Das Pythagoreische Komma

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1 Das Pythagoreische Komma

2 Grundlagen Kenngrößen Amplitude, Frequenz, Phase F2

3 Grundlagen Einheiten für Frequenz und Lautstärke Frequenz: Hertz (Heinrich Hertz, ) Ein Signal (Ton) hat die Frequenz von n Hz, wenn es n Schwingungen pro Sekunde macht. Lautstärke: Bel (Alexander Graham Bell, ) Ein Ton hat die Lautstärke von n Bel = 10n Dezibel, wenn der Schalldruck 10 n Mal größer ist als der Schalldruck bei der Hörschwelle. Das Maß ist ein logarithmisches Maß, was schnell zu Fehlinterpretationen und Missverständnissen führt. (normale Unterhaltung 4 bis 6 Bel, also 40 bis 60 Dezibel).

4 Töne erzeugen Ein schwingungsfähiger Gegenstand wird in Schwingungen versetzt. Je nach Gestalt, Material und Spannung hören wir einen Ton in einer bestimmten Höhe. - eine Saite wird gezupft, angeschlagen, gestrichen - ein Trommel wird geschlagen - eine Glocke wird angeschlagen - eine Flöte wird angeblasen

5 Obertöne (theor.) Aber: Ein Ton kommt nie allein. 1f Grundton 1. Oberton 2f 3f 2. Oberton F5

6 Blockflöte Obertöne (praktisch) 795Hz 3138Hz 1576Hz 2358Hz

7 Gitarrensaite Obertöne (praktisch) 195Hz 391Hz 582Hz 775Hz

8 Gitarrenkörper Obertöne (praktisch) 313Hz 113Hz 257Hz 423Hz

9 Weinglas Obertöne (praktisch) 701Hz 1815Hz 3408Hz

10 Wasserglas Obertöne (praktisch) 2195Hz 4805Hz

11 Sinuston Obertöne (praktisch) 400Hz 797Hz 1198Hz 1989Hz 1593Hz

12 Das Zusammensetzen von Tönen F12

13 Die Oktave Die Oktave (Verdoppelung der Frequenz) ist die Grundeinteilung der Tonhöhen. In diesem Tonhöhenabstand wiederholt sich die Einteilung in verschiedene Tonhöhen - Töne. Der um eine Oktave höhere Ton wird gegenüber dem Grundton nicht als neuer Ton empfunden.

14 Die Quinte 2. Oberton ( 3) Oktave (:2) Grundton Quinte zum Grundton Oktave ( 2) 2. Oktave ( 4) Die Quinte zum Grundton ist der Ton mit der 3 1,5-fachen Frequenz des Grundtons. 2 =

15 Pythagoras Sein Motto: Alles ist Zahl Harmonie zeigt sich in einfachen Zahlenverhältnissen Quinte -> 3 2 -> damit weitere Töne erzeugen : C Quinte G G Quinte D' Oktave D Fortsetzen, bis man wieder zum Grundton bzw. eine Oktave höher gelangt.

16 Zweier- und Dreierpotenzen 3 2 n 1 2 k = 1 Grundton Quintenschritte gegebenenfalls Oktavschritte nach unten 3 n 2 n 1 2 k = 1 3 n 2 = 1 3 n = 2 m n+k Die Einteilung der Oktave in Töne gelingt dann, wenn Dreier- und Zweierpotenzen nahe bei einander liegen.

17 Zweier- und Dreierpotenzen n Arbeitsbögen

18 Quintenzirkel Vorbereitung Grundton 1. Oktave 2. Oktave 3. Oktave 4. Oktave 5. Oktave 6. Oktave Frequenz Wir wickeln alle Oktavintervalle auf, so dass alle Töne, die genau eine Oktave auseinander liegen (Faktor 2), übereinander kommen.

19 Quintenzirkel Eine Frequenzerhöhung ist eine Drehung im Uhrzeigersinn. 2 wird zu Kommt man über die 2, so wird die Frequenz halbiert, damit man letztlich in ein und derselben Oktave (im Intervall von 1 bis 2) bleibt.

20 Quintenzirkel 3 Die Quinte (Frequenzerhöhung mit ) ist eine Drehung um 210,59. 2 = 1, = 1,5

21 Quintenzirkel Die Herleitung des Winkels. 2= 2 1 1= x = 3 2 log 3 2 = 1,5 = 2x log2 x = log 3 2 loga b = b loga x log2 = log 3 2 x = log 3 2 log 2 ( ) 0,585 Für die Drehung: α = 360 x 360 0, ,5865

22 1. Näherung: fünf Quinten 5. Quinte Start 2 8 = = Quinte Die allererste Näherung erhält man nach fünf Quintenschritten. 3. Quinte 5 210,5865 = 1052, = 1080 Differenz = 27, Quinte 1. Quinte

23 2. Näherung: sieben Quinten 2 11 = = 3 7 Nach sieben Quintenschritten (und vier Oktavverminderungen) kommt man wieder in die Nähe des Grundtons ,5865 = 1474, = 1440 Differenz = 34,1055 Das ist eine schlechtere Näherung als die in der Pentatonik.

24 3. Näherung: zwölf Quinten 10. Quinte 5. Quinte Start 12. Quinte 7. Quinte 2 19 = = Quinte Die nächste, bessere Näherung erhält man nach 12 Quintenschritten. 3. Quinte 8. Quinte 9. Quinte 4. Quinte ,5865 = 2527, = 2520 Differenz = 7, Quinte 6. Quinte 11. Quinte Das ist eine deutliche Verbesserung gegenüber der Pentatonik.

25 Quintenzirkel und pythagoreisches Komma B H C Cis D Man erhält dann 12 Töne pro Oktave. A Gis G Fis F E Dis Vom F zum C ist es keine reine Quinte. Der Unterschied zum reinen Ton ist das pythagoreische Komma.

26 Die Suche nach besseren Näherungen ,5865 = 8634, = 8640 Differenz = 5, ,5865 = 11161, = Differenz = 1,0845 Erst nach 41 Quintenschritten erhält man eine (leichte) Verbesserung gegenüber dem pythagoreischen Komma. Und erst bei 53 Quintenschritten ist die Verbesserung erheblich.

27 Die gleichstufige Stimmung auch temperierte oder wohltemperierte Stimmung Grundlagen von A. Werkmeister ( ) und J.S. Bach ( ) Die Oktave bleibt in zwölf Halbtöne eingeteilt, aber jeder Halbtonschritt ist gleich groß. math.: Die Frequenz wird für jeden Halbtonschritt mit dem Faktor S erhöht.

28 Die gleichstufige Stimmung S S B S H 2 1 S C Cis S D S Nach zwölf Schritten S erreicht man vom Grundton (1x) die Oktave (2x). S A Gis Dis E S S 12 = S = 2 1, S G Fis F S S S

29 Die gleichstufige Stimmung Quinte 1,5 Die Quinte besteht aus sieben Halbtonschritten. Also multipliziert man dazu sieben man mit S. S 7 = ( 12 2 ) 7 1, , Die einfachen Intervalle sind nicht mehr rein.

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