteil der Schwarzfahrer 3 0,1z 100 000 = 1 000 (3 0,1z) 100 = 3 000 100z Es sei wiederum G die zusätzliche Einnahme bzw. die zusätzlichen Kosten des HVV, die pro Schwarzfahrer entstehen: Schwarzfahrer wird nicht ertappt Ertappter Schwarzfahrer hat Zeitkarte Ertappter Schwarzfahrer hat keine Zeitkarte G in E 3,00 5,00 40,00 + z P(G) 0,9 0,05 0,05 Der Erwartungswert von G ist dann: E(G) = ( 3,00 E) 0,9+ 5,00 E 0,05 + (40,00+ z) E 0,05 E(G) = 2,70 + 0,05 (45 + z) E(G) = 0, 45 + 0,05z Damit ergeben sich als Gesamteinnahmen in Abhängigkeit von z: G(z) = (3 000 100z) ( 0,45 + 0,05z) = 195z 5z2 1350 Der Graph dieser Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, der z-wert des Scheitels bildet das Maximum: G(z) = 5z2 + 195z 1350 : ( 5) G(z) = z2 39z + 270 5 quadr. Ergänzung G(z) = (z 19,5) 2+ 270 19,52 5 G(z) = (z 19,5) 2 110,25 5 ( 5) G(z) = 5 (z 19,5) 2 + 551,25 Das Maximum liegt also bei z = 19,5 G(19,5) = 551,25 E. Das Maximum kann auch über die Nullstellenberechnung für G(x) erfolgen: Die Nullstellen sind 30 und 9. Damit gilt für den z-wert des Scheitels: 30 + 9 z= = 19,5 2 Das bedeutet: Ein Schwarzfahrer müsste 59,50 E erhöhtes Beförderungsgeld zahlen. Bei einem erhöhten Beförderungsgeld von 59,50 E wäre in dem betrachteten Modell also die Bilanz für den HVV am besten; der Anteil der Schwarzfahrer bei 100 000 Fahrgästen würde nur noch 1,05 % betragen. In diesem Modell würde bei z = 30 keiner mehr schwarzfahren, was zumindest aus der Perspektive der Nichtschwarzfahrer gerechter wäre und was dem HVV keine unverdienten Einnahmen brächte. Der HVV müsste dann auch keine Kontrollen durchführen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 157

Bei z = 9 würde das erhöhte Beförderungsgeld 49 E betragen und der HVV hätte wiederum keine unverdienten Einnahmen. Die Schwarzfahrerquote wäre um 0,9 % auf 2,1 % gesenkt. Das bedeutet aber, dass der HVV zwar keinen Gewinn erzielt, aber das Entgelt für die Kontrolleure zahlen muss. Als muss das erhöhte Beförderungsgeld in der Gewinnzone zwischen 49 E und 70 E liegen. g) Getestet werden könnte die Nullhypothese: Der Anteil der Schwarzfahrer liegt unverändert bei 3 % oder weniger. Kleine Werte bei der Anzahl der gefundenen Schwarzfahrer liegen also im Annahmebereich der Hypothese A = {0,,k}, größere Werte im Ablehnungsbereich A = {k,,10000}. Es wird der Ablehnungsbereich der Hypothese auf dem 98 %-Niveau bestimmt: 1 Φ(x A) < 0,02 E = 0,03 10 000 = 300 σ= 10 000 0,03 (1 0,03) = 291 k E Φ 0,98 vgl. Tafelwerk Normalverteilung σ k E 2,06 σ k 2,06 σ+ E k > 335 Wenn die erhobene Zahl der Schwarzfahrer größer als 335 ist, dann kann man die Hypothese, dass nach der Fahrpreiserhöhung die Quote der Schwarzfahrer weniger oder gleich 3 % beträgt, auf dem 2 %-Niveau signifikant verwerfen. Bemerkung: Natürlich können hier auch andere Signifikanzniveaus (z. B. 5 % oder 1 %) betrachtet werden. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 158