Wäreleiung in ruhenden Soffen 45 x x C 0,00 50,00 0,0 05,07 0,3 9,76 0,6 8,53 0,9 74, 0, 67,5 0,5 6,74 0,8 57,44 0,3 54, 0,34 5,98 0,37 50,66 0,40 50,3 Teeraur in C 40 W 0 00 80 Isolaion 60 40 0 0.0 0 Ugebungseeraur 0. 0. Sablänge in U 0.3 0.4 Das Diagra zeig den Teeraurverlauf i Sab. b Zur Berehnung der Isolaionsdike, die zu Erreihen einer Sabeeraur von 90 C nowendig is, kann die Gleihung, die zur Besiung der Teeraur verwende wurde, eingesez werden. Die unbekanne Größe is die Länge s. Für die Höhe h der Rie wird h l s eingesez. + anh[ ] 0 W s l s U s anh[ l s] + Diese Gleihung kann nih nah s aufgelös werden. Sie is ieraiv oder i eine Gleihungslöser zu berehnen. Man erhäl 0,79. Diskussion Der Wäresro, der außen vo nih isolieren Sab abgegeben wird, besi die Teerauränderung des Sabes i isolieren Teil. ußerhalb der Isolaion ni die Teeraur i Sab relaiv langsa ab. Sabende beräg sie ier noh 55, C, d. h., sie is u 35 C höher als die der Ugebung.. Insaionäre Wäreleiung.. Eindiensionale insaionäre Wäreleiung... Besiung der zeilihen Teerauränderung Bring an einen Körer i der nfangseeraur i eine anderen Körer unershiedliher Teeraur in Konak, veränder sih die Teeraur i Körer sowohl lokal als auh zeilih. I Körer finde insaionäre Wäreleiung sa.
46 Wäreleiung in ruhenden Soffen ls Beisiel berahen wir eine unendlih große, ebene Plae der Dike s, die die nfangseeraur ha und zur Zei 0 i eine Fluid ieferer Teeraur von in Konak gebrah wird Bild.0. n der Oberflähe der Plae führ das Fluid Wäre ab. d q& x s dx x s q& x s α O d O dx / α x s s 0 3 4 oo / α - O oo x x + dx oo Bild.0: Teeraurverlauf in einer Plae bei der bkühlung x Besiend für den Wäresro von der Oberflähe zu Fluid sind die Wäreübergangszahl α des Fluids und die Teeraurdifferenz zwishen der Oberflähe und de Fluid. Durh bkühlen der Oberflähe enseh in der Plae ein Teeraurgradien und deensrehend ein Wäresro. Die Teeraurvereilung in der Plae kennen wir noh nih. Der dargeselle Teeraurverlauf zeig nur, dass die Teeraur von der Plaenie zur Oberflähe hin abni, i der Zei ier niedriger wird und nah unendlih langer Zei den Wer von erreih. Die Änderung des Wäresroes i beraheen Volueneleen der Plae wird nur durh die Änderung des Teeraurgradienen bewirk. Durh den Wäresro sink i der Zei der Wäreinhal und dai die Teeraur des Volueneleenes. Die Tangenen der Teeraurgrandienen an der Oberflähe der Plae shneiden die i der Teeraur gebildeen hse in einer Enfernung, die de Quoienen /α ensrih. Da die seilihe usdehnung der Plae als unendlih angenoen wurde, erfolg der Wäreransfer nur in x-rihung. Der Wäresro zu Volueneleen
Wäreleiung in ruhenden Soffen 47 in x-rihung an der Selle x wird durh folgende arielle Differenialgleihung beshrieben: Q& x x n Selle x + dx is der Wäresro: Q Q& x x dx Q& x + & + dx dx x x x Die Änderung des Wäresroes beräg:.59.60 dq& x Q& x dx Q& + x dx.6 x Da seilih keine Wäre ransferier wird, ensrih die Änderung des Wäresroes der zeilihen Änderung des Wäreinhales Enhalie des Maerials i Volueneleen. Eine bnahe des Wäresroes bedeue Erwärung, eine Zunahe bkühlung. Dai sind die Vorzeihen der zeilihen Änderung des Wäreinhales und die der Änderung des Wäresroes engegengesez. δq& x ρ dx.6 us den Gln..6 und.6 erhalen wir die Differenialgleihung für die zeilihe und örlihe Teeraurvereilung in der Plae. a x i a ρ.63 Die Größe a is die Teeraurleifähigkei des Maerials. Sie ha die Diension /s. Wie die Differenialgleihung zeig, is die Teeraurleifähigkei die einzige Soffeigenshaf, die den zeilihen Verlauf einer bkühlung oder Erwärung besi. Die insaionäre Wäreleiung in eine Soff wird nur durh Teeraurunershiede und die Teeraurleifähigkei des Soffes besi. Mealle und Gase haben die größen Teeraurleifähigkeien. Dieses bedeue, dass der Teeraurausgleih in Meallen und Gasen in ewa gleih shnell erfolg. Flüssigkeien und nih eallishe Soffe haben kleinere Teeraurleifähigkeien, der Teeraurausgleih läuf dadurh dor langsaer ab. Die allgeein gülige dreidiensionale Differenialgleihung für insaionäre Wäreleiung laue: a a r.64 Die Lösung für ein dreidiensionales Teeraurfeld is bis auf einige usnahen nur nuerish besibar. Sie können für ein eindiensionales Teeraurfeld auh nur bei einfahen Geoerien angegeben werden, die Lösungen
48 Wäreleiung in ruhenden Soffen sind Fourierreihen. Für die eindiensionale Plae is eine allgeeine Lösung der Differenialgleihung: n C [ C B x C B x ] e a os + sin 3 x,.65 Für ensrehende Randbedingungen können die Konsanen B und C besi werden. Falls die Wäreübergangszahl außen unendlih groß is d. h., die äußere Wandeeraur is gleih der Teeraur des ugebenden Fluids, laue die Lösung bei der unendlihen Plae: n π a n π Fo 4 n π x 4 4s 4 e sin e π n n s π n n n π x sin i n,3,5... s.66 Fourierreihen konvergieren zwar sehr shnell, die Berehnung der Reihen is aber sehr zeiaufwändig. In den Bildern. bis.3 sind sezielle Lösungen für eine ebene Plae, einen Kreiszylinder und eine Kugel angegeben. Mi den Diagraen können die Teerauren in der Mie und an der Oberflähe, außerde die ilere Teeraur des Körers besi werden. In den Diagraen werden die folgenden diensionslosen Kennzahlen verwende: Diensionslose Teeraur Θ : Θ.67 Fourierzahl Fo: Fo a / s.68 Biozahl Bi: Bi α s /.69 Die diensionslose Teeraur gib an, wie sih die Teeraur, bezogen auf die ußeneeraur von der nfangseeraur zeilih veränder. Die Fourierzahl is eine diensionslose Zei. Sie is das Verhälnis des Wäresroes zur zeilihen Änderung des Wäreinhales des Körers. Die Biozahl is eine diensionslose Wäreübergangszahl. Sie is das Verhälnis der Wäreübergangszahl außen a Körer zu derjenigen i Körer. In den Diagraen. bis.3 is die diensionslose Teeraur als eine Funkion der Fourier- und Biozahl angegeben. Der Index O seh für die Teeraur an der Oberflähe und für die Mie des Körers. Die diensionslose ilere Teeraur Θ is der inegriere Mielwer der Teeraur i Körer. In den Diagraen seh für die halbe Plaendike die Größe X, für den Radius die Größe R. Die nah einer gewissen Zei ensandene Teerauränderung kann aus de Diagra i der Fourier- und Biozahl besi werden.
Wäreleiung in ruhenden Soffen 49 Die Zei, in der eine besie Teerauränderung einri, kann aus der Fourierzahl berehne werden, die i der diensionslosen Teeraur und Biozahl aus de Diagra eriel wird. Die Wäreübergangszahl, bei der eine Teerauränderung in einer besien Zei erreih wird, kann aus der Biozahl besi werden, die i der diensionslosen Teeraur und Fourierzahl aus de Diagra eriel wird.... Besiung der ransferieren Wäre Mi der ileren Teeraur kann die in einer besien Zei zu- oder abgeführe Wäre berehne werden. Mi der nfangs- und ileren Teeraur wird die Änderung des Wäreinhales besi. Sie is: Q.70
50 Wäreleiung in ruhenden Soffen Bild.: Teeraurverlauf der insaionären Wäreleiung in einer Plae [.]
Wäreleiung in ruhenden Soffen 5 Bild.: Teeraurverlauf der insaionären Wäreleiung in eine Kreiszylinder [.]
5 Wäreleiung in ruhenden Soffen Bild.3: Teeraurverlauf der insaionären Wäreleiung in einer Kugel [.]
Wäreleiung in ruhenden Soffen 53 BEISPIEL.0: Kühlen einer Kunssofflae us einer Walze ko i 50 C eine breie und 4 dike Kunssofflae. Sie wird i Luf angeblasen und gekühl. Danah werden i einer Shlagshere, die 5 von der Walze enfern is, Süke von Länge abgeshnien. Dai bei Shneiden keine unerwünshen lasishen Verforungen aufreen, uss die Teeraur bei der Shlagshere in der Plaenie niedriger als 50 C sein. Die Teeraur der Luf is 5 C und die Wäreübergangszahl 50 W/ K. Die Soffwere des Kunssoffes sind: ρ '400 kg/ 3, 0,8 W/ K 800 J/kg K. a Besien Sie die Geshwindigkei der Plae. b Besien Sie, welher Wäresro abgeführ wird. Lösung Shea Siehe Skizze Walze 5 Shlagshere 50 C nnahen In der Plae sind die Soffwere konsan. Randeffeke dürfen vernahlässig werden. Die Geshwindigkei der Plae is konsan. nalyse a Die Geshwindigkei der Plae kann eriel werden, wenn die Zei, die für die bkühlung der Plaenie von 50 C auf 50 C benöig wird, besi is. Dazu üssen zunähs die diensionslose Teeraur und Biozahl berehne werden. Die diensionslose Teeraur is nah Gl..67: Θ 50 5 0, 50 5 Die Biozahl wird i Gl..69 besi: α s 50 W0,00 K Bi K 0,8 W 0,5
54 Wäreleiung in ruhenden Soffen us de ileren Diagra in Bild. erhäl an die Fourierzahl als Fo 5. U aus ihr die Zei besien zu können, uss zunähs die Teeraurleifähigkei berehne werden. a ρ 3 0,8 W kg K 4,70 K '400 kg 800J 7 s us der Fourierzahl nah Gl..68 erhalen wir für die Zei: Fo s a 50,00 s 44 7 4,70 s Diese Zei wird für die bkühlung benöig, wobei die Plae den Weg von 5 zurükleg, d. h., die Geshwindigkei beräg 0,0347 /s. b U den Wäresro zu erieln, uss zunähs die sezifishe Wäre, die ro kg der Plae abgeführ wird, besi werden. Dieses kann i Gl..70 erfolgen. Dazu uss aus de uneren Diagra in Bild. die diensionslose ilere Teeraur Θ berehne werden. Mi der Fourierzahl 5 und der Biozahl 0,5 erhalen wir: Θ 0,7. Die ilere Teeraur der Plae is dai nah 5 : + Θ 5 C + 50 5 K 0,7 46,5 C Dividier an beide Seien der Gl..70 durh die Masse, erhäl an die auf ein kg Masse bezogene sezifishe Wäre q. Der Wäresro is sezifishe Wäre, ulilizier i de Massensro. Dieser kann i der aus der Sröungslehre bekannen Koninuiäsgleihung berehne werden. 3 & ρ s b 0,0347 /s '400 kg/ 0,00 0,333 kg/s Der Wäresro is dai: Q & & q & 0,47 kg/s 800 J/kg K 50 46,5 K 7,67 kw Diskussion Tehnishe Problee können einfah i Hilfe der Diagrae berehne werden. In der Wirklihkei sind allerdings noh andere Effeke zu berüksihigen. Übliherweise wird ein Lufsro arallel zur Plae geführ. Dai erwär sih die Luf, die Ugebungseeraur is nih ehr konsan. Uner Berüksihigung der Luferwärung is eine shriweise Berehnung durhzuführen. Wegen der Vielzahl der Rehenshrie sind ensrehende Couerrograe nowendig.
Wäreleiung in ruhenden Soffen 55 BEISPIEL.: Kühlen einer Bierdose Für ein Fes sollen i Kühlshrank Bierdosen von 30 C auf 4 C ilere Teeraur abgekühl werden. Die Dose ha einen Durhesser von 65. Die Teeraur i Kühlshrank beräg C, die Wäreübergangszahl 0 W/ K. Das Maerial der Dose kann vernahlässig werden. Die Soffwere des Bieres sind: ρ '00 kg/ 3, 0,64 W/ K 4'000 J/kg K. Besien Sie die bkühlzei. Lösung nnahen Die Soffwere des Bieres sind konsan. Die Dose wird als unendlih lang angenoen. Die Teeraur und Wäreübergangszahl i Kühlshrank sind konsan. nalyse Zur Berehnung der bkühlzei üssen die diensionslose ilere Teeraur und Biozahl besi werden. Θ 4 0,03 30 α R 0 W K 0,035 Bi K 0,64 W 0,5 Für die Fourierzahl erhalen wir aus de unersen Diagra in Bild. Fo,5. U aus ihr die Zei zu besien, uss zunähs die Teeraurleifähigkei berehne werden. a ρ 3 0,64 W kg K,570 K '00kg 4'000 J 7 s us der Fourierzahl nah Gl..68 erhalen wir für die Zei: Fo r a,5 0,035,57 0 7 s 6'834 s 4,7 h Diskussion Diese Berehnung erfolge i sehr vielen nnahen. In Wirklihkei ändern sih während des bkühlrozesses i Kühlshrank die Wäreübergangszahl und Teeraur. Die nnahe der unendlih langen Bierdose is ebenfalls fraglih. Das Maerial der Dose beeinfluss die Berehnung rakish nih. Troz der geahen nnahen si die berehnee Zei reh gu i der Wirklihkei überein. Ein von ir zu Hause durhgeführer Versuh ergab eine Zei von a. 5 h.
56 Wäreleiung in ruhenden Soffen BEISPIEL.: Kühlen eines Drahes i Ölbad Ein Drah wird aus einer heißen Sahlasse auf einen Durhesser von 4 gezogen und anshließend in eine Ölbad, das eine Teeraur von 30 C ha, abgekühl. Die Teeraur des Drahes vor de Bad is 600 C. Die Wäreübergangszahl i Bad beräg '600 W/ K. Der Drah häl sih i Bad 5 Sekunden auf. Die Soffwere des Drahes sind: ρ 8'000 kg/ 3, 40 W/ K, 800 J/kg K. Berehnen Sie die Teerauren in der Mie und an der Oberflähe des Drahes bei Verlassen des Bades. Lösung Shea Siehe Skizze Ölbad nnahen Die Soffwere des Drahes sind konsan. Die Teeraur und Wäreübergangszahl i Ölbad sind konsan. nalyse Zur Besiung der Teerauren sind die Fourier- und Biozahl zu berehnen. Für die Fourierzahl uss zunähs die Teeraurleifähigkei des Drahes eriel werden. a ρ 3 40 W kg K 6,50 K 8'000kg 800J 6 s Fourierzahl: 6 a 5s 6,50 Fo 7,8 r s 0, 00 α r '600 W 0,00 K Biozahl: Bi 0,08 K 40 W Die diensionslose Oberfläheneeraur erhalen wir aus de oberen Diagra, die Teeraur in der Mie aus de ileren Diagra in Bild. i Θ O 0,6 und Θ 0,7. Daraus errehnen sih folgende Teerauren: O + ΘO 30 C + 600 30 K 0,6 78, C + Θ 30 C + 600 30 K 0,6 83,9 C
Wäreleiung in ruhenden Soffen 57 Diskussion In diese Bereih der Diagrae is die blesegenauigkei nih ehr sehr gu. Die beiden Teerauren sind shon fas gleih groß. Das Verfahren eigne sih jedoh für die Besiung der Endeeraur auf ± 0 C genau sehr gu. BEISPIEL.3: Eier kohen In eine Eierkoher werden Eier i kondensierende Daf bei 00 C erwär. Zu Beginn der Erwärung beräg die Teeraur der Eier 0 C. Die Wäreübergangszahl außen is 3'000 W/ K. Die Eier werden als Kugeln hoogener Zusaensezung i 50 Durhesser behandel. Die Soffwere der Eier sind: ρ '050 kg/ 3, 0,5 W/ K 3'00 J/kg K. Zu berehnen sind: a die Teeraur, die nah 5 Minuen in der Mie der Eier erreih wird b die Zei, die bis zu Erreihen der gleihen Teeraur, jez aber in einer Höhe von a. '500, in der die Kondensaionseeraur auf 80 C sink, benöig wird. Lösung Shea Siehe Skizze 0 C oo 00 C α 3'000 W / K Kugel nnahen Die Soffwere der Eier sind konsan. Die Eier sind Kugeln hoogener Zusaensezung. uf der ußenseie sind Teeraur und Wäreübergangszahl konsan. nalyse a Zur Besiung der Teeraur üssen die Fourier- und Biozahl eriel und die Teeraurleifähigkei der Eier berehne werden. a ρ 3 0,5 W kg K,490 K '050kg 3'00J 7 s Fourierzahl: 7 a 300s,490 Fo 0, 07 r s 0,05 Biozahl: α r 3'000 W 0,05 K Bi 650 K 0,5 W
58 Wäreleiung in ruhenden Soffen Für die diensionslose Teeraur in der Mie erhalen wir aus de ileren Diagra in Bild.3 i Θ 0,75. Daraus errehne sih folgende Teeraur: + Θ 00 C + 0 00 K 0,75 40 C b Zur Besiung der Kohzei uss die neue diensionslose Mieneeraur berehne und aus de Diagra die Fourierzahl eriel werden. Θ 40 80 0,67 0 80 us de ileren Diagra in Bild.3 erhalen wir für die Fourierzahl Fo 0,5. Die Kohzei is roorional zur Fourierzahl und dai: 0, 5/0, 075 in 8, in Diskussion Obwohl sehr sark vereinfahende nnahen wie z. B. die Kugelfor und Hoogeniä der Eier geah wurden, sind die Ergebnisse reh gu. Eiweiß fäng bei 4 C an zu gerinnen. Die Eier wären also in der Mie noh flüssig, aber nah außen hin har, also so, wie ein gu gekohes Ei sein solle! BEISPIEL.4: Erwären einer Sanlae Eine Sanlae von 0 Dike soll auf einer Seie i eine Furnier versehen werden. Dazu uss die Seie, die furnier wird, eine Teeraur von 50 C haben. Die Plae wird auf einer Seie i 00 C heißer Luf angeblasen. Die andere Seie lieg auf einer herish isolierenden uflage, die als vollkoener Isolaor angesehen werden darf, auf. Zu Beginn des ufwärvorganges is die Teeraur der Sanlae 0 C. Die Wäreübergangszahl des Lufsroes beräg 50 W/ K. Die Soffwere der Sanlae sind: ρ '500 kg/ 3,,0 W/ K '00 J/kg K. Zu berehnen sind: a die für die ufwärung nowendige Zei b wie viel Heizleisung i Vergleih eingesar würde, wenn an die Plae auf beiden Seien beheize. Lösung Shea Siehe Skizze Sanlae Isolaor
Wäreleiung in ruhenden Soffen 59 nnahen Die Soffwere der Sanlae sind konsan. uf der unbeheizen Seie der Plae wird keine Wäre ransferier. In der Luf sind Teeraur und Wäreübergangszahl konsan. nalyse a uf der herish isolieren Seie der Plae wird keine Wäre ransferier. Dai uss der Teeraurgradien dor gleih null sein. Der Teeraurverlauf in der Plae is so, wie der in einer von beiden Seien beheizen, doel so diken Plae. Zur Erilung der ufwärzei sind die diensionslose Oberfläheneeraur und Biozahl zu besien. Die diensionslose Oberfläheneeraur is: O ΘO 50 00 0,8 0 00 α s 50 W 0,0 K Biozahl: Bi K W Die aus de obersen Diagra in Bild. eriele Fourierzahl is Fo,5. U aus ihr die Zei zu besien, uss zunähs die Teeraurleifähigkei berehne werden. a ρ 3 W kg K 5,560 K '500 kg '00 J 7 s us der Fourierzahl nah Gl..68 erhalen wir für die Zei: Fo s a,50,0 5,56 0 7 s 900 s 5 in b Die von der Plae ro Quadraeer aufgenoene Wäre is: Q s ρ us de uneren Diagra in Bild. beräg die diensionslose ilere Teeraur für Bi und Fo,5 : Θ 0, 4. Dai is die ilere Teeraur: + Θ 00 C + 0 00 K 0,4 6, C Für die ro Quadraeer aufgenoene Wäre erhäl an:
60 Wäreleiung in ruhenden Soffen 0,0 '500kg/ 3 Q / s ρ '00 J/kg K 6, 0 K 3'83, kj/ Beheize an die Plae von beiden Seien, üsse zur Bildung der Fourier- und Biozahl die halbe Plaendike verwende werden. Die Biozahl wäre dai Bi 0,5, die Fourierzahl Fo,6. Die ufwärzei wird, da die Plaendike quadraish in die Gleihung eingeh, auf 468 s verkürz. Die diensionslose ilere Teeraur is: Θ 0, 3. Die ilere Teeraur und die ro Quadraeer zugeführe Wäre ergeben sih als: 44, C und Q/ 4'47, kj/. Diskussion Plaen, die auf einer Seie herish ideal isolier sind, können bezüglih der Teeraur als Plae i doeler Dike behandel werden....3 Sezielle Lösungen für kurze Zeien In Bild.0 erkenn an, dass bei der Zei die Teeraur in der Plaenie von der Teerauränderung noh nih beroffen is. In den Diagraen. bis.3 sieh an ebenfalls, dass bei Fourierzahlen, die kleiner als 0,0 sind, in der Körerie keine Änderung der Teeraur aufri. Für die kurzen Zeien gil folgende sezielle Lösung der Differenialgleihung.63: * Θ erf x + e * x e * * x + Bi * * [ erf x Bi ].7 Das Gauß'she Fehlerinegral is erf error funion, x* ein diensionsloser Wandabsand, der auf a. 0,5 bezogen is, und Bi* die Biozahl, die i diese Wandabsand gebilde wird. Der diensionslose Wandabsand x* und die diensionslose Biozahl Bi* sind folgenderaßen definier: x * x a Bi * α a.7 Das Gauß'she Fehlerinegral is definier als: erf z π z 0 e x dx.73 Es is nur nuerish lösbar. Das Ergebnis is in Bild.4 dargesell.
Wäreleiung in ruhenden Soffen 6,0 0,8 0,6 erf z 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,0 z Bild.4: Das Gauß'she Fehlerinegral Bei kurzen Zeien is die Teeraur in der Mie des Körers gleih der nfangseeraur. Die Teeraur O der Oberflähe erhäl an bei x 0. Sie beräg: * * [ erf Bi ] Θ e Bi O.74 Wenn Bi* größer als is, kann Gl..74 näherungsweise als Θ O *.75 π Bi angegeben werden. Die Fehler sind kleiner als %. Bei unendlih großer Bi* is der Grenzwer der Gl..7: x Θ O erf x * erf.76 a n der Oberflähe des Körers beräg die oenane Wäresrodihe: ρ q& O O O π a π.77 Die in der Zei durh die Oberflähe abgeführe Wäre erhäl an durh Inegraion von Gl..77 über die Zei von null bis. QO q & O d O.78 π a 0
6 Wäreleiung in ruhenden Soffen Mi der Wärebilanzgleihung läss sih die in der Zei abgeführe Wäre i Gl..70 besien. ρ V Q.79 Für die ilere Teeraur erhäl an soi: O O V a a V π π ρ.80 Das Verhälnis der Oberflähe zu Voluen is bei einer Plae /s wobei zu beahen is, dass s die halbe Plaendike is, bei Kreiszylinder 4/d und bei der Kugel 6/d. Dai kann i der aus Gl..76 berehneen Oberfläheneeraur die ilere Teeraur besi werden. Die Gleihungen.76 bis.80 gelen nur, wenn die Biozahl sehr groß is, d. h. wenn die Wäreübergangszahl außen gegen unendlih geh... Gekoele Sysee Bring an zwei Körer Bild.5 unershiedliher Teeraur ieinander in Konak, sell sih nah einer beliebig kurzen Zei an der Oberflähe beider Körer die Konakeeraur K ein. Die beiden Körer können unershiedlihe Soffeigenshafen haben. Da sie die gleihe Flähe für den Wäreransfer aufweisen, uss der Wäresro in beiden Körern gleih groß sein. us Gl..77 erhalen wir: K K ρ ρ.8, ρ,, K ρ, Bild.5: Berührung zweier Körer unershiedliher Teeraur Die Konakeeraur K is: + + K ρ ρ ρ ρ.8
Wäreleiung in ruhenden Soffen 63 Mi Gl..8 kann an erklären, waru sih vershiedene Körer unershiedlih war anfühlen. Die Konakeerauren werden vo Verhälnis der Größen. ρ. 0.5 in beiden Körern, die als Wäreeindringkoeffizienen bezeihne werden, besi. Eine Kuferlae ha einen wesenlih größeren Wäreeindringkoeffizienen als die enshlihe Hand. Deshalb fühl an in ewa die Teeraur der Kuferlae. Bei einer Syroorlae is es ugekehr, hier efinde an eher die Teeraur der Hand. Solange die Teerauränderung keine ieferen Shihen des Körers erreih, bleib die Konakeeraur konsan. Werden größere Shihen erfass, ko es zu eine allählihen Teeraurausgleih, der vo Wäreinhal beider Körer besi wird. Dieses kann beisielsweise an einer luiniufolie deonsrier werden. Fass an eine sehr dünne, heiße lufolie an, enseh i ersen Moen eine Konakeeraur, die ewa der Teeraur der lufolie ensrih. Da die Folie sehr dünn is und so nur wenig Masse zu Seihern der Wäre ha, kühl sie sehr shnell ab. Sie is nih in der Lage, die Hau so zu erwären, dass die Teeraurerhöhung zu den Nerven, i denen die Teeraur regisrier wird, gelang. Die Folie fühl sih nur äßig war an. Fass an eine gleih heiße luiniulae an, verbrenn an sih die Finger. BEISPIEL.5: Berehnung der Konakeeraur Ein Körer aus Syroor und einer aus Kufer haben beide die Teeraur von 0 C. Sie werden i der Hand berühr. Die Soffwere sind: Syroor: ρ 5 kg/ 3 0,09 W/ K '50 J/kg K Kufer: ρ 8'300 kg/ 3 37 W/ K 49 J/kg K Hand: ρ '00 kg/ 3 0,5 W/ K '400 J/kg K Berehnen Sie die Konakeeraur. Lösung nalyse Die Konakeeraur kann i Gl..8 besi werden. Zur Vereinfahung der Berehnung werden zuers die Wäreeindringkoeffizienen berehne, die wir i ξ bezeihnen. Syroor: ξ ρ 5 '500,09 3, 3 Syroor Kufer: ξ ρ 8 '300 4937 35'968 Kufer Hand: ξ ρ '00 '4000, 5 '06 Hand
64 Wäreleiung in ruhenden Soffen Die Konakeeraur zwishen Syroor und Hand is: K, Syroor Hand, Hand + ξ Syroor / ξ Hand, + ξ / ξ Syroor Hand 36 C + 3, 3/ '06 0 C 35,6 C + 3, 3/ '06 Syroor Die Konakeeraur zwishen Kufer und Hand is: K, KuferHand, Hand + ξ Kufer / ξ Hand, + ξ / ξ Kufer Hand Syroor 36 C + 35'968/ '06 0 C,07 C + 35'968/ '06 Diskussion Wegen des sehr kleinen Wäreeindringkoeffizienen fühl sih die Teeraur des 0 C kalen Syroors handwar an, bei Kufer is es ugekehr...3 Sonderfälle bei Bi 0 und Bi Geh die Biozahl gegen null, d. h., die äußere Wäreübergangszahl is sehr klein bzw. die Wäreleifähigkei des Maerial sehr groß, dann is die Teeraur i Körer unabhängig vo Or und daher nur noh von der Zei abhängig. 0 0 0 3 3 3 4 4 4 x x x Bi O,x Bi 0 O Bild.6: Teeraurverlauf bei Exrefällen
Wäreleiung in ruhenden Soffen 65 Bei sehr großen Biozahlen, d. h., bei sehr großen äußeren Wäreübergangszahlen oder sehr kleiner Wäreleifähigkei der Körers näher sih die Oberfläheneeraur O der ußeneeraur an. Dieses Verhalen is in Bild.6 dargesell. Links is der Teeraurverlauf bei Bi. Die Oberfläheneeraur is gleih groß wie die ußeneeraur. Rehs i Bild bei Bi 0 is die Teeraur i Körer vo Or unabhängig. Das Bild in der Mie zeig den Teeraurverlauf bei endlihen Biozahlen. Die Teeraur is von Or und Zei abhängig...4 Teerauränderung bei kleinen Biozahlen Bei vielen ehnishen Prozessen ineressier während der bkühlung oder Erwärung nih die Teeraurvereilung i Körer, sondern die ilere Teerauränderung. Wie die Diagrae in den Bildern. bis.3 zeigen, is bei kleinen Biozahlen d. h., die äußere Wäreübergangszahl is kleiner als die i Körer zwishen den Oberflähen, der ileren und der Teeraur in der Körerie nur ein kleiner Teeraurunershied. Sind die Biozahlen kleiner als 0,5, kann an i reh guer Genauigkei die Berehnungen so durhführen, dass die Teeraur i ganzen Körer als ilere Teeraur angenoen wird. Bei Biozahlen, die kleiner als sind, is für bshäzungen eine so durhgeführe Berehnung ier noh zulässig...4. Ein kleiner Körer auh in ein Fluid großer Masse Ein kleiner Körer i der Masse, der Wärekaaziä und Teeraur wird in ein Fluid i der Teeraur eingeauh Bild.7. α Bild.7: Ein Körer kleiner Masse auh in ein Fluid großer Masse ein Die Masse des Fluids wird als so groß angenoen, dass durh das Einauhen des Körers keine Teerauränderung i Fluid aufri. n der Oberflähe des Körers is die Wäreübergangszahl α. Die Wände des Behälers sind nah außen isolier. Der Wäresro, der vo Körer zu Fluid geh, is die zeilihe Änderung des Wäreinhales des Körers.
66 Wäreleiung in ruhenden Soffen d Q&.83 d Der Wäresro wird aber von der Wäreübergangszahl und Teeraurdifferenz zwishen de Fluid und Körer besi. Beahe an, dass bei einer bkühlung des Körers seine Teerauränderung negaiv und die Teeraurdifferenz osiiv is, gil: Q & α.84 Beide Gleihungen gleihgesez, ergeben folgende Differenialgleihung: d α d.85 Wird die Teeraur durh die Teeraurdifferenz subsiuier, erhalen wir nah Searaion der Variablen: d α d.86 Konsane Wäreübergangszahl und konsane Soffwere vorausgesez, kann diese Gleihung inegrier werden. α e.87 Bild.8 zeig den zeilihen Verlauf der bkühlung des Körers. Die Teeraur des Körers näher sih i zunehender Zei der Fluideeraur asyoish. Bild.8: Teeraurverlauf bei der bkühlung des Körers Für die diensionslose Darsellung üssen die diensionslose Teeraur Θ und diensionslose Zei τ folgenderaßen gebilde werden: Θ e τ i: 0 α τ 0
Wäreleiung in ruhenden Soffen 67 Die Zei 0 is die Zei, in der der eingeauhe Körer bei K Teeraurdifferenz zu ugebenden Fluid u K erwär wird. Bild.9 zeig den diensionslosen Teeraurverlauf.,0 Θ 0,8 diensionslose Teeraur 0,6 0,4 0, 0 0 3 4 diensionslose Zei τ Bild.9: Diensionslose Darsellung des zeilihen Teeraurverlaufs BEISPIEL.6: Hären von Sahlwerksüken Zylinderförige Sahlwerksüke i einer Masse von, kg, einer Oberflähe von 300 und eine Durhesser von 0 sollen zu Hären in eine Ölbad von 800 C auf 300 C abgekühl werden. Das Ölbad ha eine Teeraur von 50 C, die Wäreübergangszahl beräg 600 W/ K. Die Soffwere des Sahls sind: 47 W/ K, 550 J/kg K. Welhe Zei wird für die bkühlung benöig? Lösung nnahe Die Teeraur und Wäreübergangszahl des Ölbades sind konsan. nalyse Zunähs uss gerüf werden, wie groß die Biozahl is. Bi α r / 6000,0/ 47 0,8 Dai is die Bedingung erfüll, dass Bi < 0,5 is. Die uskühlzei kann i Gl..87 berehne werden. α, kg 550J K 800 50 ln ln 40, s kg K 600 W 0,03 300 50
68 Wäreleiung in ruhenden Soffen Diskussion Die Berehnung is relaiv einfah. us den Diagraen erhäl an einen Wer von 46,8 s, also beräg der Fehler 4 %. Es wäre hier zu rüfen, ob dieser Fehler i de Häreverfahren vereinbar is...4. Ein Körer auh in ein Fluid i vergleihbarer Masse Bild.0 zeig das Einauhen eines Körers in ein isolieres, i eine Fluid gefülles Beken i einer relaiv kleinen Fluidasse. Bei Einauhen ha der Körer die Teeraur, das Fluid. Die Masse und die sezifishe Wärekaaziä des Körers haben den Index, die des Fluids den Index. Da die Fluidasse nih ehr sehr groß is, wird durh das Einauhen des Körers die Teeraur des Fluids veränder. Der vo Körer abgegebene Wäresro is die zeilihe Änderung des Wäreinhales des Körers. d Q &.88 d Der vo Fluid aufgenoene Wäresro is engegengesez gleih groß wie die zeilihe Änderung des Wäreinhales des Fluids. α Bild.0: Ein Körer kleiner Masse auh in ein Fluid vergleihbarer Masse ein. d Q&.89 d Der Wäresro wird von der Wäreübergangszahl und Teeraurdifferenz zwishen Fluid und Körer besi. Q & α.90
Wäreleiung in ruhenden Soffen 69 Für die Änderung der Teeraurdifferenz zwishen Fluid und Körer erhäl an aus den Gln..88 und.89: d Q d + &.9 us Gl..90 kann der Wäresro in Gl..9 eingesez werden. d d + α.9 Uner der Voraussezung, dass die Massen, die Wäreübergangszahl und sezifishen Wärekaaziäen konsan sind, kann Gl..9 inegrier werden. Die Inegraion erfolg von der Zei 0 bis und von den nfangseerauren und bis zu den Teerauren und. + ln α.93 Für die Teeraurdifferenz zwishen de Körer und Fluid erhäl an: + ex α.94 Mi Gl..94 kann die Teeraurdifferenz zwishen de Fluid und Körer, nih aber die Teeraur des Körers oder Fluids besi werden. Die Teeraur des Körers und Fluids können aus den Gleihungen.88 und.89 für jede beliebige Zei eriel werden. Da in den Gleihungen die Massen und sezifishen Wärekaaziäen konsan sind, kann die in der Zei ab- und zugeführe Wäre berehne werden. Q Q.95 Gl..95 gil auh für eine unendlih lange Zei, bei der ein Teeraurausgleih zwishen de Körer und Fluid erreih wird. Die Teeraur nah de usgleih is: + +.96 Für die Teerauränderungen erhäl an aus den Gln..95 und.96:
70 Wäreleiung in ruhenden Soffen.97 Gl..97 kann nah oder aufgelös und in Gl..94 eingesez werden. Dai erhäl an die Teeraur des Körers und Fluids. + ex α.98 + ex α.99 Der Teeraurverlauf is in Bild. dargesell. oo Bild.: Teeraurverlauf bei der bkühlung des Körers i Änderung der Fluideeraur..4.3 Wäreransfer durh einen sröenden Wäreräger Bild. zeig einen nah außen isolieren Behäler i eine Fluid, das durh einen sröenden Wäreräger aufgeheiz oder abgekühl wird. Bild.: Erwärung oder bkühlung eines Fluids durh einen sröenden Wäreräger k.
Wäreleiung in ruhenden Soffen 7 Das Fluid is durh eine Wand vo Wäreräger gerenn. Die Teeraur des Fluids is zu Beginn der Erwärung oder bkühlung gleih. Der Wäreräger ha a Einri die Teeraur, a usri. Er wird durh das Fluid gekühl oder erwär. Die Wäreüberragung erfolg i einer konsanen Wäredurhgangszahl. Nah unendlih langer Zei ni das Fluid die Einriseeraur des Wärerägers an, die Wärerägereeraur veränder sih nih ehr. Uner der Voraussezung, dass der Massensro des Wärerägers, die Wäredurhgangszahl, die sezifishen Wärekaaziäen und örlihen Fluideerauren konsan sind, können die Teerauränderung des Fluids und die des Wärerägers a usri berehne werden. Ohne auf die Herleiung einzugehen, sind hier die Ergebnisse dargesell. & k ex ex &.00 BEISPIEL.7: Kühlen eines Drahes i Wasserbad Ein Drah i Durhesser und einer Teeraur von 300 C wird durh ein Wasserbad geführ, u ihn dor abzukühlen. Er beweg sih i einer Geshwindigkei von 0,5 /s durh das Bad und befinde sih auf 5 Länge i Wasser. Das Wasser ha eine Masse von 5 kg und zu Beginn des Prozesses eine Teeraur von 0 C. Soffwere des Drahes: ρ 8'000 kg/ 3, 47 W/ K, 550 J/kg K. Die Wäreübergangszahl i Bad is '00 W/ K und die sezifishe Wärekaaziä des Wassers beräg 4'9 J/kg K. Nah welher Zei uss das Wasser ausgewehsel werden, wenn die Teeraur des Drahes nah Verlassen des Wasserbades nih über 00 C sein darf? Lösung nnahen Die Soffwere sind konsan. Die Einriseeraur des Drahes is konsan. Die Teeraur und Wäreübergangszahl des Wasserbades sind konsan. nalyse Hier üssen wir i Gl..87 besien, bei welher Wassereeraur die Teeraur des Drahes a usri aus de Bad 00 C übershreie. Zunähs wird die Zei, die bis zur Erwärung des Bades auf diese Teeraur vergeh, berehne. Der Drah wird als sröender Wäreräger behandel. Jez uss gerüf werden, wie groß die Biozahl is. Bi ρ. r/ '00. 0,00/47 0,06. Dai is die Bedingung erfüll, dass Bi < 0,5 is. Die Teeraur des Bades kann i Gl.
7 Wäreleiung in ruhenden Soffen.87 berehne werden. Der Drah befinde sih 0 Sekunden lang i Bad. us Gl..87 is ersihlih, dass die Länge des Drahes für die bkühlung keine Rolle siel. I Exonen seh der usdruk /. Berehne an die Oberflähe des Drahes und seine Masse, fäll die Länge weg. Dieses is gülig, solange die Sirnflähe keine Rolle siel, was bei diese Beisiel zuriff. d l d l d e 4 ex 4 ex ρ α π ρ π α α Bei der gegebenen usriseeraur von 00 C kann die Teeraur besi werden. C 99,4 C 00 300 4 ex 4 ex 0 550 00 0 8'000 '00 4 0 550 00 0 8'000 '00 4,, e e d d ρ α ρ α Mi Gl..00 kann die Zei berehne werden, in der sih das Wasser von 0 C auf 99,4 C erwär. In der Gleihung benöig an den Massensro und die Oberflähe. kg/s 0,057 kg/ 8'000 0,00 0,5 /s 0,5 0,5 3 π d ρ π & 0,034 5 0,00 π l d π s '0 4'9 5 550 0 057 0 300 994 300 ln ln 550 057 0 034 0 '00,, e,, e & & α Diskussion Dieses Beisiel zeig, dass auh bewege fese Körer einen Massensro haben können. Die Kobinaion des bewegen Wärerägers und die bkühlung des fesen Körers erlauben die Berehnung des Probles.
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