Optimization with set relations

Transkript

1 Optimization with set relations Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) vorgelegt der Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg von Herrn Andreas Löhne geboren am 15. Oktober 1972 in Querfurt Gutachterin/Gutachter: 1. Prof. Dr. Christiane Tammer, MLU Halle Wittenberg 2. Prof. Dr. Johannes Jahn, Universität Erlangen Nürnberg eingereicht am: Tag der Verteidigung: urn:nbn:de:gbv: [

2

3 Acknowledgments First of all I would like to thank Prof. Dr. Christiane Tammer and Dr. Andreas Hamel for being great supervisors. I m greatly indebted to Prof. Dr. C. Zălinescu from the university Al. I. Cuza Iasi (Romania) for the many helpful suggestions, which influenced this work very positively. Moreover, I would like to thank all my colleagues (and former colleagues) from the Institute of Optimization and Stochastics for the many inspiring discussions and for the good working atmosphere at the institute. I gratefully acknowledge the Land Sachsen Anhalt and the Martin Luther University Halle Wittenberg for the financial support by a scolarship over almost three years. Last but not least I would like to express my deepest gratitude to my parents, to my grand parents, to my son Pascal and, most of all, to my girl friend Jana Lippke for their great support all the time. Danksagung Mein besonderer Dank gilt Frau Prof. Dr. Christiane Tammer und Herrn Dr. Andreas Hamel für die sehr gute Betreuung dieser Arbeit. Für die vielen sehr hilfreichen Hinweise, die diese Arbeit sehr positiv beeinflusst haben, bin ich Herrn Prof. Dr. C. Zălinescu von der Universität Al. I. Cuza Iasi (Rumänien) äußerst dankbar. Weiterhin gilt mein Dank den Angehörigen (und ehemals Angehörigen) des Instituts für Optimierung und Stochastik für die vielen anregenden Diskussionen und das sehr angenehme Arbeitsklima im Institut. Dem Land Sachsen Anhalt und der Martin Luther Universität Halle Wittenberg möchte ich für die Gewährung eines Graduiertenstipendiums über knapp drei Jahre danken. Nicht zuletzt möchte ich meinen Eltern, meinen Großeltern, meinem Sohn Pascal und vor allem meiner Lebensgefährtin Jana Lippke für ihre Unterstützung ganz herzlich danken.

4 4

5 Contents Introduction 7 Notation 11 1 The closed convex sets in R p The space F of closed subsets of R p The space Ĉ of closed convex subsets of Rp Embedding subsets of Ĉ into a linear space Convergence of closed convex sets Painlevé Kuratowski convergence C Convergence Scalar convergence vs. C convergence Functions with values in Ĉ Semi continuity of F valued functions Semi continuity Locally bounded functions Convex functions

6 6 Contents 3.5 Conjugates Biconjugation theorem Duality Fenchel duality Lagrange duality Some special cases Relationship to vector optimization Basic concepts Point relation vs. set relation approach On the structure of vector optimization problems Appendix 87 A Some calculus rules of sets B Partially ordered sets C Ordered conlinear spaces Index of notation 95 Bibliography 97