Modelle der Parallelverarbeitung
|
|
- Linda Kraus
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Modelle der Parallelverarbeitung Modelle der Parallelverarbeitung 1. Turingmaschinen Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Sommersemester / 52
2 Überblick Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 2 / 52
3 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 3 / 52
4 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen, einfachster Fall Eine Turingmaschine besteht im einfachsten Fall aus einem Arbeitsband ein Schreib-Lese-Kopf auf dem Band, verbunden mit einer Steuereinheit Alan Turing On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society 42, S , / 52
5 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition von W 1 -TM Bestandteile T = (S,..., B,..., δ,... ) Zustandsmenge S Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : S B S B D mit D = { 1, 0, 1} 5 / 52
6 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition von W 1 -TM Bestandteile T = (S,..., B,..., δ,... ) Zustandsmenge S Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : S B S B D mit D = { 1, 0, 1} bzw. δ = (δ s, δ b, δ d ) mit Notation W 1 : δ s : S B S δ b : S B B δ d : S B D ein W: ein Arbeitsband (working tape) Index 1: ein Kopf auf dem Band 5 / 52
7 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Arbeitsweise von W 1 -TM Konfiguration ( globaler Gesamtzustand ): c = (s,b,p) mit Zustand s S Bandbeschriftung b : Z B, i. e. b B Z Kopfposition p Z schreibe C T oder C für die Menge aller Konfigurationen ein globaler Schritt : C C, wobei (s,b,p) = (s,b,p ) mit s = δ s (s,b(p)) { b δ b (s,b(p)) falls i = p (i) = b(i) falls i p p = p + δ d (s,b(p)) 6 / 52
8 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel S = {A, B,C, D, E, F, Z } B = {1, } L statt 1, R statt +1 δ gegeben durch die folgende Tabelle: A B C D E F Z B1R C R D1L E L A R A1L 1 F L D R E1R D L C1R Z 1R 7 / 52
9 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel A B 1 C 1 D 1 1 E 1 1 C 1 1 D D / 52
10 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beispiel A B 1 C 1 D 1 1 E 1 1 C 1 1 D D 1 1 fleißiger Bieber ( mehr als Einsen, mehr als Schritte 8 / 52
11 Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Ein noch fleißigerer Biber Pavel Kropitz (2010) A B C D E F Z B1R C1R D1L E1R A1L Z 1L 1 E1L F 1R B0R C L D R C1R mehr als Einsen nach mehr als Schritten 9 / 52
12 Der rote Faden durch die Vorlesung Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 10 / 52
13 Der rote Faden durch die Vorlesung In dieser Vorlesung betrachten wir Modelle der Parallelverarbeitung und zwar vom Standard -Standpunkt endliche Eingabe endliche Berechung endliche Ausgabe These von Church/Turing: Alle vernünftigen Modelle können die gleichen Funktionen berechnen. Das kann man für die parallelen Modelle auch beweisen. Wozu also Betrachtung paralleler Modelle? (und wozu Turingmaschinen?) 11 / 52
14 Der rote Faden durch die Vorlesung Effizienz Unterschiede zwischen verschiedenen Modellen erhofft/erwartet Zusammenhänge zwischen verschiedenen Modellen erhofft/erwartet wie messen? Komplexitätsmaße, genauer gesagt Maße für Berechnungskomplexität: Zeitkomplexität: Anzahl benötigter Schritte Platzkomplexität/Raumkomplexität:... andere...? / 52
15 Der rote Faden durch die Vorlesung Varianten gegeben: ein paralleles Modell! Es gibt schöne Algorithmen.? Wie realistisch ist das Modell?! Das Modell ist realistisch.? Wie schöne Algorithmen gibt es? tendenziell zu Beginn der Vorlesung: eher Standpunkt 1 gegen Ende der Vorlesung: eher Standpunkt 2 13 / 52
16 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 14 / 52
17 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband In dieser Vorlesung überwiegend Entscheidungsprobleme, also Erkennung formaler Sprachen: endliche Eingabe: ein Wort w A + endliche Berechung endliche Ausgabe: ein Bit (akzeptiert/abgelehnt) 15 / 52
18 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Eingabe formaler Sprachen bei TM Anfangszustand s 0 S Eingabealphabet A B { } Blanksymbol Anfangskonfiguration zu w: init : A + C : w 1 w n (s 0,b w, 1) mit { w i falls 1 i n b w (i) = sonst 16 / 52
19 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Halten bei TM und Erkennung formaler Sprachen Menge von Endzuständen F S isfinal : C B : (s,b,p) [s F] Forderung s F a B : δ(s, a) = (s, a, 0) stellt sicher, dass Endkonfigurationen erhalten bleiben. Menge akzeptierender Endzustände F + F isaccepting : C B : (s,b,p) [s F + ] isaccepting(c) = isfinal(c) 17 / 52
20 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition: Zeitkomplexität von TM In dieser Vorlesung: O. B. d. A. hält jede Maschine für jede Eingabe. akzeptable Annahme für z. B. harmlose Zeitschranken Dann sind die folgenden Funktionen total: time : A + N + w min{t N + isfinal( t (init(w)))} Time : N + N + n max{time(w) w A n } Diese Definition passt auch für andere Modelle, zum Beispiel W -TM siehe dort 18 / 52
21 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Von TM erkannte Sprache L(T ) = {w A + isaccepting( time(w) (init(w)))} Diese Definition passt auch für andere Modelle. 19 / 52
22 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Raumkomplexität für TM: 1. Versuch die Funktion (Diskussion: welche?) mem : C N + beschreibe den Speicherplatzbedarf einer Konfiguration definiere: space : A + N + w max{mem( t (init(w))) t time(w)} Space : N + N + n max{space(w) w A n } Was ist hier (unter Umständen) noch unzureichend? 20 / 52
23 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Raumkomplexität für TM: 2. Versuch Definiere: left-end : A + Z + w min {p Z t time(w) : in t (init(w)) wird p benutzt} right-end : A + Z + w max {p Z t time(w) : in t (init(w)) wird p benutzt} space : A + N + w 1 + right-end(w) left-end(w) Space : N + N + n max{space(w) w A n } Diskussion: andere Ideen? 21 / 52
24 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Definition: Raumkomplexität für TM Definiere: used-mem : C 2 Z c {p Z in c wird Feld p benutzt} space : A + N + w t time(w) used-mem( t (init(w))) Space : N + N + n max{space(w) w A n } leicht anpassbar an andere Modelle, z. B. W -TM dieses Thema kommt wieder... siehe dort 22 / 52
25 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Eine Beispielsprache Theorem Jede W 1 -TM, die die formale Sprache L vv = {v2 v v v {0, 1} + } erkennt, hat Zeitkomplexität Time T (n) Ω(n 2 ). F. C. Hennie One-tape, Off-line Turing Machine Computations. Information and Control 8, S , / 52
26 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis des Satzes von Hennie zunächst technisches Hilfsmittel für den Beweis: sogenannte Überquerungsfolgen 24 / 52
27 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen: Definition sei w A + und i Z Überquerungsfolge cs(w, i) die Liste der Zustände der TM bei Übergängen von Feld i nach i + 1 oder umgekehrt, wenn sie mit init(w) startet Überquerungsfolgen können leer sein. 25 / 52
28 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Zwei Beispielüberquerungsfolgen q 1 q 2 q 3 q 4 q 1 q 2 26 / 52
29 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. 27 / 52
30 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. Dann gilt:... was? / 52
31 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweisskizze zum Lemma q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 28 / 52
32 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Überquerungsfolgen Definition Für w = w 1 w n A n und 1 i < j w bezeichne w[i : j] das Teilwort w i w j. Lemma Es seien w 1 und w 2 Wörter, die von TM gleich behandelt werden, d. h. beide akzeptiert oder beide abgelehnt werden. Es seien i 1 und i 2 zwei Feldnummern mit 1 i 1 < w 1 und 1 i 2 < w 2, so dass cs(w 1, i 1 ) = cs(w 2, i 2 ) ist. Dann gilt: Das Eingabewort w 1 [1 : i 1 ] w 2 [i : w 2 ] wird genauso behandelt wie w 1 und w / 52
33 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweisskizze zum Lemma q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 30 / 52
34 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Satz von Hennie Theorem Jede W 1 -TM, die die formale Sprache L vv = {v2 v v v {0, 1} + } erkennt, hat Zeitkomplexität Time T (n) Ω(n 2 ). 31 / 52
35 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis Betrachte verschiedene Wörter w 1 L vv und w 2 L vv gleicher Länge n = 3m. w i = v i 2 m v i mit v i {0, 1} m (i = 1, 2) wegen w 1 w 2 auch v 1 v 2 Wegen des eben bewiesenen Lemmas gilt: Es darf keine Zustandsfolge s = (s 1,..., s k ) geben, so dass cs(w 1, i 1 ) = s = cs(w 2, i 2 ) für m/3 < i 1 < 2m/3 und m/3 < i 2 < 2m/3 denn für v 1 v 2 ist kein Wort v 1 2 l v 2 L vv. In L vv sind 2 m Wörter der Länge 3m. 32 / 52
36 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Beweis des Satzes von Hennie (2) Zählt man alle Überquerungsfolgen mit einer Länge i < m/log S, so kommt man nur auf (m/log S ) 1 i=0 S i < S m/log S = (2 log S ) m/log S = 2 m Also müssen für mindestens ein Wort in L vv A 3m alle mittleren m 1 Überquerungsfolgen eine Länge von mindestens m/log S haben. Jeder Zustand in jeder Überquerungsfolge bedeutet einen Schritt der TM. Also ist die Anzahl TM-Schritte für diese Eingabe mindestens (m 1)m/loд S Ω(n 2 ). 33 / 52
37 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband andererseits... Beobachtung Es gibt eine W 1 -TM T mit Time T (n) Θ(n 2 ), die L vv erkennt. Übung / 52
38 Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Schreibweise: Komplexitätsklassen W 1 -TM-Spc(s(n))-Time(t(n)) Menge der formalen Sprachen, die von W 1 -TM T erkannt werden können mit Space T (n) s(n) und Time T (n) t(n) analog für W 1 -TM-Time(t(n)), etc. analog für W 1 -TM-Time(O(t(n))), etc. Beispiele: L vv W 1 -TM-Time(Θ(n 2 )) L vv W 1 -TM-Time(o(n 2 )) W 1 -TM-Time(Pol(n)) = P mit Pol(t(n)) = k N + O(t(n) k ) 35 / 52
39 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 36 / 52
40 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit mehreren Bändern/Köpfen unter Umständen mehrere Köpfe auf einem Band: W 1 oder W 2 oder W 3 oder... falls egal: W unter Umständen mehrere Bänder: W h1 W h2 W hk falls mehrere gleiche Bänder: z. B. 3W 5, W 1, W alle Köpfe mit der gleichen Steuereinheit verbunden 37 / 52
41 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit mehreren Bändern/Köpfen unter Umständen mehrere Köpfe auf einem Band: W 1 oder W 2 oder W 3 oder... falls egal: W unter Umständen mehrere Bänder: W h1 W h2 W hk falls mehrere gleiche Bänder: z. B. 3W 5, W 1, W alle Köpfe mit der gleichen Steuereinheit verbunden Ist das dann schon Parallelverarbeitung? 37 / 52
42 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k 38 / 52
43 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: 38 / 52
44 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. 38 / 52
45 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! 38 / 52
46 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! Lösungsmöglichkeiten: Verbot Kopf mit kleinster Nummer gewinnt auch nichts schreiben ermöglichen 38 / 52
47 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM analog zu W 1 -TM, aber: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k Problem: Die TM merkt nicht, wenn mehrere Köpfe auf dem gleichen Feld stehen. Schreibkonflikte?! Lösungsmöglichkeiten: Verbot Kopf mit kleinster Nummer gewinnt auch nichts schreiben ermöglichen und Konflikte verbieten Das nehmen wir. 38 / 52
48 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Definition von W h1 W h2 W hk -TM Also: δ : S B h 1 B h k S (B D) h 1 (B D) h k mit B = B { }, wobei das nichts schreiben bedeutet. Diese Definition ermöglicht einer TM, herauszufinden, ob sich zwei Köpfe auf dem gleichen Feld befinden. Wie? also Schreibkonflikte problemlos vermeidbar 39 / 52
49 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Konfigurationen von W -TM c = (s,b 1,...,b k, (p 1,1,...,p 1,h1 ),... (p k,1,...,p k,hk )) mit s S b i B Z p i, j Z 40 / 52
50 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Erkennung formaler Sprachen mit W -TM analog wie bei W 1 -TM: Anfangszustand s 0 Anfangsbandbeschriftungen auf erstem Band das Eingabewort ggf. weitere Bänder leer Köpfe zu Beginn alle auf Feld 1 ihres Bandes finale und akzeptierende Zustände 41 / 52
51 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zeit- und Raumkomplexität für W -TM Zeitkomplexität wie bei W 1 -TM siehe dort Raumkomplexität analog zu W 1 -TM siehe dort, aber used-mem : C 2 N + Z. 42 / 52
52 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel 43 / 52
53 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel Ergebnis: L vv W 3 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) 43 / 52
54 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Beispiel L vv mit W 3 -TM an der Tafel Ergebnis: L vv W 3 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) Kurzes Nachdenken zeigt, dass auch gilt: L vv W 2 -TM-Spc(Θ(n))-Time(Θ(n)) 43 / 52
55 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang zwischen W 1 - und W -TM Satz Für alle s(n) und t(n) größer gleich n gilt: W -TM-Spc(s(n))-Time(t(n)) W 1 -TM-Spc(Θ(s(n)))-Time(Θ(s(n) t(n))) W 1 -TM-Spc(Θ(s(n)))-Time(Θ(t(n) 2 )) Beweisidee: an der Tafel Das Beispiel L vv zeigt, dass der Exponent 2 optimal ist. Für die umgekehrte Richtung W 1 W kennt man keine wesentlichen Beschleunigungssätze. 44 / 52
56 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang zwischen W 1 - und W -TM etwas kompakter (ohne (n) ) notiert: Satz Für alle Raumschranken s id und Zeitschranken t id gilt: W -TM-Spc(s)-Time(t) W 1 -TM-Spc(Θ(s))-Time(Θ(s t)) W 1 -TM-Spc(Θ(s))-Time(Θ(t 2 )) 45 / 52
57 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang bei TM mit gleicher Gesamtkopfzahl 46 / 52
58 Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Zusammenhang bei TM mit gleicher Gesamtkopfzahl Satz Für alle t(n) n gilt: W k -TM-Time(t(n)) kw 1 -TM-Time(Θ(t(n))) H. J. Stoß. k-band-simulation von k-kopf-turing-maschinen. Computing, 6: , Richtung kw 1 W k ist viel leichter... Satz ist nichttrivial man versuche sich an einem Beweis / 52
59 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Überblick Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Der rote Faden durch die Vorlesung Weiteres zu Turingmaschinen mit einem Arbeitsband Turingmaschinen mit mehreren Arbeitsbändern/Köpfen Turingmaschinen mit speziellen Bändern 47 / 52
60 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: 48 / 52
61 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: TM fährt nur lesend nur einmal über das Wort 48 / 52
62 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Motivation Erkennung einer regulären Sprache mit einer W 1 -TM: TM fährt nur lesend nur einmal über das Wort Das Arbeits -Band wird gar nicht als Arbeitsspeicher (zum Merken berechneter Informationen) benötigt. Aber die Definition von Raumkomplexität nimmt darauf keine Rücksicht. (könnte sie?) Man möchte aber gerne sublineare Raumkomplexitäten, z. B. 0 im Fall regulärer Sprachen. Ein analoges Problem werden wir in einem späteren Kapitel bei der Erzeugung großer Ausgaben durch eine TM haben. 48 / 52
63 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. 49 / 52
64 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. 49 / 52
65 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. 49 / 52
66 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? 49 / 52
67 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen 49 / 52
68 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen Diskussion: Warum? 49 / 52
69 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Eingabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. Es kann nur gelesen werden. Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf. Diskussion: Warum? Der Kopf darf nur auf den Eingabesymbolen und dem jeweils ersten links bzw. rechts angrenzenden leeren Feld stehen Diskussion: Warum? Schreibweise: z. B. E-W 1 -TM 49 / 52
70 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität 50 / 52
71 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität Ergebnis: L vv E-W 1 -TM-Spc(O(logn))-Time(Pol(n)) 50 / 52
72 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Beispiel: Erkennung L vv mit einer E-W 1 -TM an der Tafel: Variante mit kleiner Raumkomplexität Ergebnis: L vv E-W 1 -TM-Spc(O(logn))-Time(Pol(n)) Und was hat das in dieser Vorlesung zu suchen...? / 52
73 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Ausgabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. anfangs immer leer; Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf, 51 / 52
74 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Separates Ausgabeband für TM Wird bei der Bestimmung der Raumkomplexität ignoriert. anfangs immer leer; Es gibt nur einen einzigen Kopf darauf, der nur schreiben und sich nur nach rechts bewegen kann. Schreibweise: z. B. A-W 1 -TM 51 / 52
75 Turingmaschinen mit speziellen Bändern Zusammenfassung W 1 -Turingmaschinen benötigen zur Erkennung von L vv mindestens quadratische Zeit. Mit einer W 2 -Turingmaschine kann man L vv in Linearzeit erkennen. Mit einer E-W 1 -Turingmaschine kann man L vv auf logarithmischem Platz erkennen. Eingabe- und Ausgabebänder werden bei der Bestimmung der Raumkomplexität einer TM nicht berücksichtigt. 52 / 52
Formale Sprachen und Automaten
Formale Sprachen und Automaten Kapitel 5: Typ 1 und Typ 0 Vorlesung an der DHBW Karlsruhe Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2012 Kapitel 5 Typ 1
MehrKlausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014
Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014 Klausurnummer Nachname: Vorname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 max. Punkte 6 8 4 7 5 6 8 tats. Punkte Gesamtpunktzahl: Note: Punkte Aufgabe
Mehr2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten. Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen
2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen Beispiel WIREWORLD Elektronen laufen über Drähte von einem Gatter zum nächsten 2.3 Satz
MehrBerechenbarkeit. Script, Kapitel 2
Berechenbarkeit Script, Kapitel 2 Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff Turing-Berechenbarkeit WHILE-Berechenbarkeit Church sche These Entscheidungsprobleme Unentscheidbarkeit des Halteproblems für Turingmaschinen
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften
MehrModelle der Parallelverarbeitung 7. Baumförmige Zellularautomaten
Modelle der Parallelverarbeitung Modelle der Parallelverarbeitung 7. Baumförmige Zellularautomaten Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Sommersemester 2016 1 / 29 Überblick
MehrTuring-Maschinen. Definition 1. Eine deterministische Turing-Maschine (kurz DTM) ist ein 6- Dem endlichen Alphabet Σ von Eingabesymbolen.
Turing-Maschinen Nachdem wir endliche Automaten und (die mächtigeren) Kellerautomaten kennengelernt haben, werden wir nun ein letztes, noch mächtigeres Automatenmodell kennenlernen: Die Turing-Maschine
MehrGTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de
GTI Hannes Diener ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de 6. Juni - 13. Juni 1 / 49 Die Turingmaschine war das erste (bzw. zweite) formale Modell der Berechenbarkeit. Sie wurden bereits 1936 (also lange
Mehr11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken
Theorie der Informatik 7. April 2014 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Theorie der Informatik 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen 11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken Malte Helmert
Mehr8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen
8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen Turingmaschinen (TM) von A. Turing vorgeschlagen, um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu präzisieren. Intuitiv: statt des Stacks bei Kellerautomaten
MehrAlgorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG
Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August
Mehr11. Übungsblatt. x y(top(push(x, y)) = y)
Logik, Berechenbarkeit und Komplexität Sommersemester 2012 Hochschule RheinMain Prof. Dr. Steffen Reith 11. Übungsblatt 1. Ein Keller (engl. stack) ist eine bekannte Datenstruktur. Sei die Signatur S =
MehrEinige Beispiele zur Turingmaschine
Einige Beispiele zur Turingmaschine Beispiel 1: Addition von 1 zu einer Dualzahl Aufgabe: Auf dem Eingabe-Band einer Turingmaschine steht eine Dualzahl (= Binärzahl, bestehend aus 0-en und 1-en, links
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (II) 2.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1-12. Sitzung Dennis Felsing dennis.felsing@student.kit.edu http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/ 2011-01-24 Überblick 1 Reguläre Ausdrücke Wiederholung
MehrBerechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion
Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität 26. November 2007 Semi-Entscheidbarkeit
Mehra n b n c n ist kontextsensitiv kontextfreie Sprachen (Typ 2) Abschnitt 3.3 kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften Chomsky NF und binäre Bäume
Kap 3: Grammatiken Chomsky-Hierarchie 32 Kap 3: Grammatiken Kontextfreie 33 a n b n c n ist kontextsensiti Beispiel 3111 modifizieren: Σ = {a, b, c G = (Σ, V, P, X ) V = {X, Y, Z P : X ε X axyz ZY YZ ay
MehrÜbung Theoretische Grundlagen
Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory
MehrTuring-Maschine. Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen. Turing-Maschine. Beispiel
Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.jku.at Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Johannes Kepler University, Linz, Austria http://www.risc.jku.at
MehrTheoretische Informatik I
heoretische Informatik I Einheit 2 Endliche Automaten & Reguläre Sprachen. Deterministische endliche Automaten 2. Nichtdeterministische Automaten 3. Reguläre Ausdrücke 4. Grammatiken 5. Eigenschaften regulärer
MehrRekursiv aufzählbare Sprachen
Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben
MehrSprachen und Automaten. Tino Hempel
Sprachen und Automaten 11 Tino Hempel Bisherige Automaten Automat mit Ausgabe/Mealy-Automat Akzeptor, Sprache eines Akzeptors Grenze: L = {a n b n } Kellerautomat erkennt L = {a n b n } Grenze:? T. Hempel
MehrTyp-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964)
Typ-1-Sprachen Satz 1 (Kuroda (1934-2009) 1964) Eine Sprache L hat Typ 1 (= ist kontextsensitiv) genau dann, wenn sie von einem nichtdeterministischen LBA erkannt wird. Beweis: Sei zunächst L Typ-1-Sprache.
MehrModelle der Parallelverarbeitung 10. Realistische parallele Modelle
Modelle der Parallelverarbeitung Modelle der Parallelverarbeitung 10. Realistische parallele Modelle Thomas Worsch Fakultät für Informatik Karlsruher Institut für Technologie Sommersemester 2016 1 / 42
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrTheoretische Informatik 1
heoretische Informatik 1 eil 2 Bernhard Nessler Institut für Grundlagen der Informationsverabeitung U Graz SS 2009 Übersicht 1 uring Maschinen uring-berechenbarkeit 2 Kostenmaße Komplexität 3 Mehrband-M
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben
Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten
MehrFrank Heitmann 2/47. 1 Ein PDA beginnt im Startzustand z 0 und mit im Keller. 2 Ist der Automat
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Über reguläre Sprachen hinaus und (Teil 2) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 21. April 2015 Der Kellerautomat - Formal Definition (Kellerautomat
Mehr1 Varianten von Turingmaschinen
1 Varianten von Turingmaschinen Es gibt weitere Definitionen für Turingmaschinen. Diese haben sich aber alle als äquivalent herausgestellt. Ein wiederkehrendes Element der Vorlesung: Äquivalenz von Formalismen
MehrFalls H die Eingabe verwirft, so wissen wir, dass M bei Eingabe w nicht hält. M hält im verwerfenden Haltezustand. Beweis:
1 Unentscheidbarkeit 2 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 #include char *s="include
Mehrc) {abcde, abcfg, bcade, bcafg} d) {ade, afg, bcde, bcfg} c) {abcabc} d) {abcbc, abc, a} c) {aa, ab, ba, bb} d) {{aa}, {ab}, {ba}, {bb}}
2 Endliche Automaten Fragen 1. Was ergibt sich bei {a, bc} {de, fg}? a) {abc, defg} b) {abcde, abcfg} c) {abcde, abcfg, bcade, bcafg} d) {ade, afg, bcde, bcfg} 2. Was ergibt sich bei {abc, a} {bc, λ}?
MehrBerechenbarkeit/Entscheidbarkeit
Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Frage: Ist eine algorithmische Problemstellung lösbar? was ist eine algorithmische Problemstellung? formale Sprachen benötigen einen Berechenbarkeitsbegriff Maschinenmodelle
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Teil 5 Bernhard Nessler Institut für Grundlagen der Informationsverabeitung TU Graz SS 2007 Übersicht 1 Problemklassen 2 NTM Nichtdeterministische Algorithmen 3 Problemarten Konstruktionsprobleme
Mehr1 Σ endliches Terminalalphabet, 2 V endliche Menge von Variablen (mit V Σ = ), 3 P (V (Σ ΣV )) {(S, ε)} endliche Menge von Regeln,
Theorie der Informatik 8. März 25 8. Reguläre Sprachen I Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen I 8. Reguläre Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger 8.2 DFAs Universität Basel 8. März 25 8.3 NFAs
MehrDeterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395
Deterministische Turing-Maschinen (DTM) F3 03/04 p.46/395 Turing-Machine Wir suchen ein Modell zur formalen Definition der Berechenbarkeit von Funktionen und deren Zeit- und Platzbedarf. Verschiedene Modelle
MehrWelches ist die fleißigste unter allen erdenklichen Turingmaschinen mit n Zuständen?
Fleißige Biber In den frühen sechziger Jahren ging Tibor Rado von der Ohio State University der Frage nach, wie viele Einsen eine Turingmaschine wohl auf ein zu Beginn leeres Band schreiben könne, ehe
Mehr1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit
1 Prädikatenlogik: Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit 1.1 Korrektheit Mit dem Kalkül der Prädikatenlogik, z.b. dem Resolutionskalkül, können wir allgemeingültige Sätze beweisen. Diese Sätze
MehrTheoretische Informatik 2
Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Zeitkomplexität von Turingmaschinen Die Laufzeit einer NTM M bei Eingabe x ist die maximale Anzahl
MehrTheoretische Informatik 1
heoretische Informatik 1 uringmaschinen David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung echnische Universität Graz 11.03.2016 Übersicht uring Maschinen Algorithmusbegriff konkretisiert
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Turing-Maschine, Berechenbarkeit INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 07.11.2011 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 14: Endliche Automaten Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/38 Überblick Erstes Beispiel: ein Getränkeautomat Mealy-Automaten
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Rückblick Theoretische Informatik I 1. Mathematische Methoden 2. Reguläre Sprachen 3. Kontextfreie Sprachen Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in
MehrFormale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23
1/23 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 9. Januar 2008 2/23 Automaten (informell) gedachte Maschine/abstraktes Modell einer Maschine verhält sich
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Nichtdeterminismus David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Nichtdeterminismus NTM Nichtdeterministische Turingmaschine Die
MehrTheoretische Informatik. Grammatiken. Grammatiken. Grammatiken. Rainer Schrader. 9. Juli 2009
Theoretische Informatik Rainer Schrader Institut für Informatik 9. Juli 2009 1 / 41 2 / 41 Gliederung die Chomsky-Hierarchie Typ 0- Typ 3- Typ 1- Die Programmierung eines Rechners in einer höheren Programmiersprache
MehrKapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14
Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen
MehrAutomaten und Formale Sprachen
Automaten und Formale Sprachen Einführung Ralf Möller Hamburg Univ. of Technology Übung Fr. 14:30-15:15 Max Berndt, D1025 Literatur Gottfried Vossen, Kurt-Ulrich Witt: Grundkurs Theoretische Informatik,
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik 0 KIT 17.05.2010 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik nationales Forschungszentrum Vorlesung in am
MehrEin deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden:
Sprachen und Automaten 1 Deterministische endliche Automaten (DFA) Ein deterministischer endlicher Automat (DFA) kann als 5-Touple dargestellt werden: M = (Z,3,*,qo,E) Z = Die Menge der Zustände 3 = Eingabealphabet
MehrAutomaten und Coinduktion
Philipps-Univestität Marburg Fachbereich Mathematik und Informatik Seminar: Konzepte von Programmiersprachen Abgabedatum 02.12.03 Betreuer: Prof. Dr. H. P. Gumm Referentin: Olga Andriyenko Automaten und
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Wintersemester 2007 / 2008 Prof. Dr. Heribert Vollmer Institut für Theoretische Informatik 29.10.2007 Reguläre Sprachen Ein (deterministischer) endlicher Automat
Mehrb) Eine nd. k-band-turingmaschine M zur Erkennung einer m-stelligen Sprache L (Σ ) m ist ein 8-Tupel
2. Turingmaschinen Zur Formalisierung von Algorithmen benutzen wir hier Turingmaschinen. Von den vielen Varianten dieses Konzeptes, die sich in der Literatur finden, greifen wir das Konzept der on-line
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.02.2006 28. und letzte Vorlesung 1 Die Chomsky-Klassifizierung Chomsky-Hierachien 3: Reguläre Grammatiken
Mehr11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P
11 Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, P 239/ 333 Einführung in die NP-Vollständigkeitstheorie
MehrLösungen zur 3. Projektaufgabe TheGI1
Marco Kunze (makunze@cs.tu-berlin.de) WS 2001/2002 Sebastian Nowozin (nowozin@cs.tu-berlin.de) 21. 1. 2002 Lösungen zur 3. Projektaufgabe TheGI1 Definition: Turing-Aufzähler Ein Turing-Aufzähler einer
MehrLOOP-Programme: Syntaktische Komponenten
LOOP-Programme: Syntaktische Komponenten LOOP-Programme bestehen aus folgenden Zeichen (syntaktischen Komponenten): Variablen: x 0 x 1 x 2... Konstanten: 0 1 2... Operationssymbole: + Trennsymbole: ; :=
MehrDas Rechenmodell namens. Turing-Maschine. Hans U. Simon (RUB) Homepage:
Turing-Maschine Slide 1 Das Rechenmodell namens Turing-Maschine Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Turing-Maschine Slide 2 Die Turingmaschine DTM =
MehrEINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK
EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2012 17. DIE KONTEXTFREIEN SPRACHEN II: ABSCHLUSSEIGENSCHAFTEN, MASCHINENCHARAKTERISIERUNG, KOMPLEXITÄT Theoretische
MehrKontextfreie Grammatiken
Kontextfreie Grammatiken Bisher haben wir verschiedene Automatenmodelle kennengelernt. Diesen Automaten können Wörter vorgelegt werden, die von den Automaten gelesen und dann akzeptiert oder abgelehnt
MehrTheoretische Informatik 2
Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Die Chomsky-Hierarchie Definition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik. 1 G heißt vom Typ 3 oder
MehrTheoretische Informatik I
heoretische Informatik I Einheit 2 Endliche Automaten & Reguläre Sprachen. Deterministische endliche Automaten 2. Nichtdeterministische Automaten 3. Reguläre Ausdrücke 4. Grammatiken 5. Eigenschaften regulärer
MehrKonfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen.
H MPKP Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen. Beispiel: 1234q567 bedeutet: Kopf steht auf 5, Zustand ist q. Rechnung:
Mehr1 Random Access Maschine
1 RANDOM ACCESS MASCHINE 1 1 Random Access Maschine Neue Hardware: Random Access Maschine = RAM. Der Name hat nichts mit Zufall zu tun, sondern mit wahlfreiem Zugriff. Die RAM besteht aus einem Eingabeband,
MehrWorterkennung in Texten speziell im Compilerbau 14. April Frank Heitmann 2/65
Grenzen regulärer Sprachen? Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 4 Über reguläre Sprachen hinaus und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Wir haben mittlerweile einiges kennengelernt,
MehrTHEORETISCHE INFORMATIK
THEORETISCHE INFORMATIK Vorlesungsskript Jiří Adámek @ Institut für Theoretische Informatik Technische Universität Braunschweig Dezember 28 Inhaltsverzeichnis Endliche Automaten. Mathematische Grundbegriffe......................
MehrKapitel 7: Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen
Kapitel 7: Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen Prof.-Dr. Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße 22 1090 Wien Tel. : 01/4277 38825 E-mail : brezany@par.univie.ac.at
MehrWS06/07 Referentin: Katharina Blinova. Formale Sprachen. Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven
WS06/07 Referentin: Katharina Blinova Formale Sprachen Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven 1. Allgemeines 2. Formale Sprachen 3. Formale Grammatiken 4. Chomsky-Hierarchie 5.
MehrAutomaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung
Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger 2006 8 1 1 Definitionen
MehrKomplexität und Komplexitätsklassen
Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 21 vom 21.01.2013 Komplexität und Komplexitätsklassen Die meisten Probleme mit denen wir zu tun haben sind entscheidbar.
Mehr7. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders L. Hübschle-Schneider, T. Maier 7. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16 http://algo2.iti.kit.edu/tgi2015.php
MehrMusterlösung der Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2012/13
Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung der Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 22/3 Vorname Nachname Matrikelnummer
MehrGrundlagen der Informatik II
Grundlagen der Informatik II Tutorium 2 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Finden Sie die drei Fehler in der Automaten- Definition. δ: A = E, S, δ, γ, s 0, F, E = 0,1, S = s
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Die Registermaschine (random access machine, RAM) 0 I 0 1 I 1 2 I 2 m I m Programm
MehrDeterministische Turing-Maschinen
Deterministische Turing-Maschinen Um 900 präsentierte David Hilbert auf einem internationalen Mathematikerkongress eine Sammlung offener Fragen, deren Beantwortung er von zentraler Bedeutung für die weitere
MehrEndliche Automaten. Im Hauptseminar Neuronale Netze LMU München, WS 2016/17
Endliche Automaten Im Hauptseminar Neuronale Netze LMU München, WS 2016/17 RS- Flipflop RS-Flipflop Ausgangszustand 0 1 0 1 0 1 Set Reset neuer Zustand 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 Was ist ein endlicher
MehrAusgewählte unentscheidbare Sprachen
Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar
MehrTHEORETISCHE INFORMATIK
THEORETISCHE INFORMATIK Vorlesungsskript Jiří Adámek Institut für Theoretische Informatik Technische Universität Braunschweig Januar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Automaten 1 1.1 Mathematische Grundbegriffe.......................
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen
Johannes Blömer Skript zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Universität Paderborn Wintersemester 2011/12 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Ziele der Vorlesung...................................
MehrEinführung in die Informatik Turing Machines
Einführung in die Informatik Turing Machines Eine abstrakte Maschine zur Präzisierung des Algorithmenbegriffs Wolfram Burgard Cyrill Stachniss 1/14 Motivation und Einleitung Bisher haben wir verschiedene
MehrEinführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)
Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff
MehrReguläre Sprachen und endliche Automaten
Reguläre Sprachen und endliche Automaten 1 Motivation: Syntaxüberprüfung Definition: Fließkommazahlen in Java A floating-point literal has the following parts: a whole-number part, a decimal point (represented
MehrEinwegfunktionen. Problemseminar. Komplexitätstheorie und Kryptographie. Martin Huschenbett. 30. Oktober 2008
Problemseminar Komplexitätstheorie und Kryptographie Martin Huschenbett Student am Institut für Informatik an der Universität Leipzig 30. Oktober 2008 1 / 33 Gliederung 1 Randomisierte Algorithmen und
MehrFormale Sprachen und Automaten
Formale Sprachen und Automaten Kapitel 1: Grundlagen Vorlesung an der DHBW Karlsruhe Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2012 Ziel Einführung der wichtigsten
Mehr2 2 Reguläre Sprachen. 2.2 Endliche Automaten. Übersicht
Formale Systeme, Automaten, Prozesse Übersicht 2 2. Reguläre Ausdrücke 2.3 Nichtdeterministische endliche Automaten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.6 Minimale DFAs und der
MehrKapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche. Automaten
Kapitel 3: Reguläre Grammatiken und Endliche Automaten Prof.-Dr. Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße 22 090 Wien Tel. : 0/4277 38825 E-mail : brezany@par.univie.ac.at
MehrLexikalische Programmanalyse der Scanner
Der Scanner führt die lexikalische Analyse des Programms durch Er sammelt (scanned) Zeichen für Zeichen und baut logisch zusammengehörige Zeichenketten (Tokens) aus diesen Zeichen Zur formalen Beschreibung
Mehr2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik
2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 2013 Aufgabe 1 Geben Sie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden Sprachen erzeugt, sowie einen Ableitungsbaum
MehrHauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnr. anbringen
MehrNichtdeterministische Platzklassen
Sommerakademie 2010 Rot an der Rot AG 1: Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Nichtdeterministische Platzklassen Ulf Kulau August 23, 2010 1 Contents 1 Einführung 3 2 Nichtdeterminismus allgemein
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 4: Wörter (und vollständige Induktion) Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Oktober 2008 1/29 Überblick Wörter Wörter Das leere Wort Mehr zu
Mehr1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2004/2005
Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 2004/05 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 24. Februar 2005 1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2004/2005 Aufkleber Beachten
MehrAutomaten und Formale Sprachen ε-automaten und Minimierung
Automaten und Formale Sprachen ε-automaten und Minimierung Ralf Möller Hamburg Univ. of Technology Literatur Gottfried Vossen, Kurt-Ulrich Witt: Grundkurs Theoretische Informatik, Vieweg Verlag 2 Danksagung
MehrDeterministischer Kellerautomat (DPDA)
Deterministische Kellerautomaten Deterministischer Kellerautomat (DPDA) Definition Ein Septupel M = (Σ,Γ, Z,δ, z 0,#, F) heißt deterministischer Kellerautomat (kurz DPDA), falls gilt: 1 M = (Σ,Γ, Z,δ,
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 10.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
MehrUnentscheidbarkeit. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen
Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan & Jan Stückrath Worum geht
Mehr1- und 2-Wege QFAs. Stephan Sigg Quantentheoretische Grundlagen. 3. DFAs und QFAs. 4. Einige bekannte Ergebnisse
1- und 2-Wege QFAs Stephan Sigg 09.12.2003 1. Einleitung und Überblick 2. Quantentheoretische Grundlagen 3. DFAs und QFAs 4. Einige bekannte Ergebnisse 5. Offene Fragen 6. Schluß Seminar 1- und 2-wege
MehrÜbung zur Vorlesung Theoretische Information. Pumping Lemma
Übung zur Vorlesung Theoretische Information Pumping Lemma Folie Ein Endlicher Automat q q, q 2, Akzeptierte Sprache? Folie 2 Ein Endlicher Automat q q, q 2, Akzeptierte Sprache? Am Anfang eine, dannach
MehrAbschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution
Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen
MehrÜbung zur Vorlesung Theoretische Information. Minimierungsalgorithmus
Übung zur Vorlesung Theoretische Information Minimierungsalgorithmus Folie Warum Automaten minimieren? Zwei endliche Automaten Automat q q Automat 2 q q Beide akzeptieren die selbe Sprache Welche? q 2
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 3 14. Mai 2010 Einführung in die Theoretische
Mehr