Kapitel 12. Topologische Grundlagen Topologische Grundbegriffe

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1 Kapitel 12 Topologische Grundlagen 12.1 Topologische Grundbegriffe Wir wollen in diesem und in den nächsten Abschnitten die Konvergenztheorie, wie wir sie für metrische Räume entwickelt haben, verallgemeinern. Dabei werden wir Räume betrachten, die gerade noch soviel Struktur tragen, dass wir von stetigen Funktionen, Grenzwerten, Kompaktheit etc. sprechen können Beispiel (Metrische Räume). Sei X, d ein metrischer Raum; vgl. Definition Weiters sei O die Menge aller offenen Teilmengen von X. Dabei haben wir eine Teilmenge O von X gemäß Definition offen genannt, wenn es zu jedem x O ein ɛ > 0 gibt, sodass die ɛ-kugel U ɛ (x) = {y X : d(y, x) < ɛ} ganz in O enthalten ist. Wir haben in Beispiel bzw. in Proposition gesehen, dass, X O, dass für O 1, O 2 O auch O 1 O 2 O, und dass mit O i O, i I für eine beliebige Indexmenge I auch i I O i O. Wir nehmen diese aufgezählten Eigenschaften als Ausgangspunkt unserer angestrebten Verallgemeinerung Definition. Sei X eine nichtleere Menge und T P(X) ein System von Teilmengen von X. Erfülle T die Eigenschaften: (01) T, X T. (02) Aus O 1,..., O n T folgt für beliebiges n N, dass n i=1 O i T. (03) Aus O i T, i I, mit einer beliebigen Indexmenge I folgt i I O i T. Dann heißt T eine Topologie auf X. Die Elemente von T heißen offene Mengen, und man nennt (X, T ) einen topologischen Raum Bemerkung. Mittels Vollständiger Induktion sieht man sofort, dass (O2) äquivalent zu der Tatsache ist, dass aus O 1, O 2 T auch O 1 O 2 T folgt.

2 Topologische Grundlagen Beispiel. (i) Wir haben oben daran erinnert, dass die Menge O aller offenen Mengen eines metrischen Raumes X, d die Axiome (01)-(03) erfüllt. Damit ist (X, O) ein topologischer Raum. Man sagt, O ist die von der Metrik d induzierte Topologie. Wir schreiben auch T (d) für O. (ii) Ist Y = R p versehen mit der Metrik d 2, so heißt die von d 2 induzierte Topologie T (d 2 ) Euklidische Topologie. Die Metriken d 1 und d induzieren ebenfalls die Euklidische Topologie. (iii) Das Mengensystem T := P(X) erfüllt klarerweise (01)-(03), und ist somit eine Topologie auf X. Man spricht von der diskreten Topologie. Diese Topologie wird übrigens von der diskreten Metrik induziert; siehe Beispiel (iv) Sei T := {, X}. Wieder sind (01)-(03) trivialerweise erfüllt. Man spricht von der Klumpentopologie. (v) X = [, + ) versehen mit T < := {[, a) : a [, + ]} ist ebenfalls ein topologischer Raum, wie man sich leicht überzeugen kann. Eines unserer Ziele wird es sein, Konvergenz gegen einen Punkt oder Stetigkeit bei einem Punkt für unsere Räume zu verallgemeinern. Dazu benötigen wir ein Analogon zum Begriff der ɛ-kugel Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und x X. Eine Menge U X heißt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge O T mit x O U gibt. U(x) bezeichne die Menge aller Umgebungen von x, also den sogenannten Umgebungsfilter von x. Der Begriff Filter ist ein allgemeines mengentheoretisches Konzept Definition. Sei M eine nichtleere Menge. Dann heißt ein Mengensystem F P(M) ein Filter, wenn (F1) F und F, (F2) F 1, F 2 F F 1 F 2 F, (F3) F 1 F, F 1 F 2 M F 2 F. Ist (X, T ) ein topologischer Raum, so ist der Umgebungsfilter U(x) tatsächlich ein Filter: (F1): Es gilt X U(x), und jede Menge U U(x) enthält x und ist damit nicht leer. (F2): Aus U 1, U 2 U(x) folgt die Existenz von O 1, O 2 T mit x O 1 U 1 und x O 2 U 2, und somit x O 1 O 2 U 1 U 2, wobei wegen (O2) sicherlich O 1 O 2 T, und daher U 1 U 2 U(x).

3 12.1 Topologische Grundbegriffe 415 (F3): Aus U 1 U(x) und U 1 U 2 X folgt die Inklusion x O U 1 für ein gewisses O T, und somit x O U 2 bzw. U 2 U(x). Die passende Verallgemeinerung des Systems aller ɛ-kugeln um einen festen Punkt in einem metrischen Raum für topologische Räume ist der Begriff der Filterbasis des Umgebungsfilters Definition. Sei M eine nichtleere Menge und F ein Filter. Dann heißt ein Mengensystem B F eine Filterbasis von F, wenn man zu jeder Menge F F ein B B findet, sodass B F Definition. Man sagt ein topologischer Raum (X, T ) erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom (ABI), wenn für jedes x X der Umgebungsfilter U(x) eine Filterbasis bestehend aus abzählbar vielen Mengen hat Beispiel. (i) Klarerweise ist ein Filter eine Filterbasis von sich selbst. (ii) Für einen topologischen Raum (X, T ) und x X ist {O T : x O} eine Filterbasis von U(x). (iii) Sei X, d ein metrischer Raum und T (d) die von der Metrik erzeugte Topologie. Für x X ist {U ɛ (x) : ɛ > 0} eine Filterbasis von U(x): U ɛ (x) ist eine Umgebung, weil alle offene ɛ-kugeln offen sind; vgl. Beispiel 5.1.5, (iii). Ist U U(x) beliebig, so gibt es eine offene Menge O T (d), sodass x O U. Aus der Definition offener Mengen in metrischen Räumen folgt U ɛ (x) O U für ein gewisses ɛ > 0. Damit ist obiges Mengensystem eine Filterbasis. Auf ähnliche Weise sieht man, dass {K ɛ (x) : ɛ > 0} oder auch {U ɛn (x) : n N}, wenn (ɛ n ) n N eine Nullfolge aus (0, + ) ist, eine Basis des Umgebungsfilter U(x) ist. Insbesondere erfüllt jeder metrische Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom Lemma. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei für jeden Punkt x X eine Filterbasis W(x) von U(x) 1 gegeben. Eine Menge O X ist genau dann offen, also O T, wenn x O O U(x), (12.1) bzw. genau dann, wenn x O W W(x) : W O. (12.2) Beweis. Für feste x X und O X bedeutet die Tatsache W W(x) : W O gemäß der Definition einer Filterbasis nicht anderes als O U(x). Also sind (12.1) und (12.2) äquivalent. 1 Es ist nicht ausgeschlossen, dass W(x) = U(x).

4 Topologische Grundlagen Ist O T und x O, so folgt daraus O U(x); vgl. Beispiel , (ii). Gilt umgekehrt O U(x) für alle x O, so gibt es wegen der Definition von U(x) zu jedem x O eine offene, x enthaltende Teilmenge O x von O, und daher O = {x} O x O. x O Als Vereinigung der offenen Mengen O x muss O nach (O3) selber offen sein. Nun können wir den Grenzwert eines Netzes auch für topologische Räume definieren Definition. Sei (I, ) eine gerichtete Menge und (x i ) i I ein Netz in X, wobei (X, T ) ein topologischer Raum ist. Man sagt, dass dieses Netz gegen einen Punkt x X i I konvergiert, in Zeichen x i x, falls x O U U(x) i 0 I : i i 0 x i U, also falls in jeder beliebigen Umgebung ab einem gewissen Index alle Glieder x i des Netzes enthalten sind Fakta. 1. Offenbar konvergieren in jedem topologischen Raum konstante Netze (x i ) i I, x i = x für alle i I, gegen x. 2. Ist W(x) eine Filterbasis von U(x), so ist die Konvergenzbedingung aus Definition äquivalent zu W W(x) i 0 I : i i 0 x i W, da einerseits wegen W(x) U(x) diese Bedingung sicherlich eine Konsequenz aus der in Definition ist, und da andererseits aus U U(x) die Existenz eines W W(x) mit W U folgt, und dann mit der gegenwärtigen Bedingung, dass x i W U für alle i i 0 mit einem gewissen i 0 I. 3. Ist (x i( j) ) j J ein Teilnetz von (x i ) i I, also i : J I, wobei auch (J, J ) eine gerichtete Menge ist, mit i I j 0 J : j J j 0 i( j) i, und konvergiert (x i ) i I gegen x, so konvergiert auch (x i( j) ) j J gegen x. Um das zu sehen, sei U U(x) und i 0 I, sodass i i 0 x i U. Ist nun j 0 J, sodass j J j 0 i( j) i 0, so folgt auch x i( j) U für alle j J j Bemerkung. Wir sehen nun aus Fakta , dass diese Definition der Konvergenz mit der in metrischen Räumen konform geht. In der Tat haben wir x = lim i I x i in einem metrischen Raum X, d genau dann, wenn ɛ > 0 i 0 I : i i 0 x i U ɛ (x).

5 12.1 Topologische Grundbegriffe 417 Da {U ɛ (x) : ɛ > 0} eine Filterbasis von U(x) ist, stimmt diese Bedingung mit der aus Fakta , 2, überein. Wir sehen insbesondere, dass die Konvergenz nicht von der konkreten Metrik, sondern nur von der von ihr erzeugten Topologie abhängt; vgl. Beispiel Wir haben in der Definition der Konvergenz absichtlich nicht die Schreibweise x = lim i I x i verwendet, denn es kann sein, dass x nicht der einzige Grenzwert ist Beispiel. (i) Man betrachte eine Menge X mit mindestens zwei Elementen versehen mit der Klumpentopologie. Dann ist U(x) = {X} für alle x X. Damit konvergiert aber jedes Netz gegen jeden Punkt x X. (ii) Sei X = [, + ) versehen mit der Topologie T < = {[, a) : a [, + ]}; vgl. Beispiel , (v). Ein Netz (x i ) i I aus [, + ) konvergiert gegen ein x [, + ) bzgl. T < genau dann, wenn x lim sup i I x i, wobei lim sup i I x i = inf sup x i ( [, + ]). k I I i k Insbesondere sind mit x auch alle t x Grenzwerte von (x i ) i I. Also sind auch auf diesem Raum Grenzwert nicht eindeutig. Man muss eine zusätzliche Eigenschaft vom gegebenen topologischen Raum fordern, damit Grenzwerte eindeutig sind Definition. Ein topologischer Raum (X, T ) heißt T 2 -Raum (oder Hausdorff-Raum), wenn gilt: (T 2 ) Zu je zwei Punkten x, y X, x y, gibt es disjunkte offene Mengen O x und O y, sodass x O x, y O y. O x x y O y Abbildung 12.1: Zweites Trennungsaxiom (T 2 ) Man sieht unmittelbar, dass diese Eigenschaft zu der Tatsache äquivalent ist, dass es zu zwei verschiedenen Punkten x, y zwei Umgebungen U U(x), V U(y) gibt mit U V =.

6 Topologische Grundlagen Beispiel. Die von einer Metrik d auf einer Menge X induzierte Topologie ist Hausdorff. Sind nämlich x, y X, x y, so gilt d(x, y) > 0. Setze ɛ := 1 d(x, y) und 3 betrachte die Umgebungen U := U ɛ (x), V := U ɛ (y). Angenommen es wäre z U V, dann erhielten wir den Widerspruch d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < 1 3 d(x, y) d(x, y) = 2 d(x, y). 3 Der Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwertes eines Netzes wird nun fast wörtlich vom metrischen Fall übertragen Lemma. Sei (x i ) i I ein konvergentes Netz in einem topologischen (T 2 )-Raum. Dann ist der Grenzwert von (x i ) i I eindeutig. Beweis. Wären x, y zwei verschiedene Grenzwerte, so wähle man disjunkte Umgebungen U U(x) und V U(y). Dann wähle man i 1 I und i 2 I mit i i 1 x i U und i i 2 x i V. Da I gerichtet ist, gibt es ein i I, i i 1, i i 2, und somit x i U V, was aber ein Widerspruch zu U V = ist Abgeschlossene Mengen Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Menge A X heißt abgeschlossen, wenn A c offen ist Lemma. Sei X eine Menge. Ist T eine Topologie auf X und bezeichnet A die Menge aller abgeschlossenen Mengen in (X, T ), so gilt: (A1) A, X A. (A2) Aus A 1,..., A n A folgt für beliebiges n N, dass A 1... A n A. (A3) Aus A i A, i I, folgt i I A i A. Beweis. Die Axiome (A1) - (A3) gehen bei Komplementbildung genau in die Axiome (O1) - (O3) über Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei B X. Die Menge { } B := A X : A abgeschlossen, A B (12.3) heißt der Abschluss von B. Wenn man explizit klarstellen will, bezüglich welcher Topologie der Abschluss gebildet wird, dann schreibt man für B auch B T. Gilt C B X und B C, so heißt C dicht in B. Ist C dicht in X, so sagt man kurz, C ist dicht.

7 12.2 Abgeschlossene Mengen Lemma. Sei (X, T ) topologischer Raum und B X. Dann ist B die kleinste abgeschlossene Menge, die B umfasst. Beweis. Wegen (A1) ist die Menge, über die in (12.3) der Durchschnitt gebildet wird, nicht leer. Wegen (A3) ist B abgeschlossen. Ist A abgeschlossen und A B, so kommt A auf der rechten Seite von (12.3) vor, also gilt A B Lemma. Sei (X, T ) topologischer Raum. Dann gilt: (i) Für B X gilt B B. (ii) Ist C B X, so folgt C B. (iii) Für C, B X folgt C B = C B. (iv) Eine Menge B X ist genau dann abgeschlossen, wenn B = B. Beweis. (i) Folgt unmittelbar aus der Definition. (ii) Wegen B B C ist B eine abgeschlossene Menge, die C umfasst, und da C die kleinste derartige Menge ist, gilt B C. (iii) Die Menge C B ist eine abgeschlossene Menge, die C B umfasst. Also gilt C B C B. Andererseits folgt aus C C B, dass C C B, und genauso B C B. Damit gilt auch C B C B. (iv) B = B gilt genau dann, wenn B die kleinste abgeschlossene Menge ist, die B enthält. Somit ist das genau dann der Fall, wenn B abgeschlossen ist. Wenn man sich an die Definition von Abschluss und abgeschlossener Menge in metrischen Räumen zurück erinnert, so haben wir dort einen Zugang über Häufungspunkte gewählt. In Proposition werden wir sehen, dass auch in allgemeinen topologischen Räumen der Abschluss bzw. der Begriff der abgeschlossenen Menge auf ähnliche Weise charakterisiert werden kann. Davor wollen wir ein kanonisches Netz konstruieren, das gegen einen gegebenen Punkt konvergiert Lemma. Sei (X, T ) topologischer Raum, B X und x X, sodass U B für alle U U(x). Wir versehen die Menge I = {(y, U) : U U(x), y U B}, mit der Relation (y 1, U 1 ) (y 2, U 2 ) : U 1 U 2. Ist (x i ) i I das Netz definiert durch x i := y, wenn i = (y, U), so konvergiert es gegen x.

8 Topologische Grundlagen Beweis. Die Relation ist offensichtlich reflexiv und transitiv. Sind (z, V), (y, U) I, so folgt U V U(x). Voraussetzungsgemäß gibt es ein b U V B, und daher (z, V), (y, U) (b, U V). Somit ist (I, ) gerichtet. Definitionsgemäß ist immer x i B. Da zu U U(x) und beliebigen y U B aus i = (z, V) (y, U) folgt, dass x i = z V U, sehen wir, dass (x i ) i I gegen x konvergiert Proposition. Sei (X, T ) topologischer Raum, B X, x X und W(x) eine beliebige Filterbasis von U(x). Dann sind folgende Aussagen äquivalent. (i) x B. (ii) Für alle U U(x) gilt B U. (iii) Für alle W W(x) gilt B W. (iv) Es gibt ein Netz (x i ) i I mit x i B, sodass x ein Grenzwert davon ist. Beweis. Laut Definition ist x B zur Existenz einer abgeschlossenen Menge A mit x A, A B äquivalent. Da die offenen Mengen genau die Komplemente der abgeschlossenen sind, ist das äquivalent zur Existenz einer Menge O T mit x O, O B =. Geht man zu den Negationen über, so erhalten wir, dass (x B) ( O T, x O B O ). Man erkennt sofort, dass die rechte Seite zu (ii) äquivalent ist. (ii) (iii) folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass W(x) eine Filterbasis von U(x) ist, und (ii) (iv) erhalten wir aus Lemma Gilt schließlich (iv) und ist U U(x), so folgt x i U B für alle i i 0 mit einem gewissen i 0. Also haben wir U B. In Analogie zum Begriff des Häufungspunktes / isolierten Punktes einer Menge in metrischen Räumen in Definition definieren wir: Definition (*). Sei (X, T ) topologischer Raum und B X. Ein x X heißt Häufungspunkt von B, wenn (B \ {x}) U für alle U U(x). Ein x B heißt isolierter Punkt von B, wenn es ein U U(x) gibt, sodass U B = {x}. Man erkennt leicht, dass x X genau dann isoliert ist, wenn {x} T Bemerkung (*). Aus Proposition erkennt man sofort, dass x genau dann Häufungspunkt von B ist, wenn x B \ {x}, bzw. wenn (x i ) i I x für ein Netz aus B \ {x}; vgl. Lemma Man erkennt auch leicht aus Proposition , dass B mit der Vereinigung von B und der Menge aller Häufungspunkte von B übereinstimmt.

9 12.2 Abgeschlossene Mengen Bemerkung. Ist X, d ein metrischer Raum, B X und nimmt man als W(x) die Menge aller offenen ɛ-kugeln um x, so sieht man durch einen Vergleich von Proposition und (5.1), dass x B genau dann, wenn x c(b). Also stimmt der Abschluss in metrischen Räumen mit dem topologischen Abschluss überein. Der Grund, warum man in metrischen Räumen das Auslangen mit Folgen findet, daher x B genau dann, wenn x n x für eine Folge aus B, ist die Gültigkeit des ersten Abzählbarkeitsaxioms. In der Tat, kann man unter der Voraussetzung (ABI) die Konstruktion in Lemma folgendermaßen abändern: Ist W(x) = {W n : n N} eine abzählbare Filterbasis von U(x), und wählen wir x n B W 1 W n, so erhält man eine Folge (x n ) n N in B, sodass zu vorgegebenem U U(x) ein N N mit W N U existiert, und daher x n W 1 W N W n U für alle n N. Also konvergiert (x n ) n N für n gegen x. Genauso wie die abgeschlossenen Mengen via Komplementbildung den offenen Mengen entsprechen, ist das duale Analogon des Abschlusses das sogenannte Innere Definition. Das Innere B einer Teilmenge B eines topologischen Raumes (X, T ) ist definiert durch B = {O T : O B} Fakta. 1. Man sieht unmittelbar, dass x B B U(x). Ähnlich wie beim Abschluss sieht man, dass B die größte in B enthaltene offene Menge ist. Damit ist B genau dann offen, wenn B = B. 2. Da die Komplemente von den offenen Mengen genau die abgeschlossenen Mengen sind, besteht folgender Zusammenhang mit dem Abschluss von Mengen. ( B c ) c = ( { A X : A abgeschlossen, A B c }) c = ( { O c X : O offen, O B }) c = B. Die Begriffsbildung, welche der des Häufungspunktes einer Folge entspricht, ist die des Häufungspunktes eines Netzes Definition (*). Sei (X, T ) ein topologischer Raum und (x i ) i I ein Netz in X. Dann heißt x X Häufungspunkt von (x i ) i I, falls U U(x) i I j I : i j x j U. Man beachte, dass im Allgemeinen die Menge der Häufungspunkte eines Netzes (x i ) i I nicht mit der Menge der Häufungspunkte der Bildmenge {x i : i I} übereinstimmt; vgl. Definition Als Beispiel betrachte man dazu einfach konstante Netze.

10 Topologische Grundlagen Bemerkung (*). Vergleicht man das mit Proposition , so ist x Häufungspunkt von (x i ) i I genau dann, wenn er im Schnitt aller Mengen der Form also in {x j : j I, i j}, {x j : j I, i j} (12.4) i I enthalten ist. Offenbar ist ein Limes eines Netzes auch Häufungspunkt. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie man z. B. bei Folgen in R schon unschwer erkennen kann. Eine alternative Charakterisierung von Häufungspunkten verwendet das Konzept von Teilnetzen Lemma (*). Der Punkt x ist Häufungspunkt von (x i ) i I genau dann, wenn x Limes eines Teilnetzes (x i(k) ) k K ist. Beweis. Ist (x i(k) ) k K ein Teilnetz, so gibt es zu i 0 I ein k 0 K, sodass i 0 i(k) für alle k k 0. Also gilt {x i : i I, i 0 i} {x i(k) : k K, k 0 k}, und damit {x i : i I, i 0 i} {x i(k) : k K, k 0 k}. (12.5) i 0 I k 0 K Ist nun x Limes von (x i(k) ) k K, so ist er insbesondere Häufungspunkt dieses Teilnetzes, und wegen (12.5) ein Häufungspunkt von (x i ) i I. Ist umgekehrt x Häufungspunkt von (x i ) i I, so betrachte die Menge K = {( j, U) : j I, U U(x), x j U} versehen mit der Relation ( j 1, U 1 ) ( j 2, U 2 ) : j 1 j 2 U 1 U 2. Sind ( j 1, U 1 ), ( j 2, U 2 ) K, und ist j I mit j 1, j 2 j, so gibt es wegen der Voraussetzung zu der Umgebung U 3 = U 1 U 2 von x ein j 3 I mit j j 3 und x j3 U 3. Also gilt ( j 1, U 1 ), ( j 2, U 2 ) (i 3, U 3 ), und wir sehen, dass (K, ) eine gerichtete Menge ist. Setzen wir i( j, U) = j, so ist (x i( j,u) ) ( j,u) K ein gegen x konvergentes Teilnetz von (x i ) i I Lemma (*). Ein Netz (x i ) i I konvergiert genau dann gegen x, wenn x Häufungspunkt eines jeden Teilnetzes von (x i ) i I ist. Beweis. Konvergiert (x i ) i I gegen x, so auch jedes Teilnetz, und daher ist x Häufungspunkt dieses Teilnetzes. Ist (x i ) i I nicht gegen x konvergent, so gibt es eine Umgebung U von x, sodass i I j I, i j : x j U. Dieses Faktum stellt sicher, dass (K, K K ) mit K = {i I : x i U} eine gerichtete Menge ist, wobei das Teilnetz (x i ) i K den Punkt x offenbar nicht als Häufungspunkt hat.

11 12.3 Stetige Abbildungen Stetige Abbildungen Definition. Seien (X, T ) und (Y, O) topologische Räume und f : X Y eine Abbildung. Ist x X, so heißt f stetig im Punkt x, wenn gilt: Für alle V U( f (x)) existiert ein U U(x) mit f (U) V. Die Abbildung f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt x X stetig ist Beispiel. (i) Sei (X, T ) topologischer Raum. Die Abbildung id X : (X, T ) (X, T ) ist stetig, denn ist x X und V U(id X x) = U(x), so erfüllt U = V U(x) die Bedingung id X (U) = V V. (ii) Seien (X, T ), (Y, O) topologische Räume und sei a Y. Die konstante Abbildung { (X, T ) (Y, O), f : x a. ist stetig, denn ist x X und V U( f (x)) = U(a), so erfüllt U = X U(x) die Bedingung f (U) = {a} V. (iii) Sei X versehen mit der diskreten Topologie T = P(X), und sei (Y, O) irgendein topologischer Raum. Dann ist jede Abbildung f : (X, P(X)) (Y, O) stetig. In der Tat gilt für x X, V U( f (x)), dass U = {x} U(x) die geforderte Inklusion f (U) = { f (x)} V erfüllt. Zieht man in Betracht, dass in einem metrischen Raum die ɛ-kugeln eine Umgebungsbasis um einen Punkt bilden, so ist das im folgenden Lemma auftretende Kriterium (ii) für die Stetigkeit eine unmittelbare Verallgemeinerung des wohlbekannten ɛ - δ Kriteriums aus Definition Bei Funktionen auf metrischen Räumen haben wir auch gesehen, dass die Stetigkeit in einem Punkt x auch durch die Implikation x n x lim n f (x n ) = f (x) charakterisiert werden kann. Man hat in allgemeinen topologischen Räumen eine ähnliche Charakterisierung, wobei man jedoch nicht mehr mit Folgen das Auslangen findet, siehe (iii) im folgenden Lemma Lemma. Seien (X, T ), (Y, O) topologische Räume, f : X Y eine Abbildung, x X, und seien W(x) bzw. W( f (x)) beliebige Umgebungsbasen von x in (X, T ) bzw. von f (x) in (Y, O). Dann sind folgende Aussagen äquivalent. (i) f ist im Punkt x stetig. (ii) Für jedes V W( f (x)) existiert ein U W(x) mit f (U) V.

12 Topologische Grundlagen (iii) Für jedes gegen x konvergente Netz (x i ) i I in X folgt, dass das Netz ( f (x i )) i I gegen f (x) konvergiert. Beweis. (i) (ii) : Sei V W( f (x)). Dann ist auch V U( f (x)) und daher gibt es U U(x) mit f (U ) V; vgl. Definition Nun ist W(x) Umgebungsbasis von x. Gemäß Definition gibt es ein U W(x) mit U U und infolge f (U) V. (ii) (i) : Sei V U( f (x)), und wähle W W( f (x)) mit W V. Dann gibt es U W(x) U(x) mit f (U) W V. Nach Definition ist f somit in x stetig. (i) (iii) : Konvergiert (x i ) i I gegen x, und ist V U( f (x)), so existiert wegen der Stetigkeit ein U U(x) mit f (U) V. Wegen der Konvergenz findet man ein ein i 0 I, sodass i i 0 x i U und damit auch f (x i ) V. Also konvergiert ( f (x i )) i I gegen f (x). (iii) (i) : Wäre f nicht bei x stetig, so gäbe es eine Umgebung V von f (x), sodass f (U) V c, oder äquivalent U f 1 (V c ), für alle U U(x). Nach Lemma gibt es ein Netz (x i ) i I in f 1 (V c ), welches gegen x konvergiert. Andererseits ist aber f (x i ) V c für alle i I, womit ( f (x i ) ) i I sicherlich nicht gegen f (x) konvergieren kann Bemerkung. Mit einer Konstruktion ähnlich wie in Bemerkung sieht man, dass, wenn X das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, also insbesondere in metrischen Räumen, die Stetigkeit bei x mit Hilfe von Folgen dadurch charakterisiert werden kann, dass aus x n x auch lim n f (x n ) = f (x) folgt Beispiel. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Abbildung f : X [, + ) heißt in einem Punkt x X halbstetig von oben oder oberhalbstetig, falls f im Punkt x stetig ist, wenn man [, + ) mit der Topologie T < = {[, a) : a [, + ]} versieht; vgl. Beispiel , (v). f heißt halbstetig von oben bzw. oberhalbstetig auf X, wenn f bei allen x X halbstetig von oben ist, also wenn f : X [, + ) stetig ist, wobei [, + ) die Topologie T < trägt. In Beispiel , (ii), haben wir gesehen, dass ein Netz (ξ i ) i I in [, + ) gegen ein ξ [, + ) bezüglich T < genau dann konvergiert, wenn ξ lim sup i I ξ i. Aus Lemma erkennen wir somit, dass f in x genau dann von oben halbstetig ist, wenn f (x) lim sup i I f (x i ) für alle gegen x konvergente Netze (x i ) i I aus X. Eine Funktion f : X (, + ] heißt in einem Punkt x X halbstetig von unten oder unterhalbstetig, falls f im Punkt x stetig ist, wenn man (, + ] mit der Topologie T > = {(a, + ] : a [, + ]} versieht. Offenbar ist diese Eigenschaft zur Halbstetigkeit von oben der Funktion f bei x und somit auch zu f (x) lim inf i I f (x i ) für alle gegen x konvergente Netze (x i ) i I aus X äquivalent.

13 12.3 Stetige Abbildungen Satz. Seien (X, T ), (Y, O) topologische Räume, und sei f : X Y. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) f ist stetig. (ii) f 1 (O) T für jede offene Menge O O; also die Urbilder von offenen Mengen sind offen. (iii) Die Urbilder von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen. (iv) Für jede Teilmenge B X gilt f (B) f (B). Beweis. (i) (ii) : Sei O O. Ist x f 1 (O), so gilt f (x) O. Da O offen ist, erhalten wir O U( f (x)). Infolge gibt es eine Umgebung U U(x) mit f (U) O, bzw. äquivalent dazu U f 1 (O). Mit Lemma folgt f 1 (O) T. (ii) (iii) : Sei A abgeschlossene Teilmenge von Y. Dann ist (A) c offen und wegen (ii) gilt ( f 1 (A) ) c = f 1 (A c ) T. Also ist f 1 (A) abgeschlossen. (iii) (iv) : Wegen f (B) f (B) gilt f 1 ( f (B)) B. Da nach Voraussetzung f 1 ( f (B)) abgeschlossen in (X, T ) ist, folgt f 1 ( f (B)) B und daher f (B) f (B). (iv) (i) : Sei x X und V U( f (x)) gegeben. Wir müssen ein U U(x) mit f (U) V konstruieren. Dazu setze man W := f 1 (V). Dann gilt f (W c ) = f ( f 1 (V c )) V c und daher f (W c ) f (W c ) V c. Aus Proposition erhalten wir wegen V U( f (x)) und V V c =, dass f (x) V c und wegen obiger Inklusion infolge x W c. Also gilt x (W c ) c = W, womit U := W U(x). Dabei ist U W = f 1 (V) und daher f (U) f (W) V. Bedingung (ii) in Satz lässt sich kurz durch f 1 (O) T beschreiben, wobei wir für eine Abbildung f : X Y die Schreibweise und später auch für B P(X) bzw. C P(Y) verwenden. f 1 (C) := { f 1 (C) : C C } ( P(X) ), f (B) := { f (B) : B B } ( P(Y) ), Lemma. Seien (X, T ) und (Y, O) topologische Räume, wobei (Y, O) das Hausdorffsche Axiom (T 2 ) erfülle. Ist D eine dichte Teilmenge von X, und sind f, g zwei stetige Funktionen von X nach Y, sodass f D = g D, dann folgt f = g.

14 Topologische Grundlagen Beweis. Angenommen f (x) g(x) für ein x X \ D. Wegen der Hausdorff-Voraussetzung gibt es O 1, O 2 O mit O 1 O 2 = und f (x) O 1, g(x) O 2. Da f und g stetig sind, gibt es U 1, U 2 U(x), sodass f (U 1 ) O 1, g(u 2 ) O 2. Wegen U 1 U 2 U(x) folgt U 1 U 2 D, und wir erhalten den Widerspruch f (U 1 U 2 D) = g(u 1 U 2 D) O 1 O 2 =. Alternativ kann man argumentieren, dass es zu x X \ D wegen Proposition ein gegen x konvergentes Netz (x i ) i I in D gibt. Die Netze ( f (x i ) ) i I und ( g(x i ) ) i I konvergieren wegen Lemma gegen f (x) bzw. g(x). Andererseits sind ( f (x i ) ) i I und ( g(x i ) ) i I identisch und haben wegen Lemma denselben Grenzwert; also f (x) = g(x) Lemma. Seien (X, T ), (Y, O), (Z, R) topologische Räume und f : X Y, g : Y Z Funktionen. Ist f stetig in einem Punkt x X und ist g stetig im Punkt f (x), so ist g f stetig im Punkt x. Insbesondere ist g f stetig, wenn f, g es sind. Beweis. Sei W U((g f )(x)). Da g stetig im Punkt f (x) ist, gibt es V U( f (x)) mit g(v) W. Da f stetig im Punkt x ist, gibt es U U(x) mit f (U) V. Insgesamt gilt (g f )(U) = g( f (U)) g(v) W Definition. Seien (X, T ) und (Y, O) topologische Räume, und sei f : X Y. Dann heißt f ein Homöomorphismus von (X, T ) nach (Y, O), wenn f bijektiv ist und wenn f (T ) = O gilt. Zwei topologische Räume (X, T ) und (Y, O) heißen homöomorph, wenn es einen Homöomorphismus von (X, T ) nach (Y, O) gibt Lemma. Seien (X, T ), (Y, O), (Z, R) topologische Räume. (i) Eine Bijektion f : X Y ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn sowohl f als auch f 1 stetig sind. (ii) Sind f : X Y und g : Y Z Homöomorphismen, so ist auch g f : X Z ein Homöomorphismus. (iii) Für eine weitere Topologie T auf X ist die Abbildung id X : (X, T ) (X, T ) ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn T = T. Beweis. (i) Für ein bijektives f gilt f (T ) = O genau dann, wenn f 1 (O) T und f (T ) O. (ii) Folgt unmittelbar aus (i) und Lemma (iii) Das folgt unmittelbar aus id X (T ) = T Beispiel. (i) Die Abbildung tan : ( π 2, π 2 ) R ist ein Homöomorphismus, wenn man ( π 2, π 2 ) und R jeweils mit der Euklidischen Topologie versieht.

15 12.4 Basis, Subbasis 427 (ii) Ist eine gegebene Menge X mit zwei verschiedenen Metriken d 1 und d 2 versehen, die aber äquivalent sind, also es gibt α, β > 0, sodass für alle x, y Y αd 1 (x, y) d 2 (x, y) d 1 (x, y), (12.6) so zeigt man leicht mit Hilfe der Charakterisierung der Stetigkeit in metrischen Räumen durch Folgen (siehe Proposition 6.1.4), dass dann id X : (X, d 1 ) (X, d 2 ) und id X : (X, d 2 ) (X, d 1 ) beide stetig sind. Also induzieren diese Metriken dieselbe Topologie: T (d 1 ) = T (d 2 ). Siehe dazu auch Übungsbeispiel 5.1. (iii) Sei X ein Vektorraum versehen mit zwei Normen. 1 und. 2. Sind diese äquivalent (vgl. Definition 9.2.1), so sieht man sofort, dass die jeweils induzierten Metriken ebenfalls äquivalent sind. Somit stimmen die Topologien, die von den zu. 1 und. 2 gehörigen Metriken erzeugt werden, überein. (iv) Man betrachte C versehen mit der euklidischen Metrik d 2 und mit der chordalen Metrik χ. Es ist wohlbekannt, dass z n z in C bezüglich d 2 genau dann, wenn z n z bezüglich χ. Also ist die Abbildung id C als Abbildung von (C, d 2 ) nach (C, χ) und auch als Abbildung von (C, χ) nach (C, d 2 ) stetig. Somit gilt T (d 2 ) = T (χ), obwohl die beiden Metriken nicht äquivalent im Sinne von (12.6) sind. (v) Man betrachte einerseits C { } versehen mit der chordalen Metrik χ. Andererseits sei S die Oberfläche der Kugel mit Durchmesser 1 im R 3, die so auf die Ebene R 2 zu liegen kommt, dass ihr Südpol den Nullpunkt berührt. Wir versehen S mit d 2 : d 2 ((α, β, γ) T, (ξ, η, ζ) T ) = (α ξ) 2 + (β η) 2 + (γ ζ) 2. Die Stereographische Projektion σ : S C { } ist bekannterweise eine Isometrie, also χ(σ(x), σ(y)) = d 2 (x, y). Somit sind σ und σ 1 stetig, und σ ist infolge ein Homöomorphismus Basis, Subbasis Wir betrachten nun eine feste Menge X und die Menge (X) aller möglichen Topologien auf X. Die Elemente T von (X) sind also Teilmengen von P(X), und daher (X) P(P(X)). Wir sagen eine Topologie T 1 ist gröber als eine Topologie T 2 bzw. T 2 feiner als T 1, wenn T 1 T 2. Aus Satz erkennt man leicht, dass T 1 genau dann gröber als T 2 ist, wenn id : (X, T 2 ) (X, T 1 ) stetig ist Lemma. Ist T i, i I, eine Familie von Topologien, so ist auch i I T i eine Topologie. In der Tat, ist dieser Schnitt die feinste Topologie, die gröber als alle T i, i I, ist. Für ein Mengensystem C P(X) ist T (C) = {T (X) : C T } (12.7) die gröbste Topologie, die C enthält.

16 Topologische Grundlagen Beweis. Wir müssen nachweisen, dass i I T i die Axiome (O1) - (O3) erfüllt. Die Mengen, X sind in allen T i enthalten, da diese ja Topologien sind. Also sind diese Mengen auch im Schnitt enthalten. Es folgt (O1). Aus O 1, O 2 i I T i folgt O 1, O 2 T i, i I, und somit O 1 O 2 T i, i I. Also gilt O 1 O 2 i I T i, und daher (O2); vgl. Bemerkung Sind O j i I T i, j J, so folgt für jedes i I, dass O j T i, j J, und weiter j J O j T i. Nun gilt das wieder für alle i I, also j J O j i I T i, und somit (O3). Klarerweise ist i I T i in allen T i enthalten. Ist andererseits T T i, i I, so auch T i I T i. Also ist der Schnitt die feinste in allen T i enthaltene Topologie. Offenbar enthält der Schnitt T (C) von Mengensystemen, die alle C enthalten, wieder C. Ist andererseits T C eine Topologie, so gehört T zur Menge auf der linken Seite von (12.7) und daher T T (C). Also ist T (C) die gröbste Topologie, die C enthält Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Ein Mengensystem B P(X) heißt Basis von T, wenn B T und wenn es für alle O T und x O ein B B mit x B O gibt. Ein Mengensystem C P(X) heißt Subbasis von T, wenn C T und wenn es für alle O T, O X, und x O endlich viele C 1,..., C n C mit x C 1 C n O gibt. Man sagt ein topologischer Raum (X, T ) erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom (ABII), wenn T eine abzählbare Basis besitzt Bemerkung. Sei O X und B P(X). Die Tatsache, dass es zu jedem x O ein B B gibt mit x B O, lässt sich kurz folgendermaßen anschreiben: O = B. B B, B O Bemerkung. Offensichtlich ist C P(X) genau dann eine Subbasis von T, wenn das Mengensystem E aller endlichen Schnitte von C samt X, also E := {X} { n C i : n N, C 1,..., C n C } i=1 eine Basis von T abgibt. Klarerweise enthält E das Mengensystem C. Der Grund, warum man X extra in E hineingeben muss, ist der, dass wir in Definition für Subbasis nur verlangen, dass es zu jedem offenen O ungleich X und x O Mengen C 1,..., C n C gibt mit x C 1 C n O Beispiel. (i) Ist (Y, d) ein metrischer Raum, so folgt aus der Definition der von d induzierten Topologie T (d) sofort, dass eine Basis von T (d) ist. {U ɛ (x) : x Y, ɛ > 0}

17 12.4 Basis, Subbasis 429 (ii) Die Euklidische Topologie T (d 2 ) auf R hat die Menge aller offenen Intervalle {(a, b) R : a, b R, a < b} als Basis. Da man zu a < x < b aus R wegen der Dichteeigenschaft von Q (siehe Satz 2.8.3) sicherlich s, t Q findet, sodass a < s < x < t < b, ist auch {(s, t) R : s, t Q, s < t} eine Basis von T (d 2 ). Also erfüllt (R, T (d 2 )) das zweite Abzählbarkeitsaxiom (ABII). (iii) Ähnlich zeigt man, dass {[, a) : a Q} eine Basis der Topologie T < := {[, a) : a [, + ]} auf [, + ) ist; vgl. Beispiel , (v). Insbesondere gilt auch hier das zweite Abzählbarkeitsaxiom. (iv) Wegen (a, b) = (a, + ) (, b) folgt damit unmittelbar, dass eine Subbasis von T (d 2 ) auf R ist. {(a, + ) R : a R} {(, b) R : b R} (v) Betrachte den R p versehen mit d. Da dort für die ɛ-kugeln U ɛ (x) = (ξ 1 ɛ, ξ 1 + ɛ) (ξ p ɛ, ξ p + ɛ) gilt, wobei x = (ξ j ) p j=1, folgt, dass die Menge {(a 1, b 1 ) (a p, b p ) : a j, b j R, a j < b j, j = 1,..., p} aller p-dimensionalen Quader eine Basis von T (d ) abgibt. Wegen T (d ) = T (d 2 ) (siehe Beispiel ) ist diese Menge trivialerweise auch eine Basis von T (d 2 ). Ähnlich wie für R sieht man, dass auch {(s 1, t 1 ) (s p, t p ) : s j, t j Q, s j < t j, j = 1,..., p} eine abzählbare Basis von T (d 2 ) ist Satz. Ist B P(X) Basis einer gegebenen Topologie T auf X, so erfüllt B: (B1) Ist B 1, B 2 B, x B 1 B 2, so existiert B 3 B mit x B 3 B 1 B 2. (B2) B B B = X. Außerdem ist T die gröbste Topologie, die B enthält, also T = T (B). Ist C P(X) Subbasis einer gegebenen Topologie T auf X, so ist T die gröbste Topologie, die C enthält, also T = T (C).

18 Topologische Grundlagen Beweis. Wegen B T muss T (B) T. Ist andererseits O T, so folgt aus der Tatsache, dass B eine Basis ist, zusammen mit Bemerkung O = B. (12.8) B B, B O Wegen B T (B) und wegen (O3) ist jede dieser Mengen auch in T (B), also T T (B). Aus (12.8) angewandt auf O = X sieht man unmittelbar, dass (B2) erfüllt ist. Für B 1, B 2 B T gilt B 1 B 2 T. Aus B 1 B 2 = {B B : B B 1 B 2 } folgt für jedes x B 1 B 2 die Existenz eines B 3 B mit x B 3 B 1 B 2. Also gilt auch (B1). Ist schließlich C P(X) eine Subbasis von T, so folgt aus Bemerkung , dass E eine Basis von T ist, und daher T = T (E). Wegen C E gilt T (C) T (E). Ist andererseits E E, so gilt E = X oder E = C 1 C n für C 1,..., C n C T (C). Aus (O1) bzw. (O2) folgt dann E T (C), und daher E T (C). Somit gilt auch T (E) T (C), und insgesamt T = T (E) = T (C) Lemma. Seien (X, T ) und (Y, O) topologische Räume und f : X Y eine Abbildung. Ist C eine Subbasis von O, so ist f genau dann stetig, wenn f 1 (C) T. Beweis. Aus der Stetigkeit folgt unmittelbar f 1 (C) f 1 (O) T. Ist umgekehrt f 1 (C) T, so prüft man leicht nach, dass O := {O Y : f 1 (O ) T } die Axiome (O1) - (O3) erfüllt, also eine Topologie ist. Da laut Voraussetzung C O, muss auch O = T (C) O, und daher f 1 (O) T für alle O O. Wir wollen nun den umgekehrten Weg wie in Satz gehen Satz. Erfüllt B P(X) die Axiome (B1) und (B2), so ist B eine Basis von T (B). Außerdem stimmt T (B) mit dem System T aller Mengen O X der Bauart O = B B V mit einem (von O abhängigen) Teilsystem V B überein; also T (B) = T, wobei T = {O X : V B, O = B}. (12.9) Für C P(X) ist C eine Subbasis von T (C). Außerdem stimmt T (C) mit dem System {O X : V E, O = B} (12.10) überein, wobei die Axiome (B1) und (B2) erfüllt. B V B V E := {X} { n C i : n N, C 1,..., C n C} i=1

19 12.5 Initiale Topologie 431 Beweis. Wir zeigen zunächst, dass T definiert in (12.9) eine Topologie auf X ist. In der Tat gilt = B T, und wegen (B2) B X = B T. B B Also ist (O1) erfüllt. Die Bedingung (O3) folgt aus ( ) B = B. i I B V i B i I V i Es bleibt (O2) zu zeigen. Seien also O 1 = B V 1 B, O 2 = B V 2 B gegeben. Jedes x O 1 O 2 liegt somit in einem B 1 V 1 und einem B 2 V 2. Nach (B1) gibt es ein B B mit x B B 1 B 2 O 1 O 2. Wir erhalten (vgl. Bemerkung ) O 1 O 2 = B, B V wobei V := {B B : B O 1 O 2 }; also O 1 O 2 T. Offensichtlich gilt B T. Ist x O T, so folgt aus (12.9), dass x B O für ein gewisses B B. Also ist B Basis von T, und wegen Satz ist damit T die gröbste Topologie T (B), die B umfasst. Für C P(X) sieht man unmittelbar, dass X E und dass mit E 1, E 2 E auch E 1 E 2 E. Insbesondere erfüllt E (B1) und (B2). Nach dem oben gezeigten ist E Basis von T (E), wobei T (E) mit der Topologie in (12.10) übereinstimmt. Wegen Bemerkung bedeutet das, dass C eine Subbasis von T (E) ist, und aus Satz folgt damit schließlich T (C) = T (E) Initiale Topologie Mit dem Konzept Basis und Subbasis können wir auf einer gegebenen Menge ausgezeichnete Topologien definieren, die gewisse Eigenschaften haben Satz. Seien X eine Menge, (Y i, T i ), i I, topologische Räume und f i : X Y i, i I, Abbildungen. f i (Y i, T i ) X f j fk (Y j, T j ) (Y k, T k )

20 Topologische Grundlagen Dann existiert genau eine Topologie T auf X mit folgender Eigenschaft: (IN 1 ) T ist die gröbste Topologie auf X, sodass f i : (X, T ) (Y i, T i ) für alle i I stetig ist. Diese Topologie heißt initiale Topologie bezüglich der f i. Für sie gelten auch folgende beiden Eigenschaften: (IN 2 ) i I f 1 i (T i ) ist eine Subbasis von T. (IN 3 ) Ist (Y, O) ein beliebiger topologischer Raum und f : Y X, so ist f : (Y, O) (X, T ) genau dann stetig, wenn alle Abbildungen f i f : (Y, O) (Y i, T i ), i I, stetig sind. Beweis. Ist T eine beliebige Topologie auf X, so ist f i : (X, T ) (X i, T i ) genau dann stetig, wenn fi 1 (T i ) T. Also sind alle f i genau dann stetig, wenn fi 1 (T i ) T. (12.11) i I Nach Lemma gibt es eine gröbste Topologie T = T ( i I f 1 i (T i )), die (12.11) erfüllt. Damit ist aber auch T die gröbste Topologie, sodass alle f i stetig sind. Also gilt (IN 1 ). Wegen Satz ist i I f 1 i (T i ) Subbasis von T, und es gilt auch (IN 2 ). Sei f : (Y, O) (X, T ), wobei T die initiale Topologie der f i, i I, ist. Im Falle der Stetigkeit von f sind auch alle f i f : (Y, O) (Y i, T i ) als Zusammensetzung stetiger Abbildungen stetig. Seien umgekehrt alle f i f stetig, es gelte also ( f i f ) 1 (T i ) O. Dann folgt f 1 ( fi 1 (T i )) O und damit f 1 ( fi 1 (T i )) O. i I Da i I fi 1 (T i ) eine Subbasis von T ist, folgt aus Lemma , dass f stetig ist. Die initiale Topologie T hat also die Eigenschaft (IN 3 ) Bemerkung (*). Die initiale Topologie T ist in der Tat die einzige Topologie T mit der Eigenschaft (IN 3 ). Um das einzusehen, sei T eine weitere Topologie auf X mit dieser Eigenschaft. Da die Abbildung id X : (X, T ) (X, T ) trivialerweise stetig ist, folgt aus (IN 3 ) angewandt auf T, dass alle f i id X : (X, T ) (Y i, T i ) stetig sind. Aus (IN 1 ) folgt T T. Für id X : (X, T ) (X, T ) sind andererseits alle f i id X = f i : (X, T ) (Y i, T i ) stetig. Mit (IN 3 ) angewandt auf T folgt die Stetigkeit von id X : (X, T ) (X, T ), und daher gilt auch T T.

21 12.5 Initiale Topologie Lemma. Mit der Notation aus Satz sei (x j ) j J ein Netz in X. Dieses konvergiert bzgl. T gegen ein x X genau dann, wenn ( f i (x j ) ) j J für alle i I gegen f i(x) konvergiert. Beweis. Konvergiert (x j ) j J gegen x bzgl. T, so folgt aus der Stetigkeit der f i mit Lemma , dass ( f i (x j ) ) j J gegen f i(x) konvergiert. Konvergiere umgekehrt ( f i (x j ) ) j J gegen f i(x) für alle i I. Für ein U U(x) mit U X und O T mit x O U folgt aus der Tatsache, dass i I fi 1 (T i ) eine Subbasis von T ist (vgl. (IN 2 ) aus Satz ), und Definition , dass x fi 1 1 (O 1 ) fi 1 m (O m ) O, wobei i 1,..., i m I, O 1 T i1,..., O m T im. Also folgt f ik (x) O k für k = 1,..., m. Laut Voraussetzung gibt es zu jedem k = 1,..., m einen Index j k J, sodass j j k immer f ik (x j ) O k nach sich zieht. Ist nun j 0 J derart, dass j 0 j k, k = 1,..., m, so folgt für j j 0 jedenfalls f ik (x j ) O k, k = 1,..., m, und daher x j fi 1 1 (O 1 ) fi 1 m (O m ) O U. Die Konstruktion der Initialen Topologie ist assoziativ. g ik f i g i,k (Z i,k, T i,k ) X f j f i Y i g il f i g jk f j Y j g i,l g j,k (Z i,l, T i,l ) (Z j,k, T j,k ) g jl f j g j,l (Z j,l, T j,l ) Abbildung 12.2: Veranschaulichung der Assoziativität der Initialtopologiebildung Korollar. Seien X, Y i, i I, topologische Räume und f i : X Y i, i I, Abbildungen. Weiters seien zu jedem i I eine Indexmenge J i und topologische Räume (Z i, j, T i, j ) und Abbildungen g i, j : Y i Z i, j gegeben. Für jedes i I versehen wir Y i mit der initialen Topologie T i bezüglich der Abbildungen g i, j, j J i. Unter diesen Voraussetzungen stimmt die initiale Topologie T 1 auf X bezüglich der Abbildungen f i : X Y i, i I, mit der initialen Topologie T 2 auf X bezüglich der Abbildungen g i, j f i : X Z i, j, i I, j J i, überein.

22 Topologische Grundlagen Beweis. Ist T irgendeine Topologie auf X, so ist wegen (IN 3 ) angewandt auf die (Y i, T i ) die Tatsache, dass alle Abbildungen f i : X Y i, i I, stetig sind, dazu äquivalent, dass alle Abbildungen g i, j f i : X Z i, j, i I, j J i, stetig sind. Also stimmt die gröbste aller Topologien, welche die erste Bedingung erfüllen, wegen (IN 1 ) ist das T 1 mit der gröbsten aller Topologien, welche die zweite Bedingung erfüllen, wegen (IN 1 ) ist das T 2 überein Spur- und Produkttopologie Definition. Sei (Y, T ) ein topologischer Raum und X Y. Weiters sei ι : X Y die kanonische Einbettung, ι(x) = x. Die initiale Topologie auf X bezüglich der Abbildung ι heißt die Spurtopologie von T auf X und wird bezeichnet als T X. Man spricht von (X, T X ) als einem Teilraum von (Y, T ) Fakta. 1. Wegen Satz ist ι 1 (T ) = {O X : O T } P(X) eine Subbasis für T X. Nun erfüllt diese Menge selbst schon (O1) (O3), also gilt T X = {O X : O T }. (12.12) Daraus erhält man leicht, dass der Umgebungsfilter U X (x) eines Elementes x X bezüglich T X übereinstimmt mit U X (x) = {U X : U U(x)}. 2. Aus (12.12) erhält man auch, dass das System A X der in (X, T X ) abgeschlossenen Mengen gegeben ist durch A X = {A X : A A}. Somit gilt für B X B T X = B T X. (12.13) 3. Erfüllt (Y, T ) das Axiom (T 2 ), so folgt aus (12.12), dass auch (X, T X ) dieses Axiom erfüllt. 4. Aus (IN 3 ) erhalten wir, dass eine Funktion f : (Z, O) (X, T X ) genau dann stetig ist, wenn f : (Z, O) (Y, T ) stetig ist. 5. Ist (x j ) j J ein Netz in X und x X, so folgt aus Lemma , dass (x j ) j J genau dann gegen x bzgl. T konvergiert, wenn (x j ) j J bzgl. T X gegen x konvergiert. 6. Ist schließlich X Z Y, so gilt wegen Korollar T X = (T Z ) X. (12.14)

23 12.6 Spur- und Produkttopologie Beispiel. Sei Y, d ein metrischer Raum, und sei X Y versehen mit der Einschränkung von d X X. Klarerweise ist X, d X X ein metrischer Raum. Wir wollen uns vergewissern, dass die von d X X auf X erzeugte Topologie genau die Spurtopologie ist, die von T (d) auf X induziert wird. Ist nämlich O T (d) und x O X, so gibt es ein ɛ > 0 mit Uɛ Y (x) O. Daraus folgt, dass die ɛ-kugel Uɛ X (x) = Uɛ Y (x) X um x bezüglich d X X in O X enthalten ist. Also ist jede Menge aus T (d) X offen bezüglich d X X. Ist umgekehrt P T (d X X ), so wähle man für jedes x P ein ɛ x > 0, sodass die ɛ x -Kugel Uɛ X x (x) = X Uɛ Y x (x) in X in P enthalten ist. Es folgt ( P = X U Y ɛx (x) ) = X Uɛ Y x (x). x P Somit ist P der Schnitt einer in Y offenen Menge und X, also P T (d) X Lemma. Seien (X, T ), (Y, O) topologische Räume und A 1,..., A m X Teilmengen mit A 1 A m = X, wobei entweder alle A k, k = 1,..., m, abgeschlossen oder alle diese Teilmengen offen sind. Sind f k : A k Y für k = 1,..., m stetige Funktionen, wobei die A k mit der Spurtopologie versehen sind, sodass f j und f k auf A j A k für alle j, k {1,..., m} übereinstimmen, dann ist auch die Funktion f 1 f m : X Y 2 stetig. Beweis. Seien A 1,..., A m X alle abgeschlossen. Der offene Fall ist ähnlich zu beweisen. Für ein abgeschlossenes F Y gilt zunächst x P ( f 1 f m ) 1 (F) = f (F) fm (F). Wegen der Stetigkeit von f k : A k Y ist f 1 k (F) abgeschlossen in der Spurtopologie T Ak, und somit von der Bauart C A k für eine in X abgeschlossene Menge C. Als Schnitt zweier in X abgeschlossener Mengen ist f 1 k (F) in X abgeschlossen. Als Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist dann auch ( f 1 f m ) 1 (F) abgeschlossen. Da F beliebig war, ist somit f 1 f m stetig Definition. Seien (X i, T i ), i I, topologische Räume, und sei X := i I X i. Die initiale Topologie auf X bezüglich der Familie π i : X X i der kanonischen Projektionen π i ( (xk ) k I ) = xi nennt man die Produkttopologie der T i auf X und wird bezeichnet mit i I T i Fakta. 1. Für ein O X i gilt π 1 i (O) = O k, k I 2 Das ist die (wohldefinierte) Funktion, die für k = 1,..., m auf A k mit f k übereinstimmt.

24 Topologische Grundlagen wobei O k = X k, k i, und O i = O ist. Wieder mit (IN 2 ) und Bemerkung erhält man daraus, dass die Mengen der Gestalt O k, (12.15) k I wobei O k T k, k I, und für alle k I bis auf endlich viele O k = X k gilt, eine Basis für i I T i bilden. 2. Die kanonischen Projektionen π i : X X i bilden offene Mengen aus k I T k auf offene Mengen aus T i ab, also sind sie offene Abbildungen. Um das einzusehen, sei zunächst i I fest. Dann gilt für Basismengen der Gestalt (12.15) offenbar π i ( k I O k ) = O i. Also ist das Bild unter π i einer jeden Menge aus dieser Basis offen in (X i, T i ). Da jede offene Menge in k I T k Vereinigung von Basismengen ist, folgt die Behauptung. 3. Weiters sieht man leicht mit Hilfe der Basis bestehend aus Mengen der Form (12.15), dass für einen Punkt (x i ) i I X die Mengen U i, i I wobei U i U(x i ), i I, und U i = X i für alle bis auf endlich viele i, eine Umgebungsbasis bezüglich i I T i bilden. 4. Aus Lemma folgt, dass für ein Netz (x j ) j J und einen Punkt x aus i I X i, also x j = (ξ j,i ) i I und x = (ξ i ) i I mit ξ j,i, ξ i X i, x j j J j J x ξ j,i ξ i für alle i I. (12.16) 5. Aus (12.16) folgt, dass für abgeschlossene A i X i, i I, das Produkt i I A i i I X i ebenfalls abgeschlossen ist. Alternativ kann man das auch daraus folgern, dass A i = π 1 i (A i ) i I i I als Durchschnitt von Urbildern abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen selber wieder abgeschlossen ist Bemerkung. Wendet man diese Konstruktion der Produkttopologie etwa auf die zwei Räume (X 1, T 1 ) und (X 2, T 2 ) mit I = {1, 2} an, so bilden insbesondere alle Mengen der Bauart O 1 O 2 mit O 1 X 1, O 2 X 2 eine Basis der Produkttopologie T 1 T 2. Außerdem sind alle Mengen A 1 A 2 für abgeschlossene A 1 X 1, A 2 X 2, ebenfalls abgeschlossen Beispiel. Seien X 1, d 1 und X 2, d 2 zwei metrische Räume, und sei d : X 1 X 2 R definiert als d ( (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) ) = max(d 1 (x 1, y 1 ), d 2 (x 2, y 2 )), vgl. Fakta Wir wissen schon, dass d eine Metrik auf X 1 X 2 ist, und dass U ɛ ( (x1, x 2 ) ) = U ɛ (x 1 ) U ɛ (x 2 ).

25 12.7 Finale Topologie* 437 Die von dieser Metrik erzeugte Topologie T (d) stimmt mit der Produkttopologie von T (d 1 ) und T (d 2 ) überein. Um das einzusehen, sei O X 1 X 2. Diese Menge ist in T (d) genau dann, wenn was aber äquivalent zu (x 1, x 2 ) O ɛ > 0 : U ɛ ( (x1, x 2 ) ) = U ɛ (x 1 ) U ɛ (x 2 ) O, (x 1, x 2 ) O O 1 T (d 1 ), O 2 T (d 2 ) : (x 1, x 2 ) O 1 O 2 O ist. Da die Mengen der Form O 1 O 2 eine Basis von T (d 1 ) T (d 2 ) darstellen, bedeutet das genau O T (d 1 ) T (d 2 ). Folgendes Korollar samt Beweis funktioniert übrigens auch für Funktionen mit Werten in einem normierten Raum Korollar. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und f, g : X R (C), sowie λ, µ R (C). Sind f und g stetig, so auch λ f + µg und f g. Gilt zusätzlich f (x) 0 für alle x X, so ist auch 1 f stetig. Beweis. Die Funktion (x, y) λx + µy, R R R ist bekannterweise stetig. Nach (IN 3 ) angewandt auf R R ist a ( f (a), g(a)), X R R ebenfalls stetig. λ f + µg ist nun als Zusammensetzung dieser Funktionen ebenfalls stetig. Der Beweis für f g und 1 verläuft analog. f 12.7 Finale Topologie* Satz. Seien X eine Menge, (Y i, T i ), i I, topologische Räume und f i : Y i X, i I, Abbildungen. (Y i, T i ) fi (Y j, T j ) f j f k X (Y k, T k ) Dann existiert genau eine Topologie T auf X mit der Eigenschaft: (FI 1 ) T ist die feinste Topologie auf X, sodass alle Abbildungen f i : (Y i, T i ) (X, T ), i I, stetig sind. Diese Topologie heißt finale Topologie bezüglich der f i. Sie ist gegeben durch

26 Topologische Grundlagen (FI 2 ) T = {O X : f 1 i (O) T i für alle i I}, und erfüllt: (FI 3 ) Ist (Y, O) ein topologischer Raum und f : X Y, so ist f : (X, T ) (Y, O) stetig genau dann, wenn alle Abbildungen f f i : (Y i, T i ) (Y, O), i I, stetig sind. Beweis. Wir betrachten die durch (FI 2 ) definierte Menge T P(X). Es gilt und f 1 i (O 1... O n ) = fi 1 (O 1 )... fi 1 (O n ) f 1 i ( ) O j = j J j J f 1 i (O j ). Sind also O 1,..., O n T bzw. O j T, j J, so folgt, da die T i Topologien sind, O 1... O n T und j J O j T. Also erfüllt T die Axiome (O2) und (O3). Wegen fi 1 ( ) = und fi 1 (X) = Y i gilt auch (O1). Definitionsgemäß gilt fi 1 (T ) T i, womit alle f i : (Y i, T i ) (X, T ) stetig sind. Ist T eine Topologie auf X, sodass alle f i stetig sind, so folgt fi 1 (O) T i für alle O T, also O T. Somit gilt T T, und T erfüllt (FI 1 ). Klarerweise gibt es höchstens eine Topologie mit der Eigenschaft (FI 1 ). Sei T die finale Topologie bezüglich der f i, und sei f : X Y. Ist f stetig, so ist auch f f i : (Y i, T i ) (X, T ) (Y, O) als Zusammensetzung stetiger Abbildungen stetig. Ist umgekehrt f f i stetig für alle i, so gilt f 1 i ( f 1 (O)) = ( f f i ) 1 (O) T i, i I, und wir erhalten f 1 (O) T, womit f stetig ist Bemerkung. Die Finale Topologie ist die einzige Topologie auf X, die (FI 3 ) erfüllt. Um das einzusehen, sei T eine weitere Topologie auf X mit der Eigenschaft (FI 3 ). Da die Abbildung id X : (X, T ) (X, T ) trivialerweise stetig ist, folgt aus (FI 3 ) angewandt auf T, dass alle id X f i : (Y i, T i ) (X, T ) stetig sind. Aus (FI 1 ) folgt T T. Für id X : (X, T ) (X, T ) sind andererseits alle Abbildungen id X f i = f i : (Y i, T i ) (X, T ) stetig. Mit (FI 3 ) angewandt auf T folgt die Stetigkeit von id X : (X, T ) (X, T ), und daher auch T T Bemerkung. Das Finale Topologie Bilden ist assoziativ; also es gilt ein Korollar entsprechendes Resultat Beispiel. Sei (Y, T ) ein topologischer Raum und eine Äquivalenzrelation auf Y. Weiters sei π : Y Y/ die kanonische Projektion, π(x) = [x]. Die finale Topologie auf Y/ bezüglich π heißt Quotiententopologie und wird bezeichnet als T /.