Physikalische und mathematische Seiten des Brückenbaus

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1 IMMANUEL KANT SCHULE RÜSSELSHEIM Facharbeit im Rahmen des Abiturs aus den Fachbereichen Physik und Mathematik über das Thema: Physikalische und mathematische Seiten des Brückenbaus Verfasserin: Antonia Hocks Referent: Horst Aussenhof Co Referent: Ulrich Gath (Fachbereichsleiter) Leistungskurse: Physik und Mathematik Jahrgang: 12(Q3/4) Schuljahr 2012/2013 Datum: März 2013

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3 Danksagung Durch diese Facharbeit habe ich viel gelernt. Vor allem, wie wichtig es ist, an einem Thema immer weiter zu arbeiten, auch wenn zwischendurch manchmal etwas nicht so funktioniert wie man es sich wünscht. Das alles wäre nicht möglich gewesen ohne die vielen Leute, die mich dabei unterstützt haben, die mir zu den nötigen Informationen verholfen haben, sich für die Entwürfe verschiedener Ideen zu meiner Brücke und deren Umsetzung interessiert haben, die mir Anregungen und Verbesserungsvorschläge gegeben haben, die diese Arbeit korrekturgelesen haben und die mich motiviert haben, nicht aufzuhören. Bei allen möchte ich mich hiermit herzlich bedanken und Harald Pulvermüller hervorheben, der mich besonders inhaltlich unterstützt hat. Ich denke, dass ich einiges aus der besonderen Lernleistung für die Zukunft mitnehmen werde. Antonia Hocks 2

4 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort Brücken im Allgemeinen Einleitung Geschichte der Brücke Begriffserklärung Bestandteile einer Brücke Weitere Bezeichnungen Ausrüstung Lager Herausforderungen des Brückenbaus Beanspruchungen auf Brücken Ablauf der Brückenplanung Verschiedene Brückenarten Balkenbrücken Bogenbrücken Seilbrücken Berechnungen zu Brücken Tragfläche Druck, Zug und Schub

5 2.1.2 Höhe der Tragfläche Tragseile Meine Brücke Der Wettbewerb Ausschreibung Warum habe ich an dem Wettbewerb teilgenommen? Vorgaben des Wettbewerbes Vorangehende Überlegungen Tragfläche Pylone Tragseile Bau der Brücke Skizzen Brückentypen Modell Modell Modell Modell Höhe der Tragfläche (Reißfestigkeit) Zugkräfte auf die Tragseile Ausblick

6 5 Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis

7 0 Vorwort Der Titel meiner besonderen Lernleistung physikalische und mathematische Seiten des Brückenbaus klingt vermutlich für einige Menschen ziemlich trocken, ist aber vor allem in Verbindung mit dem Bau eines eigenen Modells sehr spannend. Der Brückenbau ist ein interessantes und umfangreiches Thema, über welches ich im Rahmen dieser Arbeit etliches erfahren habe. Doch womit fängt man am besten an und welche Schwerpunkte sind am sinnvollsten? Eine schwierige Frage, die mich lange beschäftigt hat. Das Thema ist sehr allgemein formuliert und es gibt viele komplexe Berechnungen und Zusammenhänge im Bereich des Brückenbaus, die allerdings nicht unbedingt dafür geeignet sind, sie in dieser besonderen Lernleistung darzustellen. Zum Beispiel bieten manche Bereiche nicht die Möglichkeit, sie auch praktisch anzuwenden und die Formeln würden hauptsächlich nur den theoretischen Teil der Arbeit abdecken. Sehr geholfen hat mir der Wettbewerb BRÜCKENschlag der Ingenieurkammer Hessen, auf den ich bei meinen Recherchen im Internet gestoßen bin. Durch die Rahmenbedingungen, die für die Papierbrücke gegeben wurden, war er eine große Hilfe, um einen Ansatz für meine besondere Lernleistung zu finden (Ingenieurkammer Hessen, 2012/13). Der Bau der Papierbrücke brachte mir zusätzlich einen praktischen Einblick in das Thema des Brückenbaus als nur Texte und Bilder und erforderte viel Kreativität und Durchhaltevermögen, sodass die Entscheidung für den Wettbewerb im Rückblick gut war. Auf das Thema für meine besondere Lernleistung brachte mich mein Physiklehrer Herr Aussenhof, dessen Vorschlag mir sehr gut gefiel, da mich Brücken sehr faszinieren. Ich kann mir vorstellen, nach der Schule Bauingenieurwesen oder etwas Vergleichbares zu studieren, sodass ich auf diesem Wege herausfinden kann, ob ein Studiengang in diesem Gebiet interessant und passend für mich sein könnte hatte ich bei der Projektwoche an unserer Schule am Projekt Brückenbau von Herrn Gath teilgenommen und mit zwei Mitschülerinnen eine möglichst leichte und 6

8 stabile Papierbrücke gebaut. Die dort verwendete Grundidee, Papierrollen in die Tragfläche einzubauen, habe ich auch teilweise bei meinem Brückenmodell für diese Arbeit verwendet, da sich diese damals schon als effektiv erwiesen hat. Während der Überlegung, in welche Richtung ich anfangen soll, um etwas für die besondere Lernleistung zu recherchieren, bin ich neben dem Papierbrückenwettbewerb anfangs auf die neue Mainbrücke Ost in Frankfurt gestoßen, die im Sommer 2012 erbaut und in einem Stück eingeschwommen wurde (Stadt Frankfurt, 2012), und hatte gehofft, dort mithilfe eines Praktikums auch praktisch etwas zum Brückenbau beitragen zu können. Die Antwort des zuständigen Ingenieurbüros mit Informationen zur Mainbrücke Ost kam allerdings erst, als ich mich bereits für den Papierbrückenwettbewerb entschieden hatte, sodass ich diese Möglichkeit nicht mehr in Betracht ziehen konnte. Nun wünsche ich allen viel Spaß beim Lesen meiner Arbeit und hoffe, hiermit einigen den Brückenbau etwas näher bringen zu können. Nauheim, den

9 1 Brücken im Allgemeinen 1.1 Einleitung Brücken sind in vielen Varianten auf der ganzen Welt vorhanden. Es gibt Brücken, die breite Flüsse und Meerengen überqueren und auch welche, die nur über einen kleinen Bach führen. Man findet Brücken überall im Verkehrswesen, an Autobahnkreuzen und an Stellen, an denen trotz eines Flusses oder einer Schlucht eine Verkehrsverbindung mit der anderen Seite erforderlich ist. Aquädukte ermöglichen es, Wasser über ein Tal fließen zu lassen, und viele weitere Brückenarten zeigen ebenfalls erstaunliche Möglichkeiten, um Hindernisse zu überwinden und Gebiete miteinander zu verbinden. Eines haben alle Brücken gemeinsam, nämlich dass sie eine Faszination bieten, die viele andere technische Leistungen übertrifft. Nicht ohne Grund bezeichnet man den Bau einer Brücke häufig als Königsdisziplin der Ingenieurbaukunst (Ingenieurkammer Hessen, 2012/13). Bei meinen Recherchen zu Informationen über Brücken, die mir weiterhelfen, bin ich auf folgendes Zitat gestoßen: [Alle Brücken sind] im Grunde eines und gleicherweise unserer Aufmerksamkeit wert, denn sie zeigen den Ort, wo der Mensch auf Hindernisse stieß und sich doch nicht aufhalten ließ, sondern sie überwand und überbrückte, weil er es eben vermochte, je nach seiner Auffassung, seinem Geschmack und den Verhältnissen, von denen er umgeben war. (Andric, 1971) Meiner Meinung nach schafft Andric es mit diesem Satz die große Bedeutung des Brückenbaus deutlich zum Ausdruck zu bringen. Jede Brücke hat etwas Individuelles und Besonderes und bringt somit einen weiteren Fortschritt in das Leben der Menschen. Die meisten Brücken sind heutzutage Attraktionen, teilweise sind sie sogar Wahrzeichen einer Stadt (Willms, Bernhardt, & Bedürftig), wie zum Beispiel die Golden Gate Bridge in San Francisco oder die Tower Bridge in London. Sie haben somit eine starke symbolische Funktion und repräsentieren die jeweilige Stadt. 8

10 Abbildung 1.1 1: Golden Gate Bridge [Rich Niewiroski Jr., de.wikipedia.org] Abbildung 1.1 2: Tower Bridge [de.wikipedia.org] Beim Entwurf einer Brücke darf man also nicht nur auf ihre Nützlichkeit achten, sondern muss auch ästhetische Aspekte in die Überlegungen mit einbeziehen. Da Brücken einen großen Eingriff in das vorhandene Stadt oder Landschaftsbild 9

11 darstellen und ihr Umfeld deutlich und nachhaltig beeinflussen, müssen sie sich gut in die Natur einfügen und ihrer Umgebung angepasst sein. In der Vergangenheit spielte die Ästhetik meist keine große Rolle, weil die praktische Funktion der Brücken im Vordergrund stand und der Aufwand für eine besonders schön wirkende Brücke zu groß war. Heute hingegen wird häufig viel Wert auf die Ästhetik gelegt. Am Beispiel der Dresdener Waldschlösschenbrücke kommt die Bedeutung der Ästhetik einer Brücke deutlich zum Ausdruck, da nach dem Bau dieser Brücke dem Elbtal, in welchem diese steht, das Weltkulturerbe aberkannt wurde (Deutsche UNESCO Kommission e.v., 2008). Abbildung 1.1 3: Waldschlösschenbrücke [de.wikipedia.org] 1.2 Geschichte der Brücke Brücken existieren vermutlich schon genauso lange wie es Menschen gibt, da diese sich den Weg zwischen verschieden Orten erleichtern beziehungsweise überhaupt erst ermöglichen wollten. Es kann allerdings keine Brücke als die älteste Brücke bezeichnet werden, da es nur seit etwa 2000 Jahre vor Christus offizielle Beweise für den Brückenbau gibt (Willms, Bernhardt, & Bedürftig). Menschen übernahmen anfangs die Ideen für das Überbrücken eines Hindernisses von Naturphänomenen, die es zufällig die Gelegenheit bieten, einen Fluss oder eine Schlucht zu überqueren. Wenn zum Beispiel durch einen Sturm ein Baum umfiel und so lag, dass er von einer Seite eines Baches zur anderen reichte, konnte man diesen trockenen Fußes überqueren. Wurden nun Baumstämme absichtlich über einen Fluss gelegt, um auf 10

12 die andere Seite zu gelangen, so waren dies die ersten einfachen Balkenbrücken. Dabei dienten Steine manchmal als Pfeiler, die die Balken zusätzlich stützten. Auch Hängebrücken wurden schon vor mehreren Jahrhunderten gebaut. Seile und Lianen wurden über Schluchten gespannt, sodass man sich an einem oder zwei Seilen festhalten und auf einem weiteren Seil laufend über den Abgrund gelangen konnte. Später wurden Bogenbrücken erfunden, für die auch Materialien wie Stein verwendet werden konnten, die nur Druckkräfte und keine Zugkräfte aufnehmen können. Aufgrund dieser Erfindung entstanden zur Zeit der Griechen und auch der Römer viele Steinbogenbrücken (Pelke, Ramm, & Stiglat, 2005). Das Zustandekommen der Druckkräfte wird unter Punkt noch genauer erläutert. Zur Zeit der Industrialisierung kamen Eisen und Stahl als neue, zugfeste Baumaterialien hinzu und später auch noch Beton, der für die Belastung durch Druckkräfte geeignet ist. Im Folgenden sind einige Beispiele einfacher Brücken zu finden, die ohne Berechnungen aus bereits vorhandenen Bestandteilen zusammengebaut werden können: Abbildung 1.2 1: Steinbrücke [Mascall, Richard, de.wikipedia.org] 11

13 Diese Brücke besteht aus flachen Steinplatten, die an beiden Seiten auf Steinen aufliegen und es somit erlauben über das Gewässer zu gelangen. Abbildung 1.2 2: Huilo Huilo(Chile) [privat] Diese Brücke ist zwischen zwei Bäumen gespannt und besteht aus einem Geländer aus Maschendraht sowie einem Gehweg aus Holzbrettern. 1.3 Begriffserklärung Um Genaueres über Brücken zu erfahren, muss man ein paar Begriffe kennen, die im Brückenbau üblich sind. Im Folgenden werden diese anhand von Definitionen und Skizzen erläutert. Die Begriffe zu Brücken sind aus mehreren Quellen zusammengestellt, hauptsächlich (Bauer, 2012) und (Gotsch, 2012), da es für manche von ihnen verschiedene Bezeichnungen gibt und auch nicht immer alle Grundlagen erwähnt werden. Ich habe für die Skizzen nur die Teile ausgewählt, die für meine Arbeit von Bedeutung sind. 12

14 1.3.1 Bestandteile einer Brücke Überbau Tragfläche Unterbau Spannweite Spannweite Pfeiler Lichte Höhe Gründung Widerlager Abbildung 1.3 1: Skizze 1 (Bestandteile einer Brücke) Der Überbau ist das eigentliche Brückentragwerk. Er besteht aus einer Fahrbahnplatte / Tragfläche, welche sich im direkten Kontakt zu Fahrzeugen und Fußgängern befindet und die Verkehrslasten auf die darunterliegenden Hauptträger / Längsträger überträgt. Diese wiederum leiten die Lasten zu den Lagern, die meist in gleichmäßigen Abständen unter der eigentlichen Brückenkonstruktion angeordnet sind. Bei großen Brücken übernehmen Querträger das Aussteifen der Hauptträger und die Lastverteilung auf mehrere Hauptträger. Bei Seilbrücken findet man zumeist spezielle Träger oder seitliche Konsolen, welche die Kräfte zu den Seilen leiten. Der Unterbau ist ein Sammelbegriff für Widerlager, Stützen und Gründungen. Widerlager leiten die Vertikal und Horizontalkräfte, die an den Brückenenden auftreten, in den Untergrund; Stützen nehmen vorwiegend vertikale Belastungen in der Brückenmitte auf und geben diese an die Fundamente beziehungsweise Gründungen weiter. Stützen lassen sich in zwei verschiedene Arten unterteilen, Pylone und Pfeiler. Pylone reichen über das Tragwerk hinaus, während sich Pfeiler nur unter dem Brückentragwerk befinden (Gotsch, 2012). 13

15 Abbildung 1.3 2: Freitragende Pylontürme, H Pylon, A Pylone [Roulex 45, de.wikipedia.org] Dies sind verschiedene Arten von Pylonen für Seilbrücken, die häufig verwendet werden Weitere Bezeichnungen Neben den bereits erwähnten Teilen der Brücke gibt es noch weitere wesentliche Bezeichnungen, die das Beschreiben einer Brücke ermöglichen. Die Spannweite bezeichnet den Abstand zwischen zwei Auflagerpunkten der Tragfläche und die lichte Höhe gibt den vertikalen Abstand zwischen Tragwerk und Untergrund an. Die auftretenden Lasten werden in Hauptlasten (Eigengewicht der Brücke und Verkehrslast) und Zusatzlasten (Wind, Schnee und Temperaturunterschiede) unterteilt (Mehlhorn, 2010). Bei der Nutzung einer Brücke entstehen Zug, Druckund Schubkräfte, welche später im Kapitel zu Berechnungen genauer erläutert werden Ausrüstung Die Ausrüstung dient der Absicherung und der Stabilität der Brücke. Zur Ausrüstung gehören die Entwässerungsanlage, welche zur Verkehrssicherheit beiträgt, sowie 14

16 Abdichtungen, die verhindern, dass Wasser in das Tragwerk gelangt. Geländer dienen der Absturzsicherung für Fußgänger, Fahrradfahrer und Fahrzeuge und sind im Inneren oft durch ein Stahlseil verstärkt. Zum Ausgleich der Bewegungen einer Brücke gibt es verschiedene Konstruktionen von Fahrbahnübergängen, wie Fingerkonstruktion, Scherenkonstruktion und elastische Belagsdehnfugen (Bauer, 2012) Lager Ein Lagerungssystem ist eine Kombination von mehreren Lagern. Lager sind zuständig für die Übertragung von Kräften aus dem Überbau in den Unterbau und für Bewegungen in einem Bauwerk. Die Bewegungen entstehen vor allem durch die Ausdehnung der Brücke bei Wärme und das Zusammenziehen bei Kälte. Lager erlauben nur genau definierte Bewegungen und bieten somit Sicherheit für den Brückenträger in seiner Position und Beweglichkeit. Vertikale Kräfte werden in den Lagern aufgenommen; in horizontaler Richtung ist meist ein Lager fest und die restlichen Lager sind in Längsrichtung der Brücke beweglich. Es gibt drei verschiedene Arten von Lagern, die für unterschiedliche Brückengrößen und Brückentypen verwendet werden. Rollenlager sind Stahlzylinder zwischen der Tragfläche und der Auflagerfläche, die ermöglichen, dass das Zusammenziehen und Ausdehnen der Brücke in Längsrichtung ausgeglichen wird. Elastomerlager bestehen aus flexiblem Kunststoff und lassen Bewegungen in alle Richtungen zu, was vor allem bei seitlich gekrümmten Brücken benötigt wird. Steckeisenlager werden nur bei kleinen Brücken verwendet, da sie keine Bewegungen ermöglichen und somit bei Temperaturschwankungen Spannungen in der Brücke entstehen (Bauer, 2012). 1.4 Herausforderungen des Brückenbaus Die Ingenieure im Planungsstab einer Brückenbaufirma müssen die gesamte Brücke entwerfen. Das Bauwerk einer Brücke besteht aus Unterbau, Überbau und Zufahrtsrampen und aufgrund der grundsätzlichen Verschiedenheit der Einzelteile 15

17 müssen Detailplanung und Berechnungen in den Fachabteilungen von Spezialisten übernommen werden. Gründe für einen Brückenbau sind meist der Entwurf neuer Verkehrsstrecken, der Ausbau von vorhandenen Verkehrsstrecken oder das Ersetzen alter Verkehrswege. Wie bei anderen komplexen Bauverfahren auch sind am Brückenbau Architekten, Bauingenieure, Bauverwaltungen, Bauunternehmen sowie einzelne Ingenieurbüros beteiligt und arbeiten unter ständiger Absprache miteinander. Es sollen immer größere Brücken gebaut werden, die längere Strecken überbrücken und man will immer effektiver bauen, sodass die Brücken größere Lasten tragen können und möglichst wenig Material verwendet wird, wobei in gefährdeten Gebieten die Erdbebensicherheit der Brücken gewährleistet sein muss. Die Anforderungen können sehr vielfältig sein, es werden allerdings auch häufig Parallelen zu bereits existierenden Brücken hergestellt, indem Ideen, die sich als erfolgreich erwiesen haben, wiederverwendet werden. Die Entwicklung des Brückenbaus wird durch neue Bauverfahren, Erkenntnisse im Bereich der Statik und Fortschritte in der Materialforschung unterstützt. Als Beispiel hierfür wurde in den letzten Jahren aufgrund von leistungsfähigen Computern und neuen Berechnungsverfahren (Finite Elemente) auch die exakte Berechnung seitlich gekrümmter Bauwerke durchführbar. 16

18 Abbildung 1.4 1: Akashi Kaikyo Brücke [de.wikipedia.org] Dies ist die Akashi Kaikyo Brücke in Japan. Sie ist mit einer Spannweite von m die längste Hängebrücke der Welt. Abbildung 1.4 2: seitlich gebogene Brücke in Israel [privat] 17

19 Diese Harfenbrücke in Jerusalem hat eine seitlich gekrümmte Fahrbahn, wie man auf diesem Foto gut erkennen kann. 1.5 Beanspruchungen auf Brücken Beanspruchungen durch Einwirkungen auf Brücken kommen aus dem Bauwerk selbst, der Nutzung und der Umgebung der Brücke. Bei der Nutzung können Seilbrücken durch eine geringere Biegesteifigkeit und vor allem bei extremen Spannweiten zu Schwingungen angeregt werden, was zu einem Problem werden kann, wenn zum Beispiel viele Menschen im Gleichschritt die Brücke überqueren. Außerdem gibt es veränderliche Einflüsse durch dynamische Effekte wie Wind oder Erdbeben, die Schwingungen in der Brücke erzeugen. Anders betrachtet, werden die Einwirkungen auch in Lasten, Kräfte und Zwängungen, welche durch Temperaturunterschiede entstehen, aufgeteilt (Brühwiler & Menn, 2003). Die Überbauten tragen die Vertikallasten, dies sind vor allem das Eigengewicht der Brücke und Verkehrslasten. Es entstehen außerdem lokale Beanspruchungen der unmittelbar belasteten Bauteile und des Haupttragsystems sowie Horizontallasten in Längs und Querrichtung der Brücke, die durch Wind oder Bremslasten entstehen. Bei Berechnungen werden die Lasten der Gesamtstruktur und die Lasten der Teilstrukturen einzeln betrachtet. 1.6 Ablauf der Brückenplanung Die Grundlage eines öffentlichen Bauprojektes bietet der Entwurf der Brücke (Mehlhorn, 2010). Vor dem Entwurf steht der Beschluss von Stadt oder Land, an einer vorgegebenen Stelle eine Überführung, also keinen Tunnel oder ähnliches, zu erstellen oder ein altes Bauwerk zu erneuern. Die Vorplanung besteht aus einem Planungskonzept, in welchem von Fachplanern die Randbedingungen, die zu erfüllenden Anforderungen, die Kosten und die Ästhetik der Brücke festgelegt werden. Entwurfsziel ist es, eine optimale Kombination aus 18

20 Wirtschaftlichkeit, Sicherheit und Ästhetik zu erreichen, also die Baukosten und die Gestaltung in ein Gleichgewicht zu bringen, um somit eine stabile und möglichst schöne Brücke zu entwerfen. Der konzeptionelle Entwurf bietet Informationen über das Tragsystem, die Spannweiten, die Gründungen, die verwendeten Baustoffe, die Querschnittsgestaltung, den geplanten Bauvorgang und die voraussichtliche Bauzeit (Mehlhorn, 2010). Häufig wird ein geeignetes Tragsystem durch einen Vergleich mehrerer Entwürfe bestimmt. Die möglichen Baumaterialien hängen von dem ausgewählten Brückentyp ab, da alle Materialien zum Beispiel in der Dauerhaltbarkeit unterschiedliche Eigenschaften aufweisen. Die Untergrundbeschaffenheit an der Stelle, an der die Brücke gebaut werden soll, muss untersucht werden, um über die benötigten Gründungen eine zu Aussage treffen. Um die Tragsicherheit einer Brücke zu überprüfen, muss man mehrere verschiedene Einflüsse beachten. Getestet werden müssen die statische Tragfähigkeit, die Dauerfestigkeit des verwendeten Materials sowie das Standhalten gegenüber dynamischen Kräften wie Verkehr, Wind und Erdbeben. 1.7 Verschiedene Brückenarten Es gibt grundsätzlich die Unterteilung in Balkenbrücken, Bogenbrücken und Seilbrücken (Stetter, 2010). Balkenbrücken werden hauptsächlich durch Biegung beansprucht, Bogenbrücken müssen Druckkräfte aushalten und bei Seilbrücken entstehen vor allem Zugkräfte. Seilbrücken werden nochmals in Hängebrücken und Schrägseilbrücken unterschieden. Weiterhin existieren noch speziellere Varianten von Brücken, die teilweise Kombinationen aus mehreren verschiedenen Brückentypen darstellen. Beispiele hierfür sind Auslegerbrücken, bewegliche Brücken und Fachwerkbrücken, auf die ich hier aber nicht näher eingehen werde. 19

21 Dieses Kapitel beschäftigt sich, wie bereits erwähnt, mit den verschiedenen statischen Systemen, man könnte aber auch zwischen den gewählten Baumaterialien wie Beton, Stahl, Holz, Stein und anderem unterscheiden. Da meine Brücke aus Papier sein wird, sind Überlegungen zu verschiedenen Baumaterialien nicht hilfreich, also werden die Varianten der Konstruktions und Bauweisen im Folgenden aufgeführt und erklärt, um eine von ihnen als Grundlage für meine Papierbrücke zu verwenden (Bauer, 2012) Balkenbrücken Abbildung 1.7 1: Skizze 2 (Balkenbrücke) Balkenbrücken werden teilweise auch Plattenbalkenbrücken genannt. Sie kombinieren, wie ihr Name schon vermuten lässt, die Eigenschaften eines Balkens und einer Platte. Die Belastung wird in der Platte verteilt und über die unter der Platte befindlichen Balken zu den Auflagern weitergeleitet (Bauer, 2012). Balkenbrücken bestehen nur aus der Fahrbahn, wobei bei einigen Varianten noch Zwischenpfeiler vorhanden sind, auf denen die Fahrbahn aufliegt, um größere Strecken zu überbrücken. Die Pfeiler verhindern, dass die Brücke sich zu stark nach unten durchbiegt, wodurch höhere Belastungen möglich sind beziehungsweise längere Brücken gebaut werden können. Die mögliche Stützweite hängt vor allem von den Materialeigenschaften und der Bauhöhe ab. Diese Zeichnung veranschaulicht die auftretenden Kräfte in einer Balkenbrücke: 20

22 Last Druck Zug Abbildung 1.7 2: Skizze 3 (Kräfteverteilung Balkenbrücke) Da sich die Brücke bei Belastung minimal nach unten biegt, entsteht im Untergurt, bei dem es sich um die untere Seite des Balkens handelt, eine Zugkraft und im Obergurt eine Druckkraft. Die Vertikalkraft wird an die Auflagestellen weitergegeben, was in Punkt noch weiter erläutert wird Bogenbrücken Last Druck Abbildung 1.7 3: Skizze 4 (Bogenbrücke) 21

23 Abbildung 1.7 4: Fahrbahn unter, über beziehungsweise zwischen Bogentragwerk (Gotsch, 2012) Bogenbrücken bestehen entweder aus einer gebogenen Fahrbahn oder die Fahrbahn befindet sich unter, über oder in der Mitte eines Bogentragwerks (Gotsch, 2012). Das Prinzip einer Bogenbrücke ist, dass nur Druckkräfte entstehen, die von den Widerlagern aufgenommen werden. Dies gestattet die Verwendung von anderenfalls ungeeigneten Materialien, die keine Zugkräfte aufnehmen können, wie zum Beispiel Beton und Stein. Erkennbar sind die Bogenbrücken an ihrer Form. Sie bestehen aus einem oder mehreren Bögen und der Fahrbahn. Der Bogen ist meist aus Stahl und wird durch Hänger oder Steher mit der Fahrbahn verbunden. Ältere Bogenbrücken wurden hauptsächlich aus Steinen gebaut (Pelke, Ramm, & Stiglat, 2005). Abbildung 1.7 5: alte römische Steinbogenbrücke [Citypeek, de.wikipedia.org] 22

24 1.7.3 Seilbrücken Abbildung 1.7 6: Skizze 5 (Schrägseilbrücke) Abbildung 1.7 7: Skizze 6 (Hängebrücke) Schrägseilbrücken und Hängebrücken nutzen Tragseile, um die Lasten aus den einzelnen Bauteilen der Fahrbahn auf die Pylone abzuleiten. Bei Schrägseilbrücken sind die Tragseile von den Pylonen aus direkt mit der Fahrbahn verbunden und übertragen die Hauptlast auf diese. Hängebrücken hingegen bestehen aus einem horizontal gespannten Seilpaar und vertikalen Tragseilen, die dieses mit der Fahrbahn verbinden. Sowohl Schrägseilbrücken als auch Hängebrücken erlauben sehr große Spannweiten, es besteht aber eine Einsturzgefahr, weil sie durch Seitenwind zu Schwingungen angeregt werden können. Dies wird heutzutage zum Teil durch computergesteuerte Schwingungsdämpfer verhindert. 23

25 Last Zug Druck Abbildung 1.7 8: Skizze 7 (Kräfteverteilung Schrägseilbrücke) Diese Skizze zeigt die Kräfteverteilung innerhalb des Brückentragwerks einer Schrägseilbrücke. Druck Last Zug Abbildung 1.7 9: Skizze 8 (Kräfteverteilung Hängebrücke) Diese Skizze veranschaulicht die auftretenden Kräfte in einer Hängebrücke. Bei Hängebrücken unterscheidet man echte und unechte Hängebrücken voneinander. Bei echten Hängebrücken werden die Zugkräfte über eine Verankerung der Seile im Boden abgeleitet; bei unechten Hängebrücken werden die Kräfte nicht abgeleitet, da die Seile an den Brückenende an der Brücke selbst befestigt sind. 24

26 2 Berechnungen zu Brücken Zu Brücken gibt es sehr viele und vor allem komplexe Berechnungen, wie ich bei meinen Recherchen erfahren habe. Da Brücken aus mehreren vollkommen unterschiedlichen Teilen bestehen, die aufeinander abgestimmt werden müssen, gibt es in diesem Zusammenhang auch viele verschiedene Formeln und Zusammenhänge. Da ich diese nicht alle erwähnen und erläutern kann, werde ich mich auf grundsätzliche Berechnungen und besonders auf Berechnungen, deren Anwendung bei meiner Papierbrücke durchführbar ist, beschränken. 2.1 Tragfläche Die Tragfläche einer Brücke steht in direktem Kontakt zu Fahrzeugen und Fußgängern, deren Last in den einzelnen Teilen der Tragfläche aufgenommen wird. Die daraus resultierenden Kräfte werden zu den Widerlagern, Tragseilen und Pylonen weitergeleitet, die sie wiederum an den Untergrund weitergeben. festes Ende bewegliches Ende Abbildung 2.1 1: Skizze 9 (Tragfläche) Diese Skizze zeigt eine einfache Balkenbrücke, die an einem Ende fest mit dem Boden verankert und auf der anderen Seite beweglich gelagert ist, um zum Beispiel den Ausgleich temperaturbedingter Spannungen zu gewährleisten. 25

27 0,5 l F l 0,5 F 0,5 F Abbildung 2.1 2: Skizze 10 (Kräfteweiterleitung Tragfläche) Wird die Brücke in der Mitte belastet, so verteilt sich die Kraft gleichmäßig auf die beiden Auflagerstellen. Die Auflagerkraft am rechten Ende der Brücke lässt sich auch mithilfe des Drehmoment Gleichgewichts (Hebelgesetz) berechnen, welches in der folgenden Skizze dargestellt ist. D s1 s2 F1 F2 l F3 Abbildung 2.1 3: Skizze 11 (Drehmoment) Die Summe aller Drehmomente errechnet sich aus den Gewichtskräften multipliziert mit dem jeweiligen Abstand zum Drehpunkt und der Gegenkraft, die am anderen Ende des Balkens ansetzt, multipliziert mit der gesamten Länge des Balkens. 0 26

28 Anders ausgedrückt ist also die Summe aller linksdrehenden Drehmomente gleich der Summe aller rechtsdrehenden Drehmomente Druck, Zug und Schub Die auftretenden Kräfte in der Tragfläche lassen sich in Druck, Zug und Schub unterteilen. Durch die Belastung wird die Tragfläche der Brücke minimal nach unten durchgebogen, woraufhin im Obergurt Druck entsteht und das Material zusammengedrückt wird. Im Untergurt entstehen gleichzeitig Zugkräfte, da das Material durch die Biegung auseinandergezogen wird. Die Kräfte wirken entgegengesetzt, besitzen jedoch den gleichen Betrag. Druck 0 h h Zug Abbildung 2.1 4: Skizze 12 (Druck und Zugkräfte) Diese Skizze zeigt die innere Kräfteverteilung über den Querschnitt des Balkens. Die entstehenden Spannungen werden zur Balkenmitte hin immer geringer, wobei die geringste Spannung, nämlich 0, in der Balkenmitte erreicht wird. Ein Kräftepaar, das an einer Stelle des Balkens in Längsrichtung angreift, also die Druckkraft im Obergurt und die Zugkraft in Untergurt, nennt man auch Moment. Ein Moment hat eine drückende beziehungsweise ziehende Wirkung, welches zu einer Drehung führt, jedoch heben sich in diesem Fall die Drehrichtungen auf, da sie entgegengesetzt gerichtet sind. Wegen der Verformung des Balkens spricht man von einem Biegemoment. 27

29 Schub bezeichnet die Querkraft, die die vertikal wirkenden Kräfte parallel verschiebt. Diese Verschiebung senkrecht zur Wirkungslinie der Kraft leitet die Kräfte an die Lager weiter. Um Schub zu erklären, kann man sich Folgendes vorstellen: Die Fahrbahn besteht aus vielen nebeneinander liegenden Elementen. Wird nun das mittlere Element nach unten gedrückt, so reibt es an den beiden benachbarten Elementen und zieht diese mit sich nach unten und immer so weiter, bis die Kräfte am Element über dem Lager ankommen und von dort in das Lager übertragen werden Höhe der Tragfläche Um die nötige Höhe des Balkens zu berechnen, benötigt man den Abstand zwischen zwei Aufhängungen und die Belastung, der die Brücke standhalten soll. Außerdem braucht man Angaben zur Reißfestigkeit des verwendeten Materials, die aussagen, welchen Zugkräften es standhält. Wenn man davon ausgeht, dass die maximale Belastung in der Mitte eines Teilstücks zwischen zwei Aufhängungen stattfindet, so müssen beide Seile jeweils die Hälfte der Gewichtskraft tragen. S1 = 0,5 F F S2 = 0,5 F l H Abbildung 2.1 5: Skizze 13 (Höhe Tragfläche) Das maximale Biegemoment in Balkenmitte errechnet sich folgendermaßen: 2 ₁ 28

30 Zusätzlich zur gemessenen Reißfestigkeit des verwendeten Materials muss noch ein Sicherheitsfaktor beachtet werden, um die Tragfähigkeit der Brücke zu garantieren. M = ₁ = Reißfestigkeit (mit Sicherheitsfaktor) H (Höhe des Balkens) Durch Einsetzen der Werte in die Gleichung erhält man die Höhe, die die Tragfläche mindestens haben muss, um der Belastung standzuhalten. Geklärt ist mithilfe dieser Rechnung also, ob die Brücke den Zugkräften standhält, die Druckkräfte im Obergurt müssen aber ebenfalls beachtet werden. Bei Papier ist die Knickgrenze ein größeres Problem als die Reißgrenze, da es zwar Zugkräften standhält, Druckkräfte allerdings nur sehr schlecht beziehungsweise im zweidimensionalen Bereich gar nicht aufnehmen kann. Dieser Wert lässt sich für die Papierbrücke nicht berechnen, sondern ist nur experimentell ermittelbar. 2.2 Tragseile Da meine Brücke eine Schrägseilbrücke ist, werde ich hier ein paar wichtige Aspekte zu Seilbrücken aufführen. Die von den Tragseilen auf die Pylone übertragene Kraft hängt von dem Winkel ab, in dem das jeweilige Seil zur Tragfläche beziehungsweise zum Pylon gespannt ist. Man zerlegt die Seilkraft in eine vertikale und eine horizontale Komponente und stellt sie durch ein Kräfteparallelogramm dar. Die resultierende Seilkraft lässt sich durch folgende Gleichung berechnen: 29

31 Fs a F G F H Abbildung 2.2 1: Skizze 14 (Kräfte Tragseile) FG : Gewichtskraft auf die Tragfläche / der Tragfläche selbst FS : Zugkraft auf das Seil FH : Druckkraft parallel zur Tragfläche / Horizontalkomponente Die Gleichung lässt sich aus der Beziehung zwischen einem Winkel und zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck herleiten, wobei die Seiten des Dreiecks den auftretenden Kräften entsprechen und sowohl ihre Wirkungslinie als auch die Größe der Kraft (Seitenlänge) angeben. Die Gleichung für die Kraft, die auf das Seil wirkt, lässt sich von dieser Formel ableiten: sin Je weiter außen an der Tragfläche das Seil befestigt ist, desto flacher ist es gespannt, um so kleiner wird α, dem entsprechend wird sin α ebenfalls kleiner (sin 0 = 0), und demzufolge wird wiederum die Kraft Fѕ, die auf das Seil wirkt, größer. Die entsprechende Horizontalkomponente errechnet sich folgendermaßen: 30

32 Welche Gewichtskraft an der jeweiligen Stelle wirkt, an der das betrachtete Seil mit der Fahrbahn verbunden ist, hängt von dem Abstand der Tragseile und der Gewichtsverteilung innerhalb der Fahrbahn ab. Betrachtet man die gesamte Brücke, so zeigt sich folgende Kräfteverteilung: Last Zug Druck Abbildung 2.2 2: Skizze 15 (Kräfteverteilung Schrägseilbrücke) Die Berechnung des Brückendecks auf Biegung ist nicht einfach, insbesondere aufgrund der Tatsache, dass einzelne Seile wegen des leichten Überbaus unbelastet sein könnten. Daher stellt diese Skizze stattdessen den Kraftfluss dar, also den Weg, den die Kraft von der Belastung bis in den Boden nehmen muss. Es entstehen Zugkräfte in den Seilen, welche wiederum Druck auf die Pylone ausüben. Der Druck im Längsträger entsteht, da die Tragseile nicht senkrecht nach oben gehen und bei der Kräftezerlegung der vertikal gerichteten Gewichtskraft die Horizontalkomponente in die Fahrbahn führt. 31

33 3 Meine Brücke 3.1 Der Wettbewerb Ausschreibung Der Wettbewerb BRÜCKENschlag ist ein Schülerwettbewerb der Ingenieurkammer Hessen (IngKH): Die Aufgabe ist der Entwurf und Bau einer Fußgängerbrücke über eine Straße oder einen Fluss. Diese muss ein Gewicht von 1 kg an jeder Stelle des 7 bis 12 cm breiten Gehwegs tragen können. Die Brücke sollte filigran und elegant gestaltet sein und ein möglichst geringes Eigengewicht haben. Als Baumaterialien sind ausschließlich Papier (max. DIN A4 und 80g/m2), Holzund/oder Kunststoffstäbchen (max. Durchmesser bzw. Kantenlänge = 2,5 mm; max. Länge = 70 mm), Bastelkleber (kein Leim, Sprühkleber oder Harz etc.), Schnur und Stecknadeln zu verwenden. (Ingenieurkammer Hessen, 2012/13) Warum habe ich an dem Wettbewerb teilgenommen? Um den dritten Anforderungsbereich der besonderen Lernleistung im Rahmen der Abiturprüfung zu erfüllen, also eine Eigenleistung zu erbringen, plante ich, ein Modell einer Brücke zu bauen, wofür sich diese Papierbrücke sehr gut eignet. Der Wettbewerb gibt mir Rahmenbedingungen vor, sodass ich die Möglichkeit habe, mithilfe von Versuchen und verschiedenen Berechnungen, wobei es sich vor allem um Überschlagsrechnungen handelt, eine Papierbrücke zu konstruieren und dabei meine zuvor gesammelten Informationen zu nutzen, also die theoretisch erarbeiteten Kenntnisse praktisch anzuwenden. 32

34 3.1.3 Vorgaben des Wettbewerbes Ein 60 cm breites Tal mit einem 20 cm breiten Fluss beziehungsweise einer Straße in der Mitte, auf der keine Stützen gebaut werden dürfen, muss überbrückt werden, wobei die Auflageflächen der Brücke 5 cm über dem Tal liegen. Dies sind die Maße für eine Arbeitsunterlage, wie sie für den Wettbewerb vorgeschlagen wurde: Abbildung 3.1 1: Unterlage Modell (Ingenieurkammer Hessen, 2012/13) Mein Großvater half mir dabei, eine solche Unterlage zu konstruieren: 33

35 Abbildung 3.1 2: Unterlage Modell Die Brücke darf die Grundfläche der Arbeitsunterlage nicht überschreiten und auch nicht fest mit ihr verbunden sein. 3.2 Vorangehende Überlegungen Bei der Überlegung zu denkbaren Bauweisen müssen natürlich die Vorgaben des Wettbewerbes eingehalten werden, außerdem werden hierbei die Unterschiede meiner Papierbrücke zu einer Fußgängerbrücke in der Realität deutlich. Eine wichtige Grundinformation ist, dass die Brücke nicht mit der Unterlage verbunden sein darf; es sind also keine Gründungen möglich, was einige Varianten bereits ausschließt. Die Brücke wird nur von oben auf die Unterlage gestellt und liegt somit an den Seiten und auf Stützen außerhalb des mittleren Bereiches auf. Im Gegenteil zu Fußgängerbrücken in der Realität muss weder dem Ausgleich von Schwingungen Vorsorge getroffen werden, noch muss man Einwirkungen durch die Natur wie Wind, Temperatur und Erdbeben einplanen, es treten also keine 34

36 dynamischen Kräfte auf. Ebenso ist die Eigenlast der Brücke vernachlässigbar, da die Belastung deutlich höher ist als das Gewicht der Brücke selbst. Für die Konstruktion eines Geländers sowie die filigrane und elegante Gestaltung der Brücke spielen Mathematik und Physik keine Rolle, sie geben nur den Rahmen der Möglichkeiten dafür vor. Man könnte dies eher als einen zusätzlichen Teil des Brückenbaus betrachten, der die bereits erwähnte Ästhetik der Brücke ausmacht. 3.3 Tragfläche Die Länge des Brückengehwegs muss 62 cm 90 cm betragen und die Breite 7 cm 12 cm. Zur Konstruktion der Tragfläche hatte ich mehrere verschiedene Ansätze. Abbildung 3.3 1: Skizze 16 (ineinander gesteckte Papierrollen) Das Ineinanderstecken mehrerer Papierrollen hatte sich bei einer Papierbrücke, die ich vor ein paar Jahren in der Projektwoche gebaut habe, bereits als sehr effektiv gezeigt, da die versetzt darüberliegenden Rollen die Knickstellen zwischen den dünnen Rollen aussteifen. Da die Brücke aus der Projektwoche allerdings einem viel größeren Gewicht standgehalten hatte, stellt sich die Option dar, die Dicke der Rollen zu verändern, damit sie möglichst leicht, aber trotzdem noch stabil genug sind. Die anderen Varianten, die ich mir überlegt habe, lassen sich besser veranschaulichen, wenn man die Brücke in Längsrichtung betrachtet. Die zuvor aufgeführte Idee oder auch Papierrollen, die nicht ineinander gesteckt, sondern nur aneinander gelegt werden, kann man folgendermaßen anordnen: 35

37 Abbildung 3.3 2: Skizze 17 (Papierrollen) Mehrere Papierrollen sind nebeneinander mit Kleber befestigt und werden oben und unten zusätzlich von einem Papier zusammengehalten. Diese Papiere dienen als Ober und Untergurt der Tragfläche. T Träger oder Doppel T Träger werden häufig im Brückenbau verwendet, da in diesen die Kräfte optimal verteilt werden, wie es bei den Berechnungen im Kapitel Druck, Zug und Schub veranschaulicht wurde. Oben und unten treten die größten Spannungen auf und werden von den horizontalen Bauteilen (Ober und Untergurt) aufgenommen, während dazwischen die dünnen horizontalen Trägerstücke ausreichen, da hier nur sehr geringe Spannungen auftreten. Bei einer Papierkonstruktion besteht jedoch die Gefahr, dass die Tragfläche instabil wird, wenn die dünnen vertikalen Stege der Doppel T Träger zur Seite wegknicken. Um dies zu verhindern war meine Idee, Rollen an beiden Seiten in die Tragfläche mit einzubauen, sodass diese die vertikalen Teile der äußersten T Träger aufrecht halten und damit die gesamte Tragfläche stabilisieren. Die folgenden beiden Lösungen, um das Papier zu falten und zu kleben, sodass die Formen von Doppel T Trägern entstehen, habe ich mir überlegt: Abbildung 3.3 3: Skizze 18 (Doppel T Träger 1) Diese Variante ist schwer umsetzbar, da sich die zu klebenden Stellen von innen nur schwer aneinander halten lassen, um sie aneinander zu kleben. 36

38 Abbildung 3.3 4: Skizze 19 (Doppel T Träger 2) Diese Variante lässt sich leichter umsetzen, indem man die einzelnen Träger zuerst unten nebeneinander auf ein Blatt klebt und dann oben ein weiteres Blatt nacheinander auf die querliegenden Abschnitte der T Träger klebt. Eine weitere Variante für die Tragfläche ist, mehrere Papiere gefaltet ineinander zu kleben, sodass sich daraus eine dreieckige Konstruktion ergibt, die sehr stabil ist: Abbildung 3.3 5: Skizze 20 (Dreiecksträgerkonstruktion) 3.4 Pylone Da die vertikalen Belastungen über die Tragseile auf die Pylone übertragen werden, müssen diese das gesamte Gewicht aushalten und somit sehr stabil sein, da sie nicht knicken dürfen. Um dies umzusetzen, hatte ich folgende Ideen: Die Pylone können entweder rund oder eckig sein und wahlweise auch in ihrem Durchmesser und der Dicke variieren. Der Abstand der Pylone muss wegen der Straße beziehungsweise des Flusses in der Mitte der zu überbrückenden Strecke mindestens 20 cm betragen und sollte vorzugsweise gering gehalten werden, da die Knickgefahr der Pylone geringer ist, wenn sie steiler stehen. 37

39 Zug Druck Abbildung 3.4 1: Skizze 21 (Pylone Seil) Wenn die Pylone nur einen Abstand von 20 cm haben, müssen sie mithilfe eines Seiles oder etwas Vergleichbarem zusammengehalten werden, da sie sich ansonsten durch die Belastung nach außen verschieben. Bei einer echten Brücke sind die Pylone durch die Gründungen am Boden befestigt, sodass sie nicht noch zusätzlich zusammen gehalten werden müssten. Druck Abbildung 3.4 2: Skizze 22 (Pylone) Eine andere Variante ist, die Auflageflächen an den Seiten der Unterlage zu nutzen, um die Pylone daran abzustützen, damit sie zusammengehalten werden. Es werden keine Seile mehr benötigt, allerdings könnten die Pylone, wie bereits erwähnt, schon bei einer vergleichsweise geringeren Belastung der Brücke knicken. Am oberen Ende der Pylone lassen diese sich auf verschiedene Weisen miteinander verbinden. Beispielsweise durch schräges Anschneiden der beiden Papierrollen, 38

40 sodass sie aneinander geklebt werden und eine gemeinsame Spitze bilden. Wenn man die Pylone quer über der Tragfläche verbinden will, ergibt sich die Möglichkeit, eine weitere Papierrolle quer über den Gehweg oben an den Pylonen zu befestigen. Wenn man das untere Ende ebenfalls schräg anschneidet, sodass die Pylone eine größere Auflagefläche besitzen, stehen sie dadurch stabiler auf der Unterlage. 3.5 Tragseile Die Befestigung der Seile an der Tragfläche und den Pylonen lässt sich auf mehrere unterschiedliche Weisen gestalten. An der Tragfläche können die Seile durch eine in ihr längs liegende Papierrolle geführt werden, dabei sind immer zwei Tragseile miteinander verbunden. Sie dürfen allerdings nicht innerhalb der Röhre beweglich sein und müssen deshalb noch zusätzlich an der Rolle festgeklebt werden. Eine andere Möglichkeit ist, die Seile an Papierrollen oder Zahnstochern, die quer zum Gehweg angebracht sind, zu befestigen. Die Papierrollen beziehungsweise Zahnstocher werden hierfür unter die Tragfläche geklebt oder ragen seitlich aus ihr heraus. Bei der Befestigung der Tragseile an den Pylonen habe ich die folgenden Ideen bei meinen Modellen ausprobiert: Wenn man für die Pylone genug Papierlagen verwendet, lassen sich die Seile an einem kleinen Einschnitt befestigen, ohne dass die Pylone bei der Belastung einreißen, da die auftretenden Zugkräfte relativ gering sind. Mehr Stabilität, sodass die Pylone sich nicht ungewollt zur Seite bewegen und immer den gleichen Abstand zueinander haben, erreicht man mit einer quer auf den Pylonspitzen liegenden Papierrolle an der die Tragseile befestigt werden. Reißfestigkeit der Seile: 39

41 Ich habe die Reißfestigkeit des verwendeten Garns getestet, wobei es über 5 kg tragen konnte. Demzufolge ist es sicher, dass die Tragseile der vorgegebenen Belastung der Brücke von 1 kg standhalten werden. 3.6 Bau der Brücke Um Ideen zu entwickeln und diese miteinander zu vergleichen, sind Zeichnungen, Berechnungen und Messungen notwendig. Hierzu verwende ich einige der Formeln, die ich bereits zuvor erläutert habe. An Stellen, an denen es entweder keine Berechnungsmethoden gibt oder die komplexen Rechnungen für die Papierbrücke nicht sinnvoll anwendbar sind, teste ich mehrere Varianten, um herauszufinden, welche am besten geeignet ist Skizzen Brückentypen Ich habe einige Skizzen von grundsätzlichen Brückentypen mit den Maßverhältnissen für den Wettbewerb gezeichnet, um zu entscheiden, welche Brückenart ich verwenden werde. Balkenbrücke: Zwei Pylone in der Mitte und eine balkenförmige Tragfläche Abbildung 3.6 1: Skizze Balkenbrücke Die Konstruktion einer solchen Brücke ist realisierbar, da ich aber kaum Berechnungen dabei anwenden könnte, um mein Vorgehen zu verdeutlichen, ist sie nicht geeignet. 40

42 Bogenbrücke 1: Rundbogen unter einer gebogenen Tragfläche Abbildung 3.6 2: Skizze Bogenbrücke 1 Diese Konstruktion ist nur sehr schwer möglich, da Papier kaum Druckkräfte aushält; sie ist also nicht für eine Papierbrücke geeignet. Bogenbrücke 2: Bogenkonstruktion mit Seilen über der Tragfläche Abbildung 3.6 3: Skizze Bogenbrücke 2 Diese Konstruktion ist ebenfalls nur sehr schwer ausführbar. Das aus Seilen bestehende Trägersystem ließe sich umsetzen, der Rundbogen ist aber auch hier nicht geeignet, da Papier nicht die nötige Stabilität hat, um den entstehenden Druckkräften standzuhalten. 41

43 Seilbrücke 1: Zwei Pylone, die durch Tragseile mit den Brückenenden sowie der Brückenmitte verbunden sind Abbildung 3.6 4: Skizze Seilbrücke 1 Die Konstruktion dieser Brücke ist grundsätzlich denkbar, da aber keine Gründungen (Verankerungen mit der Unterlage) erlaubt sind, würden bei Belastung der Brückenmitte die Brückenenden angehoben werden. Seilbrücke 2: Zwei Pylone (oben verbunden), die durch fächerartig angeordnete Tragseile mit der Tragfläche verbunden sind Abbildung 3.6 5: Skizze Seilbrücke 2 42

44 Die Konstruktion ist möglich, da die Pylone sich gegenseitig stützen und damit gemeinsam die Hauptlast tragen, wofür durch Zuhilfenahme von mehreren Papierlagen die benötigte Stabilität erreicht wird. Ich habe mich für diese Brücke entschieden, die die Eigenschaften einer Schrägseilbrücke besitzt (siehe Schrägseilbrücken 1.7.3). Als nächstes müssen die Einzelteile und Proportionen der Brücke festgelegt werden. Hierzu gibt es erneut mehrere Lösungen, die auf den folgenden Seiten in Form mehrerer Modelle ausgearbeitet und verglichen werden Modell 1 Ich habe für dieses Modell die Tragflächengestaltung mit T Trägern und Papierrollen gewählt, wobei ich die einzelnen Schritte jeweils mithilfe von Fotos dokumentiert habe. Für die einzelnen Träger habe ich eine Höhe und Breite von je 1 cm gewählt. Vor dem Ausschneiden habe ich zwei Papierblätter aufeinander geklebt, um die Stabilität der T Träger zu erhöhen. Abbildung 3.6 6: Modell 1 (Papier gefaltet) 43

45 Um zu verhindern, dass die T Träger bei Belastung zur Seite wegknicken und außerdem zur Befestigung der Tragseile, habe ich vorgesehen Papierrollen an den Seiten der Tragfläche anzubringen. Abbildung 3.6 7: Modell 1 (Papierrolle) Die T Träger und die Papierrollen habe ich nebeneinander auf ein weiteres Blatt Papier geklebt, um sie zusammenzuhalten. Abbildung 3.6 8: Modell 1 (Konstruktion Tragfläche) 44

46 Meine erste Idee zur Befestigung der Tragseile war, sie durch die Papierrollen an der Seite der Tragfläche hindurchzuführen. Außerdem habe ich die Tragfläche aus drei Einzelteilen gebaut, zwischen denen sich jeweils eine kurze Papierrolle als Querträger befindet, die das Durchbiegen der Brücke in Querrichtung verhindern soll. Abbildung 3.6 9: Modell 1 (Tragseilbefestigung) Diese Skizze zeigt, wie die Tragseile genau an den Rollen befestigt sind: 45

47 Abbildung : Skizze 23 (Seilbefestigung 1) Die schwarzen Kästen sind die Papierrollen in der Tragfläche und jede der vier Farben stellt eines der Seile dar. Dies ist die fertige Tragfläche der Brücke: 46

48 Abbildung : Modell 1 (Belastungstest) Ich habe die Tragseile mit der Hand festgehalten und die Brücke auf die Unterlage gelegt. Im Folgenden werde ich die aufgetretenen Schwächen des Modells erläutern: Bereits ohne Belastung ist die Tragfläche nicht stabil, da sie an den Stellen, an denen sich die Querträger befinden, abknickt. Mit dem Gewicht wird dies noch deutlicher sichtbar, da die äußeren Elemente der Tragfläche angehoben werden. 47

49 Abbildung : Modell 1 (Knickstelle) Da die Knickstellen das Hauptproblem zu sein schienen, habe ich außerdem einen einzelnen Tragflächenabschnitt getestet, um herauszufinden, ob die grundsätzliche Konstruktion der Tragfläche stabil ist: Abbildung : Modell 1 (Belastungstest 2) Die Tragfläche hält 0,5 kg aus und ist generell sehr stabil, sodass das doppellagige Papier für die T Träger nicht zwingend notwendig ist. 48

50 3.6.3 Modell 2 Mit dem Entwurf dieses Modells versuche ich die Schwächen des vorherigen Modells zu beheben. Um keine Knickstellen in der Tragfläche zu haben, muss diese durchgängig sein und darf nicht aus einzelnen Elementen bestehen. Meine Idee in Bezug darauf ist, die Papiere der T Träger überlappend aneinander zu kleben, sodass diese ohne Unterbrechung vom einen Ende der Brücke bis zum anderen reichen. Für die Querträger habe ich noch keine Alternatividee, deshalb lasse ich diese vorerst unbeachtet. Weiterhin benutze ich Rollen an den Seiten, die als Seilbefestigung und zur Stabilisierung der Tragfläche dienen. Die beiden Rollen in der Mitte sind etwas kürzer, sodass sich Einkerbungen für die Pylone ergeben. Die äußeren Rollen verhindern, dass die Pylone sich bei Belastung der Brücke nach außen bewegen. Mithilfe von weiteren Seilen, die sich quer unter der Tragfläche befinden, verbinde ich die gegenüber liegenden Pylone, sodass diese direkt an der Tragfläche bleiben. Anfangs vermutete ich, dass es aufgrund der Höhe der Pylone gewährleistet sein müsse, dass eine Wasserflasche darunter stehen könne, jedoch wirkt diese Höhe deutlich zu groß, wenn man sie mit der Länge des Gehwegs vergleicht. Auf Nachfrage bekam ich die Information, dass beim Belastungstest der Brücke durch die Ingenieurkammer Hessen ein Eichgewicht verwendet wird, sodass keine Mindesthöhe der Pylone vorgegeben ist. Damit die Pylone möglichst senkrecht stehen, habe ich sie dennoch relativ lang konstruiert. Als Höhe habe ich etwa 30 cm gewählt (längs gerolltes Din A 4 Blatt), da dies einfach zu konstruieren ist und außerdem die Knickgefahr größer ist, wenn noch ein zweites Blatt daran befestigt wird. 49

51 Dies ist das zweite Modell: Abbildung : Modell 2 Ich habe mich für runde Pylone entschieden, da es beim Rollen des Papiers am einfachsten ist, mehrere Lagen übereinander zu kleben, damit die Pylone an Stabilität gewinnen. Ich habe darüber hinaus einen sehr kleinen Durchmesser für die Pylone gewählt, da sie dadurch filigraner wirken und somit der Brücke keinen so massiven Eindruck verleihen wie dicke Pylone, was der Ästhetik zugutekommt. Abbildung : Modell 2 (mit Unterlage) 50

52 Durch das überlappende Aneinanderkleben von drei Din A 4 Blättern in Querrichtung zur Konstruktion der T Träger, ist die Brücke jedoch etwas zu kurz geworden, sodass die Tragfläche nur ganz knapp auf den Auflageflächen aufliegt. Außerdem befinden die Pylone sich zu weit innen, da der Mindestabstand von 20 cm (rote Markierungen) nicht eingehalten wird, wie auf dem Foto zu erkennen ist. Als erfolgreich hat sich die veränderte Konstruktion der Tragfläche erwiesen, die sich auch bei Belastung trotz fehlender Querträger kaum messbar durchbiegt. Die Brücke bewegt sich allerdings noch sehr stark zu den Seiten, die Auflagefläche der Pylone ist also nicht optimal. Darüber hinaus ist die bisher verwendete Wolle nicht geeignet, da die Tragseilen bei diesem Modell kaum gespannt sind und Wolle außerdem großen Lasten nicht standhalten kann Modell 3 Die Länge der Brücke lässt sich recht einfach korrigieren, indem die Tragfläche um weitere Papierblätter verlängert wird. Damit die Pylone weit genug voneinander entfernt stehen, sind bei diesem Modell die Rollen, die sich in der Mitte befinden, genauso wie wie äußeren Rollen etwa 21 cm lang (quer gerolltes Din A 4 Blatt). Abbildung : Modell 3 (Papierrollen) 51