Stefan Müller-Stach Jens Piontkowski. Elementare und algebraische Zahlentheorie

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1 Stefan Müller-Stach Jens Piontkowski Elementare und algebraische Zahlentheorie

2 Stefan Müller-Stach Jens Piontkowski Elementare und algebraische Zahlentheorie Ein moderner Zugang zu klassischen Themen 2., erweiterte Auflage STUDIUM

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Stefan Müller-Stach Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik Staudinger Weg Mainz stach@uni-mainz.de Priv.-Doz. Dr. Jens Piontkowski Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Mathematisches Institut Universitätsstraße Düsseldorf piontkow@uni-duesseldorf.de 1. Auflage , erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN

4 Für unsere Eltern, Evija und Siggi

5 Vorwort Der Ausgangspunkt dieses Buches war ein gemeinsam entwickeltes Vorlesungsskript der beiden Autoren, das eine anschauliche Darstellung der Grundbegriffe der elementaren und algebraischen Zahlentheorie zum Ziel hatte. Dabei standen die theoretischen Aspekte zwar im Vordergrund, aber der Stoff sollte immer durch Beispiele und explizite Algorithmen konkretisiert werden. Der rote Faden dieses Buches ist die Lösungstheorie diophantischer Gleichungen, d.h. die Suche nach ganzzahligen oder rationalen Lösungen von Polynomgleichungen in mehreren Variablen. Dabei stehen die quadratischen Gleichungen im Mittelpunkt, um den Stoff elementar zu halten. Das Buch führt dazu in mehrere Techniken ein. In der Kongruenzrechnung versucht man, eine Gleichung zuerst modulo einer natürlichen Zahl n zu lösen. Dabei bietet es sich an, für n eine Primzahlpotenz p k zu wählen, weil man die Lösungen zu verschiedenen Primzahlpotenzen mit dem chinesischen Restsatz zusammensetzen kann. Der Grenzübergang von k nach unendlich führt zu den p adischen Zahlen. An Hand der quadratischen Formen wird demonstriert, wie aus Lösungen über den p adischen Zahlen auf eine Lösung über den rationalen Zahlen geschlossen werden kann. Einige diophantische Gleichungen werden durch spezielle Techniken effektiver gelöst, so helfen Kettenbrüche bei der Lösung der Pellschen Gleichung x 2 dy 2 = 1für d 2 N. Eine andere Methode neben der Kongruenzrechnung besteht darin, solche Gleichungen zunächst nicht über den ganzen Zahlen, sondern über einem etwas größeren Ring zu betrachten. Zum Beispiel faktorisiert die Pellsche Gleichung bereits über dem Zahlring Z[p d] als (x + p dy)(x p dy)=1. Durch die Beobachtung, dass beide Faktoren Einheiten sind, wird aus der Suche nach Lösungen eine Suche nach Einheiten in Z[p d]. Welche Erweiterungsringe von Z für solche Betrachtungen geeignet sind und welche Eigenschaften diese haben, wird in der algebraischen Zahlentheorie studiert. Der Schwerpunkt liegt darauf zu bestimmen, welche dieser algebraischen Erweiterungsringe faktoriell sind, bzw. ihre Abweichung davon mit Hilfe der Klassengruppe zu messen. Das vorliegende Buch kann auf verschiedene Weisen gelesen und zu Vorlesungen benutzt werden. Die Abschnitte x1 x9 bilden die Grundlage der elementaren Zahlentheorie und sollten auf jeden Fall gründlich bearbeitet werden. Anschließend kann auf drei verschiedene Weisen fortgefahren werden, wenn man eine Auswahl treffen will: Eine Möglichkeit besteht darin, direkt quadratische Formen bis zum Satz von Hasse Minkowski zu behandeln (x13 x15). Andererseits kann man auch Kettenbrüche (x10) erarbeiten und darauf aufbauend entweder mit Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen (x11 x12) oder mit den Grundbegriffen der algebraischen Zahlentheorie (x16 x19) fortfahren. Die Kombination x1 x9 zusammen

6 mit x10 x12 bietet sich für eine einsemestrige Vorlesung (Modul) im Bachelor Studiengang an; man kann den Rest des Buches dann für einen Vertiefungsmodul im Rahmen des Master Studienganges nutzen. Soll der Schwerpunkt schon früh auf die algebraische Zahlentheorie gelegt werden, so liest man x1 x10 mit x16 x19, was aber nur mit einigen Vorkenntnissen in einem Semester behandelt werden kann. Im Anhang des Buches können Grundkenntnisse über Gruppen, Ringe und Körper nachgeschlagen werden. Eine kurze Einführung in das freie Computeralgebrasystem PARI/GP lädt zu zahlentheoretischen Experimenten ein. Ebenso befinden sich dort die Lösungshinweise zu den Aufgaben. Wir bedanken uns bei Ralf Gerkmann, Jens Mandavid und Oliver Petras für viele wertvolle Hinweise zu vorläufigen Fassungen des Textes und die tatkräftige Unterstützung beim Übungsbetrieb zu den beiden Vorlesungsreihen in 2004/2005 und 2005/2006. Allen unseren Studenten sind wir sehr dankbar für die aktive Teilnahme an den vier Veranstaltungen und für ihre zahlreichen Korrekturhinweise. Mainz September 2006 STEFAN MÜLLER STACH JENS PIONTKOWSKI Vorwort zur zweiten Auflage In der zweiten Auflage wurden Druckfehler der ersten Auflage berichtigt und weitere Verbesserungen im Text vorgenommen. Außerdem haben wir zahlreiche neue Aufgaben aus Vorlesungen und Staatsexamensklausuren zusammen mit Lösungshinweisen aufgenommen. Wir danken Henning Hollborn und allen anderen, die uns dabei unterstützt haben. Darüber hinaus haben wir einen Anhang über Minkowskitheorie hinzugefügt, um die bisher fehlenden Beweise der Endlichkeit der Klassenzahl sowie des Satzes von Dirichlet geben zu können. Mainz und Düsseldorf April 2011 STEFAN MÜLLER STACH JENS PIONTKOWSKI

7 Inhaltsverzeichnis 1 Primzahlen 1 2 Teilbarkeitstheorie 5 3 Der ggt und der euklidische Algorithmus 13 4 Kongruenzrechnung 19 5 Die Ringe Z=nZ 25 6 Endlich erzeugte abelsche Gruppen 33 7 Die Struktur der Einheitengruppen U n 43 8 Quadratische Reste 51 9 Quadratsätze Kettenbrüche Primzahltests Faktorisierungsalgorithmen p adische Zahlen Quadratrestklassen und Hilbert Symbole Der Satz von Hasse Minkowski Zahlkörper Teilertheorie im Ring ganzer Zahlen Die Idealklassengruppe Die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper 195 A Elementare Gruppentheorie 217 B Elementare Ringtheorie 221 C ElementareKörpertheorie 225 D Minkowskitheorie 227 E Einführung in PARI/GP 243 F Lösungshinweise zu den Aufgaben 245 Literaturverzeichnis 257 Stichwortverzeichnis 259