Arbeitsblätter Primarstufe «Mathemagie»

Transkript

1 Arbeitsblätter Primarstufe «Mathemagie» Swiss Science Center Technorama Technoramastrasse 1 CH-8404 Winterthur T +41 (0) F +41 (0) info@technorama.ch

2 Antworten Arbeitsaufträge MatheMagie Primar Ausladungen wer kommt am weitesten raus Brücke mit losen Steinen Der kürzeste Weg Die übersichtlichste Weise herauszufinden, wie man über den Rand hinausbauen kann, ist die folgende: Man stapelt zunächst fünf Steine übereinander auf, so dass sie mit ihrer Vorderkante genau an der Kante des Podests anliegen. Dann schiebt man den obersten Klotz so weit nach vorne, dass er gerade noch hält, also bis zur Hälfte. Dann schiebt man den zweitobersten Klotz so weit, wie es geht, nach vorne, wobei der oberste Klotz mitgeschoben wird. Es geht um ein Viertel. Weiter mit dem nächsten Klotz. Der vierte Klotz befindet sich jetzt schon ganz über dem Abgrund (theoretisch in der Praxis ist es oft erst der Fünfte). Diese Methode des Aufbaus (nach der harmonischen Reihe) ist die mathematisch übersichtlichste leider aber nicht die beste! Eine Brücke bekommt man so nicht zustande! Der mathematische Schlüssel ist die sogenannte harmonische Reihe 1 + ½+ 1/3 + ¼ + Diese divergiert, das heisst: sie wird grösser als jede vorgegebene Zahl. Praktisch bedeutet dies: Man kann die Klötze beliebig weit nach aussen bauen allerdings wird der Turm dabei ausserordentlich hoch. Wesentlich effektiver als der Bau gemäss der harmonischen Reihe ist es, konsequent auf ein Gleichgewicht zu setzen. Dafür braucht man zwar immer mindestens zwei Hände, bekommt aber letztlich die Brücke gebaut. Der Aufbau kann auf beiden Seiten des Abgrundes gleichzeitig erfolgen zum Abschluss wird der neunte Stein in der Mitte aufgesetzt. Beim Aufbau der Brücke auf die farbigen Punkte an den einzelnen Steinen achten. Der letzte Stein ist der Stein in der Mitte. Reihenfolge der Kügelibahnen: Die Kugel bewegt sich dann am 3 schnellsten, wenn sie entlang einer Rollkurve, genauer: entlang 2 einer sogenannten Zykloide. Die Form der Zykloide erhält man, wenn man die Bahn eines Punktes 1 auf einem Kreis verfolgt, wenn dieser Kreis entlang einer Geraden abrollt. November 2018 PRIM Antworten_MatheMagie.docx

3 Efronsche Würfel Möbius-Band Penrose Parkett Vorab: Es ist hier besonders wichtig, dass man wirklich mindestens 10 Runden gegeneinander spielt ansonsten können statistische Ausreisser das Bild verfälschen. Es gibt keinen "besten" Würfel. Für jeden Würfel kann man einen anderen Würfel finden, der "besser" ist (=mit dem man bei 10 Würfen recht sicher gewinnt). Dies ist eine ungewöhnliche Situation. Aus unseren Erfahrungen erwarten wir: Wenn der 6er Würfel den 5er schlägt und der 5er den 4er schlägt und der 4er den 3er schlägt, dann muss doch auch der 6er den 3er schlagen. Aber der 3er Würfel schlägt den 6er Würfel! Dies ergibt sich aus dem Umstand, dass es sich hier um Gewinnwahrscheinlichkeiten handelt. Das Möbius-Band, das nach August Ferdinand Möbius benannt wurde, ist mathematisch betrachte eine zweidimensionale Fläche mit nur einer Seite. Übrigens wurde das Möbius-Band 1858 wenige Monate vor Möbius schon von Johann Benedict Listing entdeckt (beide haben diese Struktur allerdings unabhängig voneinander erkannt und beschrieben). Startet man bei der Lokomotive, so kommt man auch wieder dort an was nicht unbedingt verwundert, erinnert die Figur doch auch an ein Kreisband. Was jedoch jetzt schon verwundern kann, ist die Länge des Weges. Spätestens wenn man jedoch vom gegenüberliegenden Rand startet und trotzdem an der Lokomotive ankommt, wird klar, dass dieses Objekt nur einen Rand besitzt! Das Gleiche gilt übrigens auch für die Fläche. Das Möbiusband wird hergestellt, wenn man ein Ende des Bandes um 180 verdreht an das andere Ende klebt. Damit wird die Rückseite mit der Vorderseite verbunden Individuelle Lösungen Stern aus 5 roten Flächen innen und 5 gelben "Zacken" aussen Anzahl der Anzahl der Anzahl der Züge nur Scheiben Züge anders geschrieben = x2-1 = x2x2-1 = x2x2x2-1 = Turm von Hanoi x2x2x2x2-1 = x2x2x2x2x2-1 = n (beliebig viele Scheiben) 2x2x2x x2x2-1 = 2 n -1 Peter Buneman (Universität Pennsylvania) und Leon Levy (von AT&T Laboratories) haben 1984 eine einfache Zugfolge gefunden, mit der man ohne nachzudenken ans Ziel kommt. Man muss nur folgende Schritte abwechselnd ausführen: Lege die kleinste Scheibe auf den im Uhrzeigersinn nächsten Stab. Versetze die nächste Scheibe auf den freien Stab. November 2018 PRIM Antworten_MatheMagie.docx

4 Was alles in einen Würfel passt Wolf Ziege und Kohlkopf Alle Körper passen in den Glaswürfel. Ufer A Überfahrt Ufer B Start W, Z, K, F 1.Zug Z, F W, K Z, F 2.Zug F W, K, F Z 3.Zug K, F W Z, K, F 4.Zug Z, F W, Z, F K 5.Zug W, F Z W, K, F 6.Zug F Z, F W, K 7.Zug Z, F W, Z, K, F November 2018 PRIM Antworten_MatheMagie.docx

5 MatheMagie Zahlenraum Ausladungen wer kommt am weitesten raus Schwerpunkt Schichte die Holzklötze wie eine Treppe aufeinander. Erreichst du es, dass ein ganzer Klotz über dem Abgrund hinausragt? Wie viele Holzklötze brauchst du? Zeichen: TISCH ABGRUND TISCH Wie kannst du eine Brücke über den Abgrund bauen? Das Bild oben rechts hilft dir! Zeichne: (Mehr Platz auf der Rückseite.) November 2018 PRIM_Ausladungen_Primar.docx

6 Geometrie Brücke mit losen Steinen Brücken Baue aus den einzelnen Holzklötzen eine Brücke. Halte zum Aufbauen die gelbe Schablone unter die Brücke. Und beachte als Hilfe die farbigen Punkte. Welchen Stein konntest du erst als Letzten einsetzen? Entferne die gelbe Schablone. Lege das schwarze Brett über die Brücke. Kannst du jetzt auf die Brücke stehen? Gehe zum Exponat "Kettenlinie" Lege die Steine den Nummern nach auf das Brett. Stelle das Brett mitsamt der Brücke auf. Kann die Brücke ohne das Brett stehen? Welche Form hat die Brücke? Zeichne ab: (Mehr Platz auf der Rückseite.) November 2018 PRIM_Brücke mit losen Steinen_Primar.docx

7 Geometrie Der kürzeste Weg Geschwindigkeit Betrachte die drei Kügelibahnen. Welche ist wohl die Schnellste? Was vermutest du? Nummeriere in dieser Reihenfolge: Lasse die Kugeln gleichzeitig starten. Welche Bahn gewinnt? Zeichen die Bahnen in die Rangliste ein Wieso ist das wohl so? November 2018 PRIM_Der kürzeste Weg_Primar.docx

8 Denkspiele Efronsche Würfel Wahrscheinlichkeit Suche dir eine Partnerin / einen Partner Schaut euch die vier Würfel genau an. Wählt je einen Würfel aus. Beide würfeln. Wer die höhere Augenzahl hat, bekommt einen Punkt. Wer hat nach zehn Runden mehr Punkte gesammelt? Welcher Würfel hat nach zehn Runden gewonnen? 3er 6/2er 4/0er 5/1er gewinnt gegen gewinnt gegen gewinnt gegen gewinnt gegen November 2018 PRIM_Efronsche Würfel_Primar.docx

9 Geometrie Penrose Parkett Flächen Lege mit den gelben und roten Flächen ein Muster. Zeichne ein Stück aus deinem Muster ins erste Feld. Kannst du mit fünf roten und fünf gelben Flächen einen Stern legen? Zeichne ihn ins zweite Feld. November 2018 PRIM_Penrose Parkett_Primar.docx

10 Geometrie Möbius-Band Flächen Fahre mit der Lokomotive der Kante (Rand) entlang. Was fällt dir auf? Wie viele Kanten hat das Möbius-Band? Fahre mit deiner Hand der Fläche entlang. Wie viele Flächen hat das Band? Weiterarbeit: (Frage eine Mitarbeiterin des Technoramas um Hilfe) Mache dir selbst ein Möbius-Band. Nehme einen relativ schmalen und langen Streifen Papier und klebe die Enden "verdreht" zusammen. Schneide mit einer Schere in der Mitte des Bandes entlang. Was entsteht? Beginne nicht in der Mitte des Streifens, sondern etwa bei einem Drittel zu schneiden. Was entsteht nun? November 2018 PRIM_SEK_Möbius-Band.docx

11 Denkspiele Turm von Hanoi Knobeln Nimm nur drei Scheiben und mache aus ihnen einen Turm auf einem Holzstab. Die Restlichen brauchst du vorerst nicht. Schichte die Scheiben auf einen anderen Holzstab zu einem neuen Scheibenturm um. Folgende Regeln sind zu beachten: Es darf jeweils nur eine Scheibe bewegt werden. Eine grössere darf nie auf eine kleinere Scheibe gelegt werden. Alle drei Stäbe dürfen benutzt werden. Wie viele Züge benötigst du dazu? Kannst du einen Trick finden, mit dem es besonders einfach ist? Versuche es nun mit allen Scheiben. Kannst du es schaffen? November 2018 PRIM_Turm von Hanoi_Primar.docx

12 Geometrie Was alles in einen Würfel passt Knobeln Versuche die verschiedenen Körper in den Glaswürfel zu packen. Ist das möglich? Würfel einfach geht so schwierig unmöglich Tetraeder einfach geht so schwierig unmöglich Kuboktaeder einfach geht so schwierig unmöglich Doppeltetraeder einfach geht so schwierig unmöglich Probiere am gleichen Tisch die Möbius-Würfel-Schlinge zu lösen. Kannst du sogar den Conway-Würfel zusammensetzen? November 2018 PRIM_Was alles in einen Würfel passt_primar.docx

13 Denkspiele Wolf Ziege und Kohlkopf Strategie Die drei "Objekte" Wolf (W), Ziege (Z) und Kohlkopf (K) sollte der Fährmann(F) über den Fluss bringen. Sobald sie der Fährmann jedoch alleine lässt, würde der Wolf die Ziege und die Ziege den Kohlkopf fressen. Auch kann der Fährmann jeweils nur ein Objekt pro Überfahrt mitnehmen. Wie lässt sich die Aufgabe mit möglichst wenigen Überfahrten (Hin- und Rückfahrten) lösen? Trage in die Tabelle die Buchstaben ein. Ufer A Überfahrt Ufer B Ufer A Überfahrt Ufer B START W, Z, K, F 1. Zug F + 5. Zug F + 2. Zug + F 6. Zug + F 3. Zug F + 7. Zug F + 4. Zug + F Die Aufgabe ist in 7 Zügen zu schaffen. November 2018 PRIM_Wolf-Ziege-Kohl_Primar.docx