3 Tonsysteme / Musikalische Stimmungen

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1 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Tonsysteme / Musikalische Stimmungen. Harmonie: Konsonanz und Dissonanz Bisher nur mit einem Klang bzw. einer Tonhöhe beschätigt Jetzt geht es um das Zusammenklingen (Konsonanz) zweier oder mehrerer Klänge Ergebnis ( ür später): Die Tonhöhe wird durch die Frequenz bestimmt Die Tonintervalle durch das Frequenzverhältnis Pythagoras von Samos (7- v. Chr.) Harmonie Verhältnis kleiner ganzer Zahlen (Rationale Zahlen) Zahlen und Proportionen haben tieeren Sinn, z.b.: pythagoräische Zahlen: a + b c (,,) platonische Körper, regelmäßige Polyeder Untersuchung des harmonischen Zusammenklangs (Konsonanz) zweier Töne Zusammenhangs zwischen Saitenlänge und Tonhöhe Versuch: Messung der Frequenzen am Monochord mit Oszilloskop entweder mit Mikroon oder mit Tonabnehmer d.h. Pick-up-Spule L L L L Elementare konsonante Tonintervalle (Konsonanz von Klangintervallen augrund zusammenallender Obertonspektren) Auszug aus Galilei, Galileo: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreend",.6 "Das primäre, unmittelbare Verhältnis der akustischen Intervalle wird weder von der Länge der Saiten noch von ihrer Spannung oder ihrem Querschnitt bestimmt, sondern von der Anzahl der Schwingungen und Luterschütterungen, die unser Trommelell treen und letzteres entsprechend erzittern lassen. Halten wir dieses est, so können wir mit Sicherheit angeben, weshalb uns einige Zusammenklänge angenehm, andere weniger angenehm und wieder andere sehr mißallend berühren, also den Grund ür die mehr oder minder vollkommene Konsonanz und ür die Dissonanz.. Konsonant und wohlklingend werden diejenigen Intervalle sein, deren Töne in einer gewissen Ordnung das Trommelell erschüttern; wozu vor allem gehört, daß die Schwingungszahlen in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen, damit die Knorpel des Trommelells sich nicht in steter Qual beinden, in verschiedenen Richtungen ausweichen zu müssen und den auseinandergehenden Schlägen zu gehorchen.

2 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Deshalb ist die erste und vollkommenste Konsonanz die, weil au jede Erschütterung des tieeren Tones zwei des höheren kommen, so daß beide abwechselnd zusammenallen und auseinandergehen... Die e klingt auch sehr gut, weil au die zwei Schwingungen der einen Saite die höhere drei Schwingungen vollührt, von denen also ein Drittel mit denen des tieeren Tones zusammenällt; und bei der e trit die vierte Schwingung mit der des Grundtones zusammen. Bei der e trit nur noch eine von neun Schwingungen eine Schwingung des tieeren Tones, alle anderen weichen ab, und daher empindet man bereits eine Dissonanz" Bemerkung: Dies von den Schülern erklären bzw. übersetzen lassen : "au jede Erschütterung", d.h. au eine Periode des tieeren Tones T T kommen zwei Perioden des höheren bzw. Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit des höheren Tones doppelt so groß. : "au zwei Schwingungen der einen"..: T T bzw. T/T / bzw. / / e: "die vierte Schwingung...": T T bzw. T/T / bzw. / / : ( ) Der höhere Klang ( ) hat nur Obertöne, welche auch im tieeren Klang vorhanden ist : ( / ) Jeder zweite Oberton des höheren Klangs ist im Obertonspektrum des tieeren Klangs enthalten : ( / ) Jeder zweite Oberton des höheren Klangs ( ) ist im Obertonspektrum des tieeren Klangs enthalten Merksatz: Zwei Klänge werden als konsonant (zusammenklingend) empunden, wenn sie viele gemeinsame Obertöne besitzen. Je geringer die Zahl der gemeinsamen Obertöne, desto dissonanter der Zusammenklang. Nicht die absoluten Frequenzwerte, sondern die Frequenzverhältnisse sind ausschlaggebend, ob Konsonanz oder Dissonanz vorliegen! Frequenzverhältnis zweier Töne bezeichnet man als Tonstue oder Intervall Die Schwingungsverhältnisse der Obertöne entscheiden über Konsonanz und Dissonanz Vollkommene Konsonanzen:, Unvollkommene Konsonanzen: e, und kleine Terz, und kleine Sexte Dissonanzen: und kleine Septime, und kleine

3 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Bemerkung: Bezeichnungsweisen ür verschiedene Tonlagen: Bezeichnung der Oktav-Anangstöne im deutschen Sprachraum C C C c c c c c c nach Helmholtz C II C I C c c' c'' c''' c'''' c v nach USA Norm C C C C C C C 6 C 7 C.. Aubau der pythagoräischen Tonleiter über Ganz- und Halbtonintervalle / Monochord Bemerkungen: Pythagoras kannte keine Frequenzen, sondern nur Saitenlängen. Dies ist aber gleichwertig mit der olgenden Frequenzbehandlung. Die in Klammern angedeutete Abhängigkeit der physikalischen Frequenz von der physikalischen Tonbezeichnung ist keine Abhängigkeit im unktionalen Sinne. Besser wären Indices!!! Prinzip: Konsequenz: Einem musikalisch empundenen esten Intervall zweier Töne entspricht physikalisch dem Verhältnis der beiden Frequenzen / Der Summe zweier musikalischer Tonintervalle entspricht physikalisch dem Produkt der entsprechenden Frequenzverhältnisse. Tonbezeichnung: C G c Tonintervall: Frequenzverhältnis: ( G) ( C) ( c) ( G) Frequenz (C) (G) (c) Oktav Andere Schreibweise: ( c) ( G) ( C) ( C) ( C) + Oktav ( G) ( c) ( c) ( C) ( G) ( C) Konsequenz: Der Dierenz zweier musikalischer Tonintervalle entspricht physikalisch der Quotient der entsprechenden Frequenzverhältnisse. Oktav - ( c) ( c) ( C) ( G) ( G) ( C) 6 Augabe: Berechnen Sie das Frequenzverhältnis ür einen Ganztonschritt () in pythagoreischer Stimmung:

4 Schwingungslehre in Kursstue 6/ 7 Ernst Schreier Oktav C G c F G C ( G) ( C) G Tonintervall Frequenzverhältnis C F G Tonintervalle ( F) ( C) ( G) ( F) (C) (F) (G) Frequenzverhältnis Rechenschritt - ( G) ( F) ( G) ( C) ( C) ( F) Augabe: Vervollständigung der Pythagoräischen Tonleiter: / / Frequenzverhältnis relativ zum Vorgänger (Ganzton bzw. Halbtonschritt) C D E F G A H C Halbton Halbton / / / / / Terz Halbton Tritonus Halbton ( / ) / 6 6 / ( / ) 7 / 6 / Frequenzverhältnis relativ zum Grundton C C D E F G A H C / / 6 / / 7 / 6 /

5 Schwingungslehre in Kursstue 7/ 7 Ernst Schreier Berechnung des pythagoräischen Halbtonschrittes: - Terz: - Tritonus: 6 6 Die ( ' / / ) spielt die entscheidende Bedeutung beim Aubau der pythagoräischen Tonleiter.. Aubau der pythagoräischen Tonleiter über den enzirkel Prinzip: ensprünge auwärts (im Urzeigersinn): Multiplikation mit Faktor (/) ensprünge abwärts (gegen Urzeigersinn): Multiplikation mit Faktor (/) Bei Überschreiten der Runteroktavieren Faktor (/) F C G D A E H Oktav nach oben nach unten n nach unten F C G D A E H A H G C F 7 6 D E 6 Weiterührung lieert die Halbtöne H - Fis - Cis - Gis - Dis - Ais - Eis - C

6 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Problem rationaler Frequenzverhältnisse: enzirkel schliesst sich nicht! Augrund der Anzahl der Halbtonschritte müsste gelten: 7 Es gilt jedoch: en 7 n 7 Die Tondierenz bei Kreisschluß des enzirkels nennt man pythagoräisches Komma 7. Naturtonreihe / Blechbläser / Diatonische Tonleiter Versuch: Messung der Frequenzen des Heulrohres mit Oszilloskop Diese Töne kommen durch eine Resonanz der Lutströmung im Inneren des Rohres zu Stande. Abhängig von der Geschwindigkeit wird jeweils nur einer der Partialtöne verstärkt. Die entstehenden Töne bilden zusammen die sogenannte Naturtonreihe. Sie entsteht auch bei vielen Musikinstrumenten, z.b. bei Blechbläsern. Die Folge der (musikalischen) Naturtonreihe entspricht der Folge der (physikalischen) Harmonischen (Obertöne bzw. Partialtöne) C C G c e g b c d e 6 7 Die Intervalle zwischen den Obertönen sind deshalb von Natur aus konsonant 6 kleine Terz Terz Terz kleine kleine Sexte Sexte Versuch: Messung der Frequenzen der Trompete mit Oszilloskop Naturtöne der Trompete: 6, Hz (B), Hz (b),, Hz (), 66 Hz (b') Ventile verlängern das Hauptrohr entsprechend Man benötigt nur Ventile, um alle chromatischen Töne zu erzeugen!!!!!!!!. Ventil /,. Ventil kleine /,. Ventil kleine Terz 6 /,.+. Ventil Terz + kleine ( / )( / ) /,.+. Ventil + kleine Terz ( / )(6 / ) 7/,.+. Ventil kleine + kleine Terz (/ )(6 / ) /,.+.+. Ventil + kleine + kleine Terz ( / )( / )(6 / ) kein Ventil /,

7 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Dur-Dreiklänge bestehen aus Prim (Tonika), r Terz (Mediante) und (Dominante). (Tonika) Terz / (Mediante) / (Dominante) Die natürliche diatonische Dur Tonleiter ergibt sich durch Aubau dreier Dur-Dreiklänge au Tonika, Dominante und Subdominante Tonale Musik ist au diesen drei Stuen augebaut im Gegensatz zur atonalen Musik (z.b. Zwöltonmusik) Frequenzverhältnisse relativ zum Grundton C C D E F G A H C d / / / / / / / / C E G Terz / / Subdominante F A C Terz / / Dominante G H d Terz / / Die natürliche diatonische Dur Tonleiter (Frequenzverhältnisse relativ zum Grundton C): C D E F G A H C / / / / / / Die natürliche diatonische Dur Tonleiter (Frequenzverhältnisse benachbarter Töne): / / 6 / / / / 6 / kleine Halbton kleine Halbton Alle Töne bis au und Septime bilden mit dem Grundton Konsonanzen. Die diatonische Tonleiter erüllt optimal die Forderung nach einer harmonischen Zusammenstellung und wird auch "Reine" Tonskala bzw. "Reine Stimmung" genannt.

8 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Fülle von konsonanten Tonintervallen mit kleinen Verhältniszahlen innerhalb einer : C D E F G A H c d e en en gr. Terzen kl. Terzen Frequenz Verhältnis Tonintervall : : e : e : Sexte : Terz : 6 kleine Terz : kleine Sext : 7 kleine Sept 7 : Tritonus : r Ganzton : kleiner Ganzton Harmonie empinden vollkommene Konsonanzen unvollkommene Konsonanzen Dissonanzen. Temperierte Stimmung / Kammerton / Gitarrengribrett Orchestermusik mit Instrumenten ester Tonlage bringt die Notwendigkeit mit sich, die Einzelinstrumente aueinander abzustimmen. Forderungen: bleibt rein, d.h. ' / / Insgesamt Halbtonschritte (Fün Ganztöne und zwei Halbtöne) Jeder dieser Halbtonschritte sollte als Grundton einer Tonleiter einsetzbar sein. Lösung: Halbtonschritte mit einheitlichem Frequenzverhältnis n+ n k und k k,6 Eine irrationales Frequenzverhältnis ist aus der pythagoreischen Zahlenmystik undenkbares Verhältnis. Wichtiger war nun das musikalische Empinden und die prakt. Durchührbarkeit.

9 Schwingungslehre in Kursstue / 7 Ernst Schreier Die temperierte Stimmung liegt somit "vermittelnd" zwischen der pythagoräischen und diatonischen Stimmung: Pythagoreisch Diatonisch Temperiert c d,,,6 e,66,,,,, g,,, a,67,66667,67 h,,7,77 c' Kammerton A ( Hz): Allgemein verbindliche Festlegung der Tonskala au eine bestimmt Tonlage innerhalb des Frequenzspektrums (Absolute Schwingungszahlen) Logarithmisches Intervallmaß (siehe Weber-Fechner) in Analogie zum Schalldruckpegel: Die relativen Frequenzen aueinanderolgender n bilden die Potenzreihe von Z log log log Die dimensionslose Einheit (analog zu db) wird hier Cent genannt Der Faktor entspricht der Vereinbarung, die in gleiche Intervalle einzuteilen. Ein Halbtonschritt entspricht dem Intervallmaß Cent