Schreib- Lesekopf S 1

Transkript

1 Die Turingmaschine (Alan M. Turing 1936) Maschinenband beidseitig unbegrenzt F F F F F F a a a b b b F F F F F F F F Schreib- Lesekopf S 1 T = ( Σ;S;B;F;s 0 ; ϕ ) Dabei ist Σ= {e 1;e 2...e n} Das Maschinenalphabet S = {s 0;s 1...s m} Die Zustandsmenge B = {R,L,H } Die Menge der Kopfbewegungen F S Die Menge der Endzustände s0 S Der Startzustand ϕ:(e;s ) (e ;S;b ) Die Überführungsfunktion i j k r s Σ enthält die Eingabezeichen und die Zeichen, die die Maschine auf das Band schreiben kann. Das leere Zeichen F ( Blank ) gehört zu Σ ist aber kein Eingabezeichen d.h. die Turingmaschine kann Blanks auf das Band schreiben und damit Zeichen löschen. S Die Zustandsmenge enthält den besonderen Startzustand s 0. Mindestens einer der restlichen Zustände ist ein Endzustand. ϕ Die Überführungsfunktion bestimmt bei einem aktuell gelesenen Zeichen ei Σ und dem aktuellen Zustand S j das zurückgeschriebene Zeichen e k, den Folgezustand S m und die anschließende Kopfbewegung des Schreib- Lesekopfs. B Die möglichen Kopfbewegungen sind: Eine Position nach Rechts R, eine Position nach Links L und keine Bewegung (Halt) H. Zu Beginn der Arbeit nimmt die Turingmaschine den Startzustand s 0 ein und der Schreib-Lesekopf steht über dem am weitesten rechts stehenden Zeichen des Eingabewortes. (Standardlage) 1

2 Die Arbeitsweise der Turingmaschine: Das Band ist mit lauter BLANKS ( alternativ mit Nullen) gefüllt Startzustand s 0 einnehmen; Eingabewort eingeben S-L-Kopf in die Standardlage Wiederhole Eingabezeichen lesen Zeichen über dem SL-Kopf gemäß ϕ neu beschreiben Folgezustand gemäß ϕ einnehmen Kopfbewegung gemäß ϕ ausführen solange bis ein Endzustand erreicht ist oder die TM stoppt Die Turingmaschine stoppt, wenn es für ein aktuell gelesenes Zeichen und für einen aktuellen Zustand keine Instruktion in ϕ gibt. Bemerkungen: Normalerweise ist Σ= {e 1;e 2...e n}. Da sich aber jedes Zeichen dieses Alphabets eindeutig mit einer Folge von 1en kodieren lässt, (e 1 =1 ; e 2 =11 ; e 3 =111 ; e n = ) genügt es, sich auf Σ= {0;1; Φ } n zu beschränken. Die Null ist dann das Trennzeichen zwischen den Eingabezeichen und F das Blank. Auf das Blank kann ebenfalls verzichtet werden, wenn man vereinbart, dass der Beginn und das Ende eines Eingabeworts am Auftreten von zwei aufeinanderfolgenden Nullen erkannt wird.. Innerhalb eine Wortes kann immer nur eine einzelne 0 vorkommen: Gültige Bandbeschriftung: Ungültige Bandbeschriftung:

3 Die Turingmaschine als Akzeptor zur Spracherkennung Beispiel für die Turingmaschine (hier sagt man besser Turingautomat), die die n n n Sprache L= {w / w = a b c über Σ = {a,b,c, Φ } } akzeptiert. Worte w dieser Sprache sind abc, aabbcc, aaabbbccc, aaaabbbbcccc,... T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 1 0 Σ= {a,b,c, Φ } S = {s,s,s,s,s,s} H B = {R,L,H } F= { S H } s0 S ϕ:(e;s ) (e ;S;b ) i j k r s ϕ 1 y,y,l c,c,l S 1 x,x,l b,y,l c,z,l y,y,l x,x,l b,b,l S 0 y,y,l S 4 F,F,H S H S 2 z,z,l a,x,r S 3 c,c,r b,b,r y,y,r x,x,r Die Instruktion c,z,l bedeutet : gelesenes Zeichen c ; rückgeschriebenes Zeichen z ; Kopfbewegung L d.h. eine Position nach links. Der Folgezustand ist jeweils an der Spitze der Pfeile. read, write, move 3

4 Die Überführungsfunktion ϕ lässt sich alternativ durch eine Folge von Turinginstruktionen beschreiben. Das sind 5-Tupel der Form S k e i S r e m k aktueller aktuell Folge- rückgeschrie- Kopf - Zustand gelesenes zustand benes Zeichen bewegung Zeichen ϕ 1 : S0 c S0 z L S3 b S3 b R S 0 y S 0 y L S 3 c S 3 c R S 1 b S 1 y L S 3 x S 3 x R S 1 c S 1 c L S 3 y S 3 y R S 1 y S 1 y L S 3 z S 0 z L S 2 a S 3 x R S 4 x S 4 x L S 2 b S 2 b L S 4 y S 4 y L S 2 x S 2 x L S 4 F S H F H 4

5 Ablaufprotokoll des Turingautomaten T 1 für das Eingabewort w 1 =aabbcc : (Kopfposition ist gelb unterlegt) Bandbeschriftung Zustand F F a a b b c c F F S 0 F F a a b b c z F F S 1 F F a a b b c z F F S 1 F F a a b y c z F F S 2 F F a a b y c z F F S 2 F F a x b y c z F F S 3 F F a x b y c z F F S 3 F F a x b y c z F F S 3 F F a x b y c z F F S 3 F F a x b y c z F F S 0 F F a x b y z z F F S 1 F F a x b y z z F F S 1 F F a x y y z z F F S 2 F F a x y y z z F F S 2 F F x x y y z z F F S 3 F F x x y y z z F F S 3 F F x x y y z z F F S 3 F F x x y y z z F F S 3 F F x x y y z z F F S 0 F F x x y y z z F F S 4 F F x x y y z z F F S 4 F F x x y y z z F F S 4 F F x x y y z z F F S 4 F F x x y y z z F F S H 5

6 Die Turingmaschine als Akzeptor zur Spracherkennung Beispiel 2 Turingautomat der die Sprache L= {w / w enthältgleich viele a,b,c } über {a,b,c, } Σ= Φ akzeptiert. Worte w dieser Sprache sind abc, aabbcc, aaabbbccc, aaaabbbbcccc,... T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 2 0 Σ= {a,b,c, Φ } S = {s 0,s H} B = {R,L,H } F={ S H } s0 S ϕ :(e;s ) (e ;S;b ) 2 i j k r s ϕ 2 : noch in Arbeit!!! S 0 S 4 Die Instruktion c,z,l bedeutet : gelesenes Zeichen c ; rückgeschriebenes Zeichen z ; Kopfbewegung L d.h. eine Position nach links. Der Folgezustand ist jeweils an der Spitze der Pfeile. read, write, move 6

7 Die Kopiermaschine Beispiel für die Turingmaschine, die eine Gruppe von Einsen auf dem Band kopiert. Startbeschriftung: Endbeschriftung: Lösungsidee: Da die Einsergruppe beliebig lang sein kann, muss sich das Programm merken, welche 1 es schon kopiert hat. Dazu wird die zu kopierende 1 durch 0 ersetzt, kopiert und danach wieder mit 1 überschrieben. nach links laufen, bis eine 0 kommt eine Position nach rechts Zeichen lesen Solange das gelesene Zeichen eine 1 ist tue 1 durch 0 ersetzen nach rechts laufen bis eine 0 kommt nach rechts laufen bis eine 0 kommt 0 mit 1 überschreiben nach links laufen, bis eine 0 kommt nach links laufen, bis eine 0 kommt 0 mit 1 überschreiben eine Position nach rechts Zeichen lesen nach rechts laufen bis eine 0 kommt eine Position nach links Halt 7

8 Die Kopiermaschine T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 0 Σ= {0,1} S = {s,s,s,s,s,s,s,s} H B = {R,L,H } F={ S H } s0 S ϕ:(e;s ) (e ;S;b ) i j k r s ϕ : 1,1,L 1,1,R 0,0,R 0,0,R 0,0,L S 0 S 1 S 6 S H 0,1,R 1,0,R 1,1,L S 5 0,0,L S 2 0,0,R 1,1,R 0,1,L S 4 S 3 1,1,L 1,1,R S 0 0 S 1 0 R S 4 0 S 5 0 L S 0 1 S 0 1 L S 4 1 S 4 1 L S 1 0 S 6 0 R S 5 0 S 1 1 R S 1 1 S 2 0 R S 5 1 S 5 1 L S 2 0 S 3 0 R S 6 0 S H 0 H S 2 1 S 2 1 R S 6 1 S 6 1 R S 3 0 S 4 1 L S 3 1 S 3 1 R 8

9 Die Additionsmaschine Beispiel für die Turingmaschine, die die Summe zweier mit Einsen kodierter Zahlen auf das Band schreibt: Kodierung : Beispiel: 2+3=5 Startbeschriftung: 1 1; n Endbeschriftung: n Lösungsidee: nach links laufen, bis eine 0 kommt 0 mit 1 überschreiben nach rechts laufen, bis eine 0 kommt eine Position nach links 1 mit 0 überschreiben eine Position nach links Halt T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 0 Σ= {0,1} S = {s,s,s,s,s} H B = {R,L,H } F={ S H } s0 S ϕ:(e;s ) (e ;S;b ) i j k r s 0,1,R 0,0,L 1,0,H S 0 S 1 S 2 S H 1,1,L 1,1,R 0,0,L 9

10 Die Subtraktionsmaschine Theoretische Informatik Beispiel für die Turingmaschine, die die Differenz zweier mit Einsen kodierter Zahlen auf das Band schreibt: Kodierung : Beispiel 1 : 5-3=2 Startbeschriftung: 1 1; n Endbeschriftung: n Beispiel 2 : 3 5 = -2 Startbeschriftung: Endbeschriftung:

11 Die Subtraktionsmaschine Lösungsidee: Es wird paarweise jeweils eine 1 beim Minuenden und eine 1 beim Subtrahenden mit 0 überschrieben (gelöscht). Ist einer der beiden Operanden leer, dann bleibt die Differenz stehen. Ist der Minuend kleiner als der Subtrahend wird noch eine 1 vor das Ergebnis gesetzt. nach links laufen, bis eine 0 kommt eine Position nach links nach links laufen, bis eine 0 kommt eine Position nach rechts solange noch 1en beim Subtrahenden vorhanden sind tue 1 mit 0 überschreiben eine Position nach rechts nach rechts bis eine 0 kommt eine Position nach rechts nach rechts bis eine 0 kommt eine Position nach links 0 mit 1 überschreiben eine Position nach links Halt 11

12 Die Subtraktionsmaschine T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 0 Σ= {0,1} S = {s,s,s,s,s,s,s,s,s,s,s} H B = {R,L,H } F={ S H } s0 S ϕ:(e;s i j) (e k;s;b r s) 1,1,L 1,1,L 0,0,R 1,1,R 1,1,R 0,0,L 0,0,R 1,0,R 0,0,R 0,0,L S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 1,0,L S 6 0,0,H 0,0,R 1,1,L 1,1,L S 7 S H 0,0,L 0,1,H 1,1,L S 9 S 1,1,L 8 Subtrahend gelöscht Subtrahend enthält noch 1en Minuend gelöscht Minuend enthält noch 1en 12

13 Die Multiplikationsmaschine Beispiel für die Turingmaschine, die den Quotienten zweier mit Einsen kodierter Zahlen auf das Band schreibt: Kodierung : 1 1; n n Beispiel 1 : 2 * 3 = 6 Startbeschriftung: * 3 Endbeschriftung: Lösungsidee: Für jede 1 des zweiten Faktors wird der 1. Faktor (d.h. die Einsergruppe des 1. Faktors) auf der linken Seite kopiert. Die 1 des 2. Faktors, für die gerade der 1. Faktor kopiert wird, wird mit 0 überschrieben (gelöscht). Ist der 2. Faktor gelöscht, dann wird zum letzen Mal der 1. Faktor kopiert und anschließend auch der 2. Faktor gelöscht. 13

14 Die Multiplikationsmaschine T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 0 Σ= {0,1} S = {s,s,s,s,s,s,s,s,s,s,s ,s 11,s 12,s} H B = {R,L,H } F={ S H } s0 S ϕ:(e;s i j) (e k;s;b r s) S 3 1,1,L 1,1,L 1,0,L 0,0,L 1,1,R 1,1,R 0,0,L 0,0,L 0,1,R 0,0,R 0,1,R S 1 S 2 S 4 S 5 S 6 S 8 1,1,L 1,1,R 0,0,R 1,0,L 0,1,L 1,1,R S 7 S 9 S 0 0,0,L 1,1,R S 10 1,1,R 0,0,L 0,0,L 1,0,L S H 0,0,H S 12 1,0,L S Faktor (Einsergruppe) kopieren fertig kopiert 2. Faktor gelöscht 2. Faktor enthält noch 1en, erneut kopieren 0,0,L 14

15 Die Divisionssmaschine Beispiel für die Turingmaschine, die den Quotienten zweier mit Einsen kodierter Zahlen auf das Band schreibt: Kodierung : 1 1; n n Beispiel 1 : 8 : 4=2 Startbeschriftung: : 4 Endbeschriftung: Beispiel 1 : 8 : 3= Startbeschriftung: : 3 Endbeschriftung: : 3 15

16 Die Divisionsmaschine T = ( Σ;S;B;F;s ; ϕ ) 0 Σ= {0,1} S = {s 0,s 1,s 2,s 3,s 4,...s 40,s41, s42 } B = {R,L,H } F={ S 42 } s0 S ϕ:( S; e ) (S;e;b ) j i r k s L L R L R L L L L L R R R R R H R R R R L L L L R L H R R L L H L H L L L L R L R R L L L L R L H H L R H L H L R L L L L L R R R R R R H R R H L R L L H L R L H R L L 16

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