Elektrotechnik für Ingenieure Formelsammlung

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1 Elektrotechnik für Ingenieure Formelsammlung

2 Wilfried Weißgerber Elektrotechnik für Ingenieure Formelsammlung Elektrotechnik kompakt 4., korrigierte Auflage Mit 176 Abbildungen

3 Prof. Dr.-Ing. Wilfried Weißgerber Wedemark, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 1999, 2004, 2009, 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 V Vorwort Viele Studenten kommen mit der ausführlichen Darstellung der elektrotechnischen Zusammenhänge in den drei Bänden der Elektrotechnik für Ingenieure gut zurecht. Geht es dann in die Phase der Prüfungsvorbereitung, wünschen sie sich eine kompakte Darstellung, in der die wichtigsten Zusammenhänge, Lösungsabläufe und Formeln zusammengefasst sind, mit denen Übungs- und Prüfungsaufgaben gelöst werden können. Vor der Prüfung erschlägt sie förmlich die Fülle des Stoffes in einem umfangreichen Lehrbuch, der während des Studiums nur einmal gehört und nur einmal mittels Übungsaufgaben nachbereitet werden konnte. Etwa ein Sechstel des Textes ist leichter zu überschauen und zur Prüfung zu wiederholen. Diese vorliegende Formelsammlung sollte die Studenten allerdings nicht dazu verführen, die Elektrotechnik mit Hilfe dieser Zusammenfassung verstehen zu wollen. Die Formelsammlung kann erst nützlich sein, nachdem die Zusammenhänge im Lehrbuch bearbeitet und verstanden worden sind. Dann erst hilft die Formelsammlung bei der Lösung von Übungs- und Prüfungsaufgaben. Die berufspraktische Tätigkeit eines Diplomingenieurs setzt die Kenntnis von elektrotechnischen Grundlagen voraus. Dafür ist oft ein komprimiertes Buch mit Zusammenfassungen, Formeln und Arbeitsanweisungen ausreichend und sinnvoll, und es findet in jedem Schreibtisch einen Platz. Sollte diese Formelsammlung und mehr für ein zu lösendes Problem nicht ausreichend sein, kann mit dem Seitenbezug zu den Lehrbüchern die jeweilige ausführliche Darstellung gefunden werden. Sie steht hinter den Überschriften jeden Kapitels. Textbild und Zeichnungen sind ganz bewusst aus den Lehrbüchern entnommen, damit das in den Lehrbüchern vertraute Bild wieder erkannt wird. Die 2. Auflage wurde um ein Sachwortverzeichnis und ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen ergänzt. Die 3. Auflage wurde vollständig überarbeitet, und die 4. Auflage wurde nochmals korrigiert. Für die gute Zusammenarbeit möchte ich allen Mitarbeitern des Verlags und der Fa. Fromm MediaDesign danken. Wedemark, im September 2012 Wilfried Weißgerber

5 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort... Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten... V XI 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik Gleichstromtechnik Der unverzweigte Stromkreis Der Grundstromkreis Zählpfeilsysteme Die Reihenschaltung von Widerständen Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen Die Reihenschaltung von Spannungsquellen Der verzweigte Stromkreis Die Maschenregel Die Knotenpunktregel Die Parallelschaltung von Widerständen Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle Die Parallelschaltung von Spannungsquellen Messung von Widerständen Der belastete Spannungsteiler Kompensationsschaltungen Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt Verfahren zur Netzwerkberechnung Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren Elektrische Energie und elektrische Leistung Energie und Leistung Energieumwandlungen Messung der elektrischen Energie und Leistung Wirkungsgrad in Stromkreisen Anpassung Das elektromagnetische Feld Der Begriff des Feldes Das elektrische Strömungsfeld Wesen des elektrischen Strömungsfeldes Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte... 29

6 VIII Inhaltsverzeichnis Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand Das elektrostatische Feld Wesen des elektrostatischen Feldes Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante) Verschiebestrom Strom im Kondensator Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten Das magnetische Feld Wesen des magnetischen Feldes Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten Berechnung magnetischer Kreise Berechnung geschlossener magnetischer Kreise Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten Elektromagnetische Spannungserzeugung das Induktionsgesetz Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld die Bewegungsinduktion Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter die Ruheinduktion Selbstinduktion und Gegeninduktion Die Selbstinduktion Die Gegeninduktion Haupt- und Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren Magnetische Energie und magnetische Kräfte Magnetische Energie Magnetische Kräfte Wechselstromtechnik Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen die Reihen- oder Spannungsresonanz

7 Inhaltsverzeichnis IX Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen die Parallel- oder Stromresonanz Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 900 zwischen Strom und Spannung Schaltungen zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms die Boucherot-Schaltung Wechselstrom-Messbrückenschaltungen Die Leistung im Wechselstromkreis Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung Die Messung der Wechselstromleistung Verbesserung des Leistungsfaktors Blindleistungskompensation Wirkungsgrad und Anpassung Ortskurven Begriff der Ortskurve Ortskurve Gerade Ortskurve Kreis durch den Nullpunkt Ortskurve Kreis in allgemeiner Lage Ortskurven höherer Ordnung Der Transformator Übersicht über Transformatoren Transformatorgleichungen und Zeigerbild Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators Mehrphasensysteme Die m-phasensysteme Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme Messung der Leistungen des Dreiphasensystems Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen Zusammenfassung der Laplace-Operationen und der Laplace-Transformierten (Korrespondenzen)

8 X Inhaltsverzeichnis 9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen Anwendungen der Fourierreihen Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral Vierpoltheorie Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie Vierpolgleichungen, und Ersatzschaltungen passiver Vierpole Betriebskenngrößen von Vierpolen Leistungsverstärkung und Dämpfung Spezielle Vierpole Zusammenschalten zweier Vierpole Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole Die Umrechnung von n von Dreipolen Die Wellenparameter passiver Vierpole Sachwortverzeichnis

9 XI Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen u, i Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen: kleine lateinische Buchstaben U, I Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben û, î Maximalwert u, i komplexe Zeitfunktion, dargestellt durch rotierende Zeiger û, î komplexe Amplitude U, I komplexer Effektivwert, dargestellt durch ruhende Zeiger Z, Y, z komplexe Größen Z*,Y*, z* konjugiert komplexe Größen E,D, r vektorielle Größen Schreibweise von Zehnerpotenzen p Piko 10 2 c Zenti 10 3 k Kilo 10 9 n Nano 10 1 d Dezi 10 6 M Mega 10 6 Mikro 10 1 da Deka 10 9 G Giga 10 3 m Milli 10 2 h Hekto T Tera Formelzeichen physikalischer Größen a Länge Wellendämpfungsmaß a k Fourierkoeffizient a Operator des m-phasensystems A Fläche, Querschnittsfläche, A komplexe Größe b Länge, Wellenphasenmaß b k Fourierkoeffizient B, B magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion, B komplexe Größe B Blindleitwert (Suszeptanz) c c k c k C C d Länge Konstante Lichtgeschwindigkeit c = 2, m/s spezifische Wärmekapazität (spezifische Wärme) komplexer Fourierkoeffizient Amplitudenspektrum elektrische Kapazität Konstante komplexe Größe Dicke, Durchmesser Verlustfaktor

10 XII D, D elektrische Verschiebungsflussdichte oder Erregungsflussdichte D Durchmesser D* Drehfederkonstante e Elementarladung e = 1, As zeitlich veränderliche EMK E EMK E, E elektrische Feldstärke E komplexe Größe f Frequenz Formfaktor f Fe Eisenfüllfaktor f(t) Zeitfunktion F, F Kraft F komplexe Größe F(s) Laplacetransformierte der Zeitfunktion f(t) Ff(t) Fouriertransfomierte der Zeitfunktion f(t) F(j) Fouriertransfomierte der Zeitfunktion f(t) F(j ) Amplitudenspektrum g Gütefaktor Wellen-Übertragungsmaß G elektrischer Leitwert Wirkleitwert (Konduktanz) G m magnetischer Leitwert G(s) Übertragungsfunktion, Netzwerkfunktion G(j) Übertragungsfunktion G h Ortskurve Gerade Höhe, Länge H, H magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung H i zeitlich veränderlicher Strom (Augenblicks- oder Momentanwert) laufender Index î Amplitude, Maximalwert des sinusförmigen Stroms i komplexe Zeitfunktion des Stroms Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten î komplexe Amplitude des Stroms I Stromstärke (Gleichstrom, Effektivwert) I komplexer Effektivwert des Stroms j imaginäre Einheit: 1 imaginäre Achse k Knotenzahl Kopplungsfaktor Klirrfaktor laufender Index K Konstante K Ortskurve Kreis l, l Länge l Anzahl L Induktivität L komplexe Größe Lf(t) Laplacetransformierte der Zeitfunktion f(t) m Masse Anzahl M Gegeninduktivität Drehmoment n Anzahl Drehzahl N Entmagnetisierungsfaktor N Normale N komplexe Größe O allgemeine Ortskurvengleichung p Augenblicksleistung Verhältniszahl Parameter Tastverhältnis p i Größen der Zipperer-Tafel P Leistung (Gleichleistung, Wirkleistung) P Ortskurve Parabel q zeitlich veränderliche Ladung q i Größen der Zipperer-Tafel Q Ladung, Elektrizitätsmenge Blindleistung Kreisgüte, Gütefaktor, Resonanzschärfe

11 Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten r r R variabler Radius Betrag einer komplexen Zahl reelle Achse Widerstandsverhältnis Radiusvektor, Ortsvektor elektrischer Widerstand Wirkwiderstand (Resistanz) Radius R m magnetischer Widerstand R komplexe Größe s Weg, Länge komplexe Variable der Laplacetransformation s i s n (t) S, S S S t T u û u û U U ü v, v v v i v i (x) Ordinatensprünge Summenfunktion Stromdichte Scheinleistung komplexe Leistung komplexe Größe Zeit Periodendauer (Dauer einer Schwingung) zeitlich veränderliche elektrische Spannung (Augenblicksoder Momentanwert) Realteil einer komplexen Zahl Amplitude, Maximalwert der sinusförmigen Spannung komplexe Zeitfunktion der elektrischen Spannung komplexe Amplitude der elektrischen Spannung elektrische Spannung (Gleichspannung, Effektivwert) komplexer Effektivwert der elektrischen Spannung Übersetzungsverhältnis Geschwindigkeit allgemeine zeitlich veränderliche Größe Imaginärteil einer komplexen Zahl Widerstandsverhältnis abgelesene Ordinatenwerte Geradenstücke einer Ersatzfunktion XIII V Volumen magnetische Spannung Effektivwert einer allgemeinen Größe v Verstärkung normierte Verstimmung w Windungszahl zeitlich veränderliche Energie w Energiedichte w komplexe Zahl W x x(t) X X(s) y y(t) Y Y(s) Y z z Z Z Arbeit, Energie unabhängige Veränderliche laufende Ordinate auf der Abzissenachse Verhältniszahl Realteil einer komplexen Zahl Eingangs-Zeitfunktion Blindwiderstand (Reaktanz) Laplacetransformierte der Eingangs-Zeitfunktion laufende Ordinate auf der Ordinatenachse Imaginärteil einer komplexen Zahl Ausgangs-Zeitfunktion Scheinleitwert (Admittanz) Laplacetransformierte der Ausgangs-Zeitfunktion komplexer Leitwert bzw. komplexer Leitwertoperator Zweigzahl Ankerumdrehungen laufende Ordinate komplexe Zahl Scheinwiderstand (Impedanz) komplexer Widerstand bzw. komplexer Widerstandsoperator

12 XIV Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten (t) f i u Winkel Temperaturkoeffizient Zeigerausschlag Winkel Temperaturkoeffizient Winkel Zeigerausschlag Verlustwinkel Abklingkonstante Realteil der komplexen Variablen s Dirac-Impuls oder Dirac sche Deltafunktion Differenz, Abweichung Bandbreite Dielektrizitätskonstante Dielektrizitätskonstante des Vakuums, Influenzkonstante: 0 8, As Vm Fehlwinkel Wirkungsgrad elektrisches Potential Phasenverschiebung Argument einer komplexen Zahl Anfangsphasenwinkel des Stroms Anfangsphasenwinkel der Spannung vk () (t) k Phasenspektrum Phasenspektrum magnetischer Fluss Temperatur spezifischer Leitwert Teil der Lösung der charakteristischen Gleichung Lösung der charakteristischen Gleichung Permeabilität Permeabilität des Vakuums: 0 1, Vs Am laufender Index relative Verstimmung spezifischer Widerstand Durchflutung Streufaktor Sprungfunktion Zeitkonstante Temperaturkennwert Kreisfrequenz Verschiebungsfluss Induktionsfluss oder verketteter Fluss Phasenspektrum Abszissenwert von Stützstellen Scheitelfaktor

13 Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten XV Einheiten des SI-Systems (Système International d Unités) Basiseinheit der Länge l der Masse m der Zeit t der elektrischen Stromstärke I der absoluten Temperatur T der Lichtstärke I der Stoffmenge n das Meter, m das Kilogramm, kg die Sekunde, s das Ampere, A das Kelvin, K die Candela, cd das Mol, mol von den Basiseinheiten abgeleitete Einheit der Kraft F der Energie W der Leistung P der Ladung Q gleich des Verschiebungsflusses der elektrischen Spannung U des elektrischen Widerstandes R des elektrischen Leitwertes G der Kapazität C des magnetischen Flusses der Induktivität L der magnetischen Induktion B der Frequenz f Newton, Joule, Watt, Coulomb, Volt, Ohm, Siemens, Farad, Weber, Henry, Tesla, Hertz, 1N = 1kg m s 2 = 1V A s m 1 1J = 1kg m 2 s 2 = 1V A s 1W = 1kg m 2 s 3 = 1V A 1C = 1A s 1V = 1kg m 2 s 3 A 1 = 1W A 1 1 = 1kg m 2 s 3 A 2 = 1V A 1 1S = 1kg 1 m 2 s 3 A 2 = 1V 1 A 1F = 1kg 1 m 2 s 4 A 2 = 1C V 1 1Wb = 1kg m 2 s 2 A 1 = 1Vs 1H = 1kg m 2 s 2 A 2 = 1Wb A 1 1T = 1kg s 2 A 1 = 1Wb m 2 1Hz = s 1