Verteilung ordinaler Muster in EEG-Daten

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1 Verteilung ordinaler Muster in EEG-Daten Karsten Keller Mathieu Sinn Institut für Mathematik Universität zu Lübeck GMDS-Jahrestagung 2006

2 a we want to develop methods combining symbolic dynamics, nominal statistics, and information theory. The main aim is to identify, to classify Junge mit andverletzungen to discriminate in parts der linken of a time Gehirnhälfte, series being related to certain epileptischer states of Aktivität a system. Special emphasize is put on symbolic dynamics Ursache: related konnatale to the Toxoplasmose ordinal structure derof Mutter time series während and to the application Schwangerschaft of the methods to EEG-analysis. Beispiel 1 s t a s F7 F3 T3 C3 T5 P3 MRI FP1 FP2 FZ F4 F8 CZ C4 T4 PZ P4 T6 O1 O2 Electrode positions s EEG time series M s Figure 1 1 K., Lauffer, Int. J. Bifurcation Chaos 13 (2003), N

3 Ziele für EEG-Analyse und darüber hinaus einfache Methoden (für erste und/oder automatische) explorative (hochdimensionale) Datenanalyse, die robust gegenüber Rauschen und (kleinen/monotonen) Skalenänderungen realisierbar durch sehr schnelle und flexible Algorithmen Quantifikation und Visualisierung zeitlicher Komplexitätsänderungen zeitlicher Änderungen der Ähnlichkeit, Unähnlichkeit, Kopplung zwischen Zeitreihenkomponenten Identifikation, Klassifikation and Diskriminierung (von Teilen) von Zeitreihen, die mit bestimmten Systemzuständen assoziiert Unterscheidung von Determinismus und Stochastizität

4 Inhalt 1. Ordinale Zeitreihenanalyse 2. Exemplarisch: Entropieanalyse 3. Exemplarisch: Clusterung ordinaler Musterverteilungen

5 1. Ordinale Zeitreihenanalyse

6 Idee der symbolischen Dynamik original Orbit eines (diskreten) dynamischen Systems, einer Zeitreihe..., x t 4, x t 3, x t 2, x t 1, x t, x t+1, x t+2, x t+3, x t n... R symbolisch..., s t 4, s t 3, s t 2, s t 1, s t, s t+1, s t+2, s t+3, s t+4

7 Symbolische Dynamik für Delaykoordinaten 2 original Dimension d + 1 Delay τ... τ R d+1 symbolisch..., s t 4, s t 3, s t 2, s t 1, s t, s t+1, s t+2, s t+3, s t+4 2 Takens, in: Dynamical Systems and Turbulence, Springer 1981

8 Ordinale Muster gegeben Delay τ {1, 2, 3,...} und Ordnung d {1, 2, 3,...} Delaykoordinaten liefern Vektoren (x t, x t τ,..., x t (d 1)τ, x t dτ ) R d+1 Bestimmung des Ordnungstyps dieser Vektoren liefern Zerlegung des R d+1 in Mengen gleichen ordinalen Musters = Permutation π τ d (t) Beispiel: (d = 3) x t 2τ x t 3τ x t 1τ x t 0τ t 3τ t 2τ t 1τ t 0τ x t 2τ > x t 3τ > x t 1τ > x t 0τ πd τ (t) = (2, 3, 1, 0)

9 Analyse der Musterverteilung Zählen ordinaler Muster πd τ (t) in (Teil) einer Zeitreihe Analyse der Musterverteilung Permutationsentropie 3 andere Maßzahlen 4 multivariate Analysemethoden 5, 6 3 Bandt, Pompe, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), , auch Misiurewicz K., Sinn, Ordinal analysis of EEG time series, Chaos and Complexity Letters 2 (2006) 5 K., Wittfeld, Int. J. Bifurcation Chaos 14 (2004), Groth, Visualization and detection of coupling in time series by order recurrence plots. Greifswald 2004

10 2. Exemplarisch: Entropieanalyse

11 Die Permutationsentropie = Shannon-Entropie P P d µ(p) ln µ(p) für Zerlegung nach ordinalen Mustern P d für eindimensionale diskrete dynamische Systeme: Robustheit unter dynamischem und Beobachtungsrauschen 7 starke Limes -Beziehung zur Kolmogorov-Sinai-Entropie 8 Theorem: Ist f stückweise monotone Intervallabbildung and µ ein invariantes Maß für f, so ist lim d 1 d P P d µ(p) ln µ(p) die Kolmogorov-Sinai-Entropie von f. 7 Bandt, Pompe, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 8 Bandt, G. Keller, Pompe, Nonlinearity 15 (2002),

12 Empirische Permutationsentropie (multivariater Ansatz) Fenstergröße δ, m Kanäle, n = (d + 1)! ordinale Muster (h ij ) m,n i,j=1 = = m,n relative Häufigkeit von Kombinationen Kanal i and Muster j im Zeitintervall [t δ + 1, t] i,j=1 h h 1j... h 1n h 1 = 1 m Kanal h i1... h ij... h in h j = 1 m Kanal j.... h m1... h mj... h mn h m = 1 m Kanal m totale h 1... h j... h n

13 totale Permutationsentropie: E t = n j=1 h j ln h j i-th Kanal -Permutationsentropie: E i t = n j=1 mh ij ln(mh ij ) Kontingenz: ϕ 2 t = m,n (h ij h i h j) 2 i,j=1 h i h j = 1 ( m n m i=1 j=1 (mh ij h j) 2 Wenn Kanal -Musterverteilung nicht zu verschieden : m E t 1 E i m t + ϕ2 t 2 i=1 h j ) totale Kompl. mittlere Kompl. + Inhomogenität

14 sphere of the brain (blue curves) are more concentrated than those mapping the left hemisphere (magenta). Here note that the MRI totale (Fig. und 1) has Kanal- revealed Permutationsentropie, lesions predominatly gefenstert in the left (2temporal s), d = 3, lobe. τ = 4 Beispiel: Vagus-Stimulation und EEG-Analyse at age of 11 years before implantation one month after implantation Figure 1 three months after implantation s Figure 2

15 3. Exemplarisch: Clusterung ordinaler Musterverteilungen

16 Idee Zerlegung aller EEG-Komponenten (Kanäle) in Abschnitte gleicher Länge Bestimmung der jeweiligen ordinalen Musterverteilungen Clusterung bezüglich eine Abstands von Musterverteilungen d = 3, τ = 1, Abschnitte von 2s, Variationsabstand, Complete Linkage, 2 Cluster

17 Datamining gleichzeitige Visualisierung verschiedener EEG-Daten