Prognose des österreichischen Bruttoverbrauchs von Rohöl in Tausend Tonnen Rohöleinheiten (TOE) Michael Pichler,

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1 Prognose des österreichischen Bruttoverbrauchs von Rohöl in Tausend Tonnen Rohöleinheiten (TOE) Michael Pichler, Aufgabenstellung Das Thema dieser Arbeit ist die Prognose des österreichischen Bruttoverbrauchs von Rohöl in Tausend Tonnen Rohöleinheiten (Quelle: EUROSTAT). Dazu wird einerseits innerhalb der Klasse der modellfreien Prognoseverfahren und andererseits innerhalb der Klasse der univariaten, modellbasierten Prognoseverfahren nach der optimalen statischen bzw. dynamischen Methode gesucht. Entscheidungskriterium hierbei ist primär die Minimierung dreier Indikatoren für die Prognosegüte, nämlich der Wurzel des mittleren quadrierten Fehlers (RMSE), des mittleren absoluten Fehlers (MAE) sowie des mittleren absoluten prozentualen Fehlers (MAPE) der an die aktuellen Werte des Prognosezeitraums angepassten prognostizierten Werte. 2. Explorative Analyse der Zeitreihe Betrachtet man die Abbildung 1, die den österreichischen Bruttorohölverbrauch in TOE für den Zeitraum 01/1990 bis 12/2003 darstellt, so sind zwei Charakteristika offensichtlich: - Erstens zeigt sich ein deutlicher Strukturbruch innerhalb der Zeitreihe, der eine Inhomogenität der Daten bezüglich der sie beschreibenden Parameter vor und nach etwa dem Jahr 1995 nahe legt. Diesbezüglich ist der erste Teil der Zeitreihenwerte zu Prognosezwecken für den zweiten Teil in diesem Fall ohne die Notwendigkeit einer weiteren statistischen Überprüfung ungeeignet. Dieser Arbeit liegen daher in weiterer Folge nur Werte des zweiten Teils der Zeitreihe, also 01/1995 bis 12/2003, zu Grunde. - Das zweite sofort ins Auge fallende Charakteristikum der Zeitreihe betrifft die Struktur ihrer Entwicklung vor allem innerhalb des zweiten Datenteils. Der Bruttorohölverbrauch trended deutlich nach oben (Trendregressionskoeffizient der logarithmierten Werte: 0,0018) und weist saisonale Spitzen auf. Dieser saisonale Trend wird noch deutlicher, wenn man die Abbildung 2 mit dem kürzeren Sample betrachtet. Wie erwartet befinden sich die Nachfragespitzen jeweils in den Wintermonaten und Nachfragetiefs in den Sommermonaten. Für die hier anzuwendenden Prognoseverfahren hat diese Zeitreihenstruktur folgende Implikationen: - In der Klasse der modellfreien, ad-hoc, Methoden scheiden sowohl Single-Exponential- Smoothing, als auch Double-Exponential-Smoothing, aus, da sie der (saisonalen) Trendentwicklung nicht modellgerecht werden können. Selbiges gilt für die Holt- Winters no seasonal Methode. - Der auch visuell offensichtliche positive allgemeine Nachfragetrend sowie die saisonale Struktur deuten auf das Vorhandensein eines Unit-Roots sowie saisonaler Autoregressivität der Zeitreihe hin. Beide Vermutungen werden durch den Unit-Root- Test sowie durch die ACF- und PACF-Werte im Correlogramm (siehe untenstehende Abbildungen) bestätigt. Bezüglich der Prognosegüte kann daher vermutet werden, dass eine SARIMA-Spezifikation die relativ optimalen Ergebnisse liefern wird.

2 Abbildung ENERGYCONS Abbildung ENERGYCONS

3 Abbildung 3 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. *****. ***** ***.* *.* *. *** ***..* *** ***.. * *.. ** *. * ***. * ****. * **** *** ** **. * * * ** ** **..* * *. * **.* **. * *** ** * *.. * **..* **..* ** * * * ** *.* *.* *.. * *.. * * * * * *.* *

4 Abbildung 4 Null Hypothesis: ENERGYCONS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 6 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(ENERGYCONS) Method: Least Squares Date: 06/27/05 Time: 14:52 Sample: 1995M M12 Included observations: 108 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. ENERGYCONS(-1) D(ENERGYCONS(-1)) D(ENERGYCONS(-2)) D(ENERGYCONS(-3)) D(ENERGYCONS(-4)) D(ENERGYCONS(-5)) D(ENERGYCONS(-6)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

5 3. Modellfreie Prozeduren Bezüglich der Holt-Winters Filtermethoden zeigt sich, dass die additiven und multiplikativen Versionen sehr ähnliche Ergebnisse liefern. Dies ist bereits bei graphischer Darstellung (siehe Abbildung 5) der Zeitreihe ersichtlich und äußert sich auch in einer nur minimal unterschiedlichen Prognosegüte, wobei die multiplikative Methode mit einer mittleren quadrierten Fehlersumme von der Additiven (RMSE ) leicht unterlegen ist (siehe Abbildung 5und Abbildung 6). Bezüglich des mittleren absoluten Fehlers (MAE) und des mittleren absoluten prozentuellen Fehlers (MAPE) muss sich die multiplikative Methode ebenfalls der additiven knapp geschlagen geben (0, vs. 0,040397, bzw. 0, vs. 0,522293). Bei beiden Methoden optimiert EViews den Alpha-Wert mit 0,03 und setzt Beta und Gamma jeweils Null. Abbildung 5 LENERGY_HWA LENERGY_HWM LENERGYCONS Abbildung 6 Sample: 1995M M12 Included observations: 72 Method: Holt-Winters Additive Seasonal Original Series: LENERGYCONS Forecast Series: LENERGY_HWA Parameters: Alpha Beta Gamma Sum of Squared Residuals Root Mean Squared Error Sample: 1995M M12 Included observations: 72 Method: Holt-Winters Multiplicative Seasonal Original Series: LENERGYCONS Forecast Series: LENERGY_HWM Parameters: Alpha Beta Gamma Sum of Squared Residuals Root Mean Squared Error

6 Abschließend wurde noch die Small-Trends-Methode nach Brockwell & Davis angewendet (siehe Abbildung 7). Die notwendigen Transformationen der Daten sowie die anschließende Kalkulation der Fehlerkriterien wurden dabei in Excel durchgeführt. Hierbei zeigte sich, dass dieses Verfahren mit einem RMSE von 0, in der modellfreien Klasse bezüglich dieses Kriteriums die schlechteste Anpassung liefert. Der MAE-Wert ( ) und der MAPE- Wert ( ) liegen ebenfalls höher als die der beiden Holt-Winters Methoden. Abbildung 7 LENERGYCONS LBROCKDAVIS Die im Vergleich zu den Holt-Winters Methoden suboptimale Anpassungsgüte der Brockwell & Davis Small-Trends Methode ist auch aus einer abschließenden graphischen Gegenüberstellung der modellfreien Prozeduren ersichtlich. In Abbildung 8 zeigt sich deutlich, dass die B&D S-T Prognose über beinah den gesamten Prognosezeitraum einen größeren Fehler begeht als die Vergleichsmethoden.

7 Abbildung 8 LENERGY_HWA LENERGY_HWM LBROCKDAVIS LENERGYCONS 4. Modellgestützte univariate Prozeduren Bei der Suche nach der optimalen Prognosemethode wurde hier ein iteratives Verfahren angewendet. Zuerst wurde innerhalb der ARMA (p,q)-spezifikationen die p- und q- Werte variiert, um so die Entscheidungskriterien (RMSE, MAE, MAPE) zu minimieren. Danach wurde die selbe Methode auf die ARIMA (p,d,q)- und auf die SARIMA[s] (P,D,Q)x(p,d,q)- Spezifikationen angewendet. Das Verfahren wurde jeweils hinsichtlich der Erhöhung eines der Parameter (p,d,q) abgebrochen, wenn eine Neuerung schlechtere Ergebnisse als die vorangegangene Spezifikation lieferte. Für die statische, one-step-prognose wurden folgende Resultate erzielt: Die optimale ARMA (p,q)-spezifikation war hier ARMA (1,1) mit einem RMSE von , einem MAE von und einem MAPE von (siehe Abbildung 9).

8 Abbildung Forecast: FOR_ARMA11 Forecast sample: 2001M M12 Included observations: 36 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion FOR_ARMA11 Die ARMA-Klasse wurde hinsichtlich der Prognosegüte von der ARIMA (p,d,q)-klasse geschlagen, wobei hier die Kriterien bei ARIMA (1,1,1) minimiert wurden (siehe Abbildung 10) Abbildung Forecast: LENERGYCONF Forecast sample: 2001M M12 Included observations: 36 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion LENERGYCONF Die beste Prognosegüte für die one-step-prognose lieferte, wie bereits bei der explorativen Datenanalyse vermutet wurde, die SARIMA[s] (P,D,Q)x(p,d,q)-Klasse. Nachdem hier monatliche Beobachtungen vorliegen, wurde zuerst als Saisondifferentiator 12 angenommen. Unter dieser Annahme war die optimale Spezifikation SARIMA [12] (0,1,0)x(0,1,1) (siehe Abbildung 11).

9 Abbildung Forecast: SARIMA12011 Forecast sample: 2001M M12 Included observations: 36 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion SARIMA12011 Diese Werte wurden allerdings unterboten, wenn als Saisondifferntiator 6 angenommen wurde (bereits in den Korrelogrammen zeigte sich eine starke halbjährliche Autoregressivität). Als optimale Spezifikation stellte sich SARIMA [6] (0,2,0)x(0,1,1) heraus mit untenstehenden Kriterienwerten. Abbildung Forecast: FOR_SARIMA2X6011 Forecast sample: 2001M M12 Included observations: 36 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion FOR_SARIMA2X6011 Abbildung 13 zeigt abschließend noch eine graphische Gegenüberstellung der vorgestellten optimalen Spezifikationen.

10 Abbildung 13 FOR_ARMA11 FOR_SARIMA2X6011 FOR_ARIMA111 LENERGYCONS Für den Bereich der dynamischen, modellbasierten, Prognosen wurde dasselbe iterative Verfahren zur Auffindung der optimalen Spezifikation gewählt. Dabei zeigte sich, dass sich bezüglich der Prognosegüte dieselbe Rangfolge wie bei den statischen Verfahren ergeben hat, wobei jeweils die Kriterienwerte der dynamischen Verfahren (teilweise deutlich) über den der statischen liegen. Auf eine neuerliche vollständige Wiedergabe der Ergebnisse des Iterationsprozesses soll hier verzichtet werden und nur die Resultate der besten Spezifikation, nämlich wiederum SARIMA [6] (0,2,0)x(0,1,1), untenstehend (siehe Abbildung 14) wiedergegeben werden. Im Vergleich zum statischen Ergebnis zeigt sich hier, dass sich die RMSE-, MAE-, und MAPE-Werte nur relativ knapp unterscheiden ( vs ; vs ; vs ). Abbildung Forecast: SARIMA2X6011_DYN Forecast sample: 2001M M12 Included observations: 36 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion SARIMA2X6011_DYN Auf Grund des relativ langen Prognosezeitraums von 36 Perioden wäre allerdings auch nicht unbedingt zu erwarten, dass eine one-step-prognose einer dynamischen Prognose hinsichtlich

11 der Anpassungsgüte unterliegt. Die Frage ist nun, ob für kürzere Prognosezeiträume eine dynamische Spezifikation eventuell überlegen sein könnte. Bei Überprüfung dieser Hypothese wurde festgestellt, dass die Ergebnisse im Sinne der Überlegenheit der statischen Methode über die dynamische durchaus über eine größere Bandbreite von Prognosezeiträumen (6, 8, 12, 16, 18, 24 Monate) robust waren. Einzig für den Prognosezeitraum von 14 Monaten lieferte die dynamische Prognose eine leicht bessere Anpassungsgüte (siehe zum Vergleich in Abbildung 15 den statischen Output und in Abbildung 16 den dynamischen Output). Abbildung 15 Forecast: STAT14 Forecast sample: 2001M M02 Included observations: 14 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion M M M M M01 STAT14 Abbildung Forecast: DYN14 Forecast sample: 2001M M02 Included observations: 14 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion M M M M M01 DYN14 5. Conclusio Bei einer abschließenden Gegenüberstellung der Ergebnisse dieser Arbeit zeigt sich deutlich, dass in Bezug auf die Prognose des österreichischen Bruttorohölverbrauchs die modellfreien Holt-Winters Methoden die modellbasierten, univariaten Methoden durchwegs hinsichtlich der Minimierung der drei Kriterien dominieren (siehe Abbildung 17). Bezüglich aller Entscheidungskriterien belegte die Holt- Winters additive Methode den Spitzenplatz. Ein graphischer Vergleich der Klassensieger in Abbildung 18 belegt diese besondere relative Anpassungsgüte der Holt-Winters additiven Methode zusätzlich. Auffallend ist insbesondere, dass es diesem Verfahren am besten gelingt, die Nachfragespitzen adäquat vorherzusagen, wozu insbesondere die dynamische SARIMA [6] (0,2,0)x(0,1,1) Methode im Prognoseverlauf auf Grund des sukzessiven Auslaufens (=Konvergenz zu Null) der MA-Koeffizienten immer schlechter fähig ist.

12 Abbildung 17 Methode RMSE MAE MAPE HWA , , B&D S-T 0, , , SARIMA[6] (0,2,0)x(0,1,1) stat 0, , , SARIMA[6] (0,2,0)x(0,1,1) dyn 0, , , Abbildung 18 LENERGY_HWA FOR_SARIMA2X6011 SARIMA2X6011_DYN LENERGYCONS