Tragwerke 1. Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Stabtragwerke. Wilfried B. Krätzig Udo Wittek. Zweite Auflage

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1 Springer-Lehrbuch

2 Wilfried B. Krätzig Udo Wittek Tragwerke 1 Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Stabtragwerke Zweite Auflage Mit 66 Tafeln und 126 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 o. Prof. Dr.-Ing. Wilfried B. Krätzig Lehrstuhl für Statik und Dynamik Ruhr-Universität Bochum Universitätsstraße Bochum Prof. Dr.-Ing. Udo Wittek Lehrstuhl für Baustatik Universität Kaiserslautern Paul-Ehrlich-Straße Kaiserslautern ISBN Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Tragwerke / Wilfried B. Krätzig; Udo Wittek. (Springer-Lehrbuch) Bd.2 verf. von Wilfried B. Krätzig NE: Krätzig, Wilfried B.; Wittek, Udo 1. Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Stabtragwerke Aufl ISBN ISBN (ebook) DOI / Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Ur heberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer Verlag Berlin Heidelberg 1990 und 1993 UrsprUnglieh erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1993 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Macmillan India Ltd., Bangalore, und Fotosatz-Service Köhler, Würzburg 60 / Gedruckt auf säurefreiem Papier

4 Vorwort zur zweiten Auflage Die freundliche Aufnahme des vorliegenden Buches hat eine frühe zweite Auflage erforderlich werden lassen. In ihr wurden verschiedene Druckfehler beseitigt und geringe inhaltliche Verbesserungen vorgenommen. Für Hinweise hierauf sowie Anregungen danken wir unseren aufmerksamen Lesern, für Unterstützung bei der Neubearbeitung neben bewährten Mitarbeitern zusätzlich Herrn Dipl.-Ing. P. Weisenstein. Eine Erweiterung erfuhr die zweite Auflage im Anhang: In zwei umfangreichen Beispielen wurden die im Buch dargestellten Lösungswege zur Kraftgrößen- und Verformungsermittlung vollständig dokumentiert. Auch anläßlich dieser Auflage möchten wir dem Springer-Verlag erneut für die erfreuliche Zusammenarbeit und die gute Ausstattung des Buches danken. Bochum und Kaiserslautern Juni 1993 Wilfried B. Krätzig Udo Wittek

5 Vorwort zur ersten Auflage Gott bietet uns alle Güter dieser Welt um den Preis der Arbeit. Leonardo da Vinci, Das vorliegende Lehrbuch zur Statik statisch bestimmter Stabtragwerke ist als vorlesungsbegleitende Lektüre der Lehrveranstaltungen gleichen Namens an der Ruhr-Universität Bochum und der Universität Kaiserslautern konzipiert worden. Seine Erstausgabe entstand 1971; das vorliegende Manuskript stellt eine dritte, nunmehr grundlegende Neubearbeitung dar. Ein wichtiger Aufgabenbereich aller konstruktiv gestaltenden Bauingenieure besteht darin, die Kraft- und Weggrößenzustände von Tragwerken als Grundlage ihrer sicheren Dimensionierung hinreichend genau zu bestimmen. In der Statik der Tragwerke werden daher Hypothesen und Erkenntnisse der Technischen Mechanik, dargestellt in der Sprache der Mathematik, auf dieses Ziel hin orientiert. Ausgehend von diesen Grundkonzepten führt deshalb das Buch in fundamentale Denk- und Arbeitsmethoden von Festigkeitsberechnungen ein und entwickelt gleichzeitig die wichtigsten Analyseverfahren für statisch bestimmte Stabtragwerke. Deren Anwendungen werden in einer Vielzahl von Beispielen erläutert, wobei wichtige Rechenschritte und getroffene Idealisierungen besonders hervorgehoben werden. Hauptzweck der sorgfältig dokumentierten Beispiele für den Leser sollte jedoch das Eindenken in das Tragverhalten einfacher Strukturen sein. Im Zeitalter der elektronischen Datentechnik befindet sich die Statik der Tragwerke in einem Konflikt zwischen ihren vornehmlich anschaulichen, auf die Entwurfs- und Konstruktionsprozesse ausgerichteten Methoden einerseits und den abstrakten Algorithmen zur Strukturanalyse andererseits. Für ein modernes Lehrbuch der Statik kann die Überwindung dieses Widerspruchs weder in der völligen Ignorierung numerischer Berechnungskonzepte noch in einer Verwechslung dieser mit der Statik selbst gefunden werden, sondern nur in einer Integration. Neue Hilfsmittel haben in der Statik bisher stets neue Konzepte und Methoden erfordert, um ihrem Ziel auch weiterhin gerecht zu werden. Im vorliegenden Teilgebiet statisch bestimmter Stabtragwerke erfordert dies eine verstärkte Rückbesinnung auf die Grundlagen der Mechanik sowie eine Abkehr von der Vielzahl überholter, spezieller Berechnungsverfahren. Dabei wird durch frühzeitige Einführung des später bedeutsamen Konzepts diskretisierter Tragstrukturen die Hinwendung zu den automatisierbaren Berechnungsmethoden vorbereitet, ihre Einführung aber noch bewußt vermieden. Schwerpunkt der Statik statisch bestimmter Stabtragwerke ist die überwiegend manuelle, konzeptionell einfache Problemlösung, auch als Leitfaden für die Kontroll- oder Überschlags-

6 Vorwort zur ersten Auflage VII berechnungen der späteren Berufspraxis. Daher stehen die grundlegenden Methoden der Kraft- und Weggrößenbestimmung im Mittelpunkt der Stoffauswahl sowie ihre Anwendung auf wichtige Tragwerkstypen, wobei ebene und räumliche Tragstrukturen stets parallel behandelt werden. Die Autoren wünschen diesem Buch bei seinen Lesern den erstrebten, wechselseitigen Erfolg. Sie fühlen sich ihren Mitarbeitern, den Diplomingenieuren Heike Brinkmann, Dr. Conrad Eller und Hubert Metz, für deren Mithilfe bei der Erstellung und dem Korrigieren des Manuskriptes zu besonderem Dank verpflichtet, Herrn Werner Drilling für die überaus sorgfältige Zeichnung aller Tafeln und Bilder. Dem Springer-Verlag danken die Verfasser für die hervorragende Ausstattung des Buches. Bochum und Kaiserslautern Februar 1990 Wilfried B. Krätzig Udo Wittek

7 Inhaltsverzeichnis Verzeichnis häufig vorkommender Symbole XIII 1 Einrührung Die Statik als Teilgebiet der Mechanik und des Konstruktiven Ingenieurbaus Idealisierte Tragelemente AufgabensteIlung, Modellbildung und Methodik Einführung in die Statik des Stabkontinuums Das Gleichgewichtsproblem Kräfte, Kräftesysteme und Gleichgewicht Äußere Kraftgrößen Innere Kraftgrößen Gleichgewicht eines ebenen, geraden Stabelementes Integration der Gleichgewichtsbedingungen Beispiel: Anwendung der Übertragungsgleichungen Das kinematische Problem : Mechanische Arbeit und Formänderungsarbeit Äußere Weggrößen Innere Weggrößen Lineare und nichtlineare Theorien in der Statik Kinematik eines ebenen, geraden Stabelementes Normalenhypothese Starrkörperdeformationen Die Werkstoffgesetze Wirkliches, zeitunabhängiges Kraft-Verformungsverhalten Linear elastisches Werkstoff verhalten Zeitabhängiges Kraft-Verformungsverhalten Elastizitätsgesetz eines ebenen, geraden Stabelementes

8 Inhaltsverzeichnis Kriech- und Schwindverformungen Temperaturverformungen Struktur und Grundgleichungen der Stabtheorie Zustandsgrößen Strukturschema ebener, gerader Stabkontinua Normalentheorie ebener, gerader Stabkontinua F ormänderungsarbeits-funktionale IX Das Tragwerksmodell der Statik der Tragwerke Konstruktionselemente Vom Bauwerk zur Tragstruktur Stabelemente Stützungen und Lager Knotenpunkte und Anschlüsse Autbau von Stabtragwerken Räumliche und ebene Tragstrukturen Typen ebener Stabtragwerke Beschreibung der Tragstruktur Topologische Eigenschaften der Tragstrukturen Knotengleichgewichtsbedingungen und Nebenbedingungen Quadratische Form von g*: Abzählkriterien Autbaukriterien Innere und äußere statisch unbestimmte Bindungen Ausnahmefall der Statik Allgemeine Methoden der Kraftgrö8enermittlung statisch bestimmter Tragwerke Methode der Komponentengleichgewichtsbedingungen Grundsätzliches Gleichgewicht an Teilsystemen Beispiel: Ebener Fachwerk-Kragträger Beispiel: Ebenes Rahmentragwerk Beispiel: Räumliches Rahmentragwerk Gleichgewicht an Tragwerksknoten Beispiel: Ebener Fachwerk-Kragträger Beispiel: Ebenes Rahmentragwerk Beispiel: Räumliches Rahmentragwerk

9 X Inhaltsverzeichnis 4.2 Kinematische Methode Grundbegriffe der Kinematik starrer Scheiben Kinematik der Einzelscheibe Zwangsläufige kinematische Ketten Beispiele für Polpläne und Verschiebungsfiguren Ausnahmefall der Statik Das Prinzip der virtuellen Verrückungen starrer Scheiben Kraftgrößenbestimmung auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen Verrückungen Beispiele zur kinematischen Kraftgrößenermittlung Schnittgrö8en und Schnittgrö8en-Zustandslinien. 5.1 Allgemeine Eigenschaften Definition und Darstellung von Zustandslinien Charakteristische Merkmale von Zustandslinien Beispiel: Schnittgrößen-Zustandslinien eines Gelenkträgers Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Gelenkträger Tragwerksaufbau Übersicht über die Berechnungsverfahren Beispiel zum Verfahren der Gleichgewichts- und Nebenbedingungen Beispiel zum Verfahren der Gelenkkräfte Gelenkrahmen und Gelenkbogen Tragwerksaufbau Berechnungsverfahren Zwei Beispiele Stützlinie und Seileck Räumliche Rahmentragwerke Verstärkte Balken mit Zwischengelenk Tragwerksaufbau Berechnungsverfahren Beispiel: LANGERSeher Balken Ebene und räumliche Fachwerke Tragverhalten Tragwerksaufbau Berechnungsverfahren für statisch bestimmte Fachwerke Verfahren der Knotengleichgewichtsbedingungen Kräfteplan nach L. CREMONA Schnittverfahren nach A. RITTER

10 Inhaltsverzeichnis XI 6 Kraftgrö8en-Einftußlinien Allgemeine Eigenschaften Definition und Darstellung von Einftußlinien Auswertung von Einflußlinien Ermittlung von Kraftgrößen-Einflußlinien mittels Gleichgewichtsbedingungen Vorgehensweise Beispiel: Kragarmträger Indirekte Lasteintragung Kinematische Ermittlung von Kraftgrößen-Einflußlinien Vorgehensweise Beispiel: Kragarmträger Charakteristische Eigenschaften von Kraftgrößen- Einflußlinien Kraftgrößen-Einflußlinien verschiedener Stabtragwerke Gelenkträger Dreigelenkbogen und Gelenkrahmen Fachwerke Räumliche Rahmentragwerke Formänderungsarbeit Eigenschaften der Formänderungsarbeit Wiederholung der Definition Herleitung der Formänderungsarbeit für ebene, gerade Stabkontinua Eigenarbeit oder aktive Arbeit Verschiebungsarbeit oder passive Arbeit Zusammenfassung und Verallgemeinerung Energieaussagen Energiesatz der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeiten Satz von CASTIGLIANO: Vom Differentialquotienten der Eigenarbeit Satz von BETTI: Von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit Satz von MAXWELL: Von der Vertauschbarkeit der Indizes Einflußlinien für äußere Weggrößen

11 XII Inhaltsverzeichnis 8 Verformungen einzelner Tragwerkspunkte Grundlagen der Verformungsberechnung AufgabensteIlung Verformungsermittlung unter Anwendung der Verschiebungsarbeit Beanspruchungsursachen Satz der Verschiebungsarbeit Verwendung der Eigenarbeit Weggrößenbestimmung aus der Verschiebungsarbeit Vereinfachung der Grundgleichungen Grundfälle der Verformungsberechnung Berechnung der Formänderungsarbeitsintegrale Methodisches Vorgehen Beispiele Endverformung eines ebenen Kragarms Ebener Fachwerk-Kragträger Ebenes Rahmentragwerk Räumliches Rahmentragwerk Biegelinien und Verformungslinien Das Randwertproblem der Normalentheorie Begriffe und AufgabensteIlung Differentialgleichungen ebener, gerader Stabelemente Einschluß nichtelastischer Deformationen..., Einfluß von Querkraftdeformationen Differentialgleichungen räumlicher, ebener Stabelemente Integrationsverfahren Analytische Integration Beispiele zur analytischen Integration Das Verfahren der w-funktionen Beispiel zur Anwendung der w-funktionen Das Verfahren von O. MOHR Beispiel zum Verfahren von O. MOHR Anhang Literatur Namenverzeichnis 286 Sachverzeichnis.. 287

12 Verzeichnis häufig vorkommender Symbole U U U y UZ ' CP. CPy CPz e )'y )'Z' )' /} w W* E G v W Normalkraft Querkraft in y-richtung Querkraft in z-richtung Torsionsmoment Biegemoment um die y-achse Biegemoment um die z-achse achsiale Streckenlast Querlast in y-richtung Querlast in z-richtung Streckenlastmoment um die x-achse Streckenlastmoment um die y-achse Streckenlastmoment um die z-achse Verschiebung in x-richtung Verschiebung in y-richtung Verschiebung in z-richtung Verdrehung um die x-achse Verdrehung um die y-achse Verdrehung um die z-achse Knotendrehwinkel Stabendtangentenwinkel Stabdrehwinkel Längsdehnung Schubverzerrung in y-richtung Schubverzerrung in z-richtung Verdrillung Verkrümmung um die y-achse Verkrümmung um die z-achse Formänderungsarbeit. Eigenarbeit Verschiebungsarbeit Elastizitätsmodul Schubmodul Querdehnzahl Querschnittsftäche effektive Schubftäche Drillträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment um die y-achse Flächenträgheitsmoment um die z-achse

13 XIV Symholhste D,EA B,EI S, GA Q T, GI T CN CM F M F., p., H F z, P z, V p (J U E t r Dehnsteifigkeit Biegesteifigkeit Schubsteifigkeit Torsionssteifigkeit Wegfedersteifigkeit Drehfedersteifigkeit Wärmedehnzahl gleichmäßige Temperaturänderung Temperaturdifferenz Kriechzahl Schwindmaß Indizierung: 2. Index: Ursache 1. Index: Ort Komponentenrichtung Kraftvektor Momentenvektor Einzelkraft in x-richtung Einzelkraft in z-richtung Spalte der Stablasten, z.b. {q. qz my} Spalte der Schnittgrößen, z.b. {N Q M} Spalte der Verschiebungsgrößen, z.b. {u W qj} Spalte der Verzerrungsgrößen, z.b. {e }' K} Spalte der Randkraftgrößen Spalte der Randverschiebungsgrößen Gleichgewichtsoperator kinematischer Operator Randoperatoren Elastizitätsmatrix