4.4.1 Implementierung vollständiger Bäume mit Feldern. Reguläre Struktur: Nachfolger des Knoten i sind die Knoten 2*i und 2*i+1.

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1 4.4 Implementierung von Bäumen Implementierung vollständiger Bäume mit Feldern Reguläre Struktur: Nachfolger des Knoten i sind die Knoten 2*i und 2*i+1. hs / fub alp3-14-treeimp-5 1 Feldimplementierung a[1] = root a[i] = Node n => ( leftchild (Node n) = Empty or a[2*i] = leftchild (Node n)) and ( rightchild (Node n) = Empty or a[2*i] = rightchild (Node n)) hs / fub alp3-14-treeimp-5 2 1

2 Feldrepräsentation public class BTArray { // model: data Ord t => BTree t = E N(BTree t) t // (BTree t) // inv : true Object [] a; // the array implementing the tree private int size; //number of nodes private int lgth; //a.length private int current; // the current node private final int ROOT = 1; // the root hs / fub alp3-14-treeimp-5 3 Abstraktionsfunktion und Invariante Abstraktionsfunktion: welchem abstrakten Baum entspricht eine Baumrepräsentation durch ein Feld? - Struktur - Werte : Object -> t // abstr: abstr :: (Object arrayt) -> BTree t // abstr a = if (count==0) = E // abstr a = abstr' 1 // where abstr'' :: Object -> t // abstr' :: {1..lgth-1 -> BTree t // abstr' i = if (a[i] == null ) E // abstr' i // = N (abstr' (2*i) (abstr'' a[i]) // (abstr (2*i+1) hs / fub alp3-14-treeimp-5 4 2

3 Invariante Repräsentationsinvariante: welche Feldwerte sind erlaubt? - erstes Feldelement nicht genutzt - Größe des Baums immer kleiner Feldlänge - Baumeigenschaft "zusammenhängender Graph" // inv: a[0] == null // & size < lgth // & for all 1 <= i <= lgth // i!=1 & a[i]!= null => a[i div 2]!= null hs / fub alp3-14-treeimp-5 5 Operationen BTArray(int s ) { // pre: lgth = power of 2 size = 0; lgth = s-1; a = new Object[lgth]; current = 1; public BinTree left()throws...{ // pre: a[current]!= null & 2*current < lgth // effects: current = current * 2 if (2*current > size) throw... else current = 2*current; return this; hs / fub alp3-14-treeimp-5 6 3

4 Operationen public BinTree parent(){ // pre: current!= 1 // effects: current = current div 2 current = current/2; return this; public void setval(object o){ // pre: current < lgth a[current] = o; public Object root(){ // pre: current!= 0 return a[current]; hs / fub alp3-14-treeimp-5 7 Traversierung public void preordertraverse(func f) { preorder(root, f); // uses array representation private void preorder(int i, Func f) { if (i > a.length) return; if (a[i] == null) return; f.call(a[i]); preorder (2*i,f); preorder (2*i+1,f); Iterator? Was heißt "next()" in einem Baum? hs / fub alp3-14-treeimp-5 8 4

5 4.4.2 Implementierung durch verketteten Baum - direkte Implementierung: BinTree1 { - val - left - right BinTree1 r BinTree1 { - val - left - right BinTree1 { - val - left - right hs / fub alp3-14-treeimp-5 9 Binärbaum: Erste Implementierung class BinTree1 implements BinTree{ Object val; BinTree1 left, right; // abstr(null) = E // abstr (val, left, right) = // N((abstr left) val (abstr right)) public BinTree1 (BinTree1 l, Object o, BinTree1 r){ val = o; left = l; right = r; public Object val() { return val; hs / fub alp3-14-treeimp

6 Binärbaum: Erste Implementierung public BinTree1 left() { return left;... public boolean isempty(bintree1 b){ return (b==null); public boolean isempty(){ //cannot be applied to this public boolean isleaf(){ return (isempty(left) && isempty(right); public void postorderprint(){ if (!isleaf()){ left.postorder(); right.postorder(); // process value; System.out.print(val); hs / fub alp3-14-treeimp Implementierung mit Knoten-Objekten BinaryTree root ----> lft val r TreeNode BinaryTree r lft val r lft val r lft val r hs / fub alp3-14-treeimp

7 Knotenobjekte class TreeNode { Object val ; TreeNode left = null, right = null; public TreeNode (Object e) { val = e; public TreeNode left () { return left; public TreeNode right () { return right; public Object val() { return val; public boolean isleaf () { return left == null && right == null; public void setleft (TreeNode n) { left = n; public void setright (TreeNode n) { right = n; hs / fub alp3-14-treeimp-5 13 Binärbaum class BinaryTree { protected TreeNode root = null; private int size = 0; public BinaryTree() { public BinaryTree (Object val){ root=new TreeNode(val); public TreeNode left() { current = root.left(); public Object val() { return root.val();... Implementiert nicht BinTree Interface. hs / fub alp3-14-treeimp

8 Inorder-Iterator Iterator Iterator-Interface: next(), hasnext() Problem: "nächster Knoten" ist nicht notwendig "lokal": a b c Wenn a aktuell: next() -> y x d... e... Wenn x aktuell: next -> z y z hs / fub alp3-14-treeimp-5 15 Inorder-Iterator Iterator für Binärbaum (1) protected class BTreeIteratorInOrd implements java.util.iterator { private Stack stack; public BTreeIteratorInOrd (BinaryTree tree) { stack = new StackArray(); TreeNode node = tree.root (); while (node!= null) { stack.push (node); node = node.left (); public boolean hasnext () { return!stack.isempty (); hs / fub alp3-14-treeimp

9 Inorder-Iterator Iterator für Binärbaum (1) public Object next () { TreeNode node = (TreeNode) stack.pop (); Object o = node.val (); if (node.right ()!= null) { node = node.right (); while (node!= null) { stack.push (node); node = node.left (); return o; public void remove () { throw new UnsupportedOperationException (); hs / fub alp3-14-treeimp-5 17 Ordnung auf Bäumen Kann man Bäume ordnen? ja, wenn die Knotenwerte geordnet sind. Vergleiche lexikographische Ordnung: aabcdef < aabcedf abcd < abcde Ordnungsrelation auf Binärbäumen S, T Binärbäume. S < T! T.isEmpty() and (S.isEmpty or! S.isEmpty() and ( S.val < T.val or S.val = T.val and (S.left < T.left or S.left =T.left and S.right < T.right))) Was heißt "="?? hs / fub alp3-14-treeimp

10 4.4.4 Binärbaum mit Rückverweisen... vereinfachen manche Algorithmen...? Abb.: aus Tamassia: DS & Alg in Java hs / fub alp3-14-treeimp Binärbaum mit Rückverweisen class BinTree2 { Object val; BinTree2 left, right, prev; public BinTree2 (BinTree2 l, Object o, BinTree2 r){ val = o; left = l; right = r; prev = null;... public void setleft(bintree2 b){ left = b; b.prev = this;... Verweis auf Elternknoten, manchmal nützlich,... aber (Inorder-) Traversierung?? hs / fub alp3-14-treeimp

11 4.4.5 Gefädelter Binärbaum (Threaded( Tree) a b c d e f g h i Hier: Inorder-Faden Beachte: keine zusätzlichen Vorwärtsverweise, Rückverweise nur von "tieferer auf höhere Ebene" hs / fub alp3-14-treeimp n-ärer n Baum class KTree { int MAXSUCC = 5; Object val; KTree[] succ=null; Direkte Implementierung der rekursiven Definition public KTree ( Object o){ val = o; public boolean isleaf() {return succ==null; public KTree nth(int n) { // pre: n >= 0 && succ!= null if (n < MAXSUCC) return succ[n]; else throw IllegalArityException;... hs / fub alp3-14-treeimp

12 4.4.7 Mehrwegbäume als binäre Bäume Variante A: Liste von Nachfolgern class MTree1 { Object val; LinkedList successors;... Variante B: Zurückführen auf Binärbaum Verweise nicht auf Kinder sondern auf - erstes Kind - Geschwister hs / fub alp3-14-treeimp-5 23 Mehrwegbäume als binäre Bäume a b c d e f g h i j k l m hs / fub alp3-14-treeimp

13 Mehrwegbäume als binäre Bäume Datenstruktur identisch, andere Operationen (und Algorithmen) class MTree {... Object val; MTree first, nextsibling; public MTree (Object o) {val=o; public Object findnthchild(int n){... hs / fub alp3-14-treeimp