DIE HÖHE VON REKURSIVEN BÄUMEN

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1 DIE HÖHE VON REKURSIVEN BÄUMEN Michael Drmota Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Technische Universität Wien Kolloquium aus Diskreter Mathematik, TU Graz,

2 Outline of the Talk Rekursive Bäume Allgemeine Increasing Trees Binäre Suchbäume Travelling Wave -Verteilung der Höhe Fixpunktgleichung und Ersatzfunktionen Intersection Property

3 Rekursive Bäume

4 Rekursive Bäume

5 Rekursive Bäume

6 Rekursive Bäume

7 Rekursive Bäume

8 Rekursive Bäume

9 Rekursive Bäume

10 Rekursive Bäume

11 Rekursive Bäume Kombinatorische Beschreibung: markierter Wurzelbaum Labels sind streng monoton wachsend Links-Rechts-Reihenfolge irrelevant

12 Rekursive Bäume Anzahl rekursiver Bäume: y n = Anzahl rekursiver Bäume der Größe n = (n 1)! Der Knoten mit Label j hat genau j 1 Möglichkeiten, eingefügt zu werden = y n = 1 2 (n 1).

13 Rekursive Bäume Erzeugende Funktion: y(x) = n 1 y n x n n! = n 1 x n n = log 1 1 x y (x) = 1 + y(x) + y(x)2 2! + y(x)3 3! + = e y(x) Die Unterbäume der Wurzel bilden eine ungeordnete Folge von rekursiven Bäumen. (y (x) = y n+1 x n /n!) n 0

14 Rekursive Bäume Wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell: Wachstumsprozess: Der Prozess startet mit der Wurzel, die das Label 1 erhält. Im j-ten Schritt wird ein neuer Knoten (mit Label j) an einen der bisherigen j 1 Knoten, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/(j 1) angehängt. Nach n Schritten hat jeder Baum (der Größe n) gleiche Wahrscheinlichkeit 1/(n 1)!.

15 Rekursive Bäume

16 Rekursive Bäume

17 Rekursive Bäume

18 Rekursive Bäume

19 Rekursive Bäume

20 Rekursive Bäume Bemerkung.

21 Rekursive Bäume Höhe H n [Pittel 1994] H n log n e (f.s.)

22 Ebene rekursive Bäume

27 Ebene rekursive Bäume Bemerkung

28 Ebene rekursive Bäume Anzahl von ebenen rekursiven Bäumen: y n = Anzahl von ebenen rekursiven Bäume der Größe n = (2n 3) = (2n 3)!! = (2n 2)! 2 n 1 (n 1)! Im j-ten Schritt hat der Knoten j genau 2j 3 Möglichkeiten, eingesetzt zu werden = y n = 1 3 (2n 3).

29 Ebene rekursive Bäume Erzeugende Funktionen: y(x) = n 1 y n x n n! = n n 1 ( 2(n 1) n 1 ) x n n = 1 1 2x y (x) = 1 + y(x) + y(x) 2 + y(x) 3 + = 1 1 y(x) Die Unterbäume der Wurzel bilden eine geordnete Folge von ebenen rekursiven Bäumen. (y (x) = y n+1 x n /n!) n 0

30 Ebene rekursive Bäume Wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell: Wachstumsprozess Der Prozess startet mit der Wurzel, die das Label 1 erhält. Im j-ten Schritt wird ein neuer Knoten (mit Label j) an einen der bisherigen Knoten mit Weggrad d mit Wahrscheinlichkeit (d + 1)/(2j 3) angehängt. Nach n Schritten hat jeder Baum (der Größe n) gleiche Wahrscheinlichkeit 1/(2n 3)!!.

31 Ebene rekursive Bäume Höhe H n [Pittel 1994] H n log n 1 2s = (f.s.) wobei s = die positive Lösung von se s+1 = 1 ist.

32 Allgemeine Increasing Trees P n : Menge aller ebener rekursiver Bäume der Größe n φ 0, φ 1,...: Gewichtsfolge (φ 0 > 0, φ j > 0 für ein j 2) φ(t) = φ 0 + φ 1 t + φ 2 t 2 + Gewicht eines Baumes T P n : ω(t ) = j 0 φ N j(t ) j wobei N j (T ) = die Anzahl der Knoten in T mit Weggrad j bezeichnet.

33 Allgemeine Increasing Trees ω(t ) = φ 3 0 φ2 1 φ2 2

34 Allgemeine Increasing Trees Erzeugende Funktionen: y n = T P n ω(t ) y(x) = n 1 y n x n n! y (x) = φ 0 + φ 1 y(x) + φ 2 y(x) 2 + = φ(y(x))

35 Allgemeine Increasing Trees Wahrscheinlichkeitsverteilung auf P n Für T P n sei: π n (T ) := ω(t ) y n Bemerkung. Im allgemeinen ist nicht klar, of π n durch einen Wachstumsprozess induziert wird.

36 Allgemeine Increasing Trees Beispiele: Rekursive Bäume: φ(t) = j 0 t j j! = et, φ j = 1 j! Der Faktor 1/j! reduziert ebene Bäume zu nicht-ebene Bäume. Ebene rekursive Bäume: φ(t) = 1 + t + t 2 + = 1 1 t, φ j = 1 Binäre Suchbäume: φ(t) = (1 + t) 2, φ 0 = 1, φ 1 = 2, φ 2 = 1. In all diesen drei Beispielen wird π n durch eine Wachstumsprozess induziert.

37 Allgemeine Increasing Trees Satz [Panholzer & Prodinger] Die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen π n auf P n wird genau dann durch eine (knotengradabhängigien) Wachstumsprozess induziert, wenn φ(t) eine drei folgenden Formen hat: ( φ(t) = φ φ ) D 1 t für ein D {2, 3,...} und φ 0 > 0, φ 1 > 0. Dφ 0 φ 1 φ(t) = φ 0 eφ t 0 mit φ0 > 0, φ 1 > 0. φ(t) = φ 0 ( 1 φ 1 rφ 0 t ) r für ein r > 0 und φ 0 > 0, φ 1 > 0.

38 Allgemeine Increasing Trees (Knotengradabhängiger) Wachstumsprozess Der Prozess startet mit der Wurzel, die das Label 1 erhält. Im j-ten Schritt wird ein neuer Knoten (mit Label j) an einen der bisherigen Knoten (mit Weggrad d) mit einer Wahrscheinlichkeit angehängt, die proportional zu ist. (d + 1)φ d+1 φ 0 φ d Um alle möglichen π n zu erhalten, genügt es mit φ 0 = φ 1 = 1 zu arbeiten: φ(t) = (1 + t) D, φ(t) = e t, φ(t) = 1/(1 t) r

39 Allgemeine Increasing Trees Rekursive Bäume: φ(t) = e t φ d = 1 d! = (d + 1)φ d+1φ 0 φ d = 1 Jeder neue Knoten wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit an einen der früheren angehängt.

40 Allgemeine Increasing Trees Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume: φ(t) = 1/(1 t) r (r > 0) φ d = ( r + d 1) d = (d + 1)φ d+1φ 0 φ d = d + r Ein neuer Knoten wird an eine vorhandenen Knoten (mit Weggrad d) mit einer Wahrscheinlichkeit angehängt, die proportional zu d + r ist. Für r = 1 ergibt das die (üblichen) ebenen rekursiven Bäume.

41 Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume φ(t) = 1/(1 t) r (r > 0) Höhe H n [Pittel 1994] H n log n 1 (1 + r)s (f.s.) wobei s die positive Lösung von rse s+1 = 1 ist.

42 Die Verteilung der Knotengrade Satz Sei φ(t) = 1/(1 t) r für ein r > 0 und sei Dann gilt λ d = lim n π n (Weggrad eines zufälligen Knotens = d) = lim n Erwartete Anzahl der Knoten mit Weggrad d n λ d = (r + 1)Γ(2r + 1)Γ(r + d). Γ(r)Γ(2r + d + 2) Man beachte: λ d (r + 1)Γ(2r + 1) Γ(r) d 2 r. Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume sind scale free (Barabasi- Albert-Modell).

43 Binäre Suchbäume Speichern von Daten:

52 D-äre rekursive Bäume φ(t) = (1 + t) D Höhe H n [Devroye 200?] H n log n c D (f.s.) wobei c = c D > 1 die Gleichung c log De c(d 1) = 1 D 1 erfüllt.

53 Erzeugende Funktionen Sei y(z) = n 0 y n z n /n! die erzeugende Funktion von y n = y (z) = φ(y(z)), y(0) = 0. T P n ω(t ): P{H n k} = 1 y n T P n, H(T ) k ω(t ) = y k (z) = n 0 y n P{H n k} zn n!. y k+1 (z) = φ(y k(z)) mit Anfangsbedingungen y 0 (x) = 0 und y k+1 (0) = 0.

54 Verteilung der Höhe D-äre rekursive Bäume φ(t) = (1 + t) D, (D 2 eine natürliche Zahl), y k+1 (z) = (1 + y k(z)) D ρ = 1/(D 1) Konvergenzradius von y(z) = (1 (D 1)z) 1/(D 1) 1 c D log De c D (D 1) = 1 D 1 F (y) Lösung von D 1F (ye 1/c D) = Γ ( y 1 ) D D 1 Γ ( ) 1 d D 1 y 1 + +y D =y,y j 0 ( D j=1 F (y j )y 1 D 1 1 j ) dy

55 Verteilung der Höhe D-äre rekursive Bäume Satz 1 φ(t) = (1 + t) D E H n = c D log n + O ( log n (log log n) ) P{H n k} = F ( (D 1)n/y k (ρ) D 1) + o(1) P{ H n E H n η} e cη (c > 0)

56 Verteilung der Höhe Bemerkung 1: Var H n = O(1) Bemerkung 2: h n = max{k : y k (ρ) d 1 n} W (x) = F (e x ) travelling wave P{H n h n + r} = W ( log y h n (ρ) D 1 (D 1)n + r c D ) + o(1) ( 1/c D log y hn (ρ)d 1 (D 1)n 1/c D ist beschränkt)

57 Verteilung der Höhe Rekursive Bäume φ(t) = e t, y k+1 (z) = ey k(z) y(z) = log 1 1 z F (z) Lösung von y F (y/e 1/e ) = y 0 F (z/e1/e )F (y z) dz

58 Verteilung der Höhe Rekursive Bäume Satz 2 φ(t) = e t E H n = e log n + O ( log n (log log n) ). P{H n k} = F (n/y k (ρ)) + o(1) P{ H n E H n η} e cη (c > 0)

59 Verteilung der Höhe Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume φ(t) = 1/(1 t) r, r = A B > 0 rationale Zahl ρ = 1/(r + 1) Konvergenzradius von y(z) = 1 (1 (r + 1)z) 1/(r+1) c r = 1/((r + 1)s) mit r s e s+1 = 1 d 1F (ye 1/c r) = Γ ( y 1 ) A+B Γ ( ) 1 A+B+1 A+B y 1 + +y A+B+1 =y,y j 0 A+B+1 ( 1 l=b+2 F (y l )y B+1 j=1 A+B 1 l ) ( F (y j e 1/c r)y dy 1 A+B 1 j )

60 Verteilung der Höhe Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume G(y) = Γ ( ) A A+B Γ ( ) 1 A A+B z 1 + +z A =1,z j 0 ( A j=1 F (yz j )z 1 A+B 1 j ) dz

61 Verteilung der Höhe Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume Satz 3 r = A B > 0 rationale Zahl, φ(t) = 1/(1 t)r E H n c r log n. P{H n k} = G ( (r + 1)n/(y k (ρ))1+1 r ) + o(1) P{ H n E H n η} e cη (c > 0)

62 Ersatzfunktionen D-äre rekursive Bäume φ(t) = (1 + t) D ỹ k (z) = y k (z)+1 = 1 + z n P{H n k}y n n 0 n! ỹ k+1 (z) = ỹ k(z) D mit Anfangsbedingugen ỹ 0 (z) = 1, ỹ k (0) = 1.

63 Ersatzfunktionen D-äre rekursive Bäume D 1F (ye 1/c D) = Γ ( y 1 ) D D 1 Γ ( ) 1 d d 1 y 1 + +y D =y,y j 0 ( D j=1 F (y j )y 1 D 1 1 j ) dy Ψ(u) = 1 (D 1) D 1Γ 1 ( ) 1 D 1 F (y) y D e uy dy 0 y k (z) := e k/(c D(D 1)) Ψ ( e k/c D(ρ z) ) (ρ = 1/(D 1))

64 Ersatzfunktionen D-äre rekursive Bäume 1 y k (0) Ck ( D cd ) k, yk (ρ) = e k/(c D(D 1)). y k+1 (z) = y k(z) D Für jede natürliche Zahl l und für jede reelle Zahl k > 0 hat die Differenz ỹ l (z) y k (z) genau eine Nullstelle. ( Intersection Property )

65 Ersatzfunktionen D-äre rekursive Bäume y k (z) = n 0 y k,n z n n! ist ganze Funktion mit Koeffizienten y k,n = (D 1)n Γ ( ) 1 D 1 0 F ( (D 1)ve k/c D ) v 1 D 1 1+n e v dv und asymptotisch gilt y k,n y n = F ( (D 1)ne k/c ) D + o(1)

66 Ersatzfunktionen D-äre rekursive Bäume Beweisidee ỹ k (z) = y k (z) + 1 wird durch die Ersatzfunktion y ek (z) approximiert: ỹ k (ρ) = y ek (ρ) e k = c D (D 1)(log ỹ k (ρ)) k. ỹ k (z) y ek (z) in Umgebung von z = ρ = P{H n k} y n,ek = F ( (D 1)n/y k (ρ) d 1) + o(1)

67 Ersatzfunktionen Rekursive Bäume φ(t) = e t y k (z) = P{H n k} zn n 0 n y k+1 (z) = ey k(z) Y k (z) = y k (z) = n 0 P{H n+1 k}z n (Y k+1 (0) = 1) Y k+1 (z) = Y k+1(z)y k (z)

68 Ersatzfunktionen Rekursive Bäume y F (y/e 1/e ) = y 0 F (z/e1/e )F (y z) dz Ψ(u) = 0 F (y)e yu dy Y k (z) = e k/e Ψ ( e k/e (1 z) )

69 Ersatzfunktionen Rekursive Bäume 1 Y k (0) Ck ( 2 e ) k, Y k (1) = e k/e. Y k+1 (z) = Y k+1(z)y k (z) Für jede natürliche Zahl l und für jede reelle Zahl k > 0 hat die Differenz Y l (z) Y k (z) genau eine Nullstelle. ( Intersection Property )

70 Ersatzfunktionen Rekursive Bäume Y k (z) = n 0 Y k,n z n ist ganze Funktion mit Koeffizienten y k,n = F ( ve k/e ) v n e v dv 0 und asymptotisch gilt Y k,n = F ( ne k/e) + o(1)

71 Ersatzfunktionen Rekursive Bäume Bemerkung: Die Funktionen erfüllen die Rekursion y k (z) = z 0 Y k(t) dt = log Y k+1 (z) y k+1 (z) = e y k(z)

72 Ersatzfunktionen Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume φ(t) = (1 t) r, r = A B y k (z) = n 0 y n P{H n k}z n /n! y k+1 (z) = 1 (1 y k (z)) r Y k (z) = ( y k (z)) 1 A d.h. y k (z) = Y k(z) A = y n+1 P{H n+1 k} zn n 0 n! Y k+1 (z) = 1 B Y k+1(z) B+1 Y k (z) A (Y k+1 (0) = 1)

73 Ersatzfunktionen Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume d 1F (ye 1/c r) = Γ ( y 1 ) A+B Γ ( ) 1 A+B+1 A+B y 1 + +y A+B+1 =y,y j 0 A+B+1 ( 1 l=b+2 F (y l )y B+1 j=1 A+B 1 l ) ( F (y j e 1/c r)y dy 1 A+B 1 j )

74 Ersatzfunktionen Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume Ψ(u) = 1 (r + 1) A+BΓ 1 ( ) 1 A+B F (y) y A+B 1 1 e uy dy 0 Y k (z) = e k/(c r (A+B)) Ψ ( e k/c r ( )) 1 r + 1 z

75 Ersatzfunktionen Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume G(y) = Γ ( ) A A+B Γ ( ) 1 A A+B z 1 + +z A =1,z j 0 ( A j=1 F (yz j )z 1 A+B 1 j ) dz Ψ(u) = Ψ(u) A = 1 (r + 1) r 1+rΓ ( ) r 1+r 0 G(y)y 1 1+re yu dy y k (z) = z rk e 0 c r (1+r) Ψ ( e k/c r ( )) 1 r + 1 t dt

76 Ersatzfunktionen Verallgemeinerte ebene rekursive Bäume Y k+1 (z) = 1 B Y k+1(z) B+1 Y k (z) A y k+1 (z) = 1 (1 y k (z)) r etc.

77 Intersection Property Lemma ỹ 0 (x) = 1, ỹ k+1 (x) = ỹ k(x) D mit ỹ k+1 (0) = 1. y k (z) := e k/(c D(D 1)) Ψ ( e k/c D(ρ z) ) (k R) y k+1 (x) = ỹ k(x) D mit 0 < y k+1 (0) < 1 = Für jede natürliche Zahl l und für jede reelle Zahl k > 0 hat die Differenz genau eine Nullstelle ỹ l (z) y k (z)

78 Intersection Property Beweis Die Behauptung ist für l = 0 (trivialerweise) für alle k > 0 richtig. l l + 1: y l+1 (x) ỹ k+1 (x) = (y l(x) ỹ k (x)) D 1 y l (x) j ỹ k (x) D 1 j j=0 } {{ } >0 = y l+1 (x) ỹ k+1 (x) hat genau eine Nullstelle. = y l+1 (x) ỹ k+1 (x) hat genau eine Nullstelle.