Funnel-Regelung für elektrische Schaltkreise
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- Hildegard Maier
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1 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Fachbereich Mathematik, Uiversität Hamburg Elgersburg, 5. März 2014 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
2 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Beispiel: RLC-Ketteglied R L R L v V i V C G C G i I v I u = ( ii v V ) d dtex(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) ( ) vi y = i V E = E 0, A + A 0, B = C Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
3 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise MNA-Modell d dtex(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) sa C CA C + A R GA R A L A V A I 0 se A = A L sl 0, B = C = 0 0 A V I V A C, A R, A L, A V, A I elemet-bezogee Izidezmatrize C, G, L Beziehuge der Kapazitäte, Widerstäde ud Iduktivitäte passiv: C = C > 0, L = L > 0, G + G > 0 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
4 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise l ist K loop : l ist Kreis im Graphe der ur Kate aus K ethält etspr. I-loop, ICL-loops, etc. L ist K cutset : durch Lösche vo L K esteht uzshgd. Graph ud L ist miimal etspr. V -cutset, VCL-cutset, etc. Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
5 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise u Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) [E, A, B, C] y Fuel- Regler e + yref e(t) 1 ϕ(t) t Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
6 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Nulldyamik: ZD := { (x, u, y) Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) = 0 } ZD autoom : w 1, w 2 ZD I R off. Iterval : w 1 I = w 2 I = w 1 = w 2 ZD stabil : w ZD : lim t w(t) = 0 λ C ist ivariate Nullstelle : [ ] [ ] λe A B se A B rk C < rk C 0 R(s) C 0 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
7 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Nulldyamik: ZD := { (x, u, y) Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) = 0 } ZD autoom : w 1, w 2 ZD I R off. Iterval : w 1 I = w 2 I = w 1 = w 2 ZD stabil : w ZD : lim t w(t) = 0 λ C ist ivariate Nullstelle : [ ] [ ] λe A B se A B rk C < rk C 0 R(s) C 0 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
8 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Nulldyamik: ZD := { (x, u, y) Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) = 0 } ZD autoom : w 1, w 2 ZD I R off. Iterval : w 1 I = w 2 I = w 1 = w 2 ZD stabil : w ZD : lim t w(t) = 0 λ C ist ivariate Nullstelle : [ ] [ ] λe A B se A B rk C < rk C 0 R(s) C 0 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
9 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Nulldyamik: ZD := { (x, u, y) Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) = 0 } ZD autoom : w 1, w 2 ZD I R off. Iterval : w 1 I = w 2 I = w 1 = w 2 ZD stabil : w ZD : lim t w(t) = 0 λ C ist ivariate Nullstelle : [ ] [ ] λe A B se A B rk C < rk C 0 R(s) C 0 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
10 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Theorem (stabile Nulldyamik) [E, A, B, C] sei MNA-Modell eies Schaltkreises ZD stabil { ZD autoom alle ivariate NST C ZD autoom weder I-loops och V -cutsets alle iv. NST C = weder IL-loops mit Ausahme vo I-loops, och VCL-cutsets mit Ausahme vo VL-cutsets weder VC-cutsets mit Ausahme vo V -cutsets, och ICL-loops mit Ausahme vo IC-loops Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
11 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise ZD autoom weder I-loops och V -cutsets alle iv. NST C = weder IL-loops mit Ausahme vo I-loops, och VCL-cutsets mit Ausahme vo VL-cutsets weder VC-cutsets mit Ausahme vo V -cutsets, och ICL-loops mit Ausahme vo IC-loops R L R L v V i V C G C G i I v I Übertragugsleitug hat stabile Nulldyamik! Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
12 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Theorem (Fuel-Regelug - stabile Nulldyamik) [E, A, B, C] sei MNA-Modell eies Schaltkreises mit ZD stabil y ref B (R 0 ; R m ) Da erreicht der Fuel-Regler u(t) = k(t) e(t), wobei e(t) = y(t) y ref (t) k(t) = 1 1 ϕ(t) 2 e(t) 2, agewedet auf [E, A, B, C], dass x L, k L ε > 0 t > 0 : e(t) ϕ(t) 1 ε Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
13 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise u Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) [E, A, B, C] y Fuel- Regler e + yref e(t) 1 ϕ(t) t Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
14 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Theorem (Fuel-Regelug - stabile iv. NST) [E, A, B, C] sei MNA-Modell eies Schaltkreises mit alle ivariate Nullstelle C ) y ref B (R 0 ; im A I ker Z CRLI A V, wobei Da erreicht der Fuel-Regler im Z CRLI = ker [ A C A R A L A I ] u(t) = k(t) e(t), wobei e(t) = y(t) y ref (t) k(t) = 1 1 ϕ(t) 2 e(t) 2, agewedet auf [E, A, B, C], dass x L, k L ε > 0 t > 0 : e(t) ϕ(t) 1 ε Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
15 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise Iterpretatio vo y ref (t) im A I ker Z CRLIA V t 0 y ref erfüllt die Kirchhoffsche Gesetze puktweise! i V 1 (t) i V 2 (t) i V 1 (t) = i V 2 (t) v I1 (t) v I2 (t) v I1 (t) = v I2 (t) Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
16 Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise = 50, C = R = G = L = 1, y ref = (si, cos) ϕ : R 0 R 0, t 0.5 te t + 2 arcta t t y1 y t k 3 u1 5 e1 + e2 2 u2 4 ϕ! t t Fuel-Regelug für elektrische Schaltkreise
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