DB-Zugriffsverfahren: Übersicht B-Bäume B*-Bäume Übersicht

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1 DB-Zugriffsverfahren: Übersicht B*-Bäume N. Ritter, HMS Übersicht Zugriffsverfahren über Schlüssel Sequentielle Speicherungsstrukturen Baumsstrukturen Gestreute Speicherungsstrukturen Sequentielle Listen Gekettete Listen Mehrwegbäume Statische Hash-Bereiche dynamische Hash-Bereiche physisch logisch fortlaufender baumstrukturierter konstante dynamische Schlüsselvergleich Schlüsseltransformation N. Ritter, HMS 2

2 m-wege-suchbäume Definition: Ein m-wege-suchbaum oder ein m-ärer Suchbaum B ist ein Baum, in dem alle Knoten einen Grad m besitzen. Entweder ist B leer oder er hat folgende Eigenschaften:. Jeder Knoten des Baums hat folgende Struktur: b K D K 2 D 2... K b D b P 0 P P 2 P b Die P i, 0 i b, sind Zeiger auf die Unterbäume des Knotens und die K i und D i, i b, sind Schlüsselwerte und Daten. 2. Die Schlüsselwerte im Knoten sind aufsteigend geordnet: K i K i+, i < b. 3. Alle Schlüsselwerte im Unterbaum von P i sind kleiner als der Schlüsselwert K i+, 0 i < b. 4. Alle Schlüsselwerte im Unterbaum von P i sind größer als der Schlüsselwert K i, i b. 5. Die Unterbäume von P i, 0 i b, sind auch m-wege-suchbäume. N. Ritter, HMS 3 Aufbaubeispiel m-wege-suchbäume m = 4 Einfügereihenfolge: 30, 50, 80, 0, 5, 69, 90, 20, 35, 5, 95,, 25, N. Ritter, HMS 4 2

3 Beobachtung zu m-wege-suchbäume Beobachtung: Die Schlüssel in den inneren Knoten besitzen zwei Funktionen. Sie identifizieren Daten(sätze) und sie dienen als Wegweiser in der Baumstruktur. Der m-wege-suchbaum ist im allgemeinen nicht ausgeglichen. Es ist für Aktualisierungsoperationen kein Balancierungsmechanismus vorgesehen. (schlechte Platzausnutzung, Entartung) N. Ritter, HMS 5 Wichtige Eigenschaften von m-wege-suchbäumen Die D i können Daten oder Zeiger auf die Daten repräsentieren. Zur Vereinfachung werden die D i (in den Illustrationen) weggelassen. S(P i ) sei die Seite, auf die P i zeigt, und K(P i ) sei die Menge aller Schlüssel, die im Unterbaum mit Wurzel S(P i ) gespeichert werden können. Dann gelten folgende Ungleichungen: i. x K(P 0 ): (x < K ) ii. x K(P i ): (K i < x < K i+ ), für i =, 2,, b- iiii. x K(P b ): (K b < x ) Sie gelten für alle Mehrwegbäume! N. Ritter, HMS 6 3

4 Kostenanalyse für m-wege-suchbäume Die Anzahl der Knoten N in einem vollständigen Baum der Höhe h ist h = h i m N m = = m i 0 bei voller Belegung ergibt sich als Anzahl der Einträge n = N ( m ) im ungünstigsten Fall ist der Baum völlig entartet n = N = h Schranken für die Höhe eines m-wege-suchbaums log ( n m + ) h n Wartungsaufwand: O(n) N. Ritter, HMS 7 Definition: Seien k, h ganze Zahlen, h 0, k > 0. Ein B-Baum B der Klasse τ (k,h) ist entweder ein leerer Baum oder ein geordneter Suchbaum mit folgenden Eigenschaften:. Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt hat die gleiche Länge h-. 2. Jeder Knoten außer der Wurzel und den Blättern hat mindestens k+ Söhne. Die Wurzel ist ein Blatt oder hat mindestens 2 Söhne. 3. Jeder Knoten hat höchstens 2k+ Söhne. 4. Jedes Blatt mit der Ausnahme der Wurzel als Blatt hat mindestens k und höchstens 2k Einträge. Für einen B-Baum ergibt sich folgendes Knotenformat L b K D K 2 D 2... K b D b freier Platz N. Ritter, HMS P 0 P P 2 P b 8 4

5 Einträge Die Einträge für Schlüssel, Daten und Zeiger haben die festen Längen l b, l K, l D und l p. Die Knoten- oder Seitengröße sei L. L lb l p Maximale Anzahl von Einträgen pro Knoten bmax = = 2k lk + ld + l p Reformulierung der Def.: (4) und (3) Eine Seite darf höchstens voll sein. (4) und (2) Jede Seite (außer der Wurzel) muss mindestens halb voll sein. Die Wurzel enthält mindestens einen Schlüssel. () Der Baum ist, was die Knotenstruktur angeht, vollständig ausgeglichen. N. Ritter, HMS 9 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2,3) In jedem Knoten stehen die Schlüssel in aufsteigender Ordnung mit K <K 2 <...<K b. Jeder Schlüssel hat eine Doppelrolle als Identifikator eines Datensatzes und als Wegweiser im Baum. Die Klassen τ(k,h) sind nicht alle disjunkt. Beispielsweise ist ein maximaler Baum aus τ(2,3) ebenso in τ(3,3) und τ(4,3). N. Ritter, HMS 0 5

6 Bei einem B-Baum der Klasse τ(k,h) mit n Schlüsseln gilt für seine Höhe: log2k+ ( n + ) h logk + (( n + ) / 2) + für n h = 0 für n = 0 Balancierte Struktur unabhängig von Schlüsselmenge unabhängig von ihrer Einfügereihenfolge Einfügealgorithmus (ggf. rekursiv) suche Einfügeposition; wenn Platz vorhanden ist, speichere Element, sonst schaffe Platz durch Split-Vorgang und füge ein. N. Ritter, HMS... K n K n+... P P n+ n- P n K... K k K k+... K 2k K 2k+ P 0 P P k- P k P k+ P 2k P 2k+ Split... K n K n+... K k+ P n- P n+ P n K... K k P K K+2... K 2k+ P P N. Ritter, HMS 0 P k- P k P k+ P k+2 P 2k+ 2 6

7 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2, h), Einfügen Einfügereihenfolge: 77, 2, 48, 69, 33, 89, 97, 9, 37, 45, 83, 2, 5, 57, 90, 95, 99, N. Ritter, HMS 3 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2, h), Einfügen Einfügereihenfolge: 77, 2, 48, 69, 33, 89, 97, 9, 37, 45, 83, 2, 5, 57, 90, 95, 99, N. Ritter, HMS 4 7

8 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2, h), Einfügen Einfügereihenfolge: 77, 2, 48, 69, 33, 89, 97, 9, 37, 45, 83, 2, 5, 57, 90, 95, 99, N. Ritter, HMS 5 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2, h), Einfügen Einfügereihenfolge: 77, 2, 48, 69, 33, 89, 97, 9, 37, 45, 83, 2, 5, 57, 90, 95, 99, N. Ritter, HMS 6 8

9 Beispiel: B-Baum der Klasse τ(2, h), Einfügen Einfügereihenfolge: 77, 2, 48, 69, 33, 89, 97, 9, 37, 45, 83, 2, 5, 57, 90, 95, 99, N. Ritter, HMS Kostenanalyse für Einfügen und Suchen Anzahl der zu holenden Seiten : f (fetch) Anzahl der zu schreibenden Seiten : w (write) Direkte Suche f min = f max = h : der Schlüssel befindet sich in der Wurzel : der Schlüssel ist in einem Blatt f avg =? : bei maximaler/minimaler Belegung des B-Baumes N. Ritter, HMS 8 9

10 z Kostenanalyse Direkte Suche gesamte Zugriffskosten bei maximaler Belegung h = 2 h i h m m z k ( i + ) (2k + ) = h m mit m = 2k max 0 + i = m mittlere Zugriffskosten bei maximaler Belegung z max h f avg (max) = = h + h nmax 2k (2k + ) gesamte Zugriffskosten bei minimaler Belegung h 2 h i h m m = + 2k ( i + 2) ( k + ) = + 2h m 4 2 mit m = k i = 0 m mittlere Zugriffskosten bei minimaler Belegung z min h f avg (min) = = h + + h h n k 2( k + ) k (2( k + ) ) min + min N. Ritter, HMS 9 Kostenanalyse Direkte Suche (Forts.) Abschätzung möglich, da k meistens im Bereich 00 bis 200: f avg = h für h= h f k avg h für h> 2k Beim B-Baum sind die maximalen Zugriffskosten eine gute Abschätzung der mittleren Zugriffskosten: bei h=3 und k=00 ergibt sich 2.99 f avg N. Ritter, HMS 20 0

11 Kostenanalyse (Forts.) Sequentielle Suche Durchlauf in symmetrischer Ordnung: f seq = N; Pufferung der Zwischenknoten im HSP wichtig! Einfügen günstigster Fall (kein Split): fmin = h; wmin = ; ungünstigster Fall: fmax = h; wmax = 2h + ; 2 durchschnittlicher Fall: favg = h; wavg < + ; k (wenn k=00 unterstellt wird, kostet eine Einfügung im Mittel w avg <+2/00 Schreibvorgänge, d.h., es entsteht eine Belastung von 2% für den Split) N. Ritter, HMS 2 Löschen Die B-Baum-Eigenschaft muss wiederhergestellt werden, wenn die Anzahl der Elemente in einem Knoten kleiner als k wird. Durch Ausgleich mit Elementen aus einer Nachbarseite oder durch Mischen (Konkatenation) mit einer Nachbarseite wird dieses Problem gelöst. Beim Ausgleichsvorgang sind in der Seite P k- Elemente und in P mehr als k Elemente. N. Ritter, HMS 22

12 Löschmaßnahme: Ausgleich durch Verschieben von Schlüsseln... K n- K n K n+... P K... K b P K... K k- P 0 P P b Ausgleich P 0 P P k-... K n- K b K n+... P K... K b- P K n K... K k- P 0 P P b- P b P 0 P P k- N. Ritter, HMS 23 Löschmaßnahme: Mischen von Seiten... K n- K n K n+... P K... K k P K... K k- P 0 P P k Mischen P 0 P P k-... K n- K n+... P K... K k K n K... K k- P 0 P P k P P k- P 0 N. Ritter, HMS 24 2

13 Löschalgorithmus. Löschen in Blattseite Suche x in Seite P; Entferne x in P und wenn b k in P: tue nichts, b = k- in P und b > k in P : gleiche Unterlauf über P aus, b = k- in P und b = k in P : mische P und P. 2. Löschen in innerer Seite Suche x; Ersetze x = K i durch kleinsten Schlüssel y in B(P i ) oder größten Schlüssel y in B(P i- ) (nächst größerer oder nächst kleinerer Schlüssel im Baum); Entferne y im Blatt P; Behandle P wie unter. N. Ritter, HMS 25 Beispiel: Löschen Lösche N. Ritter, HMS 26 3

14 Beispiel: Löschen Lösche Mische N. Ritter, HMS 27 Kostenanalyse Löschen günstigster Fall: f min = h; wmin = ; ungünstigster Fall (pathologisch): fmax = 2h ; wmax = h + ; obere Schranke für durchschnittliche Löschkosten (drei Anteile:. Löschen, 2. Ausgleich, 3. anteilige Mischkosten): f avg f + f2 + f3 < h + + k w avg w + w2 + w3 < = 4 + k k N. Ritter, HMS 28 4

15 B*-Bäume Definition: Seien k, k* und h* ganze Zahlen, h* 0, k, k* > 0. Ein B*-Baum B der Klasse t (k,k*,h*) ist entweder ein leerer Baum oder ein geordneter Suchbaum, für den gilt:. Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt besitzt die gleiche Länge h*-. 2. Jeder Knoten außer der Wurzel und den Blättern hat mindestens k+ Söhne, die Wurzel mindestens 2 Söhne, außer wenn sie ein Blatt ist. 3. Jeder innere Knoten hat höchstens 2k+ Söhne. 4. Jeder Blattknoten mit Ausnahme der Wurzel als Blatt hat mindestens k* und höchstens 2k* Einträge. N. Ritter, HMS 29 2 Knotenformate: innerer Knoten B*-Bäume L M K... K b freier Platz Blattknoten P 0 P P b M K D K 2 D 2... K m D m freier Platz P prior P next M enthalte eine Kennung des Seitentyps sowie die Zahl der aktuellen Einträge N. Ritter, HMS 30 5

16 B*-Bäume Es gilt: L = lm + lp + 2 k( lk + lp ); L l k = ( l M l P + l ) 2 K P L = lm + 2 lp + 2 k ( lk + ld ); k L l = 2 ( l M K 2l P + ld ) N. Ritter, HMS 3 B*-Bäume Beispiel: B*-Baum der Klasse τ(3, 2, 3) N. Ritter, HMS 32 6

17 B*-Bäume Erklärungsmodell für den B*-Baum Der B*-Baum lässt sich auffassen als eine gekettete sequentielle Datei von Blättern, die einen Indexteil besitzt, der selbst ein B-Baum ist. Im Indexteil werden insbes. beim Split-Vorgang die Operationen des B-Baums eingesetzt.... N. Ritter, HMS 33 B*-Bäume Grundoperationen beim B*-Baum Direkte Suche: Da alle Schlüssel in den Blättern sind, kostet jede direkte Suche h* Zugriffe. h* ist jedoch im Mittel kleiner als h in n. Da f avg beim B-Baum in guter Näherung mit h abgeschätzt werden kann, erhält man also durch den B*-Baum eine effizientere Unterstützung der direkten Suche. Sequentielle Suche: Sie erfolgt nach Aufsuchen des Linksaußen der Struktur unter Ausnutzung der Verkettung der Blattseiten. Es sind zwar ggf. mehr Blätter als beim B-Baum zu verarbeiten, doch da nur h*- innere Knoten aufzusuchen sind, wird die sequentielle Suche ebenfalls effizienter ablaufen. N. Ritter, HMS 34 7

18 B*-Bäume Grundoperationen beim B*-Baum (Forts.) Einfügen: Es ist von der Durchführung und vom Leistungsverhalten her dem Einfügen in einen B-Baum sehr ähnlich. Bei inneren Knoten wird die Spaltung analog zum B-Baum durchgeführt. Beim Split-Vorgang einer Blattseite muss gewährleistet sein, dass jeweils die höchsten Schlüssel einer Seite als Wegweiser in den Vaterknoten kopiert werden. Die Verallgemeinerung des Split-Vorgangs lässt sich analog zum B-Baum einführen. Löschen: Datenelemente werden immer von einem Blatt entfernt (keine komplexe Fallunterscheidung wie beim B-Baum). Weiterhin muss beim Löschen eines Schlüssels aus einem Blatt dieser Schlüssel nicht notwendigerweise aus dem Indexteil entfernt werden; er kann seine Funktion als Wegweiser behalten. N. Ritter, HMS 35 B*-Bäume Beispiel: Einfügen Füge 45 ein N. Ritter, HMS 36 8

19 B*-Bäume Schema für den Split-Vorgang:... K 2k*... K D... K k* D k* K k*+ D k*+... K 2k* D 2k* K D Split... K k* K 2k*... K D... K k* D k* K k*+ D k*+... K D... K 2k* D 2k* N. Ritter, HMS 37 B*-Bäume Beispiel: Löschen Lösche 28, 4, N. Ritter, HMS 38 9

20 B*-Bäume Eigenschaften: Anzahl der Blattknoten bei minimaler Belegung B min ( k, h ) = B h 2 min ( k, h ) = 2( k + ) Minimale Anzahl von Elementen n ( k, k, ) min h = für h für h für h = 2 = n für h 2 h 2 min ( k, k, h ) = 2k ( k + ) N. Ritter, HMS 39 B*-Bäume Eigenschaften (Forts.): Anzahl der Blattknoten bei maximaler Belegung B max (k, h*) = (2k+) h*- für h* Maximale Anzahl von Elementen n max (k, k*, h*) = 2k* (2k+) h*- für h* Es lässt sich zeigen, dass die Höhe h* eines B*-Baumes mit n Datenelementen begrenzt ist durch +log 2k+ (n/2k*) h* 2+log k+ (n/2k*) für h* 2 N. Ritter, HMS 40 20

21 B- und B*-Baum: Quantitativer Vergleich Seitengröße L: 2048 Bytes Zeiger P i, Schlüssel K i, Hilfsinformation: 4 Bytes Daten D i eingebettet: 76 Bytes; separat: 4 Bytes (Zeiger) Datensätze separat (k=85) Datensätze eingebettet (k=2) h n min n max h n min n max B-Baum N. Ritter, HMS 4 B- und B*-Baum: Quantitativer Vergleich Datensätze separat (k=27, k*=27) Datensätze eingebettet (k=2, k*=27) h n min n max h n min n max B*-Baum Weiterführende Literatur B*-Bäume Härder, T.: Mehrwegbäume Härder, T., Rahm, E: Datenbanksysteme Konzepte und Techniken der Implementierung, Springer, 999. N. Ritter, HMS 42 2