Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

Transkript

1 ZUNAME:... VORNAME:... MAT. NR.:... Prüfung Musterlösung A Datenkommunikation Institute of Telecommunications Görtz, Goiser, Hlawatsch, Matz, Mecklenbräuker, Rupp, Zseby TU-Wien Bitte beachten Sie: Die Dauer dieser Klausur beträgt zwei Zeitstunden. Mobiltelefone müssen während der Prüfung ausgeschaltet sein und dürfen nicht auf dem Tisch liegen! Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis auf Ihrem Tisch zur Überprüfung bereit. Es sind (außer Schreibwerkzeugen) keine Hilfsmittel erlaubt, auch keine Taschenrechner! Bitte verwenden Sie einen permanent färbenden, nicht-roten Stift. Die Beispiele sind ausschließlich auf den Seiten dieser Angabe auszuarbeiten. Mitgebrachte Zusatzblätter werden ignoriert! Sofern weitere Leerseiten zur Bearbeitung der Beispiele benötigt werden, sind diese bei der Klausuraufsicht erhältlich. Bitte bearbeiten Sie nicht mehr als ein Beispiel auf einem Blatt. Bitte kennzeichnen Sie auf jeder Seite eindeutig, welche Aufgabe und welcher Unterpunkt behandelt wird. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer! Diese Angabe muss, mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer beschriftet, bei der Klausuraufsicht abgegeben werden. Sie dürfen diese Angabe nicht mitnehmen! Sofern Sie nicht wollen, dass Ihre Bearbeitung eines Beispiels gewertet wird, streichen Sie die entsprechenden Seiten klar ersichtlich durch. Eine lesbare Schrift und übersichtliche Darstellung ist eine Voraussetzung für die positive Beurteilung der Arbeit! Bitte bleiben Sie bei Klausurende so lange auf Ihrem Platz, bis alle Klausuren eingesammelt sind und die Klausuraufsicht die Freigabe zum Verlassen der Hörsaals erteilt. Sofern Sie während der Klausur zur Toilette müssen, melden Sie sich bitte rechtzeitig bei der Klausuraufsicht. Bitte verlassen Sie nicht ohne Rücksprache mit der Klausuraufsicht den Hörsaal. Sofern Sie vor dem Klausurende gehen wollen, tun Sie dies bitte nicht in den letzten 5min vor dem Ende der Klausur. Melden Sie sich bevor Sie gehen bei der Klausuraufsicht und geben Sie Ihre Angabe ab. Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

2 Musterlösung A. Matrikelnummer:... Aufgabe : ( Punkte) Ihr Handy-Akku kann 8mAh speichern. Tägliche Nutzung verringert die Akkuladung um 5%. Zu kurzes Aufladen kurz vor Ende des Tages gibt dem Akku täglich nur mah dazu. Wir gehen davon aus, dass der Akku am Ende des Tages k = vollständig geladen ist. (a) (4 Punkte) Stellen Sie eine rekursive, zeitdiskrete Gleichung im Zeitbereich für denladezustandy(k),k,desakkusamendedestagesauf,geradenachdem die tägliche Aufladung abgeschlossen ist. (b) (4 Punkte) Geben Sie die zugehörige Z-Transformierte an. (c) (4 Punkte) Geben Sie einen Signalflussgraphen dazu an. Berechnen Sie nun folgende Aufgaben: (d) (4 Punkte) Nach wie viel Tagen sinkt die Ladung am Ende des Tages unter die Hälfte? (e) (4 Punkte) Kann sie unter % sinken? Erklären Sie dies. (a) Zeitreihe: k y(k) 8 9+ = 5 + = = = = = = Differenzengleichung: y(k) = y(k )+8δ[k]+U(k ) = y(k )+7δ(k)+U(k) mit dem Anfangswert y( ) =, dem zeitdiskreten Impuls δ(k) und dem Sprung U(k). (b) Z-Transformierte aus Transformation der Differenzengleichung: Y(z) = z Y(z)+7+ z z

3 Musterlösung A.3 Matrikelnummer:... Diese Z-Transformierte kann auch zur analytischen Lösung verwendet werden (nicht Teil der geforderten Lösung der Aufgabe): Y(z)( z z ) = 7+ z z z Y(z) = 7 z + (z )(z ) z = 7 z + z 3z + + 3z (z )(z ) 3 z = 7 z + + z (z )(z ) z = 7 z + + z z z = 7 z + + z z z z 5z z Die analytische Lösung lautet daher ( ) k y(k) = 7 U(k) + δ(k) ( ) k U(k )+U(k ) ( ) ( k ( = 7 U(k) + δ(k) ) k ( ) U(k) δ(k)) +(U(k) δ(k)) ( ) ( k ( = 7 U(k) + δ(k) ) k U(k) δ(k)) +(U(k) δ(k)) ( ) ( k ( = 7 U(k) ) k ( ) k ( ) k U(k)) +U(k) = 7 U(k) U(k)+U(k) ( ) k ( ) k = 6 U(k)+U(k) y(k) = 6 U(k)+U(k) (c) Signalflusspraph: 7δ(k) + U(k) + y(k) * D= (d) Bei k = (siehe Tabelle) ist die Ladung kleiner als 8/ = 9. (e) Aus Tabelle ersichtlich: Zeitreihe konvergiert, d.h. es gibt eine Konstante y( ). Daher für k : y( ) = y( ) + direkt aus der Differenzengleichung. Der Wert der Konstanten ist damit y( )( /) = y( ) =. Da > 8 kann der Ladezustand nicht unter % sinken.

4 Musterlösung A.4 Matrikelnummer:... Aufgabe : ( Punkte) Eindimensionale Betrachtung: Von einem satellitengestützten Positionsbestimmungssystem ist folgendes bekannt: () Das Satellitensignal wird aus dem Generatorpolynom p(x) = x 4 +x+ erzeugt, () die Pulsform der Chips sind NRZ-Pulse, (3) die Chiprate beträgt Mchip/s, (4) die Synchronisationsgenauigkeit liegt unter % der Chipdauer. (a) (4 Punkte) Zeichnen Sie die Schieberegisterrealisierung des Generatorpolynoms. (b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die binäre Folge. (c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die periodische Autokorrelationsfunktion der Folge. (d) (4 Punkte) Ist die Autokorrelationsfunktion geeignet zur Positionsbestimmung? Wenn ja, warum? (e) (4 Punkte) Welche eindimensionale Genauigkeit der Ortsbestimmung kann, unter der Annahme von idealen Ausbreitungsverhältnissen, erreicht werden? Hinweis: Der NRZ(no-return-to-zero) Puls entspricht einer rechteckigen Kurvenform. (a) Durch null setzen des Generatorpolynoms folgt die Schieberegisterrealisierung: p(x) = x 4 +x+ = = x 4 +x Abbildung : Schieberegisterrealisierung des Generatorpolynoms p(x) = x 4 +x+. (b) Füttert man das Schieberegister mit dem Anfangszustand [] und bestimmt alle weiteren Zustände so erhält man die Tabelle in Abbildung. Aus dieser Tabelle entnimmt man die Periode L = 5 und die Folge am Ausgang des Schieberegisters c = []. (c) Da es sich um eine Folge maximaler Länge L = n = 4 = 5 handelt entspricht diese Folge einer PN-Folge, deren AKF zweiwertig ist, siehe Abbildung 3. (d) Die AKF ist geeignet zur genauen Positionsbestimmung durch die Anwendung des Prinzips der Laufzeitmessung. Da über die hohe Zeitauflösung (Dirac-ähnlich) eine genaue Ortsbestimmung über die Lichtgeschwindigkeit gegeben ist. (e) Mit der Chiprate ( Mchip/s) und der Synchronisationsgenauigkeit folgt die räumliche Genauigkeit: Die Chipdauer, als Kehrwert der Chiprate, beträgt. µs. Mit der zeitlichen Synchronisation auf % der Chipdauer ergibt sich eine zeitliche Auflösung von, µs. Daraus folgt eine entfernungsabhängige Genauigkeit (-dim) von (plus/minus): r = c T = = 3m

5 Musterlösung A.5 Matrikelnummer:... Abbildung : Schieberegisterzustände für Generatorpolynom p(x) = x 4 +x+. Abbildung 3: AKF einer m-folge.

6 Musterlösung A.6 Matrikelnummer:... Aufgabe 3: ( Punkte) Betrachten Sie folgende gedächtnislose diskrete Quelle: U u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 P(U) / /4 /6 /6 /3 /3 /3 /3 (a) ( Punkte) Geben Sie eine einfache obere Schranke für die Entropie dieser Quelle (in bit) an. (b) (5 Punkte) Berechnen Sie die Entropie der Quelle (in bit). (c) (3 Punkte) Gibt es für diese Quelle einen präfixfreien binären Code mit Codewortlängen w = w =, w 3 = w 4 = w 5 = w 6 = 3, w 7 = w 8 = 4? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) (7 Punkte) Entwerfen Sie einen binären Huffman-Code für die gegebene Quelle. (e) (3 Punkte) Berechnen Sie die mittlere Codewortlänge Ihres Huffman-Codes. (a) H(U) log (L) = log (8) = 3bit (b) U u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 P(U) / /4 /6 /6 /3 /3 /3 /3 log P(U) P(U)log P(U) 6/3 6/3 8/3 8/3 5/3 5/3 5/3 5/3 H(U) = 8 i= P(u i)log P(u i ) = 68 3 = 8 =.5bit (c) Nein, da Kraftsche Ungleichung verletzt: 8 i= w i = = 9 =.5 > 8 (d) Siehe Bild:

7 Musterlösung A.7 Matrikelnummer:... u / u /4 u 3 /6 /8 / u 4 /6 u 5 u 6 /3 /3 /6 /8 /4 u 7 /3 /6 u 8 /3 (e) E[W] = 8 i= w ip i = /+ /4+4 /6+4 /6+5 /3+5 /3+ 5 /3+5 /3 = 68 = 3 =.5 = H(U) 8

8 Musterlösung A.8 Matrikelnummer:... Aufgabe 4: ( Punkte) Gegeben sei der folgende Faltungscodierer: (a) (4 Punkte) Wieviele verschiedene innere Zustände hat dieser Codierer? (b) (4 Punkte) Zeichnen Sie das Zustandsdiagramm! (c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Codesequenz, die sich aus der Informationssequenz ergibt. (d) (4 Punkte) Zeichnen Sie das Trellisdiagramm dieses Codierers. (e) (4 Punkte) Es wurde die fehlerhafte Sequenz empfangen. Decodieren Sie mit dem Viterbi-Algorithmus. Musterlösung Aufgabe 4: siehe Buch Bossert & Bossert, Kapitel 3.3 und 3.4. / Beispielaufgabe mit allen Bits invertiert. Details, siehe Anhang.

9 Musterlösung A.9 Matrikelnummer:... Aufgabe 5: ( Punkte) Alice möchte über das RSA Verfahren mit Bob verschlüsselt kommunizieren. Dazu denkt sie sich Primzahlen p = 3,q = aus und berechnet n = p q = 33 Anmerkung: In der Aufgabe soll nur die reine RSA Trapdoorfunktion angewendet werden (ohne die in der Praxis verwendete Hashfunktion) (a) ( Punkte) Berechnen Sie ϕ(n), die Anzahl der Zahlen ( x n), die teilerfremd zu n sind (Formel und Berechnung) (b) (4 Punkte) Alice wählt als öffentlichen Schlüssel e=3. Und bestimmt den geheimen Schlüssel d=7. In welcher Beziehung müssen die Zahlen e und d stehen, damit das RSA Verfahren funktioniert? (Formel) (c) (4 Punkte) Kreuzen Sie an (x) welche Zahlen Alice geheim halten muss, damit das RSA Verfahren funktioniert. Zahl p q e d n ϕ(n) geheim? (d) (4 Punkte) Bob möchte die Nachricht m = verschlüsselt an Alice senden. Wie berechnet er die verschlüsselte Nachricht c? (Formel und Berechnung) (e) (6 Punkte) Alice möchte für die Nachricht m=6 eine Signatur erstellen. Berechnen Sie den Wert der Signatur sig. (Formel und Berechnung) Hinweis: (a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n (a) (b) ϕ(n) = (p ) (q ) = = e d mod ϕ(n) (c) Zahl p q e d n ϕ(n) geheim? x x - x - x (d) c = m e mod n = 3 mod 33 = 8 (e) sig = m d mod n = 6 7 mod 33 = ((6 mod 33) (6 mod 33) (6 mod 33) (6 mod 33)) mod 33 = ( ) mod 33 = ((3 mod 33) (54 mod 33)) mod 33 = (3 ) mod 33 = 63 mod 33 = 3

10

11

12