Workflow-Konzepte zum benutzerfreundlichen, robusten und sicheren Einsatz automatischer Optimierungsmethoden

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1 Workflow-Konzepte zum benutzerfreundlichen, robusten und sicheren Einsatz automatischer Optimierungsmethoden Dirk Roos & Jörn Nelz CAD-FEM GmbH, Grafing, Germany Andreas Grosche DYNARDO GmbH, Weimar, Germany Peter Stoll science+computing ag, Tübingen, Germany Zusammenfassung Die Strukturoptimierung im industriellen Umfeld ist häufig immer noch gekennzeichnet durch zeitaufwändige Versuch-und-Irrtum-Methoden. Allerdings erlaubte in den letzten Jahren die schnelle Entwicklung effizienter Computer-Systeme die verstärkte Integration der Topologie- und Formoptimierung in den virtuellen Entwurfsprozess. Zahlreiche Methoden und Software-Programme wurden entwickelt, so dass die Strukturoptimierung zu einem weitentwickelten numerischen Werkzeug für den Entwicklungsprozess geworden ist. Jedoch weisen die existierenden Werkzeuge insbesondere hinsichtlich der praktischen Anwendbarkeit große Einschränkungen auf. Hauptproblem dabei ist nach wie vor das Fehlen eines nutzerfreundlichen kontinuierlichen Arbeitsablaufs, beginnend vom CAD-Modell zur Strukturoptimierung und wieder zurück zum CAD-Modell. Außerdem wird häufig die Tatsache vernachlässigt, dass im Allgemeinen der virtuelle Entwurfsprozess durch das komplexe Zusammenspiel interdisziplinärer Prozesse miteinander, verschiedener Analyse- und Entwurfs-Programme und durch unterschiedliche Entwurfsziele gekennzeichnet ist. Mit Hilfe der modernen Berechnungs-Software können mittlerweile auch komplexe nichtlineare, zum Teil auch multidisziplinäre Problemstellungen routinemäßig analysiert werden. Konsequenter Weise erfordert dies aber auch robuste mathematische Algorithmen einerseits und sichere, effiziente Software- Konzepte andererseits zur Optimierung und Robustheitsbewertung dieser u.u. schlechtgestellten, d.h. nicht-differenzierbaren, nicht-konvexen und nicht-glatten Aufgabenstellungen. Eine moderne Software- Architektur muss demzufolge nicht nur über verschiedene robuste und sichere Optimierungs- und Sensitivitätsmethoden verfügen, sondern muss darüber hinaus diese möglichst nutzerfreundlich und ggf. für den heterogenen Netzwerkeinsatz geeignet zur Verfügung stellen. Die vorliegende Arbeit dokumentiert den Stand und die noch vorhandenen Einschränkungen der von den Autoren erstellten Software-Programme zu allen Bereichen der Strukturoptimierung, wie Topologieund Formoptimierung, bis hin zur allgemeinen multidisziplinären Parameteroptimierung und Robustheitsbewertung gefundener Designs. Darüber hinaus beschreibt die Arbeit einen neuen Ansatz eines praxistauglichen und kontinuierlichen Workflow-Konzeptes einer gleichzeitig CAD- und FEM-basierenden multidisziplinären Parameteroptimierung am Beispiel der Software-Integration von OptiSLang und AN- SYS Workbench. Keywords Strukturoptimierung, Multidisziplinäre Optimierung, Topologieoptimierung, Formoptimierung, TopoSLang, OptiSLang, ANSYS Workbench 1

2 E E Y Z Y X Z X 00 E0 00 E0 Y Z E E Y Y Y Z 0.995X X X 00 E5 Z X 00 E5 Z Abbildung 1: Benutzerfreundliches, den Nutzer fu hrendes Workflow-Konzept fu r Topologie- und Formoptimierung, Netzgla ttung und Geometrieexport (STL-Format). 1 Einleitung Im virtuellen Entwicklungsprozess werden inzwischen Optimierungstechnologien wie die Strukturoptimierung und die Multidisziplina re Parameteroptimierung eingesetzt. Der Einsatz dieser Technologien unterstu tzt den Entwickler wa hrend der Konzeptphase in der Konstruktion und in der Berechnung. Ein erfolgreicher Einsatz erfordert aber auch, neben der Robustheit der verwendeten mathematischen Algorithmen, benutzerfreundliche und kontinuierliche Workflow-Konzepte. Die vorliegende Arbeit beschreibt am Beispiel der Programmpakete TopoSLang und OptiSLang solche Workflow-Konzepte und zeigt die Vor-und Nachteile auf Topologieoptimierung Einleitung Die Topologieoptimierung, siehe u.a. Kohn und Strang (1986); Bendsøe und Kikuchi (1988); Bendsøe (1995); Mlejnek und Schirrmacher (1993); Maute u. a. (1999) ist mittlerweile zu einem etabliertem numerischen Werkzeug in der Strukturoptimierung geworden. Zur Lo sung der klassischen Topologieoptimierung, d.h. die Minimierung der Verzerrungsenergie der Finite-Elemente-Struktur mit nur einer Volumenrestriktion, wurden spezielle, sehr effiziente OC-Verfahren (optimality criterion, Sigmund (2000); 2

3 Abbildung 2: Vordefinierte und nutzerangepasste Workflows in TopoSLang. Abbildung 3: Graphical user interface von TopoSLang. 3

4 Abbildung 4: Beispiel eines Dialoges zur Definition der numerischen Parameter der Topologieoptimierung mit Default-Einstellungen. Vogel (2000)) entwickelt. Außerdem wurden in den letzten Jahren große Fortschritte in der Entwicklung mathematischer Optimierungsalgorithmen für die Lösung von Aufgaben mit bis zu Optimierungsvariablen und Restriktionen erreicht, siehe dazu u.a. Svanberg (1993); Zillober (1993, 2001) Diese Verfahren konnten erfolgreich in der virtuellen Produktentwicklung, siehe z.b. Vogel (1997); Thomas u. a. (2002), angewendet werden. 2.2 Workflow-Konzept Bei der Entwicklung von TopoSLang (siehe Roos u. a. (2002)) wurde sehr viel Wert auf ein benutzerfreundliches, den Nutzer führendes Workflow-Konzept gelegt (siehe Abb. 2 bis 4). Innerhalb eines gewählten TopoSLang-Workflows (siehe Abb. 2) sollen vom Anwender möglichst nur physikalische Informationen (welche Lasten, wie viel Material, welche Materialdicken, welche Spannungsniveaus) interaktiv abgefragt werden. Numerische Parameter sind mit stabilen Default-Werten belegt und sollen im Normalfall nicht modifiziert werden (siehe Abb. 4). Zu jedem Zeitpunkt der Optimierung in TopoSLang kann die Oberfläche der Struktur über eine Stereolithography (STL)-Schnittstelle (siehe Abb. 5) in beliebige CAD-Systeme eingelesen werden und steht dort für die weitere Bearbeitung des Bauteils nach Gesichtspunkten der Herstellbarkeit, der Funktionalität o.a. Kriterien zur Verfügung. Gegenüber üblichen Approximationen von Geometrien aus Punktewolken oder FE-Netzen, die häufig nicht robust möglich sind, verwendet TopoSLang immer exakt die Außenflächen der FE-Strukturen. Damit sind wasserdichteöberflächenfacetten gesichert und die STL- Körper bilden geschlossene Volumina. 4

5 Abbildung 5: CAD-Export des Optimierungsergebnisses als Stereolithography (STL)-Format. Abbildung 6: Definition von Workflows zur multidisziplinären Parameteroptimierung und Sensitivitätsanalyse in OptiSLang/flowGuide. 5

6 Abbildung 7: Grafischen Editor für die Parametrisierung von ASCII-Input/Output Files beliebiger Solver. Abbildung 8: Parameterbaum in OptiSLang zur Definition der Design-Variablen, Ausgabeparameter und stochastischen Variablen. Abbildung 9: Beispiel eines Dialoges zur Definition der Restriktionen und Zielfunktion in OptiS- Lang. 2.3 Einschränkungen des Workflow-Konzeptes Das STL-Format bietet zusätzlich zu der CAD-Visualisierung noch die Möglichkeit des Rapid-Prototyping. Im Allgemeinen kann aber der Design-Entwurf nicht sofort zu einem realen Prototypen umgesetzt werden, da in der Regel das vorliegende Ergebnis hinsichtlich konstruktiver Erfordernisse modifiziert werden muss. Das STL-Format mit den Dreiecks-Oberflächenelementen kann zwar in CAD-Flächen umgewandelt werden, sogar mit einer gewissen Datenreduktion in Bereichen koplanarer Flächen, jedoch ist der Konstruktionsbaum des ursprünglichen Entwurfes naturgemäß verloren gegangen, so dass ein neues CAD-Modell unter Nutzung ausgesuchte Keypoints neu konstruiert werden muss. Diese Einschränkung trifft genauso für höherwertige Approximationen-Flächen zu, da auch diese Flächen die Anforderungen an ein CAD-Modell nicht erfüllen. Die Topologieoptimierung auf der Basis von Finite-Elemente-Modelle kann somit nicht in einem kontinuierlichem Workflow, von dem CAD-Modell beginnend über die Optimierung zum CAD-Modell hin zum realen Prototyp oder aber einer erneuten Optimierung, abgebildet werden. Weiterhin erfordern die genannten mathematischen Optimierungsalgorithmen analytische Gradienten der finiten Elemente, so dass der Optimierungs-Workflow auch immer abhängig ist von der eingesetzten externen FE-Solver-Technologie. Diese Gradienten lassen sich aber nur für eine eingeschränkte Klasse von Restriktionen und Zielfunktionen berechnen. 6

7 Abbildung 10: Dialog zur Einstellung der NLPQL-Parameter. Abbildung 11: Dialog zur Auswahl eines Design of Experiment. Abbildung 12: Definition der Haupt-Parameter für Genetik/Evolutiosstrategie. Abbildung 13: Weiter Parameter der Genetik/Evolutiosstrategie. 3 Multidisziplinäre Parameteroptimierung und Sensitivitätsanalyse 3.1 Einleitung 3.2 Workflow-Konzept Der virtuelle Entwurfsprozess ist im Allgemeinen gekennzeichnet durch das komplexe Zusammenspiel interdisziplinärer Prozesse miteinander, verschiedener Analyse- und Entwurfs-Programme und durch unterschiedliche Restriktionen und Zielfunktionen. Dies erfordert robuste mathematische Optimierungsmethoden einerseits und sichere, effiziente Workflow-Konzepte andererseits zur Optimierung und Robustheitsbewertung dieser multidisziplinären u.u. schlecht-gestellten, d.h. nicht-differenzierbaren, nicht-konvexen und nicht-glatten Aufgabenstellungen. Die Optimierungsplattform OptiSLang setzt nicht auf eine Methode, sondern auf einen möglichst kompletten Satz robuster Algorithmen zur Auswahl geeigneter Methoden für die vielfältigen multidisziplinären Aufgabenstellungen. In OptiSLang können zur allgemeinen Parameteroptimierung Gradientenverfahren (Schittkowski (1985/86)), Genetische Algorithmen und Evolutiosstrategien (Riedel (2000)) sowie Response-Surface-Methoden (Box und Draper (1987); Myers (1971); Myers und Montgomery (1995)) mit verschiedenen Design of Experiments verwendet werden. Aus Sicht optimaler Bauteilauslegung ist eine angemessene Berücksichtigung von unvermeidlichen zufälligen Streuungen ein besonders wichtiger Punkt. Zusätzlich zur Optimierung kann eine Robustheitsbewertung des Designs - eine Analyse der Sensitivität von Ausgangsgrößen auf kleine Änderungen von Eingangsgrößen - durchgeführt werden. Dazu steht ein umfangreicher Satz von stochastischen Sampling-Methoden (Plain-Monte-Carlo, Latin Hypercube) und statistischen Verfahren (Histogramm, Anthill-Plot, Principal-Component-Analysis) zur Verfügung. Eine moderne Software-Architektur muss nicht nur über verschiedene robuste und sichere Optimierungs- und Sensitivitätsmethoden verfügen, sondern muss darüber hinaus diese möglichst nutzerfreund- 7

8 MONI OBJ_HIST Objective Value; Click to see details 9.0E gradients line search Number of design MONI DES_VAL Relative Size 1.0E0 0.5 Best Design; Click to see history Emod_1 2e+11 Emod_2 1.8e Number of Parameter Objective History Design Parameters MONI TERM_VAL Best Design; Click to see history Relative Size 1.0E0 MONI RESP_VAL Best Design; Click to see history Relative Size 1.0E v_diff e 11 h_diff 1.146e 12 OBJ e Terms Objectiv Constraints VEC Disp_v Disp_h Number of Response Terms, Objective and Constrains Response Parameter MONI HISTORY MONI RESP_COMP Disp_h (1) 14.0E gradients 12.0 line search Number of design 7.0E Number of Component History Vector Elements Abbildung 14: Postprocessing für die multidisziplinäre Parameteroptimierung in OptiSLang. Die sechs interaktiven Fenster visualisieren den Verlauf der Zielfunktion, Design-Variablen, Strukturantworten und Restriktionen. 8

9 RobFramSlang_Corr_mat Click on one element to see more E E From Latin HyperCube with 47 Samples. RobFramSlang_ANT_disp_2_x_w w 6.0E rho = E-1 disp_2_x 46 RobFramSlang_HISTO2_w w: Mean = 50161, COV = %: 46162; 95%: E E-2 Min: 44184; Max: RobFramSlang_HISTO1_disp_2_x disp_2_x: Mean = , COV = E E-1 RobFramSlang_Weight_PC Click on one element to see more 1.0E RobFramSlang_PC_1 Principal Component E E SLang the Structural Language, Version Created on 23-Oct Abbildung 15: Postprocessing einer Sensitivitätsanalyse in OptiSLang. Die sechs interaktiven Fenster visualisieren (von oben links nach unten rechts): (I) Lineare Korrelationen zwischen den Parametern. Von Null verschiedene Werte verweisen auf Eingabe-Parameter mit großem Einfluss auf Ausgabe- Parameter. (II) Anthill-Plot zweier ausgewählter Parameter. Mögliche Ausreißer eines nicht-robusten Designs können identifiziert werden. (III-IV) Histogramme der ausgewählten Parameter. (V) Principal Values der Korrelationsmatrix, geordnet nach der Einflussgröße einer Gruppe von Parametern. (VI) Mit Hilfe der Principal Components der Korrelationsmatrix können nichtlineare Korrelationen zwischen Gruppen von Parameter identifiziert werden. 9

10 lich und ggf. für den heterogenen Netzwerkeinsatz geeignet zur Verfügung stellen. OptiSLang ist eine Optimierungsplattform, die mittels eines grafischen Editors (siehe Abb. 7) beliebige Solver über ASCII-Input/Outputdeck integrieren kann. OptiSLang bietet damit die Möglichkeit, multidisziplinäre Optimierung und stochastische Analyse auch vom Nicht-Optimierungs-Spezialisten einfach und sicher anzuwenden. Mit Hilfe eines übersichtlichen Parameterbaumes (siehe Abb. 8) können Variablentyp, Grenzen, usw. der Design-Variablen und stochastischen Variablen definiert werden. Die Abb. 9 zeigt ein Beispiel eines Dialoges zur einfachen Festlegung der Restriktionen und der Zielfunktion. Wichtigste Innovation von OptiSLang sind einfach zu bedienende, vordefinierte Workflows (siehe Abb. 6) zur Problemdefinition, zur Optimierung bzw. stochastischen Analyse und zum Postprozessing (siehe Abb. 14 und 15). Die numerischen Parameter der Optimierungsverfahren sind mit stabilen Default- Werten belegt und müssen im Normalfall nicht modifiziert werden (siehe Abb. 10 bis 13). Durch die Einbindung in flowguide (siehe u.a. Von Montigny u. a. (2002) und ist es möglich, beliebig komplexe Berechnungsabläufe externer Solver in heterogenen Netzwerken oder auf Unix-Cluster anzuschließen. 3.3 Einschränkungen des Workflow-Konzeptes Ein kontinuierlicher Workflow-Prozess vom CAD-Modell über die multidisziplinäre Parameteroptimierung zurück zum CAD-Modell erfordert naturgemäß automatisierbare und kontinuierliche Entwicklungsprozesse. Häufig erschweren die unterschiedlichen Modell- und Datenbasen der Analyse- und CAD- Programme einen konsistenten Simulationsprozess. Beispielsweise müssen bei einer Fahrzeugauslegung alle interdisziplinären Wechselwirkungen zwischen Crash, Festigkeit, Akustik oder Lebensdauer in dem Simulationsprozess konsistent abgebildet werden. Dies ist u.u. mit einem beträchtlichem Integrationsaufwand verbunden (siehe auch das Beispiel in Will u. a. (2002)). Weiterhin soll an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass die Parametrisierung sehr vieler Eingabe- und Ausgabeparameter sehr zeitaufwendig und fehleranfällig sein kann und u.u. einen wirtschaftlichen Einsatz der Optimierung erschwert. 4 CAD- und FEM-basierte Strukturoptimierung 4.1 Einleitung Um die im vorherigen Abschnitt genannten Einschränkungen einer multidisziplinären Parameteroptimierung zu beseitigen, wäre eine Simulationsumgebung notwendig, in der alle eingesetzten Analyse- und CAD-Programme auf eine gemeinsame Modell- und Datenbasis zugreifen. Die Software-Architektur von ANSYS Workbench verfügt über ein derartiges Framework (siehe Abb. 16, welches über ein Interface zu den gängigen CAD-Formaten verfügt und ein Interface für FE-Solver zur Verfügung stellt. Durch die Integration von OptiSLang entsteht ein kontinuierlicher Workflow mit größter Nutzerfreundlichkeit und Robustheit. Über ein allgemein einsetzbares Binary-ASCII-Interface zwischen OptiSLang und ANSYS Workbench können alle parametrisierten Design-Variablen und Strukturantworten innerhalb einer gemeinsamen Datenbasis automatisch für eine Optimierung oder für eine Sensitivitätsanalyse genutzt werden. 4.2 Workflow-Konzept für OptiSLang ANSYS Workbench Das folgende, sehr einfach gehaltene, Beispiel demonstriert dieses neue konsistente und sehr robuste, d.h. nutzerfehlerunanfällige, Workflow-Konzept. Die Abb. 17 zeigt einen typischen Workflow. Der Nutzer generiert zunächst ein parametrisiertes CAD-Modell in einem der in der Abb. 16 aufgezählten CAD-Formate. In dem Beispiel der Abb. 18 wäre es z.b. sinnvoll, die drei Stegbreiten und eventuell noch den Radius der Bohrungen als Parameter zu definieren und diese Parameter somit für eine Optimierung mittels OptiSLang freizugeben. Zusätzlich soll das Volumen parametrisiert werden, damit aus diesem Parameter in OptiSLang die Zielfunktion zusammengesetzt werden kann. ANSYS Workbench erzeugt nun ein FE-Netz und verfeinert automatisch die Diskretisierung in den Bereichen mit hohen Spannungsgradienten (siehe Abb. 19). 10

11 Abbildung 16: Software-Architektur von ANSYS Workbench. Das Application Framework von AN- SYS Workbench ist eine Interface-Architektur für unterschiedliche CAE-Anwendungen. Das Parameter- Management von ANSYS Workbench übernimmt die automatische Modifikation des CAD- und des FE- Modelles. Abbildung 17: Optimierungs-Workflow zwischen ANSYS Workbench und OptiSLang. 11

12 Abbildung 18: Generierung eines parametrisierten CAD-Modell z.b. im DesignModeler. Abbildung 19: Automatische Generierung eines parametrisierten FEM-Modelles in ANSYS Workbench. 12

13 Monitoring_Gen obj_hist Objective Value; Click to see details 14.0E4 Monitoring_Gen des_val Best Design; Click to see history Relative Size 1.0E begin of generation 12.0 oben radius Number of design links unten Number of Parameter Monitoring_Gen term_val Best Design; Click to see history Relative Size 1.0E0 Monitoring_Gen resp_val Best Design; Click to see history Relative Size 1.0E0 0.5 Constr Seqv Usum Volumen OBJ Volumen Terms Objective Constraints Number of Response Monitoring_Gen history Monitoring_Gen resp_comp Seqv 6.5E2 6.0 begin of generation Number of design SLang the Structural Language, Version Created on 02-Oct Abbildung 20: Monitoring und Postprocessing eines GENETIK-Workflows in OptiSLang. Dargestellt sind (von oben links nach unten rechts): (I) Der Verlauf der Zielfunktion (Volumen) und bestes Design. (II) Die Werte der Design-Variablen (hier: Stegbreiten links, oben, unten und der Radius) können für jeden Zeitpunkt des Optimierungslaufs angegeben werden. (III) Die Zielfunktions-Terme (Volumen), die Zielfunktion und die Restriktionen. (IV) Werte der Ausgabeparameter (hier: Strukturantworten Volumen, Vergleichsspannung (Seqv) und Gesamtverformung (Usum)) können zu jeden Zeitpunkt kontrolliert werden. (V) Verlauf eines ausgewählten Parameters oder (Terms der) Zielfunktion oder Restriktion (hier: Vergleichsspannung (Seqv)). 13

14 Abbildung 21: Vergleichsspannung im Ausgangs-Design. Abbildung 22: Vergleichsspannung des optimierten Designs (minimales Volumen mit Spannungsrestriktionen). 14

15 Im zweiten Schritt definiert der Nutzer den Simulationsprozess und die Strukturantworten, die für die Festlegung des Optimierungsziels und der Restriktionen benötigt werden. Darüber hinaus können auch zusätzliche Design-Variablen festgelegt werden. In dem gezeigten Beispiel sollen nur die Vergleichsspannung und die Gesamtverformung begrenzt werden (siehe Abb. 21). Die Übergabe der Parameter an die Optimierung erfolgt über die XML-Schnittstelle von OptiSLang automatisch, so dass im nächsten Schritt der Nutzer innerhalb von OptiSLang nur noch die Grenzen der Parameter und die Restriktionen sowie die Zielfunktion festlegen muss. Als nächstes startet der Nutzer die Optimierung, eventuell mit parallel ablaufender Solver-Steuerung. ANSYS Workbench übernimmt dabei die automatische Modifikation der CAD-Geometrie und des FE-Modelles. Zeitgleich ablaufend kann der Nutzer den Optimierungsfortschitt verfolgen (siehe Abb. 20) und gegebenenfalls die Optimierung anhalten oder beenden, wenn eine ausreichende Design-Verbesserung gefunden worden ist. Desweiteren können das CAD- und das FE-Modell und die Ergebnisse der Simulation für jedem Zeitpunkt der Optimierung in ANSYS-Workbench visualisiert werden (Abb. 21 bis 22). Die Abb. 21 zeigt den Verlauf der Vergleichsspannung im Ausgangs-Design und die Abb. 22 den des optimierten Designs. 5 Zusammenfassung In der sehr frühen Konzeptphase und für vorwiegend strukturmechanische Beanspruchungen ist der vorgestellte Workflow von TopoSLang für die Topologieoptimierung mit anschließender Formoptimierung gut geeignet, um steifigkeitsoptimale und spannungsgeglättete Design-Vorschläge zu erhalten. Ein flexibler Einsatz in der multidisziplinären Parameteroptimierung mit den unterschiedlichsten Restriktionen und Zielfunktionen ist allerdings nicht möglich. Das zweite vorgestellte Workflow-Konzept ist dagegen allgemein einsetzbar im virtuellen Entwurfsprozess, welches auch durch das komplexe Zusammenspiel verschiedener interdisziplinärer Prozesse gekennzeichnet sein kann. Unter der Voraussetzung, dass automatisierbare und konsistente Simulationsprozesse geschaffen werden können, bietet OptiSLang eine umfangreiche flexible Komplettlösung für nahezu jedes Optimierungsproblem. Über ein ASCII-Interface können beliebig komplexe Berechnungsabläufe externer Solver angeschlossen werden. Weiterhin erlaubt das Workflow-Konzept von OptiSLang die Berücksichtigung beliebiger Optimierungsziele und Restriktionen. Die Optimierung und die Robustheitsbewertung und die einzelnen Solver-Läufe können zeitsparend in heterogenen Netzwerken oder auf Unix-Clustern erfolgen. Die größte Nutzerfreundlichkeit und Robustheit, allerdings zu Lasten der Flexibilität, ist durch die Integration der multidisziplinären Parameteroptimierung in ein gemeinsames Framework unterschiedlicher CAD- und FEM-Anwendungen zu erreichen. Das Application Framework von ANSYS Workbench ist eine erste und sehr perspektivreiche Interface-Architektur für unterschiedliche CAE-Anwendungen. Durch die Integration von OptiSLang können somit beliebige CAD- und FE-Parameter zur selben Zeit und in einem gemeinsamen Optimierungs-Workflow und in einer gemeinsamen Nutzerumgebung betrachtet werden. Das Parameter-Management von ANSYS Workbench übernimmt die automatische Modifikation des CAD- und des FE-Modelles. Literatur BENDSØE, M.: Optimization of Structural Topology, Shape, and Material. Springer Verlag, 1995 BENDSØE, M. ; KIKUCHI, N.: Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method. In: Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 71 (1988), S BOX, G. E. P. ; DRAPER, N. R.: Empirical Model Building and Response Surfaces. New York,USA : John Wiley and Sons, 1987 KOHN, R. V. ; STRANG, G.: Optimal design and relaxation of variational problems. I-III. In: Comm. Pure Appl. Math. 39 (1986), S , , MAUTE, K. ; SCHWARZ, S. ; RAMM, E.: Structural Optimization The Interaction between Form and Mechanics. In: ZAMM Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 79 (1999), Nr. 10, S

16 MLEJNEK, H.P. ; SCHIRRMACHER, R.: An Engineering Approach to Optimal Material Distribution and Shape Finding. In: Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 106 (1993), S MYERS, R. H.: Response Surface Methodology. BostonUSA : Allyn and Bacon Inc., 1971 MYERS, R. H. ; MONTGOMERY, D. C.: Response Surface Methodology - Process and Product Optimization Using Designed Experiments. New York : John Wiley & Sons, Inc., 1995 RIEDEL, J.: Gewichtsoptimierung eines Schiffes unter Spannungsrestriktionen. Weimar, Germany, 2000 ROOS, D. ; WILL, J. ; VOGEL, F.: TopoSLang A Software Package for Structural Optimization of Solid Components, Biological Growth Strategies and Mesh Smoothing. Friedrichshafen, Lake Constance, Germany, October 9-11, 2002 SCHITTKOWSKI, K.: NLPQL: A FORTRAN subroutine solving constrained nonlinear programming problems. In: Annals of Operations Research 5 (1985/86), S SIGMUND, O.: A 99 line topology optimization code written in Matlab. In: Structural Optimization 21 (2000), S SVANBERG, K.: The method of moving asymptotes - A new method for structural optimization. In: International journal for numerical methods in engineering 24 (1993), S THOMAS, H. ; ZHOU, M. ; SCHRAMM, U.: Issues of commercial optimization software development. In: Struct Multidisc Optim 23 (2002), S VOGEL, F.: Topology Optimization of linear-elastic Structures with ANSYS 5.4. In: Proc. NAFEMS Conference on Topology Optimization, 23 Sept VOGEL, F.: Topology Optimization API - a User s Manual. inutech GmbH, 2000 VON MONTIGNY, C. ; SCHWITALLA, J. ; SEIPP, I. ; NIEMEIER, R.: Integrated Workflow Management. Friedrichshafen, Lake Constance, Germany, October 9-11, 2002 WILL, J. ; AKGÜN, T. ; BUCHER, C. ; RIEDEL, J.: Genetische Optimierung von punktgeschweißten Strukturen im Fahrzeugbau. Friedrichshafen, Lake Constance, Germany, October 9-11, 2002 ZILLOBER, Ch.: A globally convergent version of the method of moving asymptotes. In: Structural optimization 6 (1993), S ZILLOBER, Ch.: Software manual for SCPIP 2.2. Technical Report : Informatik Universität Bayreuth,