ALP I Turing-Maschine

Transkript

1 ALP I Turing-Maschine Teil I SS 2011

2 Äquivalenz vieler Berechnungsmodelle Alonzo Church λ-kalkül Kombinatorische Logik Alan Turing Turing-Maschine Mathematische Präzisierung Effektiv Berechenbare Funktionen µ-rekursive Funktionen Register Maschinen GOTO- Berechenbar WHILE- Berechenbar Moderne Programmiersprachen mit unendlichem Speicher

3 Turing-These (1930) "Any computation carried out by mechanical means can be performed by a Turing Machine"

4 Definition von Algorithmus Ein Algorithmus für eine Funktion f(x) ist eine Turing- Maschine, die die Funktion f(x) berechnet. Wir können sagen, dass ein Algorithmus für eine Funktion f(x) existiert, wenn eine Turing-Maschine existiert, die diese Funktion berechnet.

5 Turing-Maschine Unendliches Band Lese-Schreibe-Kopf Hardware

6 Turing-Maschine Unendliches Band Lese-Schreibe-Kopf Jede Berechnungsschritt besteht aus nur drei einfachen Operationen: Ein Symbol lesen Ein Symbol schreiben Den Kopf nach links oder rechts bewegen

7 Turing-Maschine Zeitpunkt t i liest eine scheibt eine Zeitpunkt t i+1 bewegt den Kopf nach rechts

8 Turing-Maschine als endlicher Automat Das Programm, beziehungsweise die Steuerung der Turing- Maschine, kann als endlicher Automat dargestellt werden. Startzustand 1 Z 1 1 Z e Endzustand Z Z 2 1 Z 3

9 Turing-Maschine als Zustandstabelle Das Programm kann auch in Form einer Zustandstabelle geschrieben werden. Zustand Eingabe Ausgabe Bewegung Neuer Zustand Z R Z 1 Z R Z 2 Z R Z R Z R Z R Z e Z 3 Z e Z 2

10 Start-Konfiguration 1 Eingabe-String Kopfposition 3 Anfangszustand

11 Zustandsübergang Liest Symbol Schreibt Symbol Kopfbewegung a b, L Z 1 Z 2 a a b a b b Z 1 Z 2

12 Zustandsübergang Der Übergang zwischen zwei Zuständen muss deterministisch sein. erlaubt nicht erlaubt a b, L Z 2 a b, L Z 2 Z 1 b b, R Z 1 a b, R Z 3 Z 3

13 Zustandsübergang a b c Z 2 erlaubt a b, L Z 2 Nicht für alle Symboleingaben muss ein Zustandsübergang existieren. Z 1 b b, R Z 3

14 Halt Die Turing-Maschine bleibt stehen, wenn ein Endzustand erreicht worden ist, d.h. kein Übergang mehr möglich ist. Z Z e Endzustand Z 2

15 Beispiel: Turing-Maschine Folgende Turing-Maschine erlaubt nur Einsen als Eingabe und bleibt stehen, wenn der Kopf etwas anderes liest. 1 1, R Z 0 0 0, L Z e Endzustand, L Z 0

16 Beispiel: Turing-Maschine Folgende Turing-Maschine erlaubt nur Einsen als Eingabe und bleibt stehen, wenn der Kopf etwas anderes liest. 1 1, R 0 0, L Endzustand Z 0 Z e, L Z e

17 Beispiel: Turing-Maschine Folgende Turing-Maschine erlaubt nur Einsen als Eingabe und bleibt stehen, wenn der Kopf etwas anderes liest. Zustandstabelle Zustand Eingabe Ausgabe Bewegung Neuer Zustand Z R Z 0 Z L Z e Z 0 L Z e Start Ende Z 0 Z e

18 Formale Definition von Turing-Maschinen Zustandsmenge Eingabe-Alphabet Alphabet des Bandes TM = (Q, A, B, F, z 0,, Z f ) Übergangsfunktion Leeres Symbol Anfangszustand Menge der Endzustände

19 weitere Beispiele von TM Zahlen in einem unären Zahlensystem addieren Start-Konfiguration gleich End-Konfiguration bedeutet, dass sich am Ende der Berechnungen der Lese/Schreibe- Kopf am Anfang des Ergebnis-Strings befindet Die Zahlen werden wie folgt dargestellt: 0 = "1" 1 = "11" 2 = "111" usw.

20 1 1,R 1 1,L Diese Turing-Maschine inkrementiert eine unäre Zahl. 1,L Start Z 1 Z 2,R Z Start an dieser Position Z Z Z 3

21 1 1,R 1 1,L Turing-Maschinen Hier werden zwei Zahlen addiert Z 1 1,L Z 2,R 1,R Z 3 Z Z Z Z 4

22 Turing-Maschinen In folgender Turing-Maschine wird ein Block von Einsen kopiert und ein Leerzeichen dazwischen gelassen. 1 A,S 1 1,R 1 1,R 1 1,L 1 1,L Z 1 A A,R Z 2,R Z 3 1,S,L Z 4 Z 5 A A,R,L 1 1,L Z 6 Z 7,R A 1,S

23 Turing-Maschinen Z 7

24 Haskell-Implementierung eines TM-Simulators data Move = L R S deriving (Show, Eq) step :: (Int,[Char],Char,[Char])->[(Int,Char,Int,Char,Move)]->(Int,[Char], Char, [Char]) step (q,l,input,r) state_table q==0 = ( q, l, input, r ) -- Endzustand otherwise = ( qn, new_l, new_input, new_r ) where ( qn, out, dir ) = find_next ( q, input ) state_table ( new_l, new_input, new_r ) dir == L = move_left ( l, out, r ) dir == R = move_right ( l, out, r ) dir == S = ( l, out, r ) Die step-funktion berechnet einen Zustandsübergang der simulierten TM

25 {-- --} Haskell-Implementierung eines TM-Simulators Ein Zustand für entsprechende Eingabe des Lesekopfs wird in der Zustandstabelle gesucht und die Ausgabe und der Folgezustand werden ermittelt. find_next :: (Int, Char) -> [(Int, Char, Int, Char, Move)] -> (Int, Char, Move) find_next (p,input) [] = error "END OF STATE-TABLE and no match found" find_next (q,input) ((a,b,qn,out,dir):rest) (a==q && b==input) = (qn,out,dir) (a==q && b=='#') = (qn,input,dir) otherwise = find_next (q,input) rest

26 Haskell-Implementierung einer TM-Simulation -- Die Position des Lesekopfs wird hier aktualisiert. move_left :: ([Char], Char, [Char]) -> ([Char], Char, [Char]) move_left (l,s,r) head_l == '_' = error "left margin reached" otherwise = ( tail l, head_l, s:r ) where head_l = head l move_right :: ([Char], Char, [Char]) -> ([Char], Char, [Char]) move_right (l,s,r) head_r == '_' = error "right margin reached" otherwise = ( s:l, head_r, tail r ) where head_r = head r

27 Haskell-Implementierung einer TM-Simulation {-- Die sim-funktion startet die Simulation der Maschine nach Eingabe einer Start-Konfiguration und einer Zustandstabelle. Eine Liste mit allen Zwischenzuständen wird als Ergebnis zurückgegeben. --} sim :: (Int,[Char],Char,[Char]) -> [(Int,Char,Int,Char,Move)] -> [(Int,[Char],Char,[Char])] -> [(Int,[Char],Char,[Char])] sim ( 0, l, input, r ) state_table history = history sim ( q, l, input, r ) state_table history = sim new state_table (new:history) where new = step ( q, l,input,r ) state_table

28 Haskell-Implementierung einer TM-Simulation -- Hilfsfunktionen show_states [] = "" show_states (x:xs) = (show_states xs)++" "++show_state(x) show_state (q,l,input,r) = show(q)++" "++rev_l++[input]++cut_tape r++"\n" ++ spaces (5+length(rev_l))++"T\n" where rev_l = reverse_finite l [] spaces n = [' ' _<-[1..n]] cut_tape ('_':x) = [] cut_tape (x:y) = x:(cut_tape y) reverse_finite ('_':x) y = y reverse_finite (x:xs) y = reverse_finite xs (x:y)

29 -- Hilfsfunktionen Haskell-Implementierung einer TM-Simulation -- Simuliert eine unendliche leere Liste empty_tape :: [Char] empty_tape = '_':empty_tape -- Die Simulation wird gestartet und alle Zwischenzustände ausgegeben start (q,l,input,r) state_table = putstr( show_states( sim ( q1, l1, s1, r1 ) state_table [(q1, l1, s1, r1 ) ] ) ) where (q1, l1, s1, r1) = (q, reverse(l)++empty_tape, input, r++empty_tape)

30 Turing-Maschinen weitere Beispiele an der Tafel