Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte:

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1 ZUNAME:... VORNAME:... MAT. NR.:... Prüfung Musterlösung B Datenkommunikation Institute of Telecommunications TU-Wien Bitte beachten Sie: Die Dauer dieser Klausur beträgt wei Zeitstunden. Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis auf Ihrem Tisch ur Überprüfung bereit. Mobiltelefone müssen während der Prüfung ausgeschaltet sein und dürfen nicht auf dem Tisch liegen! Es sind (außer Schreibwerkeugen) keine Hilfsmittel erlaubt, auch keine Taschenrechner! Wichtig: Bitte beachten Sie, dass Schummeln, wie.b. die Verwendung nicht erlaubter Hilfsmittel, studienrechtliche und prüfungsrelevante Konsequenen hat. Bitte verwenden Sie einen permanent färbenden, nicht-roten Stift. Die Beispiele sind ausschließlich auf den Seiten dieser Angabe ausuarbeiten. Mitgebrachte Zusatblätter werden ignoriert! Sofern weitere Leerseiten ur Bearbeitung der Beispiele benötigt werden, sind diese bei der Klausuraufsicht erhältlich. Bitte bearbeiten Sie nicht mehr als ein Beispiel auf einem Blatt. Bitte kenneichnen Sie auf jeder Seite eindeutig, welche Aufgabe und welcher Unterpunkt behandelt wird. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer! Diese Angabe muss, mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer beschriftet, bei der Klausuraufsicht abgegeben werden. Sie dürfen diese Angabe nicht mitnehmen! Sofern Sie nicht wollen, dass Ihre Bearbeitung eines Beispiels gewertet wird, streichen Sie die entsprechenden Seiten klar ersichtlich durch. Eine lesbare Schrift und übersichtliche Darstellung sind Voraussetungen für die positive Beurteilung der Arbeit! Bitte bleiben Sie bei Klausurende so lange auf Ihrem Plat, bis alle Klausuren eingesammelt sind und die Klausuraufsicht die Freigabe um Verlassen der Hörsaals erteilt. Sofern Sie während der Klausur ur Toilette müssen, melden Sie sich bitte rechteitig bei der Klausuraufsicht. Bitte verlassen Sie nicht ohne Rücksprache mit der Klausuraufsicht den Hörsaal. Sofern Sie vor dem Klausurende gehen wollen, tun Sie dies bitte nicht in den letten 5min vor dem Ende der Klausur. Melden Sie sich bevor Sie gehen bei der Klausuraufsicht und geben Sie Ihre Angabe ab. Abgabeeit: (wird nur bei voreitiger Abgabe von der Klausuraufsicht ausgefüllt) Aufgabe: Summe Punkte (max.): Punkte: Note:......

2 Musterlösung B.2 Matrikelnummer:... Aufgabe : (2 Punkte) Betrachten Sie das Galoisfeld GF(7). (a) (4 Punkte) Überprüfen Sie, dass α = 3 ein primitives Element von GF(7) ist. (b) (2 Punkte) Erstellen Sie eine Tabelle der Exponenten i in der Exponentialdarstellung α i = 3 i aller Elemente a GF(7)\{}. (c) (3 Punkte) Berechnen Sie das Produkt 6 5 in GF(7) sowohl unter Verwendung der Exponentialdarstellung als auch ohne Verwendung der Exponentialdarstellung. Betrachten Sie nun den RS-Code über GF(7) für drei Informationssymbole i,i,i 2 (d.h. k=3): (d) (2 Punkte) Geben Sie die Codewortlänge n und die Minimaldistan d C des Codes an. (e) (2 Punkte) Geben Sie die Fehlerkorrekturfähigkeit t des Codes an. (f) (5 Punkte) GebenSieeinenAusdruckfürdieCodesymbolec ν,ν =,,...,n als Funktion der Informationssymbole i,i,i 2 an. Verwenden Sie dau das primitive Element α=3. (g) (2 Punkte) Berechnen Sie das Codesymbol c 4 für das Informationswort i = (i,i,i 2 )=(,2,3). (a) Es gilt α = 3 = α = 3 = 3 α 2 = 3 2 = 9mod7 = 2 α 3 = 3 3 = = 2 3 = 6 α 4 = 3 4 = = 6 3 = 8mod7 = 4 α 5 = 3 5 = = 4 3 = 2mod7 = 5. Es lassen sich also alle von Null verschiedenen Elemente von GF(7) durch verschiedene Potenen von α = 3 darstellen. Daher ist α = 3 ein primitives Element von GF(7). (b) Die gesuchte Tabelle ist lediglich eine übersichtliche Darstellung der Ergebnisse von (a): i a=α i (c) Unter Verwendung der Exponentialdarstellung: Man erhält (unter Benütung der Tabelle von (b)): 6 5 = = = 3 8 mod(p ) = 3 8 mod6 = 3 2 = 2. Ohne Verwendung der Exponentialdarstellung: 6 5 = 3mod7 = 2.

3 Musterlösung B.3 Matrikelnummer:... (d) Codewortlänge: n = p = 6; Minimaldistan: d C = p k = 7 3 = 4. (Jeweils ein Punkt! Bemerkung: Es gilt auch d C = n k+.) (e) Da d C =4 eine gerade Zahl ist, gilt t = d C /2 = 4/2 =. (f) Es gilt c ν = C(α ν ) = C(3 ν ) mit C(x) = Daher ist der gewünschte Ausdruck 2 i l x l = i +i x+i 2 x 2. l= c ν = i +i 3 ν +i 2 3 2ν, ν =,,...,5. (g) Durch Einseten in den in (f) gefundenen Ausdruck erhält man (mit i =, i =2, i 2 =3) c 4 = }{{} 3 8mod6 =3 2 = = + 8mod7 + 6 = 8mod7 =, wobei ur Berechnung von 3 4 und 3 2 die Tabelle von (b) verwendet wurde.

4 Musterlösung B.4 Matrikelnummer:... Aufgabe 2: (2 Punkte) Gegeben sei folgende Z-Transformierte Y() = = S()X() des Ausgangssignals eines linearen eitinvarianten Systems S() mit Eingangssignal X(). (a) (4 Punkte) Geben Sie vier mögliche Paare{Anregungsterm X(), System S()} an, die u dieser Z-Transformierten Y() führen können. Hinweis: Interpretieren Sie die Z-Transformierte als Ausgang eines linearen, eitinvarianten, kausalen Systems s(k), das mit einem kausalen Eingangssignal x(k) angeregt wird. (b) (4 Punkte) Wählen Sie nun eine der vier Lösungen aus Teil (a) aus, bei der weder das Eingangssignal noch das System durch einen eitdiskreten Impuls beschrieben sind; geben Sie die korrespondierenden Signale x(k) und die Impulsantwort des Systems s(k) im Zeitbereich an. (c) (2 Punkte) Wie lautet die kausale Zeitfolge ur gegebenen Z-Transformierten Y()? Hinweis: Berechnen sie die Partialbrucherlegung und geben Sie die Rücktransformierten der beiden Terme an. (d) (2 Punkte) Wie lautet Endwert (k ) dieser kausalen Zeitfolge? Die folgenden Unterpunkte können unabhängig von den vorhergehenden Aufgabenteilen gelöst werden. (e) (4 Punkte) Welche Rekursionsformel(Differenengleichung) im Zeitbereich wird durch die obige Z-Transformierte beschrieben, wenn lettere als Übertragungsfunktion eines kausalen Systems mit dem Eingangssignal x(k) (im Zeitbereich) und dem Ausgang y(k) (im Zeitbereich) interpretiert wird, also = Y() X(). (f) (4 Punkte) Geben Sie die Rekursionsformel als Signalflussgraph an. (a) Folgende Paare sind möglich (bis auf einen Faktor eindeutig): Anregungsterm System (Impuls im Zeitbereich!) (Impuls im Zeitbereich!) (b) Wähle beispielsweise die weite Zeile der Lösung unter (a). Dann ist das Anregungssignal gegeben durch was im Zeitbereich einer Sprungfolge entspricht. Also:

5 Musterlösung B.5 Matrikelnummer:... x(k) = u(k) = ;k =,,... Das System wird durch beschrieben, was einer +.6 exponentiell fallenden Folge entspricht: s(k) = (.6) k ;k =,,... Alternativ wäre in der dritten Zeile die Eingangsfolge x(k) = (.6) k ;k =,,... und die Impulsantwort des Systems s(k) = u(k). (c) Wir können die Ausgangsfolge interpretieren als eine exponentiell fallende Eingangsfolge, die durch das System aufsummiert wird. Das ergibt sich aus der Darstellung der Z-Transformierten Y() = 2 = = A + B. Wir finden unächst: 2 = A( +.6)+B( ) und damit das Gleichungssystem: (.6 )( A B ) = ( und somit A = 2.5 und B =.5. Die Rücktransformierte von Y() = 2.5 lautet: y(k) = 2.5u(k)+.5 (.6) k ;k =,,... ) (d) Der Endwert lautet: lim k y(k) = 2.5. (e) Übertragungsfunktion: also = Y() = X() Y()( ) = X() und somit lautet die Differenengleichung im Zeitbereich: y(k) =.4y(k )+.6y(k 2)+x(k) (f) Signalflussgraph: x(k) + + y(k) *.6 *.4 D= D=

6 Musterlösung B.6 Matrikelnummer:... Aufgabe 3: (2 Punkte) Eindimensionale Betrachtung: Von einem satellitengestütten Positionsbestimmungssystem ist folgendes bekannt: () Das Satellitensignal wird aus dem Generatorpolynom p(x) = x 4 +x+ ereugt, (2) die Pulsform der Chips sind NRZ-Pulse, (3) die Synchronisationsgenauigkeit liegt unter % der Chipdauer. (a) (4 Punkte) Zeichnen Sie die Schieberegisterrealisierung des Generatorpolynoms. (b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die binäre Folge. (c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die periodische Autokorrelationsfunktion der Folge. (d) (4 Punkte) Ist die Autokorrelationsfunktion geeignet ur Positionsbestimmung? Wenn ja, warum? (e) (4 Punkte) Wählen Sie eine Chiprate, sodass die eindimensionale Genauigkeit unter 5 Meter bleibt. Annahme: Ideale Ausbreitungsverhältnisse. Hinweis: Der NRZ(no-return-to-ero) Puls entspricht einer rechteckigen Kurvenform. (a) Durch null seten des Generatorpolynoms folgt die Schieberegisterrealisierung: p(x) = x 4 +x+ = = x 4 +x Abbildung : Schieberegisterrealisierung des Generatorpolynoms p(x) = x 4 +x+. (b) Füttert man das Schieberegister mit dem Anfangsustand [] und bestimmt alle weiteren Zustände so erhält man die Tabelle in Abbildung 2. Aus dieser Tabelle entnimmt man die Periode L = 5 und die Folge am Ausgang des Schieberegisters c = [] (c) Da es sich um eine Folge maximaler Länge L = 2 n = 2 4 = 5 handelt entspricht diese Folge einer PN-Folge, deren AKF weiwertig ist, siehe Abbildung 3. (d) Die AKF ist geeignet ur genauen Positionsbestimmung durch die Anwendung des Prinips der Laufeitmessung. Da über die hohe Zeitauflösung (Dirac-ähnlich) eine genaue Ortsbestimmung über die Lichtgeschwindigkeit gegeben ist. (e) Mit der räumlichen Genauigkeit (-dim, plus/minus) r = c t folgt die eitliche Genauigkeit t = r/c. Diese entspricht jenem Bruchteil eines Chips, welche die Synchronisationsgenauigkeit liefern kann. D.h. t =, T c. Daraus folgt die Chiprate: R c = T c =, c r =, = 2 6 = 2 Mchip/s

7 Musterlösung B.7 Matrikelnummer:... Abbildung 2: Schieberegisterustände für Generatorpolynom p(x) = x 4 +x+. Abbildung 3: AKF einer m-folge.

8 Musterlösung B.8 Matrikelnummer:... Aufgabe 4: (2 Punkte) Betrachten Sie folgende gedächtnislose diskrete Quelle: U u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 P(U) /2 /8 /6 /6 /6 /6 /6 /6 (a) (3 Punkte) Gibt es für diese Quelle einen präfixfreien binären Code mit Codewortlängen w = w 2 = 2, w 3 = w 4 = w 5 = w 6 = w 7 = w 8 = 4? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) (7 Punkte) Entwerfen Sie einen binären Huffman-Code für die gegebene Quelle. (c) (8 Punkte) Vergleichen Sie die mittlere Codewortlänge Ihres Huffman-Codes mit der Entropie der Quelle (in bit). (d) (2 Punkte) Wieviele Bits benötigt man für diese Quelle mit einem binären Code konstanter Länge? U u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 P(U) /2 /8 /6 /6 /6 /6 /6 /6 log 2 P(U) P(U)log 2 P(U) 4/8 3/8 2/8 2/8 2/8 2/8 2/8 2/8 (a) Ja, da Kraftsche Ungleichung erfüllt: 8 i= 2 w i = = 7 8 < (b)

9 Musterlösung B.9 Matrikelnummer:... u /2 u 2 /8 u 3 /6 /8 /4 u 4 /6 /2 u 5 /6 /8 u 6 /6 /4 u 7 /6 /8 u 8 /6 (c) E[W] = 8 i= w ip i = /2+3 /8+6 4 /6 = 9 8 = 23 8 = H(U) = 8 i= P(u i)log 2 P(u i ) = 9 8 = 23 8 = 2.375bit (d) log 2 (L) = log 2 (8) = 3bit

10 Musterlösung B. Matrikelnummer:... Aufgabe 5: (2 Punkte) Gegeben sei der folgende Faltungscodierer: y 2k x k y 2k+ (a) (4 Punkte) Wieviele verschiedene innere Zustände hat dieser Codierer? (b) (4 Punkte) Zeichnen Sie das Zustandsdiagramm mit Beschriftung der Ein und Ausgabesymbole! (c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Codesequen, die sich aus der Informationssequen ergibt. Die internen Register sind initialisiert mit dem Bit. (d) (4 Punkte) Zeichnen Sie das Trellisdiagramm dieses Codierers und beschriften Sie die Kanten mit den ugehörigen Ein und Ausgabesymbolen. (e) (4 Punkte) Es wurde die fehlerhafte Sequen empfangen. Decodieren Sie mit dem Viterbi-Algorithmus. siehe Anhang

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