Aufgabe (1): Lassen Sie folgendes Programm laufen und korrigieren Sie die Fehler.

Transkript

1 Blatt 1 Erstellen Sie ein Verzeichnis (Ordner) in Ihrem Home-Verzeichnis mit Namen edv. Legen Sie alle erstellten Matlab-Programme dort ab. Benennen Sie die Matlab-Files nach den Aufgaben z.b. A1.m, A2.m usw. Laden Sie das m-file Blanco.m in den Editor und verwenden Sie es als Basis für ihre m-files. Aufgabe (1): Lassen Sie folgendes Programm laufen und korrigieren Sie die Fehler. disp (Geben Sie einen ganzzahligen Radius ein: ); input (Radius); disp(der Kreisumfang eines Kreises betrgt ); Umfang = 2 pi Radius Aufgabe (2): Erweitern Sie das obige Programm um die Flächenberechnung. Aufgabe (3): Berechnen Sie für a = 1 1,b = a + 1 folgende Ausdrücke: x = ((a + b)(a b)) 2, y = (a 2 b 2 ) 2, z = (a 2 + b 2 ) 2 4(ab) 2 Geben Sie die Werte x,y,z im Command Window aus. Was stellen Sie fest, und was haben Sie erwartet? Variieren Sie die Werte von a, und bewerten Sie die Ergebnisse. Schreiben Sie ihre Bewertung als Kommentar in ihr Programm! Aufgabe (4): Berechnen Sie die zwei Ausdrücke x und y nach folgenden Formeln: x = 1 1 a 2 a 1 a 2, y = a mit a = i, i = 1,2,...,16. Geben Sie die Werte x,y im Command Window aus. Was stellen Sie fest? (Hinweis: for-schleife, disp und num2str mit Parameter) Aufgabe (5): Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion f = sin(x/2)e x mit x [ π,π]. Zeichnen Sie anschließend die Funktion. (Hinweis: siehe Vorlesung, plot) Aufgabe (6): Schreiben Sie ein Programm, welches den ASCII-Code Zeichensatz (32. bis 127. Zeichen) ausgibt. Geben Sie nur jeweils 12 Zeichen pro Zeile aus! (Hinweis: fprintf, char, reshape)

2 Blatt 2 Aufgabe (7): Bestimmen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = mit p,q IR beliebig. Überprüfen Sie, ob eine komplexe Lösung auftritt. Testen Sie ihr Programm an folgenden Beispielen: a) p = 2,q = 8 (x 1 = 2,x 2 = 4) b) p = 2,q = (x 1 =,x 2 = 2) c) p = 1,q = 29 (x 1 = 5 + 2i,x 2 = 5 2i) d) p = 8,q = 16 (x 1/2 = 4) Aufgabe (8): Berechnen Sie das n-te Folgenglied: a n = 1, n = 5,n = 15 i Was stellen Sie fest? Was erwarten Sie für n (theoretisch und numerisch)? (Hinweis: for-schleife, sum) Aufgabe (9): Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion f(x,y) = sin(2y + π)e x mit (x, y) [ π, π] [ π, π]. Zeichnen Sie anschließend die Funktion. (Hinweis: siehe Vorlesung, meshgrid, surf) Aufgabe (1): Berechnen Sie die Eulersche Zahl e bis auf 8 Nachkommastellen genau. Es gilt: (Hinweis: Berechnen Sie den absoluten Fehler exp(1) en mit en = n e = k= Aufgabe (11): Ersetzen Sie aus den Zahlen von 1 bis 99 diejenigen durch *, die durch eine Zahl n (die zwischen 1 und 9 liegt, aber freiwählbar ist) teilbar sind, in denen n als Ziffer vorkommt oder deren Quersumme gleich n ist. Geben Sie pro Bildschirmzeile 1 Zeichen aus. (Hinweis: floor, mod und fprintf) 1 k! k= 1 k! )

3 Blatt 3 Aufgabe (12): Setzen Sie x = 1, eps = 1 und z = x + eps. Geben Sie die Werte eps und z x aus. Verkleinern Sie die Zahl eps und geben Sie obige Werte erneut aus. Wiederholen Sie dies solange, bis Sie die Ausgabe: z x gleich null erhalten. Geben Sie dann die größte positive Zahl eps an, die auf x aufaddiert wieder x (laut Rechner) ergibt. Aufgabe (13): Schreiben Sie ein Programm, dass alle Lösungen mit a 15 und b 1(a < b) der Gleichung a 2 + b 2 = q 2 (ab + 1), a,b,q IN findet. Gibt es eine einfache Beziehung zwischen a,q 2 und b? (Hinweis: geschachtelte for-schleifen, fix. Beispiel: a = 2, q = 2, b = 8) Aufgabe (14): Schreiben Sie eine Funktion tausch, die die Parameter x,y vertauscht. Programmieren Sie zwei Varianten. (Hinweis: siehe Vorlesung) Aufgabe (15): Erstellen Sie eine Funktion fibonacci, die die Fibonacci-Zahlen berechnet. Sie sind wie folgt definiert: x 1 = x 2 = 1, x n = x n 1 + x n 2, n > 2. (Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...) Aufgabe (16): Schreiben Sie ein Programm, welches die Nullstelle der Funktion f = (x + 3) 2 2 zu einem beliebigen Startwert x o mit dem Newton-Verfahren berechnet: x i+1 = x i f(x i) f (x i ), i =,1,2,... Geben Sie die (i+1)-ten Zwischenwerte der Newton-Iteration x i+1,f(x i+1 ), x i+1 x i (i =, 1, 2,...) aus. Welche Abbruchkriterien kennen Sie? Welches sollte man implementieren? Wie sollte man normalerweise den Startwert wählen? Testen Sie ihr Programm an einer weiteren Funktion. (Hinweis: While-Schleife, function, plot) x o = 2. x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = Nullstellenbestimmung f x o

4 Blatt 4 Aufgabe (17): (Numerische Integration) Das bestimmte Integral I(f) = b a fdx soll näherungsweise berechnet werden. Programmieren Sie dazu den Integranden f als Funktion, und lassen Sie die Integrationsgrenzen a und b einlesen. Implementieren Sie als erste Näherungsformel die Trapez-Regel I 1 (f) = b a (f(a) + f(b)). 2 Testen Sie die Trapez-Regel an den Funktionen: a) f = 2x + 5 b) f = 2e (x 1)2 Berechnen Sie den absoluten Fehler, und bewerten Sie die Ergebnisse. Zusatz: Programmieren Sie anschließend die zusammengesetzte Trapez-Regel Ĩ 1 (f) = h 2 ( f(a) + f(b) + N 1 k=1 2 f(a + k h) Variieren Sie die Werte für N. Was stellen Sie fest? (Hinweis: siehe Vorlesung, input, for-schleife, quad, plot) ), h = b a N 2 Einfach numerische Integration Zusammengesetzte numerische Integration f p 1 p p 1N f Einfach numerische Integration Zusammengesetzte numerische Integration f p 1 p p 1N f

5 Blatt 5 Aufgabe (18): Gegeben seien n Messpunkte (x i,y i ), i = 1,2,...,n. Legen Sie die Messpunkte in zwei eindimensionale Arrays der Länge n ab. Ein linearer Zusammenhang der Messdaten wird vermutet. Programmieren Sie die Ausgleichsgerade / Regressionsgerade ŷ = ax + b, das Bestimmtheitsmaß B und die Residuen r i = y i ŷ(x i ), i = 1,...,n mittels der Formeln: a = Q xy Q xx, b = ȳ a x und B = r 2 = In diesen Formeln gelten die folgenden Abkürzungen: Q2 xy Q xx Q yy. x = 1 x i, n ȳ = 1 y i, Q xy = (x i x)(y i ȳ) = x i y i n xȳ n Q xx = (x i x) 2 = x 2 i n x2, Q yy = (y i ȳ) 2 = yi 2 nȳ2 Testen Sie ihr Programm an den folgenden Daten: x i y i Wie kann man mit einer Matlab-Funktion die Regressionsgerade berechnen? Visualisieren Sie den Datensatz, die Regressionsgerade und die Residuen. (Hinweis: plot, polyfit, polyval) Messdaten Ausgleichsgerade Ausgleichsgerade ŷ zum obigen Datensatz. Residuen der Ausgleichsgerade

6 Blatt 6 Aufgabe (19): (Sudoku) Schreiben Sie ein Programm, welches das folgende Quadrat auffüllt, so dass gilt: Jede Zeile, jede Spalte und jedes 3 x 3 Quadrat enthält die Zahlen 1 bis Aufgabe (2): Die folgenden 2 Messdaten sind gegeben: ph-werte x 1,...,x x 11,...,x Schreiben Sie ein Programm, in dem Sie die Daten in einen Vektor einlesen und verarbeiten: Sortieren Sie den Vektor der Größe nach. Bestimmen Sie den häufigsten Wert (Modalwert). Berechnen Sie den Mittelwert x = 1 x i. n Berechnen Sie die empirische Varianz v = 1 (x i x) 2. n 1 Berechnen Sie die empirische Standardabweichung s = + v. Nachdem Sie dies selbst programmiert haben, wie können Sie dies mit Matlab-Funktionen erreichen? Visualisieren Sie die Daten in geeigneter Form

7 Blatt 7 Aufgabe (21): Schreiben Sie ein Programm, welches das Modell der Gerüchteverbreitung nach D.J. Daley und D.G. Kendall (Stochastic Rumours, Journal of the Institute of Mathematics and Its Applications, Vol. 1, 1965) benutzt. Das Modell geht von folgenden Annahmen aus: Die Population der Größe n besteht aus den Gruppen Nichtwisser, Verbreiter und Unterdrücker. Es gibt am Anfang nur einen Verbreiter und n 1 Nichtwisser. Das Gerücht wird nur von Verbreiter zu Nichtwisser übertragen, dabei wird der Nichtwisser auch zum Verbreiter. Treffen zwei Verbreiter aufeinander, werden beide zu Unterdrückern. Unterdrücker verhalten sich neutral gegenüber Nichtwisser und ihresgleichen, Verbreiter machen sie zu Unterdrückern. Nichtwisser sind neutral zueinander. Ein Programmdurchlauf endet, wenn es keine Verbreiter mehr gibt. Treffen Sie zwei Personen, so stellt dies eine Personeninteraktion dar. Zählen Sie die Personeninteraktionen (counterpp) bis zum Programmende. Errechnen Sie aus k = 5 Programmdurchläufe den Mittelwert der Nichtwisser bei einer Population von n = 1. (Hinweis: Der Mittelwert sollte bei 1/5 liegen.) Variieren Sie die Anzahl der Population zwischen n = 1 und n = 1 und die Programmdurchläufe von k = 1 bis k = 1. Wieviel Prozent Nichtwisser gibt es im Mittel, und was haben die mit der Gleichung θe 2(1 θ) = 1 zu tun? Schreiben Sie das Punktepaar (counterpp, Anzahl der Nichtwisser) pro Programmdurchlauf in ein File. Visualisieren Sie die k Datenpaare. Wo tritt eine Häufung auf? Versuchen Sie eine Schwerpunktgerade durch die Datenwolke zu legen. 25 Distribution of Rumours 5 Distribution of Rumours Ignorants 15 1 Ignorants Interactions Interactions

8 Blatt 8 Aufgabe (22): Lassen Sie eine Funktion f über die Tastatur einlesen, und berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. Geben Sie die Funktion und ihre Ableitungen im Command Window aus. (Hinweis: input) Aufgabe (23): Lassen Sie eine Funktion f(x,y) und ihren Plotbereich über die Tastatur einlesen. Geben Sie die Funktion graphisch aus. (Hinweis: input, meshgrid, surf) Aufgabe (24): Berechnen Sie die partiellen Ableitungen f x,f y,f xx,f xy,f yy für die Funktion f(x,y) = e x (y 1) Geben Sie die Funktion und ihre Ableitungen im Command Window aus. Aufgabe (25): Berechnen Sie mit Matlab-Funktionen das unbestimmte Integral und das bestimmte Integral für die Funktion f = e 2x (x + 1) 2 sin. Lesen Sie den Integrationsbereich über die Tastatur ein. Geben Sie die Ergebnisse im Command Window aus. Zeichen Sie die Funktion im Integrationsbereich. Aufgabe (26): Lösen Sie die Differentialgleichung mit einer Matlab-Funktion ẏ(t) = 2y(t) + e t, y() = 1 für t [,2] und zeichnen Sie die Lösung. (Hinweis: ode45, dsolve) Aufgabe (27): Berechnen Sie mit einer Matlab-Funktion das Taylorpolynom p T 3-ten Grades von f = ln(1+x) mit Entwicklungspunkt x o =. Zeichnen Sie f und p T für x [.8,.8]. (Hinweis: taylor)

9 Blatt 9 Zusatzaufgabe (1): Verschlüsselung eines Textes nach der Methode Playfair 1854 erfand C. Wheatstone eine Substitutionsmethode zum Chiffrieren eines Textes. Sein Freund Baron L. Playfair machte sie dem Militär und der Regierung bekannt. Seitdem ist die Methode unter dem Namen Playfair bekannt. Selbst im 1. Weltkrieg wurde diese Methode noch benutzt. Ein zur Chiffrierung vorgelegter Text wird von links nach rechts abgearbeitet. Leerzeichen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Worten werden nicht berücksichtigt. Der Text wird zunächst zusammengeschoben, und dann buchstabenpaarweise chiffriert. Der Schlüssel, nachdem jeweils zwei aufeinanderfolgende Buchstaben zusammen codiert werden, geschieht folgendermaßen: a) Gegeben sei ein Alphabet A mit 25 Buchstaben (in der deutschen Sprache identifiziert man hier j mit i). Die 25 Buchstaben von A werden willkürlich den 25 Feldern eines (5 5) Schematas zugeordnet: d b m w i c o x g e q y r f s z a k t p l u h n v Treten beim späteren Vergleich gleiche Buchstaben auf, so wird der Text durch Einschub von x künstlich verlängert; less seven wird durch Einschub von x zu lesxsxseven. Besteht der Text aus einer ungeraden Anzahl von Buchstaben, so wird er ebenfalls künstlich durch Hinzufügen des Buchstabens x an letzter Stelle erweitert. b) Die Chiffrierung von Buchstabenpaaren a1 a2 in Paare b1 b2 wird dann wie folgt durchgeführt: 1) Sind a1 und a2 die zwei diagonal gegenüberliegenden Ecken eines Rechtecks in der Tabelle, dann sind b1 und b2 die anderen Ecken, wobei b1 in der von a1 bestimmten Zeile steht. 2) Falls a1 und a2 in der gleichen Zeile stehen, so sind b1 und b2 die Buchstaben, die unmittelbar rechts von a1 bzw. a2 stehen (die zweite Spalte folgt der ersten, usw. - die erste Spalte folgt der fünften). 3) Falls a1 und a2 in der gleichen Spalte stehen, so sind b1 und b2 die Buchstaben, die unmittelbar unter a1 bzw. von a2 stehen (die zweite Zeile folgt der ersten, usw. - die erste Zeile folgt der fünften). Zum Beispiel sieht nach diesem Verfahren mit dem Schema a) der Geheimtext zu technischeuniversitaet folgendermaßen aus: pgxlvwqevxhveixspepkgp Programmieren Sie die Playfair Methode zum Chiffrieren und Dechiffrieren eines Textes und testen Sie die Methode an mehreren Beispieltexten.

10 Blatt 1 Zusatzaufgabe (2): (Vierfarbenproblem) Kolorieren Sie die Karte mit vier Farben, so dass keine zwei aneinandergrenzenden Länder gleich koloriert werden. Komplizierte stilisierte Landkarte nach M. Gardner. Wie setzen Sie die Information der Karte in MATLAB um? Wie wird die Information, ein Land ist Nachbar eines anderen, umgesetzt? Wie verteilen Sie die Farben? Formulieren Sie verbal eine Strategie.