Humboldt-Universität zu Berlin. Topologie I. Dr. Batu Güneysu SS 2016

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1 Humboldt-Universität zu Berlin Topologie I Dr. Batu Güneysu SS 2016 Das Manuskript wurde erstellt von Christopher Braune

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3 Contents 1 Mengentheoretische Topologie 5 1 Grundbegriffe Konstruktionsprinzipien für topologische Räume Teilräume Quotientenräume Produkttopologie Abgeschlossene Mengen Konvergenz und Hausdorffräume Stetige Funktionen Homöomorphismen Zusammenhängende Räume Wegzusammenhängende Räume Kompakte topolopologische Räume Lokalkompakte Räume und Kompaktifizierungen Abzählbarkeitsaxiome und Separabilitätsaxiome Abzählbarkeitsaxiome Separationsaxiome Homotopie, Fundamentalgruppen und Überlagerungen 61 1 Grundbegriffe zur Homotopietheorie und Fundamentalgruppen Überlagerungen Homotopietypen von topologischen Räumen Die Fundamentalgruppe von S m mit m Klassifikation von Überlagerungen

4 4 CONTENTS

5 Chapter 1 Mengentheoretische Topologie 1 Grundbegriffe Wir werden im Wesentlichen dem Buch Topology von Munkres (second edition) folgen; im zweiten Teil der Vorlesung werden wir auch dem Buch Algebraic Topology von Hatcher 1 folgen. 18. April Sei im folgenden X eine beliebige Menge und P(X) die Potenzmenge von X, also die Menge aller Teilmengen von X. Definition 1.1 Ein Mengensystem T P(X) heißt eine Topologie auf X, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind: (Top1) Es gilt, X T. (Top2) Sind U i T für alle i I (mit I einer beliebigen Indexmenge), so auch i I U i T (d.h., beliebige Vereinigungen von Mengen aus in T sind wieder in T.) (Top3) Sind U, V T, so auch U V T (d.h., endliche viele Schnitte von Mengen aus T sind wieder in T.) Die Mengen aus T heißen die offenen Teilmengen des topologischen Raumes (X, T ). Bemerkung 1.2 Wenn keine Gefahr der Verwechslung besteht, so unterdrückt man T in der Notation und spricht von einem topologischen Raum X und nennt die Elemente von T die offenen Teilmengen von X. 1 Dieses Buch ist frei online erhültlich. 5

6 6 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Beispiel 1.3 Topologien existieren auf jeder Menge: So ist etwa T := P(X) eine Topologie auf X, die sogenanntee diskrete Topologie auf X (in dieser Topologie ist also jede Teilmenge von X ist offen). Außerdem ist auch T := {, X} eine Topologie auf X, die sogenannte antidiskrete Topologie auf X. Definition 1.4 Eine Abbildung d: X X [0, ) heißt eine Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt: (Met1) d(x, y) = 0 x = y (d.h., d is nicht entartet) (Met2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (Met3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung). Es gilt dann automatisch auch die umgekehrte Dreiecksungleichung, d.h. d(x, y) d(y, z) d(x, y) für alle x, y, z X. In obiger Situation heißt für r > 0, x X die Teilmenge B d (x, r) := {y X : d(x, y) < r} die offene Kugel um x mit Radius r. Dann ist T d := {U X : für alle x U existiert ein ε > 0 mit B d (x, ε) U} eine Topologie auf X, denn: (Top1): Dies ist trivialerweise erfüllt. (Top2): Sei U i T d für alle i I (mit I einer beliebigen Indexmenge). Sei x i U i, etwa in U 1. Dann gibt es ein ε > 0 mit B d (x, ε) U 1 i U i. (Top3): Sei U, V T d. Sei x U V. Dann gibt es ε 1, ε 2 > 0 mit B d (x, ε 1 ) U und B d (x, ε 2 ) V. Setzt man nun ε := min(ε 1, ε 2 ), so gilt B d (x, min(ε 1, ε 2 )) U 1 U 2. Definition 1.5 Ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf X heißt metrischer Raum. Bemerkung 1.6 Wie wir oben gesehen haben, induziert also jede Metrik d auf X kanonisch die Topologie T d auf X. Wenn nichts weiter gesagt wird, wird der gegebene metrische Raum mit der von der Metrik induzierten Topologie ausgestattet. In diesem Sinne sind metrische Räume immer topologische Räume.

7 1. GRUNDBEGRIFFE 7 Definition 1.7 Ein topologischer Raum (X, T ) metrisierbar, wenn die Topologie T von einer Metrik auf X erzeugt wird, d.h., wenn eine Metrik d auf X existiert mit T = T d. Zu bestimmen ob ein topologischer Raum metrisierbar ist, ist im Allgemeinen ein sehr schwieriges Problem. Wir werden später Kriterien dieser Art angeben. Beispiel 1.8 i) Auf jeder Menge existiert eine Metrik, etwa die diskrete Metrik { 1, x x d(x, y) = 0, x = y. Diese Metrik induziert gerade die diskrete Topologie. ii) Die antidiskrete Topologie ist metrisierbar, genau dann wenn X 1. iii) Auf R m wird durch ( m d eukl. (x, y) := x i y i i=1 ) 1 2 eine Metrik erzeugt, die sogenannte Euklidische Metrik. Die Topologie T deukl. heißt die Standardtopologie auf R m. Bemerkung 1.9 Wenn nichts weiter gesagt wird, wird R m stets mit seiner Standardtopologie versehen. Definition 1.10 Seien T 1, T 2 Topologien auf X. Dann heißt T 1 feiner (bzw. T 2 T 1 (bzw. T 1 T 2 ) gilt. gröber) als T 2, wenn Beispiel 1.11 i) Die diskrete Topologie auf X ist feiner als jede andere Topologie auf X. ii) Die antidiskrete Topologie auf X ist gröber als jede andere Topologie auf X. iii) Im Allgemeinen besteht keine Beziehung dieser Art zwischen zwei beliebigen Topologien. Offene Kugeln scheinen metrische Topologien zu erzeugen, dies motiviert die folgende Definition: Definition 1.12 Sei B P(X) ein Mengensystem. Dann heißt B eine Basis auf X, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (B1) Zu jedem x X existiert ein B B mit x B.

8 8 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE (B2) Zu je zwei B 1, B 2 B und x B 1 B 2 existiert ein B 3 B mit x B 3 B 1 B 2. In obiger Situation definieren wir weiters ein Mengensystem T B P(X) durch U T B zu jedem x U existiert ein B B mit x B U. Dann ist T B eine Topologie auf X (Übung), die sogenannte von B erzeugte Topologie. Definition 1.13 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und B P(X). Dann heißt B eine Basis von T, wenn B eine Basis auf X ist mit T = T B. Bemerkung 1.14 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Es ist leicht zu sehen, dass eine Basis auf X ist, mit T Bd = T d. B d := {offene d-bälle} = {B d (x, r) : x X, r > 0} Theorem 1.15 Sei B eine Basis auf X, U X. Dann ist U T B genau dann, wenn eine Indexmenge I sowie zu jedem i I eine Menge U i B existiert mit U = i I U i. 18. April : Sei U T B. Dann existiert für alle x U ein B x B mit x B x U. D.h., U = x U B x. : Sei x U = i U i mit U i B. Dann gibt es ein j I mit x U j U. Also gilt U T B. Alternativ: Wir wissen: U i B T B. Dann gilt auch i U i T B, nach (Top2). Theorem 1.16 (Kriterum für eine Basis) Sei (X, T ) ein topologischer Raum, C T ein Mengensystem mit der folgenden Eigenschaft: Für alle U T und alle x U existiert ein C C mit x C U. Dann ist C eine Basis von T, also T = T C. 1. C ist eine Basis auf X, denn: (B1) Wende Voraussetzung mit U = X T an. (B2) Seien C 1, C 2 C, x C 1 C 2. Dann gilt C 1 C 2 T, also existiert C C mit x C C 1 C 2.

9 1. GRUNDBEGRIFFE 9 2. T = T C, denn: i) U T, x U = C C mit x C U = U T C. ii) U T C = U = i U i mit U i C, da C eine Basis ist = U = i U i T. Man kann Feinheit an Basen ablesen: Theorem 1.17 Sei B j eine Basis der Topologie T j auf X (j = 1, 2). Dann gilt: T 1 T 2, genau dann wenn für alle x X und alle B 1 B 1 mit x B 1 ein B 2 B 2 existiert mit x B 2 B 1. : Sei x B 1 B 1. Da B 1 T 1 T 2, existiert ein B 2 T B2 = T 2 mit x B 2 B 1. : Sei U 1 T 1, x U 1. Da T 1 = T B1, gibt es ein B 1 B 1 mit x B 1 U 1. Nach Voraussetzung gibt es ein B 2 B 2 mit x B 2 B 1 U 1. Also U 1 T B2 = T 2. Theorem 1.18 Seien d, d Metriken auf X. Dann gilt T d T d, genau dann wenn für alle x X und alle ε > 0 ein δ > 0 existiert mit B d (x, δ) B d (x, ε). Die jeweiligen offenen Bälle sind Basen. : Es existiert ein Ball B d (x, ε ) mit B d (x, ε ) B d (x, ε). Daraus folgt B d (x, δ) B d (x, ε ), mit δ := ε d(x, x ). : Sei y X, ε > 0, x X beliebig mit y B d (x, ε). Zu zeigen ist die Existenz eines offenen d -Balles B mit y B B d (x, ε). Für ε := ε d(x, y) gilt jedenfalls y B d (y, ε) B d (x, ε). Nach Voraussetzung existiert ein δ > 0 mit y B d (y, δ) B d (y, ε) B d (y, ε), was zu zeigen war. Definition 1.19 S P(X) heißt eine Subbasis auf X, falls X = S S S, d.h., falls jedes x X in einem S S liegt. In dieser Situation definieren wir T S P(X) wie folgt: U T S U lässt sich schreiben als Vereinigung von Mengen der Art n i=1 S i, wobei n N, S 1,..., S n S. Lemma 1.20 Sei S eine Subbasis auf X. Dann ist { n } B S := S i : n N, S 1,..., S n S i=1 eine Basis auf X mit T BS = T S. Insbesondere ist also T S eine Topologie auf X.

10 10 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE (B1) Folgt aus der Definition: X = S S S. (B2) Seien n ñ S i, S i B S und x ( n S i ) ( ñ S i ). i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 (B2) folgt dann direkt aus ( n S i ) ( ñ S i ) B S.

11 2. KONSTRUKTIONSPRINZIPIEN FÜR TOPOLOGISCHE RÄUME 11 2 Konstruktionsprinzipien für topologische Räume 2.1 Teilräume Definition und Satz 1.21 Sei (X, T ) ein Topologischer Raum und sei Y X beliebig. Dann ist T Y := {Y U : U T } eine Topologie auf Y, die sogenannte Teilraumtopologie auf Y (bezüglich T ). (Top1) = Y, Y = X Y und, X T nach Voraussetzung =, Y T Y. (Top2) Sind U i T Y für alle i I, so gibt es zu jedem i I ein Ũi T mit U i = Ũi Y, also ( ) i U i = i Ũi Y T Y. (Top3) Ein analoges mengentheoretisches Argument wie für (Top2). Bemerkung Mengen in T Y können sehr wild relativ zu T sein. 2. Sei X (X, T ) ein topologischer Raum und Y X. Dann sagen wir auch U ist offen in Y, falls U T Y. Analog sagen wir U ist offen in X, falls U T. Wenn nichts anderes dazugesagt wird, statten wir alle Teilmengen des R m Teilraumtopologie bezüglich der Standardtopologie des R m aus. mit der Lemma 1.23 Sei (X, T ) ein topologischer Raum und Y T. Dann gilt für alle U T Y auch U T (also in obiger Terminologie: Y offen in X und U offen in Y = U offen in X). Sei U T Y. Dann gibt es ein Ũ T mit Ũ Y = U. Da aber Ũ, Y T, ist dann auch U = Ũ Y T. Lemma 1.24 (Basen induzieren Teilbasen) Sei (X, T ) ein topologischer Raum, Y X beliebig und B eine Basis von T. Dann ist B Y = {Y B : B B} eine Basis von T Y. Trivial.

12 12 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE 2.2 Quotientenräume Definition und Satz 1.25 Sei (X, T ) ein topologischer Raum, A eine beliebige Menge und f : X A eine beliebige Abbildung. Dann ist T f = {U A : f -1 (U) T } eine Topologie auf A, die sogenannte von T und f erzeugte Topologie. Der Beweis ist leicht und folgt sofort aus rein mengentheoretischen Argumenten: (Top1) f -1 (A) = X, f -1 ( ) =. (Top2) f -1 ( i U i) = i f -1 (U i ). (Top3) f -1 (U 1 U 2 ) = f -1 (U 1 ) f -1 (U 2 ). 25. April Beispiel Sei eine Äquivalenzrelation auf X und X / die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen, sowie π : X X /, x [x] die kanonische Projektion. Ist nun T eine Topologie auf X, so heißt die oben definierte Topologie T π die Quotiententopologie auf X /. 2. Sei die Sphäre S m R m+1 definiert durch { S m := x R m+1 : m+1 i=1 x 2 i = 1 Auf S m sei x y definiert durch x y x = ±y; dann ist RP m := Sm / der m dimensionale reell projektive Raum; er wird üblicherweise versehen mit der Quotiententopologie T π. 3. Sei X := [0, 1] [0, 1] R 2 ; auf X sei (x, y) (x, y ) (x, y) = (x, y ) oder {x, x } = {0, 1} und y +y = 1; dann ist X / das Möbiusband; es wird üblichwerweise versehen mit der Quotiententopologie T π. }.

13 2. KONSTRUKTIONSPRINZIPIEN FÜR TOPOLOGISCHE RÄUME Produkttopologie Sei J eine beliebige Indexmenge und zu jedem α J sei (X α, T α ) ein topologischer Raum und π α : β J X β X α, (x β ) β J x α die kanonische Projektion. Satz und Definition 1.27 Mit S Xβ := {π -1 β (U β) : U β T β } ist S β X β := β J S Xβ eine Subbasis auf α X α. Die davon erzeugt Topologie T α Xα auf α X α heißt die Produkttopologie auf α X α. Eine Basis dieser Topologie ist gegeben durch B := α { Xα } : U β T β für alle β J, U β = X β für alle bis auf endlich viele β J. β J U β 1. S α Xα ist sicherlich eine Subbasis auf dem Produktraum. 2. Noch zu zeigen ist B = B α Xα S ( ). α Xα Hierzu stellen wir fest, dass B S = α Xα {π-1 β 1 (U β1 )... πβ -1 n (U βn ) : n N, β 1,..., β n J, β i β j für i j, U βj T j j = 1,..., n}. Daraus kann man ( ) ablesen, denn: B B α Xα S α Xα: dies ist klar B S α Xα B : die folgt, indem man setzt U α Xα β := {U βj, falls β = β j für ein j = 1,..., n}. Bemerkung Es gibt außer der Produkttopologie noch eine weitere kanonische Topologie auf α X α: Sei hierzu { } B Box U β : U β T β für alle β J. α Xα := β J Es ist leicht zu sehen, dass dies eine Basis auf α X α ist. Die induzierte Topologie T α Box heißt Boxtopologie auf Xα α X α. 2. Falls J endlich ist, so gilt offensichtlich T α Xα = T Box α Xα. 3. Im Allgemeinen gilt T Box α Xα T α Xα. Tatsächlich hat die Boxtopologie so viele offene Mengen, dass dies zu einigen pathologische Eigenschaften der Boxtopologie führt (so werden wir etwas später sehen dass unendliche Produkte kompakter topologischer Räume nicht einmal lokalkompakt sein brauchen in der Boxtopologie, aber sogar kompakt sind in der Produkttopologie).

14 14 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Beispiel 1.29 Es ist leicht zu sehen, dass die Standardtopologie auf R m übereinstimmt mit der Produkttopologie auf R m = R 1... R 1, wobei natürlich jeweils R 1 mit der Standardtopologie versehen ist. Theorem 1.30 Sei (X α, T α ) ein topologischer Raum für jedes α J, und sei jeweils (A α, (T α ) Aα ) (X α, T α ) ein Teilraum (insbesondere also selbst ein topologischer Raum). Dann stimmt auf α A α die Produkttopologie mit der Teilraumtopologie α A α α X α überein, wobei α X α mit der Produkttopologie versehen ist. Uebung. Beispiel 1.31 Sei T m := S 1... S 1 R 2m der Standardtorus (wobei also S 1 R 2 mit der Teilraumtopologie ausgestattet wird). Es ist also nach den obigen Resultaten egal, ob man T m die Produkttopologie, oder die Teilraumtopologie R 2m gibt.

15 3. ABGESCHLOSSENE MENGEN 15 3 Abgeschlossene Mengen Definition 1.32 Sei X (X, T ) ein topologischer Raum. Dann heißt A X abgeschlossen (bezüglich T ), wenn X\A offen (bezüglich T ) ist. Beispiel Ist X ein topologischer Raum, so ist X selbst abgeschlossen in der zugrundeliegenden Topolgie. 2. Intervalle der Art [a, b] R, a < b reell, sind abgeschlossen: X\[a, b] = (, a) (b, ) ist offen. 3. Intervalle der Art [a, ) R, a reell, sind abgeschlossen. 4. Intervalle der Art [a, b) R, a, b reell sind weder offen noch abgeschlossen. 5. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist Bd (x, r) := {y X : d(x, y) r} abgeschlossen. Theorem 1.34 Sei X ein topologischer Raum. Dann gilt: 1., X sind abgeschlossen. 2. Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. 3. Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Für eine Teilmenge A X bezeichne im Beweis A c := X \ A stets das Komplement von A in X. 1. X, sind offen = = X\X, X = X\ sind abgeschlossen. 2. Sei I eine beliebige Indexmenge, U i abgeschlossen für alle i I. Dann ist U c i offen, insbesondere ist also auch i I U c i offen. Nach den De Morganschen Gesetzen also: U i = ( ) c, Ui c der Schnitt ist also abgeschlossen. i I i I 3. Seien U 1, U 2,..., U n abgeschlossen. Dann gilt wieder nach den De Morganschen Gesetzen: U i = ( ) c, Ui c und endliche Schnitte offener Mengen sind offen. 1 i n 1 i n

16 16 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Wir können Topologien also genauso gut durch die Angabe ihrer abgeschlossenen Mengen charakterisieren. Ist etwa T P(X) ein Mengensystem ( abgeschlossene Mengen ), das die Axiome 1,2 und 3 aus Theorem 1.34 erfüllt, dann existiert offensichtlich genau eine Topologie T auf X mit T = {abgeschlossen Mengen bzgl. T }. Analog zu den offenen Mengen werden wir die folgende Terminologie verwenden: 27. April Bemerkung 1.35 Ist X ein topologischer Raum und Y X eine beliebige Teimenge, so nennen wir A Y abgeschlossen in Y, falls A abgeschlossen in der Teilraumtopologie von Y ist, und Y heißt abgeschlossen in X, falls A abgeschlossen in der Topologie von X ist. Theorem 1.36 Sei X ein topologischer Raum, Y X ein Teilraum, A Y. Dann ist A abgeschlossen in Y, genau dann wenn A = Y C für eine in X abgeschlossene Menge C X gilt. : Y \A ist offen in Y = Y \A = Y U mit U X offen = A = Y (X\U) wobei X\U =: C abgeschlossen in X ist. : X\C ist offen in X = (X\C) Y = Y \A ist offen in Y. Theorem 1.37 Sei X ein topologischer Raum, Y X abgeschlossen. Dann ist A Y abgeschlossen in Y, genau dann wenn A abgeschlossen in X ist. Leicht. Definition 1.38 Sei X ein topologischer Raum, und A X. i) Das Innere Å von A ist definiert durch Å = U. ii) Der Abschluss Ā von A ist definiert durch Ā = Bemerkung 1.39 U A U offen in X F A F abgeschl. in X F i) Å ist offen in X, Ā ist abgeschlossen in X und Å A Ā. ii) Å ist die größte offene Teilmenge von X, die in A enthalten ist, und Ā ist die kleinste Teilmenge von X, die A enthält.

17 3. ABGESCHLOSSENE MENGEN 17 iii) A B = Ā B und Å B. iv) A ist offen A = Å A ist abgeschlossen A = Ā. v) Sei (X, d) ein metrischer Raum, r > 0, x X. Es gilt im Allgemeinen nur B d (x, r) B d (x, r), was aus B d (x, r) B d (x, r) = B d (x, r) B d (x, r) folgt. Ist z.b. X eine Menge die mindestens die beiden voneinander verschiedenen Elemente x, y enthält, und ist d die diskrete Metrik auf X, so gilt B d (x, 1) = {y, x} {x} = B d (x, 1). Oft ist auch folgende einfache Feststellung nützlich: Ist A X ein Teilraum und Y A, so ist der Abschluss von Y in A gerader der Abschluss von Y in X geschnitten mit A. Wie werden für diesen Sachverhalt oft Ȳ A = Ȳ X A. schreiben. Dies folgt leicht aus der Definition des Abschlusses und der Teilraumtopologie. Definition 1.40 Sei X ein topologischer Raum, x X. Dann heißt U X eine Umgebung von x, falls x U gilt und U offen ist. Theorem 1.41 Sei X ein topologischer Raum, A X, x A. Dann gelten folgende Aussagen: i) Es gilt x Ā, genau dann wenn jede Umgebung U von x einen nichtleeren Schnitt mit A hat. ii) Sei B eine Basis der Topologie auf X. Dann ist x Ā, genau dann wenn jede Umgebung U B von x einen nichtleeren Schnitt mit A hat. 1. Wir zeigen: x / Ā es existiert eine Umgebung U von x mit U A =. : Man setze einfach U = X\Ā. : X\U abgeschlossen ist mit X\U A; dies zeigt X\U = X\U x / Ā. Ā, also 2. : Diese Aussage folgt aus Teil i). : Sei U eine beliebige Umgebung von x. Dann gibt es ein B B mit x B U. Nach Voraussetzung hat B nichtleeren Schnitt mit A, also hat auch U nichtleeren Schnitt mit A. Nutze nun Teil i).

18 18 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Theorem 1.42 Sei J eine beliebige Indexmenge, und zu jedem α J jeweils X α ein topologischer Raum, und sei A α X α. Dann gilt: α J Āα = α J A α, wobei α J X α mit der Produkttopologie versehen ist und α J A α als Teilmenge von α J X α betrachtet wird. : Sei x α J Āα und sei U = α U α ein Element der kanonischen Basis der Produkttopologie, mit x U = α y α U α A α = y := (y α ) α J U ( α J A α) = x α J A α. : Sei x = (x α ) α J A α. Zu jedem β J sei V β X β eine beliebige Umgebung von x β = πβ -1(V β) α J X α ist eine Umgebung von x = y = (y α ) ( α A α) πβ -1(V β) = y β A β V β = x β Āβ. Definition 1.43 Sei X (X, T ) ein topologischer Raum, A X, x X. Dann heißt x ein Häufungspunkt von A, falls für jede Umgebung U von x die Menge U A einen von x verschiedenen Punkt enthält. Bemerkung 1.44 In obiger Situation ist x genau dann ein Häufungspunkt (HP) von A, wenn x A\{x} gilt. Beispiel 1.45 Sei A := [a, b) R mit a, b reell. Dann ist {HP e von A} = [a, b]. Theorem 1.46 Sei X ein topologischer Raum, A X. Dann ist Ā = A {HP e von A}. Die Inklusion Ā A {HP e von A} sieht man wie folgt: Zum einen gilt A Ā. Ist hingegen x ein HP von A, so enthält jede Umgebung U von x einen von x verschiednen Punkt aus A, d.h. U hat einen nichtleeren Schnitt mit A, also ist x Ā. Wir müssen noch Ā A {HP e vona} zeigen: Sei x Ā. Falls x A, so ist nichts weiter zu tun. Also sei nun x / A. Dann hat jede Umgebung von x einen nichtleeren Schnitt mit A\{x}. Per Definition ist also x Häufungspunkt von A. Da eine Teilmenge A eines topologischen Raumes genau dann abgeschlossen ist, wenn A = Ā gilt, folgt: Korollar 1.47 Sei X ein topologischer Raum, A X. Dann ist A abgeschlossen, genau dann wenn A all seine Häufungspunkte enthält.

19 3. ABGESCHLOSSENE MENGEN 19 Definition 1.48 Sei X ein topologische Raum, A X. Dann ist der Rand A von A definiert durch A = Ā\Å. Theorem 1.49 Sei X ein topologischer Raum, A X. Dann gilt: i) Ā = Å A ii) A = A ist offen und abgeschlossen iii) A ist offen A = Ā\A i) Å A = Å (Ā\Å) = Å Ā = Ā, da Å Ā. A Å = (Ā\Å) Å =. ii) A = Ā = Å Ā = A = Å, wegen (i) und Å A Ā. iii) A ist offen A = Å Ā\Å = Ā\A A = Ā\A, wegen Å, A Ā.

20 20 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE 4 Konvergenz und Hausdorffräume Definition 1.50 Sei X ein topologischer Raum, (x n ) n N X eine Folge, und x X. Dann sagen wir x n konvergiert gegen x für n (in Zeichen: x n x für n ), falls zu jeder Umgebung U von X ein N(U) N existiert, so dass x n U für alle n N(U). Bemerkung 1.51 Im Allgemeinen haben Folgen in topologischen Räumen mehr als nur einen Grenzwert. Die manchmal dennoch benutzte Notation lim x n = x ist dann sinnlos; am ehesten n würde vielleicht die Notation x lim x n Sinn machen. n Dies ist eine der Motivationen für die folgende Definition: Definition 1.52 Ein topologischer Raum X heißt ein Hausdorffraum, wenn zu allen x, y X mit x y Umgebungen U von x und V von y existieren mit U V =. Theorem 1.53 Sei X ein Hausdorffraum. Dann gelten folgende Aussagen: i) Alle einelementigen Teilmengen von X sind abgeschlossen. 2.Mai ii) Sei (x n ) n N eine Folge in X, x, y X mit x n x und x n y. Dann gilt x = y. i) Sei x X. Zu zeigen ist {x} {x}, d.h. X\{x} X\{x}. Sei hierzu y X\{x}. Es existiert eine Umgebung U von y und W von x mit U W = = y / {x}. ii) Angenommen y x. Dann existieren Umgebungen U von x und W von y mit U W =. Es gibt ein N(U) N, so dass für alle n N(U) gilt x n U. Analog gibt es ein N(W ) N, so dass für alle n N(W ) gilt x n W. Dann gilt aber für N := max(n(u), N(V )), dass x N U und x N V, also x N U V =. Widerspruch! Definition 1.54 Topologische Räume, in denen die Aussage i) des vorherigen Satzes stimmt (also in denen alle einelementigen Teilmengen abgeschlossen sind), nennt man T 1 -Räume. Hausdorffräume nennt man auch T 2 -Räume. So ist etwa R mit der aus der Übung bekannten kofinitien Topologie T 1, aber nicht T 2.

21 4. KONVERGENZ UND HAUSDORFFRÄUME 21 Lemma 1.55 Jeder metrisierbare topologische Raum ist ein Hausdorffraum. Sei d Metrik auf X, so dass die Topologie auf X durch d erzeugt wird. Seien x, y X beliebig, x y. Setze r := d(x,y). Dann sind B 2 d (x, r) und B d (y, r) Umgebungen von x beziehungsweise y. Es gilt B d (x, r) B d (y, r) =, denn für alle z B d (x, r) gilt d(y, z) d(y, x) d(x, z) = d(y, z) d(x, z) > 2r r = r nach der umgekehrten Dreiecksungleichung, also z / B d (y, r). Theorem 1.56 Es gelten folgende Aussagen: i) Teilräume von Hausdorffräumen sind Hausdorffräume. ii) Sei X ein topologischer Raum. Dann ist X ein Hausdorffraum, genau dann wenn X := {(x, x) : x X} X X in der Produkttopologie abgeschlossen ist. iii) Sei J eine beliebige Indexmenge und X α (α J) jeweils ein topologischer Raum. Dann ist α J X α ein Hausdorffraum in der Produkttopologie, genau dann wenn X α für alle α J Hausdorffräume sind. Teil i) ist trivial, der Rest wird in der Übung bewiesen.

22 22 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE 5 Stetige Funktionen Definition 1.57 Seien X, Y topologische Räume. Dann heißt eine Abbildung f : X Y stetig, falls für alle offene Teilmengen V Y die Menge f -1 (V ) X offen ist. Lemma 1.58 Seien X, Y topologische Räume und sei S eine Subbasis der Topologie von Y. Dann ist f : X Y stetig, genau dann wenn für alle S S die Menge f -1 (S) X offen ist. : trivial. : Sei V Y. Dann existiert eine Indexmenge J und zu jedem α J eine Zahl n α N, sowie S α,1,..., S α,nα S mit V = nα α J j=1 S α,j = f -1 (V ) = α j f -1 (S α,j ) mit f -1 (S α,j ) offen. Theorem 1.59 Seien X, Y topologische Räume und f : X Y eine beliebige Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: i) f ist stetig. ii) Für jede Teilmenge A X gilt f(a) f(a). iii) Für jede abgeschlossene Teilmenge A Y ist f -1 (A) X abgeschlossen. iv) Für jedes x X und jede Umgebung V Y von f(x) existiert eine Umgebung U X von x mit f(u) V. Wir zeigen i) = ii) = iii) = i), i) iv) i) ii): Sei x Ā. Zu zeigen: f(x) f(a). Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Umgebung V Y von f(x) die Menge V einen nichtleeren Schnitt mit f(a) hat ( ). Da f stetig ist, ist f -1 (V ) ist offen, also eine Umgebung von x. Wegen x Ā hat f -1 (V ) nichtleeren Schnitt mit A. Nimm y A f -1 (V ) = f(y) f(a) V = ( ). ii) iii): Zu zeigen ist f -1 (A) f -1 (A). Hierzu: f(f -1 (A)) A = f(f -1 (A)) n.v. f(f -1 (A)) Ā = A = f -1 (A) f -1 (A).

23 5. STETIGE FUNKTIONEN 23 iii) i): Sei V Y offen. Es gilt: f -1 (Y \V ) = f }{{} -1 (Y )\f -1 (V ) = X\f -1 (V ) = X\f -1 (V ) abgeschlossen abgeschlossen = f -1 (V ) offen = f stetig. i) iv): Setze U := f -1 (V ). iv) i): Sei V Y offen. Für jedes x f -1 (V ), also f(x) V existiert U = U x (Umgebung von x) mit f(u x ) V. Aus U x f -1 (V ) folgt f -1 (V ) = x f -1 (V ) U x, d.h. f -1 (V ) ist offen, und somit f stetig. Theorem 1.60 Seien X, Y, Z topologische Räume. i) Konstante Funktionen f : X Y sind stetig. ii) Sei A X ein Teilraum. Dann ist die Inklusionsabbildung ι A : A X stetig. iii) Seien f : X Y, g : Y Z stetig. Dann ist g f : X Z ist stetig. iv) Sei A X ein Teilraum und f : X Y stetig. Dann ist f A : A Y ist stetig. v) Sei f : X Y stetig. 1) Ist Z Y ein Teilraum mit f(x) Z, so ist die Abbildung g : X Z, g(x) := f(x) stetig. 2) Ist Y Z ein Teilraum, so ist h: X Z, h(x) := f(x) stetig, vi) Sei U α (α J) X offen und f : X Y gegeben mit f Uα : U α Y stetig und X = U α. Dann ist f stetig. α J 4. Mai i) Sei y 0 Y mit{ f(x) = y 0 für alle x. Für beliebige V Y (insbesondere für offene) gilt: f -1 X, falls y 0 V (V ) = und diese beiden Mengen sind offen., falls y 0 / V ii) Ist U X offen in X, so ist ι -1 A (U) = U A per Definition der Teilraumtopologie offen in A.

24 24 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE iii) Sei V Z offen = (g f) -1 (V ) = f -1 (g -1 (V )) offen (da f, g stetig) iv) A f A Y = f A stetig nach ii)+iii) (f A = f ι A ) ι A X f v) 1) Sei B Z offen in Z. = B = U Z mit U Y offen in Y. Aus Z f(x) folgt g -1 (B) = f -1 (U) was offen in X ist, da f stetig ist. 2) X h Z = h stetig nach ii)+iii) f Y ι Y vi) Sei V Y offen. Die Mengen f -1 (V ) U α = f -1 Uα (V ) sind offen in U α, also offen in X. Daraus folgt, dass die Menge f -1 (V ) = ( ) f -1 (V ) U α als Vereinigung offener Mengen offen in X ist. Theorem 1.61 Seien X, Y topologische Räume, A, B X, f A : A Y stetig, f B : B Y stetig, X = A B, f A A B = f B A B. Sind dann entweder A und B beide abgeschlossen oder beide offen, so existiert genau eine stetige Funktion f : X Y mit f A = f A und f B = f B. Sei f : X Y, f(x) = α J { f A (x), x A f B (x), x B. Falls A, B beide offen sind, ist nach obigem Theorem (vi) die Abbildung f stetig. Seien nun A, B X abgeschlossen und Y abgeschlossen. Wir zeigen, dass f -1 (C) X abgeschlossen in X ist. Es gilt f -1 (C) = f -1 A (C) f -1 B abgeschlossen in X ist. Die Menge fb -1 Behauptung. (C), wobei n.v. f -1 A (C) abgeschlossen in A, also auch (C) ist analog abgeschlossen in X, also folgt die Bemerkung 1.62 Sei J eine beliebige Indexmenge und jeweils X α topologische Räume (α J), sowie α J X α mit der Produkttopologie versehen. Es ist dann leicht zu sehen, dass die Projektionsabbildungen π α : α J X α X α stetig und offen sind. Hierbei heißt eine Abbildung zwischen topologischen Räumen offen, wenn sie offene Mengen auf offene Mengen abbildet).

25 5. STETIGE FUNKTIONEN 25 Theorem 1.63 Seien X, X α topologische Räume (α J, mit J einer beliebigen Indexmenge), und sei α J X α mit der Produkttopologie versehen. Dann ist f = (f α ) α J : X α J X α stetig, genau dann wenn f α : X X α stetig ist für alle α J. Wie bemerken zunächst, dass S = {π -1 β (U β) U β X β offen} eine Subbasis der Produkttopologie ist. β J : Da f stetig ist, gilt dies auch für f α = π α f. : Es genügt zu zeigen, dass für alle U S die Menge f -1 (U) X offen ist. Hierbei ist V = π -1 β (U β) die allgemeine Form von U mit U β X β. Es gilt aber f -1 (U) = f -1 (π -1 β (U β )) = f -1 β (U β ), was offen in X ist. Bemerkung 1.64 Das obige Theorem stimmt im Allgemeinen nicht für die Boxtopologie: Nimm f : R R =: R N, f n = id R die Identitätsabbildung für alle n R. Die n N Menge n N ( 1/n, 1/n) ist offen in RN in der Boxtopologie, aber die Menge ( ) f 1 1/n) = n N( 1/n, ( ) fn 1 ( 1/n, 1/n) = ( 1/n, 1/n) = {0} n N ist nicht offen in R. Korollar 1.65 Sei X ein topologischer Raum und seien f 1, f 2 : X R stetige Funktionen. Dann sind f 1 + f 2, f 1 f 2, (letzteres falls f 2 (x) 0 für alle x X) stetig. f 1 f 2 Jede dieser Funktionen ist jeweils eine Verkettung der stetigen Abbildungen X (f 1,f 2 ) R R Ψ R, wobei Ψ = +,, / usw. Hier ist natürlich R R mit der Produkttopologie ausgestattet worden. Lemma 1.66 Sei X ein topologischer Raum, A X, x X. Dann gelten folgende Aussagen: i) Existiert eine Folge (x n ) n N A mit x n x für n, so ist x Ā. n N

26 26 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE ii) Sei X metrisierbar und x Ā. Dann existiert eine Folge (x n) n N A mit x n x für n. i) Es gilt x Ā, genau dann wenn jede Umgebung von x einen nichtleeren Schnitt mit A hat. Sei also U eine beliebige Umgebung von x, und (x n ) n N A eine Folge mit x n x. Dann existiert per Definition ein N := N(U) N mit x N U. Also x N U A. ii) Sei d eine Metrik auf X, die die Topologie auf X induziert. Es gilt x Ā, genau dann wenn für alle y X, r > 0 mit x B d (y, r) gilt B d (y, r) A. Zu n N ist B d (x, 1 ) A, also nehme ein x n n B d (x, 1 ) A. n Für diese (x n ) n N A gilt dann x n x, n, denn: Sei hierzu U eine beliebige Umgebung von x. Dann existieren y X, r > 0 mit x B d (y, r) U. Mit r := r d(x, y) gilt dann sogar x B d (x, r) B d (y, r) U. Wähle N(U) N 1 mit < r. Dann gilt für alle n N(U) dass x N(U) n B d (x, 1 ) B n d(x, r) U. Theorem 1.67 Seien X, Y topologische Räume und f : X Y. i) Ist f stetig, so gilt für alle x X und alle Folgen (x n ) n N X mit x n x auch f(x n ) f(x) für n (Stetigkeit impliziert also immer folgenstetigkeit). ii) Sei X metrisierbar und f folgenstetig im obigen Sinne. Dann ist f auch stetig. i) Sei V Y eine Umgebung von f(x). Dann ist f -1 (V ) eine Umgebung von x. Wegen x n x existiert dann ein N = N(V ) N so, dass für alle n N die Bedingung x n f -1 (V ) erfüllt ist. D.h. f(x n ) V, und somit f(x n ) f(x). ii) Wir zeigen f(ā) f(a) für alle Teilmengen A X: Sei hierzu x Ā. Dann existiert eine Folge (x n ) A mit x n x. Nach Voraussetzung gilt also f(x n ) f(x), und somit f(x) f(a). Also ist f stetig. Theorem 1.68 Seien (X, d X ), (Y, d Y ) metrische Räume und f : X Y. Dann ist f stetig, genau dann wenn x X ε > 0 δ = δ(x, ɛ) > 0 y X, d x (x, y) < δ : d y (f(x), f(y)) < ε. : Die Menge f -1 (B dy (f(x), ε)) X ist eine Umgebung von x. Daher existiert ein δ > 0 mit B dx (x, δ) f -1 (B dy (f(x), ε)). Ist y B dx (x, δ), so gilt f(y) B dy (f(x), f(y)).

27 5. STETIGE FUNKTIONEN 27 : Sei die ε-δ Bedingung erfüllt, V Y offen. Es ist zu zeigen, dass f -1 (V ) X offen ist. Sei hierzu x f -1 (V ). Dann ist f(x) V und es gibt ein ε > 0 mit B dy (f(x), ε) V. Es existiert also n.v. ein δ > 0 mit f(b dx (x, δ)) B dy (f(x), ε). Somit gilt B dx (x, δ) f -1 (B dy (f(y), ε)) f -1 (V ), und f -1 (V ) ist offen. 9.Mai Definition 1.69 Sei X eine beliebige Menge, (Y, d) ein metrischer Raum und f : X Y, f n : X Y ( n N). Dann heißt f n gleichmäßig konvergent gegen f für n, wenn ε > 0 N = N(ε) N n N x X : d(f n (x), f(x)) < ε. Stetigkeit bleibt unter gleichmäßiger Konvergenz erhalten: Theorem 1.70 Sei X ein topologischer Raum, (Y, d) ein metrischer Raum, f, f n : X Y mit f n stetig für alle n N und f n gleichmäßig konvergent gegen f für n. Dann ist f ebenfalls stetig. Sei x 0 X, V Y Umgebung von f(x 0 ). Zu zeigen: Es existiert eine Umgebung U von x 0 mit f(u) V. Sei hierzu ε > 0 mit B d (f(x 0 ), ε) V ( ). Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz existiert ein N N mit d(f N (x), f(x)) < ε für alle x X. 3 Wähle eine Umgebung U von x 0 mit f N (U) B d (f N (x 0 ), ε ). Ist nun x U, so gilt 3 d(f(x), f(x 0 )) d(f(x), f N (x)) + d(f N (x), f N (x 0 )) + d(f N (x 0 ), f(x 0 )) < ε, was wegen ( ) nun impliziert. f(u) B(f(x 0 ), ε) V

28 28 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE 6 Homöomorphismen Definition 1.71 Seien X, Y topologische Räume. Dann heißt f : X Y ein Homöomorphismus, wenn f stetig und bijektiv ist und außerdem f -1 stetig ist. Bemerkung 1.72 Genau dann ist eine bijektive Abbildung f : X Y zwischen den topologischen Räumen X, Y ein Homöomorphismus, wenn Folgendes gilt: U X ist offen f(u) Y offen. Analog: Genau dann ist eine bijektive stetige Abbildung f : X Y zwischen den topologischen Räumen X, Y ein Homöomorphismus, wenn für alle offenen Mengen U X die Menge f(u) Y ebenfalls offen ist. Beispiel x x ist Homöomorphismus von ( 1, 1) nach R 1 x 2 ( ) cos(2πt) 2. f : [0, 1) S 1 R 2, f(t) = ist bijektiv und stetig, f sin(2πt) -1 ist nicht stetig. 3. Je zwei offene (halboffene) [abgeschlossene] Intervalle R sind homöomorph. Bemerkung 1.74 Homöomorphismen erhalten offensichtlich alle topologischen Eigenschaften, welche sich vollständig durch offene Mengen charakterisieren lassen.

29 7. ZUSAMMENHÄNGENDE RÄUME 29 7 Zusammenhängende Räume Definition 1.75 Sei X ein topologischer Raum. Eine Trennung von X ist ein Paar von offenen Teilmengen U, V mit i) U, V beide nicht leer ii) U und V sind disjunkt iii) X = U V. X heißt zusammenhängend, wenn keine Trennung von X existiert. Bemerkung 1.76 Für einen topologischen Raum X gelten folgende Äquivalenzen: X ist zusammenhängend. Für alle nichtleeren offenen Teilmengen U, V X mit X = U V gilt U V. Die einzigen Teilmengen von X, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, sind und X selbst. Beispiel und einelementige Teilräume eines topologischen Raums sind stets zusammenhängend. 2. Intervalle in R sind stets zusammenhängend. Umgekehrt: Ist A R zusammenhängend mit A 2, so ist A ein Intervall. 3. [a, b) (b, c] ist nicht zusammenhängend. 4. Q R ist nicht zusammenhängend. Lemma 1.78 i) Sei X ein topologischer Raum, Y X ein Teilraum und seien A, B Y Teilmengen mit A, B, A B =, Y = A B. Dann ist Y = A B eine Trennung genau dann, wenn A keine Häufungspunkte (in der X-Topologie) von B enthält und B keine Häufungspunkte von A (in der X-Topologie) enthält. ii) Sei X ein topologischer Raum, X = C D eine Trennung, Y X ein zusammenhängender Teilraum. Dann ist Y C oder Y D. Übung.

30 30 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Theorem 1.79 Sei X ein topologischer Raum, A X ein zusammenhängender Teilraum, B eine Menge mit A B Ā. Dann ist B ebenfalls zusammenhängend. Sei B = C D eine Trennung. Dann gilt A C oder A D. Sei obda A C. Dann ist Ā C und Lemma 1.78 i) impliziert, dass C und D disjunkt sind. Dann sind auch D und B disjunkt, was ein Widerspruch dazu ist, dass D eine nichtleere Teilmenge von B ist. Das letzte Resultat impliziert unmittelbar: Korollar 1.80 Ist A ein zusammenhängender Teilraum eines topologischen Raumes X, so ist auch Ā ein zusammenhängender Teilraum von X. Theorem 1.81 Seien X, Y topologische Räume mit X zusammenhängend, und sei f : X Y stetig. Dann ist f(x) Y ein zusammenhängender Teilraum. OBdA sei f surjektiv (wenn nicht: ersetze f durch die von f induzierte Abbildung f :: X f(x); f ist dann stetig und surjektiv). Sei f(x) = A B eine Trennung. Dann sind f -1 (A), f -1 (B) disjunkt und offen in X. Außerdem sind f -1 (A), f -1 (B) beide nicht leer (da f surjektiv ist). D.h., X = f -1 (A) f -1 (B) ist Trennung, was ein Widerspruch ist. Theorem 1.82 Seien X α, α J topologische Räume, mit J einer beliebigen Indexmenge. Dann ist α J X α zusammenhängend in der Produkttopologie, genau dann wenn jedes X α zusammenhängend ist. Übung. Bemerkung 1.83 i) Die Richtung von Theorem 1.82 gilt auch für die Boxtopologie, da da Projektionsabbildungen insbesondere auch in dieser Topologie stetig sind. ii) Die Richtung von Theorem 1.82 gilt nicht für die Boxtopologie: Sei etwa X := R R.... Dann ist X ist nicht zusammenhängend in der Boxtopologie, denn X = U V, mit { } U := (x n ) n N : sup x n = n N und { } V := (x n ) n N : sup x n < n N ist eine Trennung von X bezüglich der Boxtopologie.

31 7. ZUSAMMENHÄNGENDE RÄUME Mai Theorem 1.84 (Zwischenwertsatz) Sei X ein zusammenhängender topologischer Raum, f : X R (ST) stetig, a, b X, r [f(a), f(b)]. Dann existiert ein c X mit f(c) = r. Die Mengen A := f(x) (-, r), B := f(x) (r, ) sind disjunkt, nicht leer (n.v.), und offen in f(x). Angenommen, es existiert kein solches c. Dann ist f(x) = A B eine Trennung, im Widersprich dazu, dass f(x) zusammenhängend ist. Lemma 1.85 Sei X ein topologischer Raum, A, A α (α J) X zusammenhängende Teilräume mit A A α für alle α J (mit J einer beliebigen Indexmenge). Dann ist ( α J A α) A wieder ein zusammenhängender Teilraum. Angenommen, es gibt eine Trennung A ( α J A α ) = U V. Dann sind entweder A sowie alle A α in U enthalten, oder es sind A sowie alle A α in V enthalten. Sei obda A, sowie alle A α in U enthalten. Daraus folgt A α U für alle α, also V =, ein Widerspruch. Definition 1.86 Sei X ein topologischer Raum und x, y X. Dann sei x y : es existiert ein zusammenhängender Teilraum A X mit x, y A. Dies ist Äquivalenzrelation auf X, und [x] X heißt die Zusammenhangskomponente von x. Bemerkung 1.87 ist tatsächlich Äquivalenzrelation: Symmetrie und Reflexivität offensichtlich. Die Transitivität folgt aus Lemma Theorem 1.88 Sei X ein topologischer Raum. Dann lässt sich X als disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten schreiben. Außerdem gelten folgende Aussagen: i) Für nichtleere zusammenhängende Teilräume A X gilt: #{[x] : x X : [x] A } = 1. ii) [x] ist zusammenhängend für alle x X. Die erste Aussage folgt aus allgemeinen Eigenschaften von Äquivalenzrelationen.

32 32 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE i) Angenommen [x] A und [y] A. Für a [x] A und b [y] A gilt dann a b, aufgrund der Äquivalenzrelation demnach auch [x] = [y]. ii) Sei x 0 [x]. Dann gilt also gilt für alle y [x] die Aquivalenz y x 0. Daher i) existiert ein zusammenhaengender Teilraum A y X mit x 0, y A y = A y [x] = [x] = y [x] A y = [x] ist zusammenhängend, nach Lemma Wegzusammenhängende Räume Definition 1.89 Sei X ein topologischer Raum, x, y X. Ein Weg von x nach y ist eine stetige Abbildung γ : [a, b] X mit γ(a) = x und γ(b) = y. X heißt wegzusammenhängend, falls für alle x, y X ein Weg von x nach y existiert. Lemma 1.90 Jeder wegzusammenhängende Raum X ist auch zusammenhängend. Angenommen X = A B ist eine Trennung und γ : [a, b] X ist stetig. Dann gilt γ([a, b]) A oder γ([a, b]) B, ein Widerspruch zum Wegzusammenhang von X. Bemerkung 1.91 i) Bilder wegzusammenhängender Räume unter stetigen Abbildungen sind wegzusammenhängend. ii) Seien X α topologischer Räume für alle α J, mit J einer beliebigen Indexmenge. Dann ist α J X α wegzusammenhängend in der Produkttopologie alle X α sind wegzusammenhängend. iii) Sei A := Graph(f) R 2, f : (0, 1] R, f(t) := sin( 1 ). Dann ist A wegzusammenhängend und Ā R2 ist nicht wegzusammenhängend, wohingegen Ā zusam- t menhängend ist. iv) Sind A α, A X wegzusammenhängende Teilräume mit A A α für alle α J (mit J einer beliebigen Indexmenge), so ist = ( α A α) A wegzusammenhängend. Satz und Definition 1.92 Sei X ein topologischer Raum, x, y X. Dann ist x y : x und y können durch einen Weg verbunden werden eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklasse [x] w X heißt die Wegzusammenhangskomponente von x.

33 8. WEGZUSAMMENHÄNGENDE RÄUME 33 Refl.: x w x, denn man kann den konstanten Weg γ(t) = x für alle t [0, 1] wählen. Symm.: x w y = y w x, denn sei γ : [a, b] X mit γ(a) = x, γ(b) = y. Dann ist γ : [a, b] X, γ(t) := γ(b t + a) ein Weg von y nach x. Trans.: x w y und y w z = x w z, denn x w y = Weg γ 1 : [a, b] X von x nach y = Weg γ 1 : [0, 1] X. Analog: Weg φ: [1, 2] X von y nach z = Weg ψ : [0, 2] X von x nach z. Theorem 1.93 Sei X ein topologischer Raum. Dann lässt sich X als disjunkte Vereinigung von Wegzusammenhangskomponente schreiben. Außerdem gelten folgende Aussagen: i) jeder nichtleere wegzusammenhängende Teilraum von X hat mit genau einer Wegzusammenhangskomponente einen nichtleeren Schnitt. ii) Wegzusammenhangskomponenten sind wegzusammenhängend. Genau wie bei zusammenhängend. Bemerkung 1.94 i) Zusammenhangskomponenten sind stets abgeschlossene Teilmengen. Insbesondere sind in einem topologischem Raum, der nur endlich viele Zusammenhangskomponenten, die Zusammenhangskomponenten auch auch offene Teilmengen. ii) Über Wegzusammenhangskomponenten lässt sich im Allgemeinen nicht sagen, ob sie offen oder abgeschlossen sind. iii) Im Allgemeinen sind Schnitte von wegzusammenhängenden Teilräumen nicht einmal zusammenhängend: Betrachte hierzu S 1 : Dann sind S 1 \{(0, 1)} und S 1 \{(0, 1)} wegzusammenhängend, aber (S 1 \{(0, 1)}) (S 1 \{(0, 1)}) = S 1 \{(0, 1), (0, 1)} ist nicht zusammenhängend.

34 34 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE 18.Mai 9 Kompakte topolopologische Räume Definition 1.95 Sei X ein topologischer Raum und sei A P(X) ein Mengensystem. Dann heißt A eine Überdeckung von X, falls X = A gilt, und A heißt eine offene Überdeckung A A von X, wenn zusätzlich alle A A offene Teilmengen von X sind. Definition 1.96 Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung A von X ein endliches Teilsystem A A gibt, sodass A immer noch eine Überdeckung von X ist. Beispiel Auf R m, betrachte A = {ε-kugeln um die Null} = R m ist nicht kompakt. 2. (0, 1] R ist ebenfalls nicht kompakt: A := {( 1 n, 1] : n N }. 3. [0, 1] n R n ist kompakt: Wir werden später sehen, dass [0, 1] kompakt ist und dass beliebige Produkte von kompakten Räumen in der Produkttopologie ebenfalls kompakt sind. Definition 1.98 Sei X ein topologischer Raum, Y X. Dann heißt A P(X) eine Überdeckung von Y, falls Y A. A A Theorem 1.99 Sei X ein topologischer Raum, Y X ein Teilraum. Dann ist Y genau dann kompakt, wenn für jede Überdeckung A P(X) von Y mit offenen Teilmengen von X ein endliches Mengensystem A A existiert, so dass A eine Überdeckung von Y bleibt. Übung. Theorem i) Sei X ein kompakter Raum und Y X abgeschlossen. Dann ist Y ein kompakter Teilraum. ii) Sei X ein Hausdorffraum, Y X ein kompakter Teilraum. abgeschlossene Teilmenge von X. Dann ist Y eine

35 9. KOMPAKTE TOPOLOPOLOGISCHE RÄUME 35 i) Sei A = {U i : i J} eine beliebige Überdeckung von Y mit offenen Teilmengen von X. Dann ist ( ) X = U j (X\Y ) eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist gilt j J X = U i1... U il (X\Y ) für endlich viele i 1,..., i l J, d.h. Y U i1... U il, was die Kompaktheit von Y zeigt. ii) Wir zeigen: Zu jedem x 0 X\Y existiert eine Umgebung U von x 0 mit U Y = (was also impliziert, dass X\Y offen in X ist). Zu jedem y Y existiert jedenfalls eine Umgebung U y von x 0 und V y von y mit U y V y = (da X Hausdorff ist); dann ist Y y Y V y eine Überdeckung von Y mit offenen Teilmengen von X, und es gilt l j=1 V y j =: V für geeignete y 1,..., y l Y, da X kompakt ist. Wir setzen U := U y1... U Yl. Dann ist U eine offene zu V disjunkte Teimengen von X und es gilt U Y =.. Theorem Sei X ein kompakter Raum, Y ein topologischer Raum und f : X Y stetig. Dann ist f(x) Y ein kompakter Teilraum. Sei A P(Y ) eine Überdeckung von f(x) mit offenen Teilmengen von Y. Dann ist {f -1 (A) : A A} eine offene Überdeckung von X, und es gilt X = l i=1 f -1 (A i ) für geeignete A 1,..., A l A, da X kompakt ist. Damit ist f(x) l i=1 A i eine Überdeckung von f(x) mit offenen Teilmengen von Y, und f(x) ist also kompakt. Theorem Sei X ein kompakter topologischer Raum, Y ein Hausdorffraum und f : X Y stetig und bijektiv. Dann ist f bereits ein Homöomorphismus. Zu zeigen ist, dass f -1 : Y X stetig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass für alle abgeschlossener Mengen A X die Menge f(a) abgeschlossen ist. Die Menge A ist nach Voraussetzung kompakt, also ist f(a) Y ein kompakter Teilraum. Aber X ist Hausdorff, und somit ist f(a) abgeschlossen.

36 36 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE Bemerkung Offensichtlich ist ein topologischer Raum X genau dann kompakt, wenn für eine (und dann jede) Basis B der Topologie folgende Aussage gilt: Für jede Überdeckung A B von X existiert ein endliches Teilsystem A A, so dass A eine Überdeckung von X bleibt. Weniger offensichtlich: Theorem (Alexander s Subbasis Lemma) Man kann in der Bemerkung Basis durch Subbasis ersetzen. Der Beweis benutzt das Auswahlaxion und wird hier nicht gegeben. Damit kann man nun in drei Zeilen beweisen: Lemma Intervalle der Art [a, b] R mit a < b reell sind kompakte Teilräume. Übung. 23.Mai Theorem (Satz vom Minimum und Maximum) Sei X ein kompakter topologischer Raum, f : X R stetig. Dann hat f(x) ein Minimum und ein Maximum, d.h. es existieren x 1, x 2 X mit f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) für alle x X. Angenommen f(x) hätte kein Maximum. Dann ist {(, a) a f(x)} eine offene Überdeckung von f(x). Aber f(x) ist kompakt, d.h. es gilt f(x) l j=1 (, a j) für gewisse a 1,..., a l f(x). Dies impliziert nun max j=1,...,l a j / l j=1 (, a j), ein Widerspruch. Für die Existenz des Minimums verfährt man analog, mit den Mengen (a, ), bzw. (a j, ). Theorem (Tychonow) Seien X α, α J, topologische Räume (mit J einer beliebigen Indexmenge). Dann ist α J X α kompakt in der Produkttopologie genau dann, wenn jedes X α kompakt ist. Der Fall J endlich ist halbwegs anschaulich. Alle Beweise für den Fall J unendlich brauchen das Auswahlaxiom auf irgendeine Art. Man kann etwa einen kurzen Beweis mittels Alexander s Subbasis Lemma geben. Die Richtung in Tychonow s Theorem gilt auch für die Boxtopologie, wohingegen die Richtung im Allgemeinen falsch ist für die Boxtopologie. Es gibt weitere Kompaktheitsbegriffe:

37 9. KOMPAKTE TOPOLOPOLOGISCHE RÄUME 37 Definition Sei X ein topologischer Raum. Dann heißt X i) folgenkompakt, wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge besitzt. ii) Bolzano-Weierstrass-kompakt (BW), falls jede unendliche Teilmenge von X einen Häufungspunkt besitzt. Die einzige allgemeingültige Implikation ist: Lemma Ist X kompakt, so ist X BW-kompakt. Sei A X eine beliebige Teilmenge. Wir zeigen: Hat A keinen Häufungspunkt, so ist A endlich.habe A also keinen Häufungspunkt. Dann gilt A = Ā. D.h. für alle a A existiert eine offene Umgebung U a von a mit U a A = {a} ( ). Dies macht X = (X \ A) a A U a zu einer offenen Überdeckung. Da X kompakt ist, gilt für gewisse a 1,..., a l A, also X = (X \ A) U a1 U al A U a1... U al und Somit gilt wegen ( ). A = (U a1 A)... (U al A). A = {a 1,..., a l }, Im metrischen Fall fallen alle Kompaktheitsbegriffe zusammen und es gilt ein abstrakter Satz von Heine-Borel: Definition Sei (X, d) ein metrischer Raum. i) Eine Teilmenge K (X, d) heißt beschränkt, wenn ein r > 0, sowie ein x X existieren mit : K B d (x, r)

38 38 CHAPTER 1. MENGENTHEORETISCHE TOPOLOGIE ii) Eine Teilmenge K (X, d) heißt total beschränkt, falls es zu jedem ε > 0 endlich viele Punkte x 1,..., x l K gibt mit: K l B d (x j, ε). j=1 Bemerkung i) Total beschränkt beschränkt; im Allgemeinen gilt die Umkehrung nicht (Übung). ii) Teilmengen von (total) beschränkten Teilmengen sind wieder (total) beschränkt (Übung). Lemma Sei (X, d) ein metrischer Raum, A X eine beliebige Teilmenge. Dann stimmt die Teilraumtopolgie von A mit der metrischen Topologie von d A A überein. Sehr leicht, wenn man sich passende Basen der Topologien ansieht. Bemerkung Es gilt in obiger Situation B d A A(x, r) = B d (x, r) A. Theorem (Heine-Borel) Sei (X, d) ein metrischer Raum, K X ein Teilraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: i) K ist kompakt. ii) K ist BW-kompakt. iii) K ist folgenkompakt. iv) K ist totalbeschränkt (bzgl. d) und vollständig (bzgl. d K K ). Heine-Borel i) ii): Bereits erledigt. ii) iii): Sei (x n ) n N K eine beliebige Folge, A = {x n : n N}. Falls A endlich ist, ist die Aussage offensichtlich. K ist BW Sei nun A unendlich = A hat einen Häufungspunkt x X. Wähle x n1 beliebig aus B d K K (x, 1). Sei zu gegebenen j N die natürliche Zahl n j 1 bereits gewählt. In B d K K (x, 1) liegen unendlich viele Eemente von A. = n j j > n j 1 mit x nj B d K K (x, 1) j = x n konvertiert gegen x = X ist folgenkompakt.

39 9. KOMPAKTE TOPOLOPOLOGISCHE RÄUME 39 iii) iv): K ist vollständig, denn: Sei (x n ) K Cauchy-Folge = Teilfolge (x nj ) von (x n ) sowie x K mit d(x nj, x) j 0 = d(x n, x) (x n, x nj ) + d(x nj, x) < ε für n groß = K ist vollständig. K ist totalbeschränkt, denn: Angenommen nicht. Dann existiert ein r > 0, so dass K nicht durch endlich viele d K K -Bälle mit Radus r und Zahlen in K überdeckt werden kann. Wähle x 1 K beliebig. Da K B d K K (x 1, r) existiert ein x 2 K\B d (x 1, r). Induktiv: Seien x 1,..., x n bereits gewählt. = x n+1 K\ n B d K K (x j, r) = d(x n, x l ) r für alle l, n N j=1 = offensichtlich kann (x n ) keine konvergente Teilfolge enthalten, da alle x n mindestens den Abstand r voneinander haben = Widerspruch zur Folgenkompaktheit. iv) i): Sei also K vollständig und totalbeschränkt und sei K i I U i eine Überdeckung von K mit offenen Teilmengen von X. Angenommen, es existiert kein endliches Teilsystem von (U i ) i I, welches K immer noch überdeckt. Da K totalbeschränkt ist, existieren endlich viele Bälle B 0 1 := B d K K (y 0 1, 1/2 1 ),..., B 0 n 0 := B d K K (y 0 n 0, 1/2 1 ) mit yj 0 K für alle j = 1,..., n 0 und K n 0 j=1 B 0 r. Es existiert dann ein j 0 {1,..., n 0 } mit der Eigenschaft, dass K B 0 j 0 nicht durch ein endliches Teilsystem von (U i ) überdeckt werden kann. Setze K 1 := K B 0 j 0. Dann ist K 1 K totalbeschränkt, und es existierten endlich viele Bälle B 1 1 := B d K K (y 1 1, 1/2 2 ),..., B 1 n 1 = B d K K (y 1 n 1, 1/2 2 ) mit yj 1 K 1 für alle J = 1,..., n 1 sowie K 1 n 1 j=1 B 1 j. Es existiert dann ein j 1 {1,..., n 1 } mit der analogen Eigenschaft wie j 0 oben. Sei nun K 2 := K 1 Bj 1 1 usw.. Induktiv kann man nun eine Folge (K l ) l N mit K l K l 1... K 1 für alle l N und jedes K l ist abgeschlossen (K selbst ist vollständig, also abgeschlossen) sowie kein K l kann durch ein endliches Teilsystem von (U i ) überdeckt werden. Per Konstruktion gilt für alle l N, sowie x, y K l die Ungleichung ( ) ( ) ( ) d x, y d x, y l 1 j l 1 + d y l 1 j l 1, y = 1 ( ). l 2 l 2l 1 Wähle zu jedem l ein x l K l. Dann ist (x l ) eine Cauchy-Folge, denn es gilt d(x n, x m ) 1 2 j 1 für n, m j.