Über den Gas-Fluss durch Leckkanäle Eine Einführung in die quantitative Lecksuche

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1 Über den Gas-Fluss durch Leckkanäle Eine Einführung in die quantitative Lecksuche On the Gas Flow through Leak Channels An Introduction into quantitative Leak Detection Gerhard Voss Zusammenfassung In dieser Arbeit geht es um das qualitative und quantitative Verständnis des Gas- Flusses durch Leckkanäle. Insbesondere soll das Verständnis gefördert werden, wie die Leckagerate durch Gas-Art, Druck und Temperatur im Leckkanal beeinflusst wird. Summary The gas flow through leak channels is discussed qualitatively and quantitatively as well. In particular, the dependence of leak rate on gas-type, pressure and temperature is a main topic of this paper.

2 1 Einleitung Das Schönste an einem Leckkanal ist die Tatsache, dass man ihn mit den heutigen, kommerziell verfügbaren Vakuum-Leckdetektoren relativ leicht finden kann. Für den Praktiker ist damit die wichtigste Frage bereits beantwortet, nämlich Wo ist das Leck?. Derjenige, der die Eigenschaften eines Leckkanals genauer kennenlernen möchte, wird sich vor allem für die Abhängigkeit der Leckagerate von Gas-Art, Druck und Temperatur interessieren. Der nachfolgende Artikel versucht, die wichtigsten Überlegungen in dieser Richtung übersichtlich und in einfacher Weise darzustellen. 2 Gas-Fluss durch einen Leckkanal bei molekularer und laminar viskoser Strömung Unter den Annahmen, - dass die in Abb.1 gezeigten Bereiche B und A durch eine Wand getrennt und durch einen Leckkanal verbunden sind, - und dass der Druck eines beliebigen Gases im Bereich B ( = p B größer ist als der Druck des Gases im Bereich A ( = p A, strömt das Gas durch den Leckkanal von B nach A. Der einfachste mathematische Ansatz für den Gas-Fluss durch den in Abb. 1 skizzierten Leckkanal lautet: (1 q L = { [ G m c av ] + [ G v (1/ v (p B ] } (p B q L = Gas-Fluss durch den Leckkanal ( = Leckagerate p B = Druck des Gases im Bereich B p A = Druck des Gases im Bereich A c av = Mittlere thermische Geschwindigkeit der Gas-Teilchen v = Viskosität des Gases im laminaren Strömungs-Bereich G m und G v sind reine Geometrie-Faktoren.

3 Der Term (2 G m c av = C m ist der Leitwert des Leckkanals bei molekularer Strömung. Die mittlere thermische Geschwindigkeit der Gas-Teilchen erhält man aus der Beziehung (3 c av = c av (M, T = [ (8/ (R T/M ] (T/M -1 R = Molare Gas-Konstante = 83,145 mbar l mol -1 K M = Molare Masse des Gases [ g mol -1 ], ist gegeben durch die Gas-Art T = Absolute Temperatur des Gases ( = Gas-Temperatur [ K ] Der Term (4 G v (1/ v (p B = C v ist der Leitwert des Leckkanals bei laminar viskoser Strömung. Für ein ideales Gas besteht zwischen v und c av der Zusammenhang: (5 v = v (M, T = (4/ ( p/c av (M T Dabei ist die mittlere freie Weglänge der Gas-Teilchen beim Druck p, d.h. ist diejenige Strecke, die ein Gas-Teilchen beim Druck p im Mittel frei durchfliegen kann, bevor es zu einem Zusammenstoß mit einem anderen Gas-Teilchen kommt. Man beachte, dass bei vorgegebener Gas-Temperatur T das Produkt ( p eine Gas-Artspezifische Konstante darstellt, d.h. es gilt: = (p ist proportional zu 1/p. p B p A Gas-Fluss durch den Leckkanal Abb. 1 Der Leckkanal verbindet die Bereiche B (links und A (rechts. Es wird angenommen, dass der Gas-Druck im Bereich B ( = p B größer ist als im Bereich A ( = p A und somit ein Gas- Fluss durch den Leckkanal von B nach A generiert wird.

4 3 Gas-Fluss durch einen Leckkanal mit zylindrischer Geometrie Normalerweise ist die Geometrie eines Leckkanals nicht bekannt. Dies bedeutet, dass auch die Geometrie-Faktoren G m und G v nicht bekannt sind. Für einen Leckkanal mit zylindrischer Geometrie, d.h. für eine zylindrische Leitung, kann man G m und G v jedoch angeben. Insbesondere gilt für eine lange zylindrische Leitung (D = Durchmesser, L = Länge, L > 10 D: (6 G m = ( /12 (D 3 /L G v = ( /256 (D 4 /L Den Umgang mit den oben genannten Beziehungen lernt man am besten an Hand eines Beispiels: Vorgegeben sei eine Kapillare mit einem Durchmesser von 10 m und einer Länge von 1 mm. Das Testgas Helium 4 (Molare Masse M = 4,0 g mol -1 durchströmt die Kapillare unter Standard-Bedingungen, d.h. das Testgas fließt von p B = 1000 mbar nach p A = 0,1 mbar. Die Temperatur des Gases beträgt 25 C. Zunächst berechnet man mit der Beziehung (3 die mittlere thermische Geschwindigkeit: (7 c av (He 4, 25 C = 145,5 ( T[K]/M[g mol -1 ] m/s = 145,5 [ (273,2 + 25,0 /4,0 ] m/s = 1.256,3 m/s Mit v (He 4, 25 C = 19, mbar s (siehe z.b. [ 1 ] ergibt sich (8 ( p(he 4, 25 C = ( /4 c av (He 4, 25 C v (He 4, 25 C = 19, m mbar Daraus folgt, dass auf der einen Seite der Kapillare laminar viskose Strömung herrscht [ denn die mittlere freie Weglänge B = 19, m mbar/(1000 mbar ~ 0,2 m ist sehr klein gegen den Durchmesser D = 10 m ], während auf der anderen Seite der Kapillare molekulare Strömung herrscht [ denn die mittlere freie Weglänge A = 19, m mbar/(0,1 mbar = m ist sehr groß gegen den Durchmesser D = 10 m ]. In der Kapillare treten also sowohl laminar viskose Strömung als auch molekulare Strömung auf. Der oben aufgeführte mathematische Ansatz (1 sagt: Die beiden Strömungsformen sind parallel geschaltet. Für die Leitwerte C m und C v erhält man und C m = ( /12 (D 3 /L c av (He 4, 25 C = 0,26 ( m 3 /10-3 m 1.256,3 m/s ~ 3, l/s C v = ( /256 (D 4 /L [ v (He 4, 25 C ] -1 (p B = 1, ( m 3 (19, mbar s ,1 mbar ~ 6, l/s

5 Somit beträgt der Fluss des Testgases Helium 4 durch die Kapillare q L (He 4, 25 C = (C m + C v (p B = 9, ,9 mbar l/s ~ 9, mbar l/s ~ 1, mbar l/s Nach dieser Rechnung ist der laminar viskose Gas-Fluss etwa doppelt so groß wie der molekulare Gas-Fluss. Damit drängt sich die Frage auf: Wie klein muss der Durchmesser D werden, damit der molekulare Gas-Fluss deutlich größer wird als der laminar viskose Gas-Fluss? Der Ansatz C m soll dreimal größer sein als C v führt nach einfacher Rechnung auf die Bedingung (8 D muss kleiner sein als [ 256/(9 ] [ ( p(he 4, 25 C ]/(p B ~ 9,1 (19, m mbar/(1.000 mbar ~ 1, m = 1,8 m Mit D= 1,8 m, L = 1 mm und unter der Annahme, dass das Testgas Helium 4 den Leckkanal von p B = 1000 mbar nach p A = 0,1 mbar durchströmt, folgt für die Leckagerate bei 25 C: (9 q L (He 4, 25 C, 1000 mbar 0,1 mbar = ( /12 (D 3 /L c av (He 4, 25 C (p B = 0,26 [ (1, m 3 /10-3 m ] (1.256,3 m/s 999,9 mbar ~ 1, mbar l/s Genauer gesagt, dies ist die Helium-Standard-Leckagerate q N, denn das Testgas Helium 4 strömt von Atmosphären-Druck (1000 mbar ins Vakuum (0,1 mbar, d.h. es gilt q N = q L (He 4, 1000 mbar Vakuum. An Hand dieser Überlegungen und Rechnungen wird deutlich, dass die empirischen Richtlinien Molekulare Stömung im Leckkanal, wenn Laminar viskose Stömung im Leckkanal, wenn q N kleiner 10-6 mbar l/s q N größer 10-4 mbar l/s durchaus sinnvoll sind.

6 4 Einfluss von Gas-Art, Druck und Temperatur auf die Leckagerate Änderung der Gas-Art und der Temperatur Angenommen, ein toxisches Gas ( = Gas-Art 1 strömt durch eine Leitung, in deren Wand sich ein Leckkanal gebildet hat. Bei der Suche nach dem Leckkanal wird man natürlich ein ungefährliches Testgas wie etwa Helium 4 ( = Gas-Art 2 benutzen. Da im normalen Betrieb der Druck im Inneren der Leitung ( = p B größer sein wird als der Atmosphären-Druck ( = p A = 1000 mbar, kommt bei der Lecksuche sinnvollerweise eine Überdruck-Methode wie etwa die Schnüffel-Technik zum Einsatz. Ferner kann man von laminar viskoser Strömung im Leckkanal ausgehen und somit für die Leckagerate beim Einsatz von Testgas ( = Gas-Art 2 gemäß (1 schreiben: (10 q L, v (Gas-Art 2, T, p B, p A = [ G v / v (Gas-Art 2, T ] (p B (p B Wegen der Identität (p B (p B = (p B 2 2 führt dies auf (10a q L, v (Gas-Art 2, T, p B, p A = [ G v / v (Gas-Art 2, T ] (p B 2 2 Folglich kann man folgende Aussage treffen: Wenn die Lecksuche mit der Gas-Art 2 bei der Temperatur T 2 und unter den Druck- Bedingungen (p B, p A durchgeführt wird, so misst man die Leckagerate q L, v (Gas- Art 2, T 2, p B, p A. Strömt die Gas-Art 1 bei der Temperatur T 1 durch den gleichen Leckkanal, so bestimmt sich bei gleichen Druck-Bedingungen die Leckagerate q L, v (Gas-Art 1, T 1, p B, p A aus der Beziehung (11 q L, v (Gas-Art 1, T 1, p B, p A v (Gas-Art 1, T 1 = q L, v (Gas-Art 2, T 2, p B, p A v (Gas-Art 2, T 2 wobei vorausgesetzt wurde, dass die Geometrie des Leckkanals bei den Temperaturen T 1 und T 2 gleich ist und sich bei Änderung der Gas-Art nicht ändert. Ist T 1 = T 2 = T, so geht (11 über in (11a q L, v (Gas-Art 1, T, p B, p A v (Gas-Art 1, T = q L, v (Gas-Art 2, T, p B, p A v (Gas-Art 2, T Setzt man andererseits in (11 Gas-Art 1 = Gas-Art 2, so ergibt sich aus (11 die Temperatur Anpassung (11b q L, v (T 1, p B, p A T 1 = ql, v (T 2, p B, p A T 2 gleiche Gas-Art, aber unterschiedliche Temperaturen im Leckkanal

7 Die Beziehungen (10, (10a, (11, (11a und (11b gelten im Fall der laminar viskosen Strömung. Im Fall der molekularen Strömung gelten abgeleitet aus (1 entsprechende Beziehungen: (12 q L, m (Gas-Art 2, T, p B, p A = G m c av (Gas-Art 2, T (p B (13 q L, m (Gas-Art 1, T 1, p B, p A /c av (Gas-Art 1, T 1 = q L, m (Gas-Art 2, T 2, p B, p A /c av (Gas-Art 2, T 2 (13a q L, m (Gas-Art 1, T, p B, p A M 1 = ql, m (Gas-Art 2, T, p B, p A M 2 (13b q L, m (T 1, p B, p A /T 1 = ql, m (T 2, p B, p A /T 2 Änderung der Druck-Bedingungen Misst man mit einer bestimmten Gas-Art bei der Temperatur T den Gas-Fluss durch einen Leckkanal zunächst unter den Druck-Bedingungen (p B-1, p A-1 und danach bei gleicher Gas-Art und Temperatur unter den Druck-Bedingungen (p B-2, p A-2, so gilt bei laminar viskoser Strömung (14 q L, v (p B-1, p A-1 /(p B = q L, v (p B-2, p A-2 /(p B wobei vorausgesetzt wird, dass sich die Geometrie des Leckkanals bei der Änderung der Druck-Bedingungen nicht ändert. Die Beziehung (14 nennt man Druck- Anpassung bei laminar viskoser Strömung. Im Spezialfall (15 p B-1 = 1 bar absolut, p A-1 = 0 bar absolut ( = Vakuum, p B-2 = p B, p A-2 = p A folgt aus (14 (16 q N, v = q L, v [ 1 bar absolut, 0 bar absolut ( = Vakuum ] = q L, v (p B, p A /(p 2 B p 2 A wobei p B und p A in bar absolut einzusetzen sind. q N, v = q L, v [ 1 bar absolut, 0 bar absolut ( = Vakuum ] nennt man die Standard- Leckagerate bei laminar viskoser Strömung. Den Umgang mit den oben genannten Beziehungen lernt man wieder am besten an Hand eines Beispiels: Vorgegeben sei eine Kapillare, die von Helium 4 bei T = 298 K durchströmt wird. Das durch die Kapillare strömende Gas wird in ein Wasserbad geleitet und in einem mit Wasser gefüllten Reagenzglas aufgefangen. p A ist gegeben durch den Atmosphären- Druck, also 1 bar absolut.

8 Zunächst wird das Experiment unter den Druck-Bedingungen (p B = 2 bar absolut, p A = 1 bar absolut durchgeführt. Ergebnis: Bei einem Atmosphären-Druck von p atm = 1018 mbar werden in der Zeit t = 165 s V = 2 cm 3 Helium 4 im Reagenzglas aufgefangen. Damit ergibt sich für die Leckagerate (17 q L (2 bar absolut, 1 bar absolut = p atm ( V/ t = 1, mbar l/s und gemäß (16 für die Standard-Leckagerate bei laminar viskoser Strömung (18 q N, v = (1, mbar l/s/( = 4, mbar l/s Danach wird das Experiment unter den Druck-Bedingungen (p B = 4 bar absolut, p A = 1 bar absolut durchgeführt. Ergebnis: Bei einem Atmosphären-Druck von p atm = 1018 mbar werden in der Zeit t = 32 s V = 2 cm 3 Helium 4 im Reagenzglas aufgefangen. Damit ergibt sich für die Leckagerate (19 q L (4 bar absolut, 1 bar absolut = p atm ( V/ t = 6, mbar l/s Man beachte, dass sich der Gas-Fluss verfünffacht, wenn p B von 2 bar absolut auf 4 bar absolut verdoppelt wird. Für die Standard-Leckagerate bei laminar viskoser Strömung folgt: (20 q N, v = (6, mbar l/s/( = 4, mbar l/s Die Tatsache, dass die in den beiden Experimenten ermittelten Standard- Leckageraten so gut übereinstimmen [siehe (18 und (20], bedeutet, dass die qualitative Annahme laminar viskose Strömung in der Kapillare sehr vernünftig ist und dass die quantitative Beschreibung q L proportional zu (p B 2 2 ausgezeichnet passt. Da auf einer Seite der Kapillare ein Kleinflansch angebracht ist, kann man die oben ermittelte Standard-Leckagerate mit einem Vakuum-Leckdetektor leicht überprüfen (Leckdetektor im Vakuum-Mode, Testgas = Helium 4, T = 298 K, p B = 1 bar absolut, p A = 0 bar absolut. Ein Knopfdruck, und man sieht die Standard-Leckagerate der Kapillare im Display des Leckdetektors. 4, mbar l/s war das Ergebnis, also eine Abweichung von + 10% gegenüber den unter (18 und (20 angegebenen Werten. Eine Abweichung von + 10% kann man in der praktischen Lecksuch- Technik tolerieren. Im Fall der molekularen Strömung gelten abgeleitet aus (1 entsprechende Beziehungen: (21 q L, m (p B-1, p A-1 /(p B-1-1 = q L, m (p B-2, p A-2 /(p B-2-2 wobei vorausgesetzt wird, dass sich die Geometrie des Leckkanals bei der Änderung der Druck-Bedingungen nicht ändert. Die Beziehung (21 nennt man Druck- Anpassung bei molekularer Strömung.

9 Im Spezialfall (22 p B-1 = 1 bar absolut, p A-1 = 0 bar absolut ( = Vakuum, p B-2 = p B, p A-2 = p A folgt aus (21 (23 q N, m = q L, m [ 1 bar absolut, 0 bar absolut ( = Vakuum ] = q L, m (p B, p A /(p B wobei p B und p A in bar absolut einzusetzen sind. q N, m = q L, m [ 1 bar absolut, 0 bar absolut ( = Vakuum ] nennt man die Standard- Leckagerate bei molekularer Strömung. Ferner ist zu bemerken, dass die Standard-Leckagerate eines Prüfobjekts immer dann ermittelt werden muss, wenn man gemessene Leckageraten vergleichen will. Eine in Köln ermittelte Standard-Leckagerate muss in New York reproduziert werden können, wenn das Prüfobjekt dorthin geschickt wird und die Geometrie des Leckkanals dabei nicht verändert wird. Auch wenn in New York unter vollkommen anderen Druck-Bedingungen gemessen wird, die Standard-Leckagerate muss mit der in Köln gemessenen Standard-Leckagerate übereinstimmen. Die Standard- Leckagerate ist eine intrinsische Eigenschaft des Prüfobjekts! 5 Schlussbemerkung Viele Formeln, aber Mozart würde sagen: Genau so viele wie nötig. Im Zeitalter des Computers ist es sinnvoll, die oben aufgeführten Formeln in einer Tabellen- Kalkulation zu hinterlegen. Damit sind sie jederzeit verfügbar und sicher anzuwenden. Genau dies war die Intention des Autors beim Schreiben dieses Artikels: Wissen und Formeln zum Thema Lecksuche in konzentrierter Form zusammenzustellen und in einfacher Weise zugänglich zu machen. Referenzen [ 1 ] Rottländer, H.; Umrath,W.; Voss, Gerhard: Grundlagen der Lecksuch-Technik, Dezember 2014, Herausgeber: Oerlikon Leybold Vacuum GmbH

10 Autor Gerhard Voss Senior Consultant Vacuum Academy Jahrgang 1951, Physik- und Mathematik-Studium an der Universität zu Köln; seit 1984 bei der Oerlikon Leybold Vacuum GmbH; von Juli 2005 bis Juni 2015 Leiter der Vacuum Academy, dem Aus- und Weiterbildungszentrum von Oerlikon Leybold Vacuum; Autor zahlreicher Fachartikel, Mitglied der Deutschen Vakuum-Gesellschaft (DVG und der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (DPG, Vorsitzender des Fachverbands Vakuumphysik und Vakuumtechnik der DPG von 2010 bis 2015.