EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE

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1 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE BERNHARD HANKE 1. Metrische Räume und topologische Räume Definition. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung d : X X R 0 mit den folgenden Eigenschaften: Für alle x, y, z X gilt d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = 0 x = y, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Wichtige Beispiele sind der euklidische Raum (R n, d) mit der euklidischen Metrik d(x, y) := x y oder auch Funktionenräume wie (C([0, 1], R), d), die Menge der stetigen Abbildungen [0, 1] R versehen mit der Metrik d(f, g) := max f(t) g(t). t [0,1] Ist (X, d) ein metrischer Raum, so trägt jede Teilmenge A X eine (durch Einschränkung von d gegebene) induzierte Metrik. In metrischen Räumen kann das Konzept einer stetigen Funktion bekanntlich mittels des ɛ δ-kriteriums definiert werden: Definition. Es seien (X, d X ), (Y, d Y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig, falls für jedes x X und jedes ɛ > 0 ein (in der Regel von x abhängiges) δ > 0 existiert mit d X (x, x ) < δ d Y (f(x ), f(x)) < ɛ. In der Analysis beweist man viele nützliche Sätze für auf Teilmengen von R definierte stetige reellwertige Funktionen. Als Beispiel verweisen wir auf den Zwischenwertsatz oder die Tatsache, dass jede auf einem beschränkten abgeschlossenen Intervall I R definierte stetige Funktion I R ihr Maximum und Minimum annimmt. Wir werden unter anderem diese Tatsachen im abstrakteren topologischen Rahmen wiederfinden. Ist (X, d) ein metrischer Raum und x X, so definieren wir für alle ɛ > 0 die offene Kugel um x mit Radius ɛ B ɛ (x) := {p X d(p, x) < ɛ}. 1

2 2 BERNHARD HANKE Definition. Eine Teilmenge U X eines metrischen Raumes heißt offen, falls für alle x U ein ɛ > 0 existiert mit B ɛ (x) U. Man beweist nun Proposition 1.1. Eine Abbildung X Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, falls für alle offenen Teilmengen U Y das Urbild f 1 (U) X offen ist. Diese Tatsache motiviert, den Begriff der Stetigkeit abstrakter zu fassen und alleine auf den Begriff der offenen Teilmengen abzustellen. Definition. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge X und einer Menge T P(X) von Teilmengen von X mit den folgenden Eigenschaften. T, X T, U, V T U V T, S T U S U T. Die Elemente von T werden offene Teilmengen von X genannt. Eine Teilmenge A X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist. Ist X ein topologischer Raum und x X, so nennen wir eine Teilmenge Y X eine Umgebung von x, falls es eine offene Teilmenge U X mit x U Y gibt. Das zweite obige Axiom besagt, dass der Schnitt endlich vieler offener Teilmengen wieder offen ist und das dritte Axiom, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen wieder offen ist. Man kann leicht zeigen dass die Menge der offenen Teilmengen in einem metrischen Raum (X, d) eine Topologie im obigen Sinne bilden. Wir nennen diese die von der Metrik induzierte Topologie. Umgekehrt kann man fragen, ob auf einem gegebenen topologischen Raum (X, T ) eine Metrik existiert, so dass die induzierte Topologie mit T übereinstimmt. Falls dies der Fall ist, so nennen wir den topologischen Raum (X, T ) metrisierbar. Allerdings ist nicht jeder topologische Raum ist metrisierbar - wir werden in Kürze ein notwendiges Kriterium für Metrisierbarkeit kennenlernen. Definition. Es sei (X, T ) ein topologischer Raum und A X eine Teilmenge. Die Menge der Schnitte U A A, wobei U X offen ist, bildet eine Topologie auf A, die Unterraumtopologie, oder von T induzierte Topologie. Eine Teilmenge V A ist also genau dann offen (abgeschlossen) bezüglich der Unterraumtopologie, falls es eine offene (abgeschlossene) Menge U X gibt mit U A = V. Falls X ein metrischer Raum ist und A X, so

3 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 3 stimmt die Unterraumtopologie auf A mit der Topologie überein, die von A als metrischem Raum (mit der Metrik von X) induziert ist. Man kann auf einer gegebenen Menge X zahlreiche Topologien angeben - die meisten davon sind eher künstlich und unnütz. Zwei extreme Spezialfälle sind die der diskreten Topologie, bei der jede Teilmenge von X als offen erklärt wird und die Klumpentopologie mit T = {, X}. Die diskrete Topologie ist übrigens immer metrisierbar - die entsprechende Metrik wird durch { 0, falls x = y, d(x, y) = 1, falls x y definiert. Der Begriff des topologischen Raumes ist gerade deshalb so nützlich, weil er in ganz verschiedenen mathematischen Kontexten auftritt und daher Sätze, die wir für topologische Räume beweisen, in der Regel eine breite Anwendung finden. Definition. Ein topologischer Raum X heißt Hausdorffsch, falls für alle x, y X mit x y eine Umgebung U x von x und eine Umgebung U y von y existiert mit U x U y =. Falls X mehr als einen Punkt enthält, so ist die Klumpentopologie nicht Hausdorffsch. Damit ist diese auch nicht metrisierbar, denn es gilt Proposition 1.2. Jeder metrisierbare topologische Raum ist Hausdorffsch. Proof. Sind x, y X zwei verschiedene Punkte, so setze d := d(x, y). Die offenen Kugeln um x und y mit Radius d/2 sind nach der Dreiecksungleichung disjunkt. Später in der Vorlesung werden wir auch hinreichende Bedingungen für die Metrisierbarkeit eines topologischen Raumes kennenlernen. Wir können nun den Stetigkeitsbegriff von metrischen Räumen auf allgemeine topologische Räume verallgemeinern. Definition. Es seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig falls für jede offene Menge U Y das Urbild f 1 (U) X wieder offen ist. Eine bijektive stetige Abbildung f : X Y mit stetiger Inverser f 1 : Y X heißt Homöomorphismus. Sind X und Y homöomorph, so schreiben wir auch X Y. Ist X ein topologischer Raum, A X eine Teilmenge und f : X Y stetig, so ist die Einschränkung f A : A X ebenfalls stetig. Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig. Es ist leicht, Beispiele für stetige, bijektive Abbildungen anzugeben, die keine Homöomorphismen sind. Die Homömorphismen spielen in der Topologie die gleiche Rolle wie die linearen Isomorphismen in der linearen Algebra,

4 4 BERNHARD HANKE die biholomorphen Abbildungen in der Funktionentheorie, die Gruppenisomorphismen in der Gruppentheorie, die Isometrien in der Riemannschen Geomtrie, etc. Eines der Grundprobleme der Topologie lässt sich wie folgt formulieren: Es seien topologische Räume X und Y gegeben. Entwickle Methoden, die es erlauben zu entscheiden, ob X und Y homöomorph sind oder nicht. Insbesondere die algebraische Topologie entwickelt effektive Methoden, diese Frage zu entscheiden. Ein prominentes Resultat in diese Richtung lautet: Satz 1.3. Für n m sind die topologischen Räume R n und R m (mit der von den von den jeweiligen Metriken induzierten Topologien) nicht homöomorph. In dieser Vorlesung werden wir diesen Satz für n = 2 zeigen. Im Zusammenhang mit topologischen Räumen müssen wir noch einige Vokabeln einführen. Sind T und T Topologien auf einem Raum X und gilt T T, d.h. jede bzgl. T offene Teilmenge ist auch offen bzgl. T, so nennen wir T gröber als T und T feiner als T. Damit ist die Klumpentopologie die gröbste und die diskrete Topologie die feinste Topologie auf X. Definition. Es sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Menge B T von offenen Teilmengen von X heißt Basis der Topologie, falls jede offene Menge U T Vereinigung von Mengen aus B ist. Wir nennen B T eine Subbbasis der Topologie, falls jede offene Menge U T Vereinigung von Mengen ist, von denen jede Schnitt endlich vieler Mengen aus B ist. Sind X und Y topologische Räume, f : X Y eine Abbildung und B eine Subbasis der Topologie auf Y, so ist f genau dann stetig, falls f 1 (U) X offen ist für alle U B. In jedem metrischen Raum bilden die offenen Kugeln eine Basis der von der Metrik induzierten Topologie. Wir können uns im R n sogar auf die Kugeln mit rationalen Mittelpunkten und rationalen Radien beschränken. Damit hat die Standardtopologie auf R n sogar eine abzählbare Basis. Ist X eine Menge (zunächst ohne Topologie), so ist nicht jede Menge B P(X) Basis einer Topologie auf X (denn B muss nicht abgeschlossen unter endlichen Schnitten sein). Jedoch ist B auf jeden Fall Subbasis einer Topologie T von X, die wir die von B erzeugte Topologie nennen wollen. Die Elemente von T sind genau die Teilmengen von X, die sich als Vereinigung von Mengen schreiben lassen, von denen jede endlicher Schnitt von in B enthaltenen Teilmengen von X ist. Man überlegt sich leicht, dass die Gesamtheit all der so gebildeten Teilmengen von X tatsächlich eine Topologie auf X bildet und dass es keine gröbere Topologie T gibt mit B T. Sind X und Y topologische Räume, so ist die Produktopologie auf X Y die Topologie, die von allen Streifen U Y und X V erzeugt wird, wobei U offen in X und V offen in Y ist. Die Rechtecke U V X Y bilden

5 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 5 eine Basis der Produkttopologie, da der Schnitt endlich vieler Rechtecke wieder ein Rechteck ist. Direkt aus der Konstruktion folgt: Proposition 1.4. Die Produkttopologie auf X Y hat die folgenden Eigenschaften: Die Projektionen π X : X Y X und π Y : X Y Y sind stetig. Ist T eine gröbere Topologie auf X Y als die Produkttopologie, so sind die Projektionen X Y X und X Y Y nicht beide stetig. Mit anderen Worten: Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie auf X Y so dass beide Projektionen auf die Faktoren stetig sind. Ist eine Familie (X i ) i I von topologischen Räumen gegeben (I ist hier eine beliebige Indexmenge), so gibt es analog genau eine gröbste Topologie auf i I so dass alle Projektionen X i X i i stetig sind. Diese wird Produkttopologie auf i X i genannt. Eine Basis dieser Topologie ist durch Teilmengen der Form X i U i i I\I 0 i I 0 gegeben, wobei I 0 I eine endliche Teilmenge ist und U i X i eine offene Teilmenge für i I 0. Gewissermaßen dual zur Produkttopologie ist die sogenannte Summentopologie: Es seien (X, T ) und (Y, T ) topologische Räume und X Y =. Dann wird die Summentopologie auf der disjunkten Vereinigung X Y von T T erzeugt. Sie ist die feinste Topologie auf X Y, so dass die beiden Inklusionen i X : X X Y und i Y : Y X Y stetig sind. Wir notieren die folgenden wichtigen Eigenschaften der Produkt- und Summentopologie. Die Beweise empfehlen wir als Übung. Proposition 1.5. Es seien X, Y, Z topologische Räume. Falls X Y =, so ist eine Abbildung X Y Z stetig genau dann, falls die beiden Kompositionen X i X X Y Z und Y i Y X Y Z stetig sind. Eine Abbildung Z X Y ist stetig genau dann, falls die beiden Kompositionen Z X Y πx X und Z X Y π Y Y stetig sind. Es sei nun X ein topologischer Raum und A X eine beliebige Teilmenge. Wir definieren das Innere int(a) A als die Vereinigung aller in A enhaltenen offenen Mengen (da immer offen ist, gibt es mindestens eine solche Teilmenge). Nach Definition ist int(a) A offen und jede andere (in X) offene Teilmenge, die in A enthalten ist, ist

6 6 BERNHARD HANKE auch in int(a) enthalten. Damit ist int(a) die größte in A enthaltene in X offene Teilmenge. Entsprechende definieren wir den Abschluss A A als den Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die A enthalten. Man beachte dabei, dass der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen eines topologischen Raumen wieder abgeschlossen ist. A ist nach Konstruktion die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X die A enthält. Offensichtlich ist A = X \ (int(x \ A)). Proposition 1.6. Ein Punkt x X liegt genau dann in A, falls jede Umgebung von x einen Punkt aus A enthält. Weiterhin setzen wir A := A \ int(a). Dies ist der Rand von A. Aus der vorherigen Proposition folgt Proposition 1.7. Ein Punkt x X liegt genau dann in A, falls jede Umgebung von x sowohl Punkte von A als auch Punkte von X \ A enthält. 2. Zusammenhang und Wegzusammenhang Anschaulich gesprochen ist ein topologischer Raum zusammenhängend, wenn er nicht in zwei oder mehr voneinander unabhängige Teile zerfällt. Es gibt zwei grundlegende mathematische Präzisierungen dieser Vorstellung, die wir in diesem Kapitel besprechen werden. Definition. Ein topologischer Raum X heißt wegweise zusammenhängend, falls es für je zwei Punkte x, y eine stetige Abbilung γ : [0, 1] X gibt, die x mit y verbindet, d.h. γ(0) = x, γ(1) = y. Die euklidischen Räume R n (mit der Standardtopologie) sind wegzusammenhängend. Auch der topologische Raum ({p, q}, {, {p}, {p, q}}) ist wegzusammenhängend (!). Die Vereinigung (, 0) (0, ) R (mit der Teilraumtopologie) ist nicht wegzusammenhängend (wir werden weiter unten sehen, warum). Die Bedingung x, y lassen sich durch einen Weg in X verbinden definiert eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklassen nennt man Wegzusammenhangskomponenten. Das folgende Resultat ist offensichtlich: Proposition 2.1. Ist f : X Y eine stetige Abbildung und ist X wegzusammenhängend, so ist auch f(x) (mit der von Y induzierten Topologie) wegzusammenhängend.

7 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 7 Etwas abstrakter ist der folgende Zusammenhangsbegriff: Definition. Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls X nicht disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen ist. Die Teilmengen Q R oder (, 0) (0, ) R sind nicht zusammenhängend. Folgende Bedingungen sind äquivalent zum Zusammenhang von X: Die einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen von X sind nur die leere Menge und X selber. Ist f : X D eine stetige Abbildung von X in einen diskreten Raum D (d.h. einen Raum mit diskreter Topologie), dann ist f konstant. Aus der zweiten Bedingung folgert man leicht: Proposition 2.2. Ist X Y stetig und X zusammenhängend, so ist auch f(x) zusammenhängend. Ist {Y i } i I eine Familie zusammenhängender Teilmengen eines topologischen Raumes X und gilt Y i Y j für alle i, j, so ist i I Y i ein zusammenhängender topologischer Raum. Wir erhalten damit (Transitivität folgt aus dem zweiten Teil der vorherigen Proposition) Korollar 2.3. Die Bedingung x, y liegen beide in einem zusammenhängenden Teilraum von X definiert eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man die Komponenten von X. Wir sehen, dass es in der Regel einfach ist zu zeigen, dass ein Raum wegzusammenhängend, bzw. nicht zusammenhängend ist. Das folgende fundamentale Resultat liefert in vielen Fällen die anderen Implikationen. Proposition 2.4. Die Menge [0, 1] R (mit der Teilraumtopologie) ist zusammenhängend. Proof. Angenommen, es gibt disjunkte nichtleere offene Mengen U, V [0, 1] mit [0, 1] = U V. Ohne Einschränkung gilt 1 V. Wegen der Offenheit von V gibt es ein ɛ > 0 mit (1 ɛ, 1] V. Wir setzen m := sup U. Nach dem vorher gesagten ist m < 1. Gälte m U, so gäbe es wegen der Offenheit von U und wegen m < 1 ein δ > 0 mit [m, m + δ) U im Widerspruch zur Definition von m. Ähnlich führt man m V zum Widerspruch (in diesem Fall muss m 0 sein, da ansonsten U = ). Da [0, 1] = U V erhalten wir damit insgesamt einen Widerspruch. Es folgt Korollar 2.5. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.

8 8 BERNHARD HANKE Proof. Sei X wegzusammenhängend aber nicht zusammenhängend. Es sei X = U V mit disjunkten, offenen, nichtleeren Teilmengen U, V X. Wir wählen x U und y V und verbinden diese Punkte durch einen Weg γ : [0, 1] X. Dann ist γ 1 (U) γ 1 (V ) eine Zerlegegung von [0, 1] in zwei disjunkte, nichtleere offene Teilmengen. Dies ist unmöglich, da [0, 1] zusammenhängt. Insbesondere ist der obige Raum (, 0) (0, ) also nicht wegzusammenhängend. Weiterhin folgt, dass jede Wegzusammenhangskomponente eines Raumes in einer Zusammenhangskomponenten enthalten ist. Die Umkehrung des letzten Korollars gilt nicht: Man ksnn zusammenhängende Räume konstruieren, die nicht wegzusammenhängend sind. Als Folgerung unserer Betrachtungen erhalten wir den bekannten Zwischenwertsatz: Proposition 2.6. Es sei f : [0, 1] R eine stetige Abbildung. Gilt f(0) < 0 und f(1) > 0, so existiert ein t [0, 1] mit f(t) = 0. Proof. Ansonsten hätten wir im (f) U V, wobei U := (, 0), V := (0, ), und im (f) U und im (f) (V ), d.h. (U im f) (V im f) wäre eine Zerlegung von im f in zwei disjunkte nichtleere offene Teilmengen. Dies widerspricht der Tatsache, dass im f zusammenhängend ist. 3. Konvergenz Ein zentraler Begriff in der Theorie metrischer Räume ist der der konvergenten Folge. Die entsprechende Definition für allgemeine topologische Räume lautet wie folgt. Definition. Es sei X ein topologischer Raum, (x n ) n N eine Folge in X und x X. Man sagt, die Folge (x n ) konvergiert gegen x, falls für jede Umgebung U X von x ein N N existiert mit x n U für alle n N. (Wir sagen auch, für jede Umgebung U von x liegt die Folge (x n ) schließlich in U). Man schreibt dann und sagt, x ist Grenzwert von (x n ). x = lim n N x n Für metrische Räume ergibt sich der alte Konvergenzbegriff. Konvergente Folgen können durchaus mehrere Grenzwerte haben: Die Folge, die abwechselnd 0 und 1 annimmt, konvergiert in {0, 1} versehen mit der Klumpentopologie sowohl gegen 0 als auch gegen 1. Ein wohlbekanntes Argument zeigt, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge in X eindeutig bestimmt ist, falls X Hausdorff ist.

9 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 9 Wir können mit Hilfe der konvergenten Folgen für metrische Räume ein aus den Grundvorlesungen bekanntes Stetigkeitskriterium angeben. Proposition 3.1. Es seien X und Y metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y ist genau dann stetig, falls folgendes gilt: Ist (x n ) eine Folge in X, die gegen x X konvergiert, so konvergiert die Folge (f(x n )) in Y gegen f(x) Y. In allgemeinen topologischen Räumen muss diese Diskussion verfeinert werden. Eine Richtung überträgt sich ohne Probleme. Proposition 3.2. Es seien X und Y topologische Räume und f : X Y eine stetige Abbildung. Dann ist f folgenstetig, d.h. konvergiert in X die Folge (x n ) n N gegen x, so so konvergiert die Folge (f(x n )) n N in Y gegen f(x). Die andere Richtung ist aber problematisch, wie folgendes Beispiel zeigt. Es sei X := i R{0, 1} das über R indizierte (und damit aus überabzählbar vielen Faktoren bestehende) Produkt des diskreten topologischen Raumes {0, 1}. Es sei p X der Punkt mit allen Komponenten = 1. Wir versehen X mit der Produkttopologie und betrachten den Teilraum von X. Die Abbildung B := {(x i ) X x i = 1 für endlich viele i} {p} f : B {0, 1}, x { 0, falls x p 1, falls x = p ist nicht stetig (wobei {0, 1} wieder mit der diskreten Topologie versehen ist), denn p B \ {p} (siehe Übung 3 auf Blatt 2), d.h. jede Umgebung von p B enthält Punkte aus B \ {p} und damit ist das Urbild von {1} {0, 1} nicht offen in B. Wir behaupten, dass f trotzdem folgenstetig ist. Es sei zunächst (y(n)) n N eine Folge in B mit lim y(n) = p (jedes y(n) besteht aus überabzählbar vielen Komponenten). Wir behaupten, dass es ein N N geben muss mit y(n) = p für alle n N (damit ist also insbesondere (f(y(n))) n N konvergent in {0, 1}). Denn ansonsten existiert für jedes m N ein n m m und y(n m ) B \{p}. Die Teilfolge (y(n m )) m N liegt dann ganz in B \{p} und konvergiert damit nicht gegen p (siehe wieder Übung 3). Ist (y(n)) n N eine Folge in B, die gegen ein q B\{p} konvergiert, so liegt die Folge schließlich in B\{p} (man zeigt leicht, dass dies eine offene Teilmenge von B ist) und somit die Folge der Bilder schließlich in {0} {0, 1}. Somit ist f insgesamt folgenstetig. Das Problem besteht darin, dass es zu viele Umgebungen von p in B gibt.

10 10 BERNHARD HANKE Definition. Es sei X ein topologischer Raum und x X. Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B x bestehend aus Umgebungen von x, so dass jede Umgebung von x eine Umgebung umfasst, die Element von B x ist. Der Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, falls jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Jeder metrische Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom: Ist x X, so bilden die Mengen B 1/n (x) X, n N, eine abzählbare Umgebungsbasis von x. Proposition 3.3. Es sei X ein topologischer Raum, der das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und Y ein beliebiger topologischer Raum. Dann ist jede folgenstetige Abbildung f : X Y auch stetig. Proof. Angenommen f sei nicht stetig. Dann existiert eine offene Menge V Y, so dass U := f 1 (V ) X nicht offen ist. Da insbesondere also U, gibt es ein x U, so dass U keine Umgebung von x ist. Es sei (U n ) n N eine abzählbare Umgebungsbasis von x. Ohne Einschränkung gelte U n+1 U n für alle n (sonst ersetze man U n+1 durch U n+1 U n ). Da U keine Umgebung von x ist, gibt es Punkte x n U n \ U für alle n. Nach Konstruktion gilt lim x n = x in X aber f(x n ) konvergiert nicht gegen f(x) in Y, da f(x n ) / V für alle n, im Widerspruch zur Folgenstetigkeit von f. Das Problem in allgemeinen topologischen Räumen ist, dass Folgen alleine oft zu dünn sind. Man löst das Problem dadurch, dass man für Folgen allgemeinere Indexmengen (als N) zulässt. Definition. Eine gerichtete Menge ist eine Menge D zusammen mit einer partiellen Ordnung, so dass es für α, β D immer ein γ D gibt mit γ α und γ β. Ist X ein topologischer Raum, so ist ein Netz in X eine Abbildung φ : D X, wobei D eine gerichtete Menge ist. Wir erhalten die altbekannten Folgen zurück, wenn wir mit der gerichteten Menge D = N arbeiten. Definition. Es sei φ : D X ein Netz und A X. Wir sagen, das Netz φ is schließlich in A, falls es ein α D gibt mit φ(β) A für alle β α. Das Netz φ konvergiert gegen x X, falls es schließlich in jeder Umgebung von x ist. In diesem Fall schreiben wir auch lim φ = x. Proposition 3.4. Ein topologischer Raum X ist Hausdorffsch genau dann, falls für jedes in X konvergente Netz φ : D X folgendes gilt: Konvergiert φ gegen x und gegen y, so gilt x = y.

11 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 11 Proof. Sind U und V offene Mengen in X und ist φ schließlich in U und schließlich in V, so auch schließlich in U V (dies folgt aus der Definition gerichteter Mengen). Damit ist der Limes konvergenter Netze in Hausdorffräumen eindeutig bestimmt. Es sei nun umgekehrt X ein topologischer Raum, der nicht Hausdorffsch ist. Dann gibt es Punkte x, y X, x y, die sich nicht durch offene Umgebungen trennen lassen. Wir konstruieren ein Netz in X, das sowohl gegen x als auch gegen y konvergiert. Wir betrachten dazu die gerichtet Menge D bestehend aus allen Paaren (U, V ) offener Mengen in X mit x U, y V, versehen mit der partiellen Ordnung (U, V ) (A, B) A U, B V. Diese Menge ist gerichtet. Die Abbildung φ : D X ordnet jedem Paar (U, V ) einen beliebigen Punkt aus U V zu. Wir behaupten, dass das Netz φ gegen x konvergiert. Sei dazu W X eine Umgebung von x. Wir müssen zeigen, dass φ schließlich in W ist. Wir wählen dazu eine offene Umgebung U X von x mit U W und eine beliebige offene Umgebung V von y. Ist nun (A, B) (U, V ), so ist φ(a, B) A B U V W, d.h. φ ist schließlich in W. Entsprechend zeigt man, dass φ schließlich in jeder Umgebung von y ist. Wenn wir statt Folgen Netze benutzen, können wir nun tatsächlich die Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit in jedem topologischen Raum zeigen. Proposition 3.5. Es sei f : X Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen X und Y. Die Abbildung f ist genau dann stetig, falls folgendes gilt: Ist φ : D X ein Netz, dass gegen x X konvergiert, so konvergiert das Netz f φ : D Y gegen f(x) (d.h. f ist netzstetig). Proof. Falls f stetig ist, so zeigt man leicht, dass die in der Proposition angegeben Folgerung gilt. Wir nehmen nun umgekehrt an, f : X Y ist nicht stetig. Es gibt dann eine offene Menge V Y, so dass U := f 1 (V ) nicht offen in X ist. Es sei x U ein Punkt, so dass U keine Umgebung von x ist. Als gerichtete Menge D nehmen wir die Menge aller offenen Umgebungen von x mit der durch die Inklusion gegebenen partiellen Ordnung, d.h. A B, falls B A. Ist A D, so wählen wir als φ(a) X einen beliebigen Punkt in A \ U (diese Menge ist nicht leer nach Wahl von x). Dann konvergiert das Netz φ gegen x, das Netz f φ konvergiert jedoch nicht gegen f(x). Wir haben außerdem Proposition 3.6. Ist A X Teilmenge eines topologischen Raumes, so besteht A genau aus den Limiten von Netzen in A, die in X konvergieren. Proof. Ist x A, so schneidet jede Umgebung U von x die Menge A. Definieren wir D als die gerichtete Menge der Umgebungen von x, so können wir also leicht ein durch D parametrisiertes Netz φ in A definieren, das gegen x konvergiert. Ist umgekehrt x Limes eines Netzes φ : D A, so liegt dieses

12 12 BERNHARD HANKE Netz schließlich in jeder Umgebung von x, damit muss jede Umgebung von x die Menge A nichtleer schneiden, somit ist x A. Wir erinnern: Ist (x n ) eine Folge in einem metrischen Raum X, so nennen wir x X einen Häufungspunkt dieser Folge, falls jede Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder enthält. Wir definieren entsprechend: Definition. Ein Häufungspunkt eines Netzes φ : D X ist ein Punkt x X, so dass für jede Umgebung U X von x das Netz häufig in U ist, d.h. für alle α D existiert ein β α mit φ(β) U. Ist x X Häufungspunkt einer Folge (x n ) in einem metrischen Raum, so konvergiert eine Teilfolge gegen x. Eine ähnliche Aussage gilt für Netze. Die korrekte Verallgemeinerung des Konzeptes der Teilfolge lautet wie folgt. Definition. Sind D und D gerichtete Mengen, so nennen wir eine Abbildung h : D D final, falls für alle δ D ein δ D existiert mit h(α ) δ für alle α δ. Ein Unternetz eines Netzes φ : D X ist eine Komposition φ h : D X, wobei h : D D eine finale Funktion ist. Konvergiert ein Netz in X, so offensichtlich auch jedes Unternetz. Ist φ : D X ein Netz, so benutzen wir ähnlich wie bei Folgen die Schreibweise x α := φ(α). Proposition 3.7. Es sei φ : D X ein Netz. Ein Punkt x X ist genau dann Häufungspunkt, falls ein Unternetz von φ gegen x konvergiert. Proof. Es sei x X Häufungspunkt. Wir konstruieren ein Unternetz, das gegen x konvergiert (die andere Richtung der Proposition ist einfach). Wir betrachten die gerichtete Menge D, die aus geordneten Paaren (α, U) besteht, wobei α D, U eine Umgebung von x ist und x α U, mit der partiellen Ordnung (α, U) (α, U ) : α α, U U. Wir zeigen, dass D wirklich gerichtet ist. Seien dazu (α, U), (β, V ) D. Da φ häufig in U V ist, gibt es ein γ α, β mit x γ U V. Damit ist dann (γ, U V ) (α, U), (β, V ). Betrachte die Abbildung h : D D, (α, U) α. Diese Abbildung ist final, denn ist δ D, so ist (δ, X) D und (α, U) (δ, X) impliziert α δ. Wir behaupten, dass das Unternetz φ : D h D φ X gegen x konvergiert. Es sei dazu N X eine Umgebung von x. Da φ häufig in N ist, gibt es ein β D mit x β N. Dann sind aber für alle (α, U) (β, N) die Elemente x (α,u) in N, d.h. φ ist schließlich in N.

13 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE Vollständige metrische Räume Definition. Eine Folge (x n ) n N in einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy-Folge, falls es für jedes ɛ > 0 ein N N gibt mit d(x n, x m ) < ɛ für alle n, m N. Der metrische Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert. Jede in einem metrischen Raum konvergente Folge ist automatisch eine Cauchyfolge. Sind (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) vollständige metrische Räume, so ist auch X 1 X 2 mit der Produktmetrik d vollständig, wobei d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) := d 1 (x 1, y 1 ) 2 + d 2 (x 2, y 2 ) 2 (die Metrik d induziert übrigens die Produkttopologie auf X 1 X 2 ). Da die Menge der reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Abstandsmetrik vollständig ist, gilt dies somit auch für die euklidischen Räume R n, n N. Vollständigkeit ist allerdings keine Homöomorphieinvariante: Das offene Intervall (0, 1) R ist mit der induzierten Metrik nicht vollständig, jedoch homöomorph zu R mit der gewöhnlichen Metrik. Ist X ein vollständiger metrischer Raum und A X ein abgeschlossener Unterraum, so ist A mit der induzierten Metrik ebenfalls vollständig. Ist allgemeiner A X ein beliebiger Unterraum, so ist A X der kleinste vollständige Unterraum von X, der A enthält, denn A besteht genau aus den Limiten von Folgen, die in A liegen und in X konvergieren. Vollständige metrische Räume sind zentrale Objekte in der Analysis. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass jeder metrische Raum eine kanonische Vervollständigung besitzt. Der Schlüssel hierzu ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen und die Betrachtung sogenannter Funktionenräume. Definition. Es sei X eine Menge. Wir bezeichnen mit B(X) := {f : X R sup f(x) < } x X die Menge der beschränkten Abbildungen X R versehen mit der Metrik d(f, g) := sup f(x) g(x). x X Man prüft leicht nach, dass es sich tatsächlich um eine Metrik auf B(X) handelt. Proposition 4.1. Der soeben definierte metrische Raum (B(X), d) ist vollständig.

14 14 BERNHARD HANKE Proof. Es sei (f n ) eine Cauchy-Folge in B(X). Dann sind für alle x X die Folgen (f n (x)) Cauchy-Folgen in R (nach Definition der Metrik auf B(X)) und konvergieren daher in R gegen eine (eindeutig bestimmte) Zahl, die wir f(x) nennen wollen. Es sei nun ɛ > 0 und N N so groß, dass d(f n, f m ) < ɛ, falls n, m N. Man prüft leicht nach, dass dann d(f n, f) ɛ für alle n N. Es gilt daher lim f n = f im metrischen Raum B(X). Sind (X, d) und (X, d ) metrische Räume, so heißt eine Abbildung f : X X eine Isometrie, falls f bijektiv ist und d (f(x), f(y)) = d(x, y) für alle x, y X. In diesem Fall ist auch f 1 eine Isometrie und f ist (bzgl. der induzierten Topologie) ein Homöomorphismus. Eine Abbildung f : X X heißt isometrische Einbettung, falls f nicht unbedingt bijektiv ist, jedoch obige Verträglichkeit bezüglich der Metriken d und d erfüllt. In diesem Fall ist die induzierte Abbildung f : X f(x) automatisch eine Isometrie (wobei f(x) die Einschränkung der Metrik von X trägt). Definition. Es sei X ein metrischer Raum. Eine Vervollständigung von X ist ein vollständiger metrischer Raum Y zusammen mit einer isometrischen Einbettung f : X Y, so dass f(x) dicht in Y liegt, d.h. f(x) = Y. Wir zeigen nun, dass jeder metrische Raum mindestens eine Vervollständigung besitzt. Dazu zeigen wir: Proposition 4.2. Es sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine isometrische Einbettung von X in einen vollständigen metrischen Raum. Proof. Ohne Einschränkung sei X. Es sei x 0 X fest gewählt. Für a X definieren wir eine Abbildung φ a : X R durch φ a (x) = d(x, a) d(x, x 0 ). Die Abbildung φ a ist beschränkt, denn φ a (x) d(x 0, a) wegen der Dreiecksungleichungen d(x, a) d(x, x 0 )+d(x 0, a) und d(x, x 0 ) d(x, a) + d(a, x 0 ). Wir erhalten also eine Abbildung φ : X B(X), a φ a. Wir behaupten, dass φ eine isometrische Einbettung ist. Es seien also a, b X. Nach Definition gilt dann d(φ a, φ b ) = sup d(x, a) d(x, b). x X Wieder nach der Dreiecksungleichung ist d(x, a) d(x, b) d(a, b), so dass insgesamt d(φ a, φ b ) d(a, b).

15 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 15 In dieser Ungleichung kann nicht < stehen, denn sup d(x, a) d(x, b) d(b, a) d(b, b) = d(a, b). x X Somit ist φ tatsächlich eine isometrische Einbettung. Ist X ein metrischer Raum, so erhalten wir also die Vervollständigung φ(x) B(X) von X. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit der Vervollständigung eines metrischen Raumes. Proposition 4.3. Es sei X ein metrischer Raum und es seien f 1 : X Y 1, f 2 : X Y 2 Vervollständigungen von X. Dann existiert eine Isometrie mit g f1 (X) = f 2 f 1 1. Proof. Die Abbildung g : Y 1 Y 2 f 1 (X) Y 2, x f 2 f 1 1 (x) ist nach Voraussetzung eine isometrische Einbettung. Wir setzen diese Abbildung wie folgt zu einer Abbildung g : Y 1 = f 1 (X) Y 2 fort: Ist y Y 1, so gibt es eine Folge (x n ) in X mit lim f 1 (x n ) = y. Da f 1 eine isometrische Einbettung ist, ist (x n ) eine Cauchy-Folge und da f 2 eine isometrische Einbettung ist, ist (f 2 (x n )) eine Cauchy-Folge in Y 2. Wir setzen g(y) := lim f 2 (x n ). Ist (x n) eine andere Folge in X mit lim f 1 (x n) = y, so ist lim d(x n, x n) = 0, weil f 1 eine isometrische Einbettung ist. Da dies auch für f 2 gilt, haben wir lim f 2 (x n ) = lim f 2 (x n) und die Definition von g(y) hängt somit nicht von der Auswahl der Folge (x n ) ab. Man überprüft nun leicht, dass g eine isometrische Einbettung ist. Ebenso setzt man die Abbildung f 2 (X) Y 1, x f 1 f 1 2 (x) zu einer isometrischen Einbettung h : Y 2 Y 1 fort. Ein weiteres Argument zeigt nun dass g und h invers zueinander sind: h g : Y 1 Y 1 ist die Identität auf f 1 (X) und wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzung auf Y 1 (beachte, dass Y 1 Hausdorffsch ist) gilt h g = id Y1. Ebenso zeigt man g h = id Y2.

16 16 BERNHARD HANKE In den Übungen wird ein anderes Modell der Vervollständigung eines metrischen Raumes vorgestellt. Wichtige Räume in der Analysis entstehen auf diese Art: Ist U R n eine offene Menge, so ist der Banachraum L p (U), 0 < p <, die Vervollständigung der Menge Cc (U), d.h. der Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen U R mit kompaktem Träger, versehen mit der Metrik d p (f, g) := ( f(x) g(x) p ) 1/p. U Elemente in L p (U) sind Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen f : U R, so dass f p Lebesgue-integrierbar ist, wobei zwei solche Funktionen als äquivalent gelten, wenn sie bis auf eine Nullmenge in U übereinstimmen. Bezogen auf unsere Diskussion bedeutet dies die Angabe eines konkreten Modells der Vervollständigung von C c (U) bzgl. der Metrik d p. 5. Kompaktheit Definition. Es sei X ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung von X ist eine Menge U offener Teilmengen von X, mit U = X. U U Der Raum X heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Folgende Umformulieren dieser Definition ist manchmal nützlich: Wir sagen, eine Menge C von Teilmengen von X habe die endliche Schnitteigenschaft, falls der Schnitt je endlich vieler Mengen aus C nichtleer ist. Wir haben dann: Proposition 5.1. Ein Raum X ist genau dann kompakt, falls jede Menge C von abgeschlossenen Teilmengen von X, die die endliche Schnitteigenschaft besitzt, einen nichtleeren Schnitt hat, d.h. C C. Man zeigt leicht, dass die Menge Q [0, 1] nicht kompakt ist. Proposition 5.2. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorffraumes ist abgeschlossen. Proof. Es sei X Hausdorffsch und A X kompakt. Wähle ein beliebiges x X \ A. Ist a A, so gibt es (in X) offene disjunkte Umgebungen U a von a und V a von x. Da A kompakt ist und A = a A (U a A), gibt es endlich viele Punkte a 1,..., a k A mit A U a1... U ak. Dann liegt die offene Umgebung V a1... V ak von x ganz in X \ A. Dieses Argument zeigt, dass X \ A offen und somit A abgeschlossen ist. Proposition 5.3. Ist X kompakt und f : X Y stetig, so ist auch f(x) Y kompakt.

17 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 17 Proof. Ist U eine offene Überdeckung von f(x), so ist {f 1 (U) U U} eine offene Überdeckung von X. Da diese eine endliche Teilüberdeckung besitzt, gilt dies also auch für U. Proposition 5.4. Jeder abgeschlossene Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt. Proof. Sei X kompakt und A X abgeschlossen. Ist U eine offene Überdeckung von A, so gibt es eine Menge V offener Teilmengen von X mit U = {V A V V}. Da X kompakt ist, hat aber die offene Überdeckung V {X \ A} von X eine endliche Teilüberdeckung. Schneiden wir die in ihr enthaltenen Mengen mit A, erhalten wir eine endliche Teilüberdeckung von U. Die letzten beiden Tatsachen haben folgende wichtige Konsequenz: Proposition 5.5. Es sei f : X Y eine bijektive stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum. Dann ist f ein Homöomorphismus. Proof. Wir müssen zeigen, dass f 1 stetig ist. Da f bijektiv ist, können wir gleichbedeutend nachweisen, dass f abgeschlossen ist, d.h. ist A X abgeschlossen, so auch f(a) Y. Ist aber A X abgeschlossen, so ist A kompakt, somit auch f(a) Y und damit ist f(a) als kompakter Teilraum des Hausdorffraumes Y abgeschlossen. Proposition 5.6. Das Einheitsintervall [0, 1] R ist kompakt. Proof. Es sei U eine offene Überdeckung von [0, 1] und S := {s [0, 1] [0, s] besitzt eine endliche Teilüberdeckung von U}. Da 0 S, gilt S. Es sei b = sup S. Wir behaupten S = [0, b]. Ansonsten wäre nämlich S = [0, b). Wir finden dann ein U U mit b U und damit gibt es ein ɛ > 0 mit (b ɛ, b] U. Da [0, b ɛ/2] von endlich vielen Elementen aus U überdeckt wird, gilt dies somit auch für [0, b] im Widerspruch zu S = [0, b). Um die Proposition zu zeigen, müssen wir also nur noch b = 1 nachweisen. Gilt aber b < 1, so zeigt man mit einem ähnlichen Argument wie eben, dass es ein ɛ > 0 gibt mit [0, b + ɛ/2] S im Widerspruch zur Definition von S. Es folgt, dass jedes abgeschlossene Intervall [a, b] R kompakt ist (denn es ist homöomorph zu [0, 1]. Umgekehrt muss jede kompakte Teilmenge K R beschränkt sein, sonst hätte die offene Überdeckung K n N( n, n) keine endliche Teilüberdeckung. Wir erhalten also Proposition 5.7 (Heine-Borel). Eine Teilmenge von R ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

18 18 BERNHARD HANKE Korollar 5.8. Es sei X kompakt und f : X R stetig. Dann nimmt f ihr Minimum und Maximum an. Proof. f(x) R ist kompakt, also beschränkt und abgeschlossen. Daher sind inf f(x) und sup f(x) endlich und in f(x) enthalten. Wir wollen dieses Resultat auf die Räume R n ausdehnen. Dazu zeigen wir: Proposition 5.9. Es seien X und Y kompakt. Dann ist auch das topologische Produkt X Y kompakt. Proof. Es sei U eine offene Überdeckung von X Y. Jede Menge in U ist Vereinigung von offenen Kästchen U V mit U X, V Y offen. Es genügt daher zu zeigen, dass jede Überdeckung von X durch offene Kästchen eine offene Teilüberdeckung besitzt. Ist x X, so wird {x} Y durch endlich viele dieser Kästchen (U 1 V 1 )... (U k V k ) überdeckt, da Y kompakt ist. Dann ist der Schnitt U x := U 1... U k X offen und es wird U x Y durch endlich viele der Kästchen überdeckt. Man wähle eine endliche Teilüberdeckung von (U x ) x X und erhlt daraus eine endliche Teilüberdeckung von X Y durch offene Kästchen. Korollar 5.10 (Heine-Borel). Eine Teilmenge A R n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. In den Übungen wird ein allgemeines Kriterium angegeben, wann ein metrischer Raum kompakt ist (Vollständigkeit und totale Beschränktheit). Für metrische Räume ist Kompaktheit gleichbedeutend mit Folgenkompaktheit: Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Eine Richtung dieser Aussage wird (für topologische Räume, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen) in den Übungen bewiesen. Die andere Richtung folgt daraus, dass ein folgenkompakter metrischer Raum vollständig und total beschränkt sein muss (Beweis ebenfalls als Übung empfohlen). Für allgemeine topologische Räume müssen wir wieder mit Netzen arbeiten, die Folgerung bleibt aber die gleiche: Proposition Es sei X ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent: X ist kompakt. X ist netzkompakt, d.h. jedes (nichtleere) Netz D X hat ein konvergentes Unternetz. Proof. Wir beweisen zunächst, dass jeder netzkompakte Raum auch kompakt ist. Die andere Richtung folgt etwas später aus der Diskussion universeller Netze. Es sei also X netzkompakt und C eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit der endlichen Schnitteigenschaft (d.h. der Schnitt je endlich vieler Mengen in C ist nichtleer). Wir können annehmen, dass C abgeschlossen unter endlichen Schnitten ist (indem wir die Schnitte je endlich vieler

19 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 19 Mengen C C zu C hinzunehmen). Wir erhalten eine gerichtete Ordnung auf C durch C C C C. (Diese Ordnung ist gerichtet, weil C abgeschlossen unter endlichen Schnitten ist). Wir definieren ein Netz φ : C X indem wir für C C ein Element φ(c) C auswählen. Diese Netz ist nicht leer, falls X, was wir ohne Einschränkung annehmen können. Nach Voraussetzung existiert ein konvergentes Unternetz von φ, gegeben durch eine gerichtete Menge D und eine finale Abbildung h : D C. Es sei x X ein Grenzwert des Unternetzes φ h. Sei nun C C. Dann gibt es ein α D so dass φ h(β) C für alle β α, d.h. das Netz φ h ist schließlich in C. Da C = C gilt somit also insbesondere x C. In diesem Argument war C C beliebig. Somit ist x C C C und dieser Schnitt somit nicht leer. Daraus folgt die Kompaktheit von X. Der Rest dieses Abschnittes ist dem Beweis der folgenden Verallgemeinerung von Proposition 5.9 gewidmet. Satz 5.12 (Tychonoff). Es sei (X i ) i I eine Familie kompakter Räume. Dann ist das topologische Produkt i I X i ebenfalls kompakt. Der Beweis beruht auf der Betrachtung sogenannter universeller Netze. Definition. Ein Netz φ : D X heißt universell, falls für jede Teilmenge A X, das Netz entweder schließlich in A oder schließlich in X \ A ist. Bevor wir den nächsten Satz zeigen, erinnern wir an das Zornsche Lemma: Es sei P eine nichtleere partiell geordnete Menge, in der jede Kette C P (d.h. C ist eine Teilmenge, in der jedes Element mit jedem anderen verglichen werden kann) eine obere Schranke besitzt (dies ist ein p P mit p c für alle c C). Dann besitzt P ein maximales Element (d.h. ein m P, so dass für alle p P die Implikation m p m = p gilt). Proposition Jedes nichtleere Netz φ : D X besitzt ein universelles Unternetz. Proof. Es sei φ : D X ein Netz mit D. Wir betrachten die Menge P aller Mengen A von Teilmengen von X, die die folgenden Eigenschaften haben: Falls A A, dann ist φ häufig in A, falls A, B A, dann ist A B A. Wir können zum Beispiel A = {X} nehmen. Die Menge P ist durch die Inklusionsrelation partiell geordnet und jede Kette C P von solchen Mengen besitzt eine obere Schranke, gegeben durch die Vereinigung A C A. Nach dem Zornschen Lemma gibt es eine maximale Menge A 0 in P mit den beiden obigen Eigenschaften. Offensichtlich gilt X A 0 (sonst könnten wir

20 20 BERNHARD HANKE diese Menge einfach zu A 0 hinzunehmen, im Widerspruch zur Maximalität von A 0 ). Wir betrachten nun die Menge D := {(A, α) A 0 D φ(α) A} zusammen mit der gerichteten Ordnung Die Zuordnung (A, α) (B, β) B A, α β. h : D D, (A, α) α ist final (da für alle α D das Paar (X, α) in D liegt). Wir beweisen, dass das Unternetz φ h : D X universell ist. Es sei zunächst S X eine Teilmenge, so dass dieses Unternetz häufig in S ist. Nach Definition bedeutet dies, dass für alle (A, α) D ein (B, β) (A, α) existiert mit h φ((b, β)) = φ(β) S. Da B A haben wir also φ(β) B S A S. Dies zeigt, dass φ häufig in S A ist, falls A A 0 (denn φ ist dann häufig in A, d.h. es existiert ein α D mit φ(α) A und somit ist (A, α) D ). Daraus folgt, dass S A 0 : Ansonsten könnten wir alle Mengen der Form S A mit A A 0 zu A 0 hinzunehmen (d.h. es wird insbesondere S = S X hinzugenommen), so dass die beiden obigen Eigenschaften immer noch gelten. Falls nun das Unternetz φ h ebenfalls häufig in X \ S ist, so hätten wir mit dem gleichen Argument X \ S A 0 also auch = S (X \ S) A 0 nach der zweiten der beiden obigen Eigenschaften. Wegen D ist das Netz φ aber sicher nicht häufig in (d.h. die erste der beiden Eigenschaften ist verletzt) und aus diesem Widerspruch folgt, dass φ h nicht häufig in S und gleichzeitig häufig in X \ S sein kann. Ist also φ h häufig in einer Teilmenge S X, so ist φ h sogar schließlich in S. Ist nun A X, so ist φ h (wie jedes Netz in X) häufig in A oder häufig in X \ A. Nach dem vorher Gesagten ist das Netz φ h daher schließlich in A oder in X \ A. Wir können nun die obige Charakterisierung von kompakten Räumen zu Ende führen. Proposition Es sei X ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent: X ist kompakt. Jedes nichtleere universelle Netz in X konvergiert. Jedes nichtleere Netz in X hat ein konvergentes Unternetz. Proof. Es sei X kompakt und es sei φ : D X ein universelles Netz. Angenommen, φ ist nicht konvergent. Ist x X, so gibt es eine offene Umgebung U x von x, so dass φ nicht schließlich in U x. Wegen der Universalität ist dann φ schließlich in X \ U x, d.h. es gibt einen Index α x D, so dass φ(β) / U x, falls β α x. Es sei U x1,..., U xk eine endliche Teilüberdeckung. Wir wählen ein β α x1,..., α xk (so ein β existiert, da D gerichtet ist) und schließen, dass φ(β) / U x1... U xk = X, ein Widerspruch, da D.

21 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 21 Falls jedes universelle Netz in X konvergiert, dann hat jedes nichtleere Netz ein konvergentes Unternetz, da jedes (nichtleere) Netz ein universelles Unternetz hat. Die verbleibende Implikation wurde bereits weiter oben gezeigt. Wir kommen nun zum Beweis des Satzes von Tychonoff. Direkt aus der Definition der Produkttopologie folgt: Ist (X i ) i I eine Familie topologischer Räume und φ : D X ein Netz, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Das Netz φ konvergiert gegen (x i ) i I (mit x i X i ). Für alle i 0 I gilt: Ist π i0 : i X i X i0 die kanonische Projektion, so konvergiert das Netz π i0 φ in X i0 gegen x i0. Mit anderen Worten: Die Produkttopologie ist die Topologie der punktweisen Konvergenz. Proof. (des Satzes von Tychonoff) Ist eine Familie (X i ) i I von kompakten Räumen gegeben, so müssen wir nach Proposition 5.14 zeigen, dass jedes nichtleere universelle Netz φ : D i X i konvergiert. Ist φ : D i X i universell und i 0 I, so auch die Komposition π i0 φ : D X i0 universell (dies ist leicht zu zeigen) und da X i0 kompakt ist, konvergiert π i0 φ in X i0. Daher konvergiert nach der Vorbemerkung auch das Netz φ. Der Beweis des Satzes von Tychonoff wird in der Literatur manchmal mit soganannten Ultrafiltern geführt. Das Konzept der (Ultra-)Filter ist äquivalent zum Konzept der (universellen) Netze, dem wir in unserer Vorlesung den Vorzug geben. Der Satz von Tychonoff spielt eine wichtige Rolle bei dem Beweis des Satzes von Banach-Alaoglu in der Funktionalanalysis. Wichtig ist noch folgende Bemerkung: Eine Folge ist genau dann ein universelles Netz, wenn sie schließlich konstant ist. Jede Folge hat aber ein universelles Unternetz. Dies zeigt, dass Unternetze von Folgen etwas anderes sind als Teilfolgen. Ist D D eine finale Abbildung gerichteter Mengen, kann ja trotzdem D viel komplizierter sein als D. 6. Lokalkompakte Räume Definition. Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt, falls jeder Punkt x X eine kompakte Umgebung besitzt. Offensichtlich sind die Räume R n lokalkompakt. Es sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum. Wir definieren eine Teilmenge U der disjunkten Vereinigung X + := X { } als offen, falls U X und U offen in X ist oder falls U und X \ U X kompakt ist. Es folgt aus der Hausdorffeigenschaft (Lokalkompaktheit ist hier nicht notwendig), dass man so wirklich eine Topologie auf X + erhält.

22 22 BERNHARD HANKE Proposition 6.1. Es sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann ist X + mit der eben definierten Topologie ein kompakter Hausdorffraum. Proof. Ist U eine offene Überdeckung von X +, so gibt es ein U U mit U. Da U auch eine offene Überdeckung der kompakten Menge X \U ist, können wir eine endliche Teilüberdeckung auswählen und erhalten zusammen mit U eine endliche Teilüberdeckung von X +. Die Hausdorffeigenschaft von X + folgt direkt aus der Lokalkompaktheit von X. Wir nennen X + mit der oben definierten Topologie die Einpunktskompaktifizierung von X. Ist X selbst kompakt, so trägt X + die Summentopologie des Raumes X und des einpunktigen topologischen Raumes { }. Beispielsweise ist die Einpunktkompaktifizierung von R n homöomorph zu S n wie man mit Hilfe der stereographischen Projektion beweist. Falls X und Y lokalkompakte Hausdorffräume sind und f : X Y eine stetige Abbildung ist, so betrachten wir die Abbildung f + : X + Y + f + X = f, f + ( ) =. Diese Abbildung ist nicht automatisch stetig (sei z.b. X = R, Y = {p} und f : X Y die eindeutig bestimmte Abbildung). Eine hinreichende Bedingung ist aber die folgende: Definition. Eine Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen heißt eigentlich, falls das Urbild jeder kompakten Menge in Y unter f kompakt in X ist. Die folgende Tatsache ist nun leicht zu zeigen. Proposition 6.2. Ist f : X Y eine stetige Abbildung zwischen lokalkompakten Hausdorffräumen, so ist die induzierte Abbildung f + : X + Y + genau dann stetig, falls f eigentlich ist. 7. Quotientenräume Dieser Abschnitt ist einem wichtigen Konstruktionsverfahren topologischer Räume gewidmet, dem Verkleben. Sei allgemein X ein topologischer Raum, Y eine Menge und f : X Y eine surjektive Abbildung. Die Quotiententopologie oder auch Finaltopologie auf Y bzgl. f ist die feinste Topologie, so dass f stetig ist. Eine Teilmenge U Y ist also offen bezüglich dieser Topologie genau dann, falls f 1 (U) X offen ist (denn Urbildnehmen ist mit Schnitt- und Vereinigungsbildung verträglich). Eine surjektive Abbildung f : X Y zwischen topologischen Räumen heißt Identifizierung, falls die Topologie auf Y genau die Finaltopologie bezüglich f ist. Proposition 7.1. Die Komposition von Identifizierungen ist wieder eine Identifizierung. Eine surjektive Abbildung f : X Y ist genau dann eine Identifizierung, falls folgendes gilt: Ist Z ein topologischer Raum und g : Y Z eine Abbildung, so ist g genau dann stetig, falls g f : X Z stetig ist.

23 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE 23 Ein wichtiges Beispiel ist das folgende: Sei eine Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum X. Dann können wir X/ mit der Quotiententopologie (bzgl. der kanonischen Abbildung X X/ ) versehen, den entstehenden topologischen Raum nennen wir einen Quotientenraum. Quotientenräume von kompakten (zusammenhängendend, wegzusammenhängenden) Räumen sind ebenfalls kompakt (zusammenhängen, wegzusammenhängend). Ist X ein Hausdorffraum, so muss der Quotientenraum X/ aber nicht Hausdorffsch sein (betrachte z.b. die Relation x y x y Q auf X := R). Ist A X eine nichtleere Teilmenge des topologischen Raumes X, so bezeichnet X/A den Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation { x y x, y A oder (x / A oder y / A) und x = y, d.h. die Äquivalenzklassen sind A und die einpunktigen Mengen {x} mit x X \ A. Definition. Wie nennen einen topologischen Raum X normal, falls er Hausdorffsch ist und für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen A, B X offene disjunkte Teilmengen U, V X existieren mit A U, B V. Wir wollen hier die Hausdorffeigenschaft explizit fordern, denn sonst wäre z.b. jede Menge mit der Klumpentopologie ein normaler topologischer Raum (insbesondere sind hier die einpunktigen Mengen nicht abgeschlossen, falls die Menge mehr als ein Element enthält). Proposition 7.2. Ist X normal und A X abgeschlossen, so ist X/A ebenfalls normal. Beispiel. Wir betrachten die Sphären S n = {x R n+1 x = 1} R n+1 mit der Unterraumtopologie. Der Quotientenraum bzgl. der von der Relation x y x = y erzeugten Äquivalenzrelation heißt der n-dimensionale reell-projektive Raum RP n. Eine alternative Beschreibung erhält man wie folgt: Wir betrachten die Äquivalenzrelation auf der Einheitskreisscheibe D n R n, die jeweils gegenüberliegende Punkte auf dem Rand S n 1 identifiziert (und natürlich jeden Punkt mit sich selbst). Wir behaupten, dass der entstehende Quotientenraum homöomorph zu RP n ist. Dazu betrachten wir D n als die obere Hemisphäre von S n. Die entsprechende Inklusion i : D n S n kann man explizit als (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n, 1 x x2 n) definieren. Die (stetige) Komposition D n S n RP n faktorisiert durch D n / und wir erhalten eine Abbildung k : D n / RP n, die das Diagramm D n i S n D n / k RP n.