Geometrische Spannbäume minimalen Durchmessers

Transkript

1 Aroximationsschemata in Ablauflanung, Grahentheorie und Geometrie (engl.: Geometric Minimum-Diameter Sanning Tree, GMDST) SS 2004

2 Überblick Begriffsdefinitionen Eigenschaften von GMDSTs Exakter Algorithmus mit Laufzeit Θ(n 3 ) ε-aroximativer Algorithmus mit Laufzeit O(n + 1 ) ε 3 Zusammenfassung 1

3 Geometrischer Sannbaum (a) Punktmenge in der euklidischen Ebene (b) durch die Punktmenge induzierter gewichteter Grah (c) Geometrischer Sannbaum 2

4 Durchmesser eines Sannbaums und Geometrischer Sannbaum minimalen Durchmessers (a) Durchmesser eines Sannbaums (b) Geometrischer Sannbaum mit minimalem Durchmesser 3

5 Historisches 1991, J. Ho, D. Lee, C. Chang, C. Wong exakter Algorithmus, Laufzeit O(n 3 ) 2002, Timothy Chan exakter Algorithmus, Laufzeit O(n 17 6 ) 2002, J. Gudmundsson, H. Haverkort, S.-M. Park, C.-S. Shin, A. Wolff ε-aroximativer Algorithmus Laufzeit O( n ε 3 + n log n ε ), Seicherbedarf O( n ε 2 + n log n) 2003, M. Sriggs, M. Keil, S. Besamyatnikh, M. Segal, J. Snoeyink ε-aroximativer Algorithmus Laufzeit O(n + 1 ε 3 ), Seicherbedarf O(n) 4

6 Eigenschaften minimaler Sannbäume Lemma 1. Zu jeder Punktmenge existiert ein monoolarer oder ein diolarer GMDST. 1 2 (a) Monoolarer GMDST (b) Diolarer GMDST 5

7 Beweis zu Lemma 1 1. Fall: es existiert ein Durchmesser mit 2 Kanten A T 2 T P P A 2 A 1 A 1 A 0 Q A 0 Q dist T (P, Q) = P, A 1 + A 1, Q dist T (P, A 1 ) + dist T (A 1, Q) A 0, A 1 + A 1, A 2 = D T 6

8 Beweis zu Lemma 1 2. Fall: alle Durchmesser besitzen mindestens 3 Kanten Q Q A 1 A 2 A 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 A 0 A 0 T P A 5 T P A 5 dist T (P, Q) = P, A 3 + A 3, Q dist T (P, A 3 ) + dist T (A 3, Q) dist T (A 3, A 5 ) + dist T (A 3, A 5 ) dist T (A 0, A 3 ) + dist T (A 3, A 5 ) = D T 7

9 Stabilitätsbedingung für diolare Sannbäume q 1 q q 2 q 2 r r Lemma 2. Umschließt einer der beiden Kreise alle Punkte, so existiert ein monoolarer Sannbaum, der keinen größeren Durchmesser besitzt als der diolare. Ansonsten wird der Durchmesser durch einen Pfad mit 3 Kanten bestimmt. 8

10 Algorithmus zur Bestimmung eines GMDST Gegeben: eine Punktmenge P mit n Punkten Bestimme monoolaren Sannbaum mit minimalem Durchmesser Bestimme diolaren Sannbaum mit minimalem Durchmesser Der kleinere der beiden Sannbäume muss dann ein GMDST sein 9

11 Bestimmung eines monoolaren GMDSTs Distanz zu den beiden entferntesten Punkten minimieren Second-Order Furthest-Neighbor Voronoi Diagram (SOFNVD) in O(n log n) Zeit Otimaler Monool in O(n log n) Zeit 10

12 Bestimmung eines diolaren GMDSTs minsof ar foreach Punkteaar 1, 2 aus P do sortiere restliche Punkte nach Distanz zu 1 ins Feld L for 1 k n 2 do verbinde 1 mit den ersten k Punkten aus L verbinde 2 mit den restlichen Punkten if Stabilitätsbedingung erfüllt then D L[k], 1 + 1, 2 + max n 2 L[l], 2 l=k+1 if D < minsof ar then minsof ar D end end end in Laufzeit von Θ(n 3 ) möglich 11

13 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

14 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

15 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

16 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

17 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

18 Animation zur Bestimmung des diolaren GMDST

19 Ein Aroximationsschema zur Annäherung des GMDST exakter Algorithmus hat Laufzeit von Θ(n 3 ) geringer Durchmesser ausreichend Aroximationsschema Durchmesser maximal um Faktor (1 + ε) größer als der eines GMDST Laufzeit O(n + ε 3 ) Seicherbedarf O(n) 13

20 m Zeilen Ein einfacheres Problem (RGMDST) Punktmenge auf m m-gitter angeordnet Mono- oder diolarer Sannbaum mit inneren Knoten in einer Zeile 2 Kandidaten in jeder Zeile für die inneren Punkte m Salten 14

21 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen monoolaren Sannbaums SOFNVD benötigt nur obere und untere beiden Punkte jeder Zeile SOFNVD der maximal 4m Punkte in O(m log m) Zeit 2m mögliche Monoole Durchmesser jedes Monools in O(log m) Zeit otimaler monoolarer Sannbaum in O(m log m) Zeit 15

22 Lösen des vereinfachten Problems Lemma 3. Seien 1 und 2 innere Knoten eines diolaren Sannbaumes und bilden 1 2 eine horizontale Linie. Dann existiert eine vertikale Trennlinie L, so dass der Sannbaum, der durch das Verbinden aller Punkte links von L mit 1 und aller Punkte rechts von L mit 2 entsteht, unter allen Sannbäumen mit inneren Knoten 1 und 2 minimal ist. L

23 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines minimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k r 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes rechts von Salte k l 2 (k): Distanz des von 2 entferntesten Punktes links von Salte k r 2 (k): Distanz des von 2 entferntesten Punktes rechts von Salte k 17

24 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

25 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

26 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

27 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

28 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

29 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k

30 Lösen des vereinfachten Problems Bestimmung eines otimalen diolaren Sannbaums Bestimme für jede Zeile die vertikale Trennlinie mittels Sweeline in O(m) Zeit l 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes links von Salte k r 1 (k): Distanz des von 1 entferntesten Punktes rechts von Salte k l 2 (k): Distanz des von 2 entferntesten Punktes links von Salte k r 2 (k): Distanz des von 2 entferntesten Punktes rechts von Salte k Stabilitätsbedingung: l 1 (k) < r 1 (k + 1) und r 2 (k + 1) < l 2 (k) Durchmesser: D = l 1 (k) + d( 1, 2 ) + r 2 (k + 1) otimaler Durchmesser für jede Zeile in O(m) Zeit otimaler diolarer Sannbaum in O(m 2 ) Zeit 19

31 Der Steiner-Monool Steiner-Monool der Geraden: Punkt auf der Geraden, der als Monool den Durchmesser des resultierenden Sannbaumes minimiert Steiner-Monool muss in P nicht enthalten sein q s q 2 20

32 Eigenschaften otimaler Diole Es existieren otimale Diole, zwischen denen kein anderer Punkt mehr liegt q r

33 Eigenschaften otimaler Diole Der Steiner-Monool der Gerade liegt zwischen den otimalen Diolen q s l q 2 22

34 Bestimmung der Kandidaten für die inneren Punkte SOFNVD der Punktmenge in O(m log m) Zeit Steiner-Monool jeder Zeile in O(m) Zeit bestimmen Bestimmung aller Kandidaten somit in O(m 2 ) Zeit 23

35 Gitter-Transformation - Eigenschaften des Gitters Problem soll in Instanzen des vereinfachten Problems transformiert werden Ebene mit Gitter überlagern innere Punkte des GMDST sollen in einer Zeile liegen Frage: Wie muss φ gewählt werden? 1 2 φ 24

36 Gitter-Transformation - Eigenschaften des Gitters D := Abstand der zwei entferntesten Punkte in P 1 2 D ( 1 und 2 sind die Diole des GMDST) wähle sin θ < φ D 1 und 2 können in Gitter mit Zeilenhöhe φ in einer Zeile liegen 1 θ 2 φ 25

37 Gitter-Transformation - Eigenschaften des Gitters 1 θ φ/2 2 Verlange sin θ < φ 2D es müssen nur 2 Gitter im Abstand φ 2 betrachtet werden alle Orientierungen von 1 2 berücksichtigen mehrere Orientierungen des Gitters Anzahl der Gitter-Orientierungen: π arcsin(φ/2d) = O(D φ ) 26

38 Gitter-Transformation Für alle Orientierungen: Instanz des vereinfachten Problems erzeugen => Vereinfachtes Problem lösen Sannbaum für Ursrungsroblem aus Lösung erzeugen 27

39 Rücktransformation q q Ausgangsroblem Lösung vereinfachtes Problem Näherungslösung Ausgangsroblem 28

40 Güte des erzeugten Sannbaums Gitter-Transformation Rücktransformation φ { (P) (P ) T(P) (P ) (P ) + 3 2φ T (P ) (P ) + 3 2φ T (P ) (P ) + 6 2φ 29

41 Satz 1. Gegeben eine Menge P von n Punkten in der Ebene, existiert ein Algorithmus, der für jedes ε > 0 einen (1 + ε)-aroximativen GMDST von P in Laufzeit O(ε 3 + n) und mit Seicherbedarf O(n) bestimmt. 30

42 Beweis zu Satz 1 ε < 1 n Algorithmus von Ho et al., O(n 3 ) O(ε 3 ) Laufzeit O(n) Seicherbedarf n größer als Anzahl der Gitterquadrate initiale Gitter-Transformation maximal 2m 2 Punkte Verdolung des additiven Fehlers zu 12 2φ 31

43 Beweis zu Satz 1 - Güte des erzeugten Sannbaums D (P ) Setze φ = Dε 12 2 Für mindestens eine der Orientierungen gilt: T (P ) (P ) (P ) φ (P ) (P ) Dε 12 2 (1 + ε) 32

44 Beweis zu Satz 1 - Komlexität Berechne D als maximale vertikale oder horizontale Distanz: Zeit O(n) Bestimmung von φ: Zeit O(1) Verwende D D Bounding Box Anzahl der Gitterquadrate: D D φ 2 = D D (Dε) 2 /(12 2) = ε 2 = O(ε 2 ) erste Gitter-Transformation: Zeit O(ε 1 + n) weitere Gitter-Transformationen: Zeit O(ε 2 ) 33

45 Beweis zu Satz 1 - Komlexität Rücktransformation des RGMDST: Zeit O(ε 2 + n) O(ε 2 ) Laufzeit für jede Orientierung O(ε 2 + n) initiale und finale Laufzeit Anzahl der Gitterorientierungen: O ( ) D φ = O ( D 12 ) 2 Dε = O(ε 1 ) Laufzeit O(ε 3 + n) 34

46 Zusammenfassung Bekannte exakte Algorithmen haben annähernd kubische Laufzeit Es ist keine untere Schranke des Problems bekannt Vorgestellter Aroximationsalgorithmus ist linear in der Größe der Eingabe Laufzeitvorteil durch Reduktion auf O(ε 1 ) einfacherer Probleme Lösung der vereinfachten Probleme in Zeit O(ε 2 ) Problemgröße n beeinflusst asymtotische Laufzeit nur bei der initialen Gitter- Transformation und bei der Rücktransformation Erstaunlicherweise dennoch Gütegarantie mit Faktor (1 + ε) 35