Balanciertes Abschneiden für DAE-Systeme

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Johanna Daniela Pfeiffer
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1 Timo Reis Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg 1. Elgersburg Workshop, 9. Februar 216

2 2/17 DAE-System d Ex(t) = Ax(t) + Bu(t), dt y(t) = Cx(t) + Du(t) System impulssteuerbar und se A regulär. Ziel Reduziere zu einem kleinen System d Ê x(t) = Â x(t) + Bu(t), dt y(t) = Ĉ x(t) + Du(t), sodass wichtige Eigenschaften erhalten bleiben.

3 3/17 Balanciertes Abschneiden Balanciertes System I A 11 A 12 A 13 E = I, A = A 21 A 22 A 23, A 31 A 32 A 33 B = B 1 B 2 B 3, C = [ C 1 C 2 C 3 ], Σ 1 Σ 1 P = Σ 2, Q = Σ 2.

4 3/17 Balanciertes Abschneiden Balanciertes System Identifiziere kleine Singulärwerte I A 11 A 12 A 13 E = I, A = A 21 A 22 A 23, A 31 A 32 A 33 B = B 1 B 2 B 3, C = [ C 1 C 2 C 3 ], Σ 1 Σ 1 P = Σ 2, Q = Σ 2.

5 3/17 Balanciertes Abschneiden Balanciertes System I A11 A Ê =, Â = 13, A 31 A 33 B1 B =, Ĉ = C 1 C 3, P = B 3 [ Σ1 ] Σ1, Q =. Reduziertes System d Ê x(t) = Â x(t) + Bu(t), dt y(t) = Ĉ x(t) + Du(t)

6 4/17 Balancieren Finde reguläre S, T, sodass I SET =, P = T Σ T, Q = S Σ S. Σ ist diagonal. Systemgrößen gegeben durch (SAT, SB, CT, D, SET ). Beobachtungen Mit T = [ T 1 T 2 ] und S = [ S1 S 2 ] folgt im T 2 = ker E und im S 2 = ker E Q = Π WQΠ W mit Projektor Π W auf W = im E P = Π W PΠW mit Projektor ΠW auf W = im E

7 5/17 Anmerkungen zur Numerik Bestimmen von P und Q ist möglich wenn der Rang numerisch klein ist P und Q gegeben durch Cholesky-Faktoren: Q R q R q und P R pr p [R., Reis 216] S 1 und T 1 durch Singulärwertzerlegung von R qer p bestimmbar

8 6/17 Systemräume V, Ṽ Behavior B [E,A,B] := { ( u x ) L 2 loc(r, K n+m d ) : Ex = Ax + Bu} dt Systemraum V K n+m ist der kleinste Unterraum für den B [E,A,B] L 2 loc(r, V) gilt. Ṽ ist der kleinste Unterraum für den B [E,A] L 2 loc(r, Ṽ) gilt. Impulssteuerbar V = { ( x u ) R n+m : Ax + Bu im E } V und Ṽ : Die Räume des dualen Systems d dt E x(t) = A x(t) + C u(t). Notation F = V G x Fx = x Gx x V

9 7/17 Lyapunov-Balancierung Annahmen System impulssteuerbar, se A regulär und asymptotisch stabil. Lyapunovgleichungen für DAE-Systeme A QE + E QA + C C =Ṽ, APE + EPA + BB =Ṽ, Q = Π WQΠ W P = Π W PΠW Schranke für das balancierte Abschneiden G Ĝ H 2 trace Σ 2

10 8/17 Beschränkt reelle Balancierung I Annahmen System ist impulssteuerbar, se A regulär und beschränkt reell. beschränkt reell y L 2 u L 2 I G(λ) G(λ), λ C + Beschränkt reelle Lur e-gleichungen A QE + E QA + C C E QB + C D K [KC B QE + D C D + C ] D I L L C =V, C [ APE + EPA + BB EPC + BD CPE + DB DD I ] + [ KB Π WQΠ W = Q ] KB = V, L B L B Π W PΠW = P

11 9/17 Beschränkt reelle Balancierung II Schranke für das balancierte Abschneiden Mit gilt C H(s) = (se A) 1 [ ] G(s) B K K B =, C [ B ] [Ĝ(s) ] Ĉ Ĥ(s) = (sê K Â) 1 KB = C G Ĝ H H Ĥ H 2 trace Σ 2. Folgt aus der Lyapunov-Gleichung in der Lur e-gleichung.

12 1/17 Gap-Metrik Definition Seien V, W X Unterräume des Hilbertraums X. Dann ist die Gap-Metrik δ(v, W) definiert durch δ(v, W) = max v V, v =1 w W min v w, δ(v, W) = max {δ(v, W), δ(w, V)}. Anwendung Gap-Metrik für Systeme: δ(g 1, G 2 ) = δ(graph G 1, graph G 2 )

13 11/17 1 y (u, G 2 u) δ (G 1, G 2 ) G 1 G 2 (u, G 1 u) 1 1 u 1 Wenn G 1, G 2 H dann δ(g 1, G 2 ) G 1 G 2 H Invariant gegenüber orthogonalen Eingangs-Ausgangs-Transformationen

14 12/17 Möbius-Transformation Gegeben sei die orthogonale Eingangs-Ausgangs-Transformationen 1 u (y + u) 2 1 y 2 (y u) Neue Transferfunktion ergibt sich aus der Möbius-Transformation G(s) M(G)(s) := (I G(s))(I + G(s)) 1. Eigenschaften Orthogonale Transformation des Graphen des Systems (erhält die Gap-Metrik) G(s) ist beschränkt reell M(G) ist positiv reell.

15 13/17 Positiv reelle Balancierung I Annahmen System ist impulssteuerbar, se A regulär und positiv reell. positiv reell G(λ) + G(λ), λ C + Positiv reelle Lur e-gleichungen [ A QE + E QA E QB C B QE C D D APE + EPA EPC B CPE B D D + ] K [KC + C ] L L C =V C [ KB Π WQΠ W = Q ] KB = V L B L B Π W PΠW = P

16 14/17 Positiv reelle Balancierung II Schranke für das balancierte Abschneiden δ(g, Ĝ) 2 trace Σ 2. Beweisskizze G (positiv reell) ũ= 2(y+u) ỹ= 2(y u) G BR (beschränkt reell) Die Gramschen bleiben erhalten. positiv reelles Abschneiden beschränkt reelles Abschneiden Ĝ (positiv reell) ũ= 2(y+u) ỹ= 2(y u) Ĝ BR (beschränkt reell) δ(g, Ĝ) = δ(g BR, ĜBR) G BR ĜBR H 2 trace Σ 2

17 15/17 Beispiel für positiv reelle Balancierung RC-Netzwerk Modifizierte Knotenanalyse: AcCA c E =, A = C = [ I ], D = Ar GA r A v A, B =, v I Systemräume bestimmen ( ) NA Mit W = c A gilt im W = ker E = ker E und V = W. I Statistiken für das Beispiel E, A R mit nnz(e) = 22 und nnz(a) = 616, B R 27 3 W R 27 5, R q R und R p R Â R B

18 16/17 3 im 5 I G(i!) 6 ; im 5 I Gr(i!) ^/ !

19 17/17 Erweiterung System nicht impulssteuerbar, se A weiter regulär V berechenbar über Kronecker-Ketten von [ A B ] s [ E ] Ersetze E durch Ẽ = ΠWE mit ΠW als Projektor auf W = [ E System mit Ẽ ist impulssteuerbar und hat identisches Behavior ] V

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