Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz
|
|
- Katarina Bösch
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Referent: Tobias Gleißner 29. Januar 2013 (syntaktischer Aufbau eines arithmetischen Terms) - Jede Zahl ist ein Term - Jede Variable ist ein Term - Sind und Terme, so auch sowie (syntaktischer Aufbau einer arithmetischen Formel) - Sind und Terme, so ist eine Formel - Sind Formeln, so auch - Ist eine Variable und eine Formel, so auch und (semantische Interpretation von Operationen in arithmetischen Formeln) Sei eine Menge von Variablen. Sei eine Belegung. erweitert auf arithmetische Terme: ( ) ( ) (Wahrheitswert für arithmetische Formeln) - ist wahr, falls für alle Belegungen - ist wahr, falls nicht wahr ist - ist wahr, falls wahr ist und wahr ist - ist wahr, falls wahr ist oder wahr ist - ist wahr, falls es ein gibt, so dass wahr ist - ist wahr, falls für alle gilt, dass wahr ist Eine Funktion (arithmetische Repräsentierbarkeit) heißt arithmetisch repräsentierbar, falls es eine arithmetische Formel gibt, so dass für alle gilt:
2 Satz (über die arithmetische Repräsentierbarkeit von WHILE-berechenbaren Funktionen) Jede WHILE-berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar. Man zeigt, dass für jedes WHILE-Programm mit den Programmvariablen eine arithmetische Formel mit den freien Variablen existiert, so dass für alle gilt: ist genau dann wahr, wenn P (mit den Variablenwerten gestartet) stoppt und die Programmvariablen dann die Werte besitzen. (Für den vollständigen Beweis s. Schöning, Uwe. Theoretische Informatik kurz gefasst S ) Der Beweis des Satzes lautet dann wie folgt: Angenommen das WHILE-Programm berechnet eine WHILE-berechenbare Funktion mit Parametern,, so kann diese Funktion durch die Formel arithmetisch repräsentiert werden:
3 Satz (zur Entscheidbarkeit der Menge der wahren arithmetischen Formeln) ist nicht rekursiv aufzählbar. Für jede arithmetische Formel gilt: ist wahr oder ist wahr. Angenommen wäre rekursiv aufzählbar, so existierte eine Turing-Maschine, die aufzählt, z.b., und bei sowie akzeptiert. Somit wäre sie auch entscheidbar. Sei eine rekursiv aufzählbare aber nicht entscheidbare Sprache. Da rekursiv aufzählbar ist, ist die Funktion { Turing-berechenbar (ist äquivalent zu WHILE-berechenbar) und damit arithmetisch repräsentierbar mit einer Formel. Es gilt: Damit hat man eine Turing-berechenbare Abbildung konstruiert, die eine Reduktion von nach darstellt. Da nicht entscheidbar ist, ist auch nicht entscheidbar und damit nicht rekursiv aufzählbar.
4 (Beweissystem) Ein Beweissystem einer Menge ist ein Paar mit - ist entscheidbar - ist berechenbar Mit wird die Menge der durch beweisbaren Elemente (Aussagen) von A bezeichnet. Ein Beweissystem heißt vollständig, falls. Da bereits in der eingebaut ist, folgt daraus schon, dass ein Beweissystem genau dann vollständig ist, wenn. Dies ist der Fall, genau dann wenn surjektiv ist. Satz (erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz) Jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln ist unvollständig. Angenommen für ein Beweissystem. Dann wäre rekursiv aufzählbar, indem man alle durchläuft und aufzählt.
5 Anmerkungen Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Unmittelbare Folgerung: Es existieren in der Arithmetik der natürlichen Zahlen mit den Operationen plus und mal wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind. Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Hinreichend mächtige, konsistente, formale System kann seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Davon betroffen sind: Peano Arithmetik, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) Davon nicht betroffen sind: Pressburger Arithmetik, ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom, ZFC mit großen Kardinalzahlen Eine Liste weiterführender Literatur ist im Wikipedia-Artikel Gödelscher Unvollständigkeitssatz zu finden. Quellen Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publ. Comp (S ) Schöning, Uwe. Theoretische Informatik kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag 2008 (S )
Unvollständigkeit der Arithmetik
Unvollständigkeit der Arithmetik Slide 1 Unvollständigkeit der Arithmetik Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Unvollständigkeit der Arithmetik Slide
MehrHandout zu Gödel: Die Unvollständigkeitssätze
Handout zu Gödel: Die Unvollständigkeitssätze Juanfernando Angel-Ramelli, Christine Schär, Katja Wolff December 4, 2014 Contents 1 Einleitung 1 1.1 Gödels Theoreme (1931)..............................
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 23 Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Wir haben gesehen, dass die Unentscheidbarkeit des Halteproblems über
MehrMATHEMATIQ. Der Newsletter der MathSIG (Interessensgruppe innerhalb der Mensa Österreich) Ausgabe 4.
MATHEMATIQ Der Newsletter der MathSIG (Interessensgruppe innerhalb der Mensa Österreich) Ausgabe 4 http://www.hugi.scene.org/adok/mensa/mathsig/ Editorial Liebe Leserinnen und Leser! Dies ist die vierte
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 15. Ackermannfunktion Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 28. April 2014 Überblick: Vorlesung Vorlesungsteile I. Logik II. Automatentheorie und formale Sprachen III. Berechenbarkeitstheorie
MehrTheoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt
Theoretische Informatik für Wirtschaftsinformatik und Lehramt Universelle Turingmaschinen und Church sche These Priv.-Doz. Dr. Stefan Milius stefan.milius@fau.de Theoretische Informatik Friedrich-Alexander
MehrEntscheidungsprobleme
Entscheidungsprobleme übliche Formulierung gegeben: Eingabe x aus einer Grundmenge U Frage: Hat x eine bestimmte Eigenschaft P? Beispiel: gegeben: Frage: n N Ist n eine Primzahl? Formalisierung: Grundmenge
MehrBerechenbarkeits- und Komplexitätstheorie
Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie Verschiedene Berechenbarkeitsbegriffe, Entscheidbarkeit von Sprachen, Wachstumsordnungen und Komplexitätsklassen Inhaltsübersicht und Literatur Verschiedene Berechenbarkeitsbegriffe:
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Teil II: Berechenbarkeit und Komplexität Algorithmen und Komplexität 22. November 2016 Berechenbarkeitstheorie RAM-Maschine 1: M 1 1 2: M 0 1 3: M 0 M 0 M 1 4: M 2 M 2 M 1 5: GOTO 3 IF M 2 > 0. M 2 : M
MehrAxiome der Mengenlehre nach von Neumann, Bernays, Gödel (NBG)
Axiome der Mengenlehre nach von Neumann, Bernays, Gödel (NBG) B. Ammann 1 1 Universität Regensburg Vorlesung Analysis am 6.11.13 Ziel: Axiomatischer Aufbau der Mathematik Es gibt verschiedene Axiomensysteme
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie WS 11/12 155 Überblick Zunächst einmal definieren wir formal den Begriff
MehrLogik für Informatiker Logic for Computer Scientists
Logik für Informatiker Logic for Computer Scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 13 Vollständigkeit der Aussagenlogik Till Mossakowski Logik 2/ 13 Objekt- und Metatheorie
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische
Mehra) Berechenbare Funktionen bisher: Funktionen auf natürlichen Zahlen. Ausnahme Turing-Berechenbarkeit: auch schon definiert für Funktionen f: * *.
II. Entscheidbarkeit 1. Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Vorbemerkungen: a) Berechenbare Funktionen bisher: Funktionen auf natürlichen Zahlen. Ausnahme Turing-Berechenbarkeit: auch schon definiert
MehrHilberts zweites Problem: Die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome
Hilberts zweites Problem: Die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome Marcel Karcher Hilbertseminar, TUM Teil I: Die Problemstellung und das Hilbertprogramm mit seinen Zielen Problem: Sind die arithmetischen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 15.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
Mehr3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar?
3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar? A. Gegeben eine kontextfreie Grammatik G. Gibt es ein
Mehr1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 139 Unentscheidbarkeit Überblick Zunächst einmal definieren wir formal
MehrFormale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.
Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F
MehrKapitel 1.4. Exkurs: Entscheidbarkeit und Komplexität. Mathematische Logik (WS 2012/3) K. 1.4: Entscheidbarkeit und Komplexität 1/10
Kapitel 1.4 Exkurs: Entscheidbarkeit und Komplexität Mathematische Logik (WS 2012/3) K. 1.4: Entscheidbarkeit und Komplexität 1/10 Algorithmen Ein Algorithmus oder eine Rechenvorschrift ist ein effektives
MehrBeispiel: NTM. M = ({q 0,q 1,q 2 }, {0, 1}, {0, 1, #},δ, q 0, #, {q 2 }) q 2
Beispiel: NTM M = ({q 0,q 1,q 2 }, {0, 1}, {0, 1, #},δ, q 0, #, {q 2 }) 0,1,R 0,0,R q0 1,0,R q1 #,#,R q2 0,0,L Zustand 0 1 # q 0 {(1, R, q 0 )} {(0, R, q 1 )} q 1 {(0, R, q 1 ),(0, L, q 0 )} {(1, R, q
MehrTheoretische Informatik
Theoretische Informatik Lektion 10: Entscheidbarkeit Kurt-Ulrich Witt Wintersemester 2013/14 Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik Lektion 10 1/15 Inhaltsverzeichnis Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik
MehrLOOP-Programme: Syntaktische Komponenten
LOOP-Programme: Syntaktische Komponenten LOOP-Programme bestehen aus folgenden Zeichen (syntaktischen Komponenten): Variablen: x 0 x 1 x 2... Konstanten: 0 1 2... Operationssymbole: + Trennsymbole: ; :=
MehrKardinalzahlen. Bemerkung. Eine unendliche Kardinalzahl α muss eine Limesordinalzahl sein. (Beweis zur Übung)
Kardinalzahlen Kardinalzahlen sollen die Größe von Mengen messen, daher suchen wir eine Aussage der Form, dass jede Menge bijektiv auf eine Kardinalzahl abgebildet werden kann. Um eine brauchbare Theorie
MehrEntscheidungsprobleme
Entscheidungsprobleme übliche Formulierung gegeben: Eingabe x aus einer Grundmenge M Frage: Hat x eine bestimmte Eigenschaft P? Beispiel: gegeben: Frage: n N Ist n eine Primzahl? Formalisierung: Grundmenge
MehrUnentscheidbarkeitssätze der Logik
Unentscheidbarkeitssätze der Logik Elmar Eder () Unentscheidbarkeitssätze der Logik 1 / 30 Die Zahlentheorie ist nicht formalisierbar Satz (Kurt Gödel) Zu jedem korrekten formalen System der Zahlentheorie
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 1
Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2017 Kapitel 3 [Bildquellen: Wikipedia User David Madore, Inductiveload ] Grundlagen 2: Funktionen, Berechenbarkeit und emergente Komplexität Michael Wand
Mehr2.5 Halteproblem und Unentscheidbarkeit
38 25 Halteproblem und Unentscheidbarkeit Der Berechenbarkeitsbegriff ist auf Funktionen zugeschnitten Wir wollen nun einen entsprechenden Begriff für Mengen einführen Definition 255 Eine Menge A Σ heißt
MehrEinführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch
Einführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch 3. Teilklausur 25. 07. 2007 Persönliche Daten bitte gut leserlich
MehrBerechenbarkeitstheorie 19. Vorlesung
1 Berechenbarkeitstheorie Dr. Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz. Erinnerung:
MehrLogik in der Informatik
Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Informatik Theorie komplexer Systeme Logik in der Informatik Skript zur Vorlesung Prof. Dr. Nicole Schweikardt Version vom 25. Oktober 2013 2 Inhaltsverzeichnis
MehrTheoretische Informatik SS 03 Übung 5
Theoretische Informatik SS 03 Übung 5 Aufgabe 1 Im Buch von Schöning ist auf S. 106-108 beschrieben, wie eine Turing-Maschine durch ein GOTO-Programm simuliert werden kann. Zeigen Sie, wie dabei die Anweisungen
MehrVorname Name Matrikelnummer 1. a) Benennen Sie die übrigen 6 Komponenten einer nicht-deterministischen Turingmaschine (TM): (3 Punkte)
1 Aufgabe 1 (19 Punkte) a) Benennen Sie die übrigen 6 Komponenten einer nicht-deterministischen Turingmaschine (TM): (3 Punkte) Q, die endliche Zustandsmenge b) Was besagt die Church-Turing-These? (1 Punkt)
MehrTheorie der Informatik Einleitung. Theorie der Informatik Basisfunktionen und Einsetzung Primitive Rekursion. 14.
Theorie der Informatik 16. April 2014 14. primitive Rekursion und µ-rekursion Theorie der Informatik 14. primitive Rekursion und µ-rekursion 14.1 Einleitung 14.2 Basisfunktionen und Einsetzung Malte Helmert
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrDie Unentscheidbarkeit extensionaler Eigenschaften von Turingmaschinen: der Satz von Rice
Die Unentscheidbarkeit extensionaler Eigenschaften von Turingmaschinen: der Satz von Rice Holger Arnold Dieser Text befasst sich mit der Frage, unter welchen Bedingungen das Problem, zu bestimmen, ob die
MehrTheoretische Informatik 2 bzw. Formale Sprachen und Berechenbarkeit. Sommersemester Herzlich willkommen!
Theoretische Informatik 2 bzw. Formale Sprachen und Berechenbarkeit Sommersemester 2012 Prof. Dr. Nicole Schweikardt AG Theorie komplexer Systeme Goethe-Universität Frankfurt am Main Herzlich willkommen!
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik 0 KIT 17.05.2010 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik nationales Forschungszentrum Vorlesung in am
MehrAxiomatische Mengenlehre
Axiomatische Mengenlehre Die Wahl von Axiomen für ein Gebiet ist nicht völlig beliebig. Zumeist steht im Hintergrund die Absicht, damit gewisse Theoreme beweisen zu können. Darüber hinaus sollte die Anzahl
MehrKapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
MehrKlausur zur Vorlesung Mathematische Logik
Universität Heidelberg 13. Februar 2014 Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Musterlösung Aufgabe 1 (Aussagenlogik
MehrSeminar Automatentheorie der Presburger Arithmetik. Vorgetragen von Viktor Rach
Seminar Automatentheorie der Presburger Arithmetik Vorgetragen von Viktor Rach Vortragsgliederung: Kapitel 1 Presburger Arithmetik 1.1 Grundlagen der Presburger Arithmetik.... 3 1.2 Einführung in Presburger
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 22 Repräsentierbarkeit in einer Theorie Wir haben schon in der zwanzigsten Vorlesung davon gesprochen, wann eine arithmetische
MehrHerzlich willkommen!!!
Theoretische Informatik 2 Sommersemester 2013 Prof. Dr. Georg Schnitger AG Theoretische Informatik Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Herzlich willkommen!!! 1 / 19 Kapitel 1: Einführung
MehrMathematische Logik Zermelo-Fränkel Axiome der Mengenlehre
Mathematische Logik Zermelo-Fränkel Axiome der Mengenlehre Laura Casalena 28.März 2012 Dieses Skript stützt sich auf das Kapitel 3 aus Einführung in die Mengenlehre von Heinz-Dieter Ebbinghaus [1]. In
MehrMathematik für Informatiker I
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
MehrNichtklassische Logiken
Nichtklassische Logiken Peter H. Schmitt pschmitt@ira.uka.de UNIVERSITÄT KARLSRUHE Sommersemester 2004 P. H. Schmitt: Nichtklassische Logiken p.1 Inhalt Wiederholung P. H. Schmitt: Nichtklassische Logiken
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 9 25. Juli 2011 Einführung in die Theoretische Informatik
MehrWir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet.
Rückschau 12.11.04 Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet. Wir haben das Prinzip der Diagonalisierung eingeführt und mit DIAG eine erste nicht rek. aufz. Sprache
MehrUnentscheidbarkeit von Problemen mittels Turingmaschinen
Unentscheidbarkeit von Problemen mittels Turingmaschinen Daniel Roßberg 0356177 Roland Schatz 0355521 2. Juni 2004 Zusammenfassung In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Unentscheidbarkeit von Problemen
MehrFormale Spezifikationund Induktion
Formale Spezifikationund Induktion 1 Was ist ein SW-System mathematisch? 1. Sicht: operational Ein SW-System ist ein Automat mit Zustand, Zustandsübergängen und mit Abläufen. 2. Sicht: algebraisch Ein
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 16.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrRekursive Aufzählbarkeit Die Reduktion
Rekursive Aufzählbarkeit Die Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen November 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
Mehr1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
MehrPeano-Axiome und Peano-Strukturen
Peano-Axiome und Peano-Strukturen Filippo Leonardi 27. März 2012 1 Peano-Arithmetik Der Folgende Abschnitt beruht auf Abschnitt 3.3 in [Rau08] und benützt dieselbe Notation. In diesem Abschnitt arbeiten
MehrBerechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion
Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität 26. November 2007 Semi-Entscheidbarkeit
MehrRepräsentierbarkeit arithmetischer Prädikate
Repräsentierbarkeit arithmetischer Prädikate Michael Schatz 9. Mai 2012 Dieses Handout richtet sich nach Kapitel 6.3 in [R], wobei es 2 wesentliche Änderungen zu beachten gilt: (a) Rautenberg arbeitet
MehrGeschichtlicher Überblick. Mathematische Logik. Vorlesung 2. Alexander Bors. 6. März A. Bors Logik
Geschichtlicher Überblick Mathematische Logik Vorlesung 2 Alexander Bors 6. März 2017 1 Geschichtlicher Überblick Überblick 1 Geschichtlicher Überblick (Quelle: Hoffmann, pp. 13 66) Zu Russells Werk Zu
MehrMathematische Logik, Grundlagen der Mathematik. Helmut Schwichtenberg Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität
Mathematische Logik, Grundlagen der Mathematik Helmut Schwichtenberg Mathematisches Institut, Ludwig-Maximilians-Universität München 1 Vorlesungen Mathematische Logik I, II Beweistheorie Rekursionstheorie
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 7.07.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrLogik I. Symbole, Terme, Formeln
Logik I Symbole, Terme, Formeln Wie jede geschriebene Sprache basiert die Prädikatenlogik erster Stufe auf einem Alphabet, welches aus den folgenden Symbolen besteht: (a) Variabeln wie zum Beispiel v 0,v
MehrLösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
Lehrstuhl für Informatik 1 WS 009/10 Prof. Dr. Berthold Vöcking 0.0.010 Alexander Skopalik Thomas Kesselheim Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Zulassungsklausur Aufgabe 1: (a) Worin
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 13. LOOP-, WHILE- und GOTO-Berechenbarkeit Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 9. April 2014 Überblick: Vorlesung Vorlesungsteile I. Logik II. Automatentheorie und formale
MehrGrundbegriffe der mathematischen Logik
Grundbegriffe der mathematischen Logik Vorlesung WS 2005/2006 Jakob Kellner http://www.logic.univie.ac.at/ kellner Kurt Gödel Research Center for Mathematical Logic 1. Vorlesung, 2005-10-05 Jakob Kellner
MehrSeminar über mathematische Logik Der Repräsentationssatz
Seminar über mathematische Logik Der Repräsentationssatz Dimitri Wyss 16. 5. 2012 Die folgenden Ausführungen sind eine geringfügig veränderte Exposition des Abschnitts 6.4 aus [1]. Das wichtigste Resultat
MehrHerzlich willkommen!!!
Theoretische Informatik 2 Sommersemester 2016 Prof. Dr. Georg Schnitger AG Theoretische Informatik Goethe-Universität Frankfurt am Main Herzlich willkommen!!! 1 / 24 Kapitel 1: Einführung Einführung 2
MehrPrüfungsprotokoll der mündlichen Prüfung Grundlagen der Theoretischen Informatik (Bachelor Informatik)
Prüfungsprotokoll der mündlichen Prüfung Grundlagen der Theoretischen Informatik 25310 (Bachelor Informatik) Prüfer: Prof. Dr. Verbeek Semester der Prüfung: SS 2010 Datum der Prüfung: 25.11.2010 Dauer:
MehrAusgewählte unentscheidbare Sprachen
Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar
MehrWas bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =
Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min
Mehr1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14
1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welche der folgenden Aussagen zu Normalformen einer aussagenlogischen Formel A ist falsch? A. Für Formel A existiert eine KNF K, sodass
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n
MehrTheorie der Informatik Übersicht. Theorie der Informatik SAT Graphenprobleme Routing-Probleme. 21.
Theorie der Informatik 19. Mai 2014 21. einige NP-vollständige Probleme Theorie der Informatik 21. einige NP-vollständige Probleme 21.1 Übersicht 21.2 Malte Helmert Gabriele Röger 21.3 Graphenprobleme
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik Prüfungsvorbereitung September 2013
Grundlagen der Theoretischen Informatik Prüfungsvorbereitung September 2013 Themenkomplex Turingmaschinen Aufgabe In beiden Kursteilen der Grundlagen tauchen Turingmaschinen auf. Dabei sind die Modelle
MehrGeschichtlicher Überblick. Mathematische Logik. Vorlesung 3. Alexander Bors. 9. & 16. März A. Bors Logik
Geschichtlicher Überblick Mathematische Logik Vorlesung 3 Alexander Bors 9. & 16. März 2017 1 Geschichtlicher Überblick Überblick 1 Geschichtlicher Überblick (Quelle: Hoffmann, pp. 13 66) Zu Gödels Werk
MehrDiskrete Mathematik II
Diskrete Mathematik II Alexander May Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Sommersemester 2011 DiMa II - Vorlesung 01-04.04.2011 1 / 252 Organisatorisches Vorlesung: Mo 12-14 in HZO 70, Di 09-10
MehrKurt Gödel und die Grundlagen der Mathematik
Mathematisches Institut der LMU 5. November 2007 Kurt Gödel 1906 1978 Geboren am 28. April 1906 in Brünn (heute Brno) Studium der Mathematik und Physik in Wien, 1924 1930 Mitglied des Wiener Kreises (Moritz
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 15. primitive Rekursion und µ-rekursion Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 22. April 2015 Überblick: Vorlesung Vorlesungsteile I. Logik II. Automatentheorie und formale
MehrLogische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 0/ Thomas Timmermann 8. Januar 0 Kardinalzahlen und die Mächtigkeit von Mengen Gleichmächtigkeit von Menge Zur Erinnerung: Wir wollen unendlich große Mengen hinsichtlich
MehrMartin Goldstern Der logische Denker Kurt Gödel und sein Unvollständigkeitssatz. 6.
Martin Goldstern Der logische Denker Kurt Gödel und sein Unvollständigkeitssatz http://www.tuwien.ac.at/goldstern/ 6.September 2006 1 Kurt Gödel, 1906-1978 1906: geboren am 28.April in Brünn (heute Brno)
Mehr6.4 Entscheidbarkeit. nein sein müssen, ist klar. THEO 6.4 Entscheidbarkeit 205/307 c Ernst W. Mayr
6.4 Entscheidbarkeit Wortproblem Leerheit Äquivalenz Schnittproblem Typ 3 ja ja ja ja DCFL ja ja ja nein (*) Typ 2 ja ja nein (*) nein Typ 1 ja nein (*) nein nein Typ 0 nein (*) nein nein nein (*) Diese
MehrInformatik-Grundlagen
Informatik-Grundlagen Komplexität Karin Haenelt 1 Komplexitätsbetrachtungen: Ansätze Sprachentheorie Klassifiziert Mengen nach ihrer strukturellen Komplexität Komplexitätstheorie Klassifiziert Probleme
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Stefan Rass System Security Research Group (syssec), Institute of Applied Informatics Alpen-Adria Universität Klagenfurt {stefan.rass}@aau.at 2017 WS 2017-09-29
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrEinführung (1/3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie.
Einführung (1/3) 3 Wir verfolgen nun das Ziel, Komplexitätsklassen mit Hilfe von charakteristischen Problemen zu beschreiben und zu strukturieren Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit
MehrHerzlich willkommen!!!
Theoretische Informatik 2 Sommersemester 2015 Prof. Dr. Georg Schnitger AG Theoretische Informatik Goethe-Universität Frankfurt am Main Herzlich willkommen!!! 1 / 19 Kapitel 1: Einführung Einführung 2
MehrAutomaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Wichtige Begriffe
Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Wichtige Begriffe Eine partielle Funktion ist eine Relation f A B; für jedes x dom(f) gibt es ein y range(f) mit x f y; wir schreiben statt f A B und x
MehrReduktion / Hilberts 10. Problem
Reduktion / Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 9. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
MehrWarum wir noch Mathematiker brauchen
Church und das Entscheidungsproblem Warum wir noch Mathematiker brauchen Joachim Breitner * 24. Juni 2011 Gulaschprogrammiernacht 11, Karlsruhe Zusammenfassung Hilbert hatte einen Traum: Er wünschte sich
MehrDas zehnte Hilbertsche Problem und die Gödelschen Sätze
1 Das zehnte Hilbertsche Problem und die Gödelschen Sätze Peter Koepke, Mathematisches Institut, Universität Bonn Cusanuswerk, Fachschaftstagung Mathematik-Informatik, Uder, 1. -4. Mai 2008 2 Mathematische
MehrPrädikatenlogik erster Stufe und der Gödelsche Vollständigkeitssatz
Prädikatenlogik erster Stufe und der Gödelsche Vollständigkeitssatz Martin Goldstern 20. August 2006 Die mathematische Logik nimmt in der Mathematik eine Sonderstellung ein. Sie ist erstens ein mathematisches
MehrUniversität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III
Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 10.4.2007 Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 11 Punkte Aufgabe 2. Minimalautomaten
MehrGrenzen der Mathematik
Grenzen der Mathematik Dirk W. Hoffmann Grenzen der Mathematik Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik Autor Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe Fakultät für Informatik und
MehrZusammenfassung. Definition. 1 (x i ) 1 i n Sequenz von Registern x i, die natürliche Zahlen beinhalten. 2 P ein Programm. Befehle: 1 x i := x i + 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Eine Registermaschine (RM)
MehrDie Reduktion Hilberts 10. Problem
Die Reduktion Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 8. November 2010 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
MehrLogische und funktionale Programmierung
Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION
MehrWS06/07 Referentin: Katharina Blinova. Formale Sprachen. Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven
WS06/07 Referentin: Katharina Blinova Formale Sprachen Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven 1. Allgemeines 2. Formale Sprachen 3. Formale Grammatiken 4. Chomsky-Hierarchie 5.
Mehr