2 Java: Bäume. 2.1 Implementierung von Bäumen. 2.2 Implementierung eines binären Suchbaums. 2.3 Traversierung von Bäumen

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1 2 2 Java: Bäume 2.1 Implementierung von Bäumen 2.2 Implementierung eines binären Suchbaums 2.3 Traversierung von Bäumen 2.4 Implementierung von Heapsort 19

2 Teil II Java: Bäume Überblick Implementierung von Bäumen Implementierung eines binären Suchbaums Traversierung von Bäumen Implementierung von Heapsort Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 1 Implementierung von Bäumen Allgemein: Datenstruktur bestehend aus Baum, Baumknoten und den vom Baum organisierten Datenobjekten Unterscheidungen nach Verzweigungsgrad des Baumes geordnetem oder ungeordnetem Baum Anzahl Knotentypen Suchbäume Verzeigerung der Daten Vorgehensweise für Einfügen, Löschen, etc. Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

3 2 Allgemeine Struktur Baumklasse mit Baum-spezifischen Attributen und Methoden public class Tree { TreeNode root; Knotenklasse mit knoten-spezifischen Attributen und Methoden private class TreeNode { Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 3 Alternative: mit Java-Generics Baum für Elemente eines bestimmten Typs T public class Tree<T> { TreeNode<T> root; Objekte des Typs T sind über Knoten verwaltet private class TreeNode<T> { T element; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 4 Alternativen: mit Vererbung Jeder Baum ist auch ein Knoten public class Tree extends TreeNode { bzw. jeder Knoten ist auch ein Baum private class TreeNode extends Tree { Meist nicht sinnvoll, da Klassen mit sehr unterschiedlichen Methoden Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 5 Uni Magdeburg, WS 2005/06 21

4 Alternativen: Anzahl Knotentypen <HTML> <HEAD> <TITLE>Hello </TITLE> </HEAD> <BODY> Hello World! </BODY> </HTML> ElementNode HTML ElementNode ElementNode HEAD BODY ElementNode TextNode TITLE Hello World! TextNode Hello Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 6 Alternativen: Anzahl Knotentypen /2 Verschiedene Knotentypen sinnvoll z.b. bei Syntaxbäumen für Statements, Blöcke, Operanden, Operatoren etc. bei hierarchischen Dokumentenstrukturen für verschiedene Dokumentenabschnitte wie Kapitel, Überschriften, Paragraphen, eingebettete Grafiken etc. bei Dateiverwaltung für Laufwerke, Verzeichnis, Dateien, Verknüpfungen etc. bei unterschiedlicher Struktur von internen Knoten (Verzweigung zu Kindknoten) und Blattknoten (Daten) Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 7 Alternativen: Verzweigungsgrad und Ordnung Verzweigungen zu Kindknoten als Referenzen in Baumknoten Ordnung: ist die Reihenfolge der Kindknoten von Bedeutung? ja: geordneter Baum nein: ungeordneter Baum Verzweigungsgrad: (maximale) Anzahl der möglichen Kindknoten beliebiger Verzweigungsgrad fester (maximaler) Verzweigungsgrad n n-ärer Baum wichtiger Sonderfall: n = 2 binärer Baum Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

5 2 Ungeordneter Baum mit beliebigem Verzweigungsgrad Umsetzung der Verzweigung public class TreeNode<T> { Set<TreeNode<T> > childnodes; Speicheraufwand bei Verwendung vonset<> sehr groß Alternative: dynamisch anzupassende Arrays Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 9 Geordneter Baum mit beliebigem Verzweigungsgrad Umsetzung mit Liste public class TreeNode<T> { List<TreeNode<T> > childnodes; Bessere Speicher- und Laufzeiteffizienz auch hier mit Arrays public class TreeNode<T> { TreeNode<T>[] childnodes; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 10 Geordneter Baum mit festem Verzweigungsgrad n-ärer Baum public class TreeNode<T> { TreeNode<T>[] childnodes = new TreeNode<T>[n]; Binärer Baum public class TreeNode<T> { TreeNode<T> left, right; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 11 Uni Magdeburg, WS 2005/06 23

6 Alternative: Suchbaum Suchbaum erfordert das zusätzliche Abspeichern eines Schlüssels public class Tree<K,T> { TreeNode<K,T> root; public class TreeNode<K,T> { K key; T element; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 12 Suchbaum: Schlüssel und Daten Student: Wolf Meier Studiengang: IF Jahrgang: Student: Peter Pau Studiengang: WIF Jahrgang: Student: Karl Fuchs Studiengang: CV Jahrgang: Student: Lutz Lau Studiengang: IF Jahrgang: Student: Knut Boll Studiengang: IF Jahrgang: 2002 Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 13 Alternative: Suchbaum Nicht-eindeutiger Suchschlüssel erzwingt mengenwertige Einträge public class Tree<K,T> { TreeNode<K,T> root; public class TreeNode<K,T> { K key; Set<T> elements; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

7 2 Suchbaum: Schlüssel und Daten Gunter Saake Bob Geldof Eike Schallehn Can Türker Joan Jett Nick Cave Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 15 Binärer Suchbaum Im folgenden: binärer Suchbaum ohne Betrachtung der Datenelemente eigentliche Daten für Verständnis der Algorithmen unerheblich public class Tree<K> { TreeNode<K> root; public class TreeNode<K> { K key; TreeNode<K> left, right; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 16 Weitere Implementierungsalternativen Häufige auftretendes Kriterium: Verbesserung der Speicher- und. Laufzeiteffizienz durch Speicherung in flachen Strukturen, z. B. Levelorder Speicherung eines binären Baumes in einem Array siehe Abschnitt zu Heapsort Laufzeiteffizienz durch kleinere innere Knoten: bei Suchbäumen Verweise auf Daten häufig nur an Blattknoten z.b. Binärbaum mit Verzweigung nach und > als Schlüssel Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 17 Uni Magdeburg, WS 2005/06 25

8 Implementierung eines binären Suchbaums Binärer Suchbaum: Häufig verwendete Hauptspeicherstruktur Insbesondere geeignet für Schlüssel fester Größe, z.b. numerischeint,float undchar[n] Gewährleistet O(log 2 n) für Suchen, Einfügen und Löschen, vorausgesetzt Baum ist balanciert Später: Gewährleistung der Balancierung durch spezielle Algorithmen AVL- und Rot-Schwarz-Bäume Für Sekundärspeicher: größere, angepasste Knoten günstiger B-Bäume Für Zeichenketten als Schlüssel: variable Schlüsselgröße Tries Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 18 Implementierung eines binären Suchbaums /2 Code inbinarysearchtree.java auf der Vorlesungsseite. Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 19 Implementierung eines binären Suchbaums /3 public class BinarySearchTree<K extends Comparable<K> > implements Iterable<K> { static class TreeNode<K extends Comparable<K> > { K key; TreeNode<K> left = null, right = null; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

9 2 Implementierung eines binären Suchbaums /4 Schlüssel müssencomparable-interface, d.h. compareto()-methode, implementieren, da Suchbaum auf Vergleichen der Schlüssel basiert Baum selber implementiertiterable-interface, d.h. iterator()-methode, um Traversierung des Baums über Iterator zu erlauben später bei Baumtraversierung TreeNode und alles weitere als innere Klassen implementiert erlaubt Zugriff auf Attribute und Methoden der Baumklasse Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 21 Implementierung eines binären Suchbaums /5 Besonderheit der Implementierung: leere Pseudoknotenhead undnullnode zur Vereinfachung der Algorithmen Grundlegende Algorithmen Suchen Einfügen Löschen Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 22 Implementierung mit Pseudoknoten head nullnode Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 23 Uni Magdeburg, WS 2005/06 27

10 Implementierung mit Pseudoknoten /2 public class BinarySearchTree<K> { public BinarySearchTree () { head = new TreeNode<K>(null); nullnode = new TreeNode<K>(null); nullnode.setleft(nullnode); nullnode.setright(nullnode); head.setright(nullnode); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 24 Implementierung mit Pseudoknoten /3 Ziel: Verminderung von Sonderfällen head-knoten: Einfügen oder Löschen des Wurzelknotens würde spezielle Behandlung in der Baum-Klasse erfordern null-knoten: Erspart Testen, ob zum linken und rechten Teilknoten navigiert werden kann imnullnode einfaches Beenden der Navigation (z.b. Rekursion) möglich Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 25 Suchen im binären Suchbaum Vergleich des Suchschlüssels mit Knotenschlüssel 2. wenn kleiner, dann in linken Teilbaum weiter suchen 3. wenn größer, dann in rechten Teilbaum weiter suchen 4. sonst gefunden Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

11 2 Binärer Suchbaum: Knotenvergleich class TreeNode< > { public int comparekeyto(k k) { return (key == null? -1 : key.compareto(k)); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 27 Binärer Suchbaum: Rekursives Suchen protected TreeNode<K> recursivefindnode (TreeNode<K> n, K k) { if (n!= nullnode) { int cmp = n.comparekeyto (k); if (cmp == 0) return n; else if (cmp > 0) return recursivefindnode (n.getleft (), k); else return recursivefindnode (n.getright (), k); else return null; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 28 Binärer Suchbaum: Iteratives Suchen protected TreeNode<K> iterativefindnode (K k) { TreeNode<K> n = head.getright(); while (n!= nullnode) { int cmp = n.comparekeyto(k); if (cmp == 0) return n; else n = (cmp > 0? n.getleft () : n.getright ()); return null; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 29 Uni Magdeburg, WS 2005/06 29

12 Spezialfall: Suchen des kleinsten Elementes public K findminelement () { TreeNode<K> n = head.getright(); while (n.getleft ()!= nullnode) n = n.getleft (); return n.getkey (); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 30 Spezialfall: Suchen des größten Elementes public K findmaxelement () { TreeNode<K> n = head.getright(); while (n.getright ()!= nullnode) n = n.getright (); return n.getkey (); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 31 Binärer Suchbaum: Einfügen Schüssel Einfügen prinzipiell in 2 Schritten 1. Schritt: Einfügeposition suchen Blattknoten mit nächstkleinerem oder nächstgrößerem Schlüssel 2. Schritt: neuen Knoten erzeugen und als Kindknoten des Knoten aus Schritt 1 verlinken In Schritt 1: wenn Schlüssel bereits existiert, nicht erneut einfügen Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

13 2 Einfügen 1: Einfügeposition Suchen public boolean insert (K k) { System.out.println( insert: + k); TreeNode<K> parent = head, child = head.getright(); while (child!= nullnode) { parent = child; int cmp = child.comparekeyto(k); if (cmp == 0) return false; else if (cmp > 0) child = child.getleft (); else child = child.getright (); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 33 Einfügen 2: neuen Knoten Verlinken TreeNode<K> node = new TreeNode<K>(k); node.setleft(nullnode); node.setright(nullnode); if (parent.comparekeyto(k) > 0) parent.setleft (node); else parent.setright (node); return true; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 34 Binärer Suchbaum: Löschen Schüssel Löschen in 3 Schritten 1. Schritt: zu löschenden Knoten finden 2. Schritt: Nachrücker Knoten finden 2.1 Fall: externer Knoten ohne Kinder ersetzen durchnullnode 2.2 Fall: nur ein rechter Kindknoten ersetzen durch rechten Kindknoten 2.3 Fall: nur ein linker Kindknoten ersetzen durch linken Kindknoten 2.4 Fall: interner Knoten mit Kindern links und rechts ersetzen durch Knoten mit kleinstem (alternativ: größtem) Schlüssel im rechten (alternativ: linken) Teilbaum 3. Schritt: Baum reorganisieren Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 35 Uni Magdeburg, WS 2005/06 31

14 Löschen 1: Knoten suchen public boolean remove (K k) { TreeNode<K> parent = head, node = head.getright(), child = while (node!= nullnode) { int cmp = node.comparekeyto(k); if (cmp == 0) break; else { parent = node; node = (cmp > 0? node.getleft() : node.getright()); if (node == nullnode) return false; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 36 Löschen 2: Nachrücker finden /1 if (node.getleft() == nullnode && node.getright() == nullnode child = nullnode; else if (node.getleft() == nullnode) child = node.getright(); else if (node.getright() == nullnode) child = node.getleft(); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 37 Löschen 2: Nachrücker finden /2 else { child = node.getright(); tmp = node; while (child.getleft ()!= nullnode) { tmp = child; child = child.getleft (); child.setleft(node.getleft()); if (tmp!= node) { tmp.setleft(child.getright()); child.setright(node.getright()); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

15 2 Löschen 3: Baum Reorganisieren if (parent.getleft() == node) parent.setleft(child); else parent.setright(child); return true; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 39 Entartung von Bäumen Ungünstige Einfüge- oder Löschreihenfolge führt zu extremer Unbalanciertheit Extremfall: Baum wird zur Liste Dann Operationen mit Komplexität O(n) Beispiel for (int i=0; i < 10; i ++) tree.insert(i); Vermeidung: durch spezielle Algorithmen zum Einfügen und Löschen Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 40 Traversierung von (Binär-)bäumen Traversierung durch Methoden Inorder Preorder Postorder Levelorder Traversierung mit Hilfe von Iteratoren Erfordert Zwischenspeicherung des Traversierungszustands Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 41 Uni Magdeburg, WS 2005/06 33

16 Preorder-Traversierung Preorder-Traversierung: Behandlung (Ausgabe) des aktuellen Knotens zuerst, dann linker und rechter Teilbaum (W-L-R) static class TreeNode<K extends Comparable<K> > { public void traverse() { if (key == null) return; System.out.print( + key); left.traverse(); right.traverse(); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 42 Inorder-Traversierung Inorder-Traversierung: Behandlung des linken Teilbaums, dann des aktuellen Knotens, dann rechter Teilbaum (L-W-R) Gibt Baum in sortierter Reihenfolge aus public void traverse() { if (key == null) return; left.traverse(); System.out.print( + key); right.traverse(); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 43 Postorder-Traversierung Postorder-Traversierung: Behandlung des linken und rechten Teilbaums, dann erst des aktuellen Knotens (L-R-W) public void traverse() { if (key == null) return; left.traverse(); right.traverse(); System.out.print( + key); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

17 2 Levelorder-Traversierung Levelorder-Traversierung: Ausgabe der Knoten geordnet nach 1. Baumebene, beginnend bei der Wurzel 2. Ordnung innerhalb der Baumebene, beginnend bei kleinstem Element Implementierung: siehe Übung Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 45 Traversierung mit Iteratoren Iteratoren erlauben Schrittweise Abarbeitung Verwendung von Standardschleifen für Baumdurchlauf for (Integer i : tree) System.out.print(i); Erfordert Zwischenspeicherung des Bearbeitungszustands Unterstützung verschiedener Iteratoren Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 46 Traversierung mit Iteratoren /2 public class BinarySearchTree<K extends Comparable<K> > implements Iterable<K> { public static final int INORDER = 1; public static final int PREORDER = 2; public static final int POSTORDER = 3; public static final int LEVELORDER = 4; public void setiterationorder(int io) { if (io < 1 io > 4) return; iterationorder = io; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 47 Uni Magdeburg, WS 2005/06 35

18 Traversierung mit Iteratoren /3 public Iterator<K> iterator () { switch (iterationorder) { case INORDER: return new InorderIterator<K>(this); case PREORDER: return new PreorderIterator<K>(this); case POSTORDER: return new PostorderIterator<K>(this); case LEVELORDER: return new LevelorderIterator<K>(this); return new InorderIterator<K>(this); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 48 Inorder-Iterator /1 class InorderIterator <K extends Comparable<K> > implements java.util.iterator<k> { java.util.stack<treenode<k> > st = new java.util.stack< TreeNode<K> >(); public InorderIterator(BinarySearchTree<K> tree) { TreeNode<K> node = tree.head.getright(); while (node!= nullnode) { st.push(node); node = node.getleft(); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 49 Inorder-Iterator /2 public boolean hasnext() { return!st.isempty(); public K next() { TreeNode<K> node = st.pop(); K obj = node.getkey(); node = node.getright(); while (node!= nullnode) { st.push(node); node = node.getleft(); return obj; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

19 2 Preorder-Iterator /1 class PreorderIterator <K extends Comparable<K> > implements java.util.iterator<k> { public PreorderIterator(BinarySearchTree<K> tree) { if (tree.head.getright()!= nullnode) st.push(tree.head.getright()); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 51 Preorder-Iterator /2 public K next() { TreeNode<K> node = st.pop(); K obj = node.getkey(); if (node.getright()!= nullnode) st.push(node.getright()); if (node.getleft()!= nullnode) st.push(node.getleft()); return obj; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 52 Levelorder-Iterator /1 class LevelorderIterator <K extends Comparable<K> > implements java.util.iterator<k> { private java.util.queue<treenode<k> > q = new java.util.linkedlist<treenode<k> >(); public LevelorderIterator( BinarySearchTree<K> tree) { TreeNode<K> node = tree.head.getright(); if (node!= nullnode) q.offer(node); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 53 Uni Magdeburg, WS 2005/06 37

20 Levelorder-Iterator /2 public K next() { TreeNode<K> node = q.poll(); K obj = node.getkey(); if (node.getleft()!= nullnode) q.offer(node.getleft()); if (node.getright()!= nullnode) q.offer(node.getright()); return obj; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 54 Implementierung von Heapsort Heap-Eigenschaft Baum ist vollständig, d.h., die Blattebene ist von links nach rechts gefüllt. Schlüssel eines jeden Knotens ist kleiner (oder gleich) als die Schlüssel seiner Kinder. Implementierung als Array (Levelorder-Abspeicherung eines Baums) Auf dessen Basis einfacher und effizienter Sortieralgorthmus umsetzbar Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 55 Implementierung von Heapsort Code inheapsort.java auf der Vorlesungsseite. Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

21 2 Heap als Java-Array [0][1][2][3][4][5] Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 57 Heapsort: Programmrahmen public class HeapSort { public static void main(string[] args) { Comparable[] array = initarray(20); printarray(array); heapsort(array); printarray(array); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 58 Heapsort: Hauptalgorithmus public static void heapsort(comparable[] f) { int i; for (i = f.length / 2; i >= 0; i--) percolate(f, i, f.length); for (i = f.length - 1; i > 0; i--) { swap(f, 0, i); percolate(f, 0, i); Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II 2 59 Uni Magdeburg, WS 2005/06 39

22 Heapsort: Heap herstellen private static void percolate( Comparable[] f, int idx, int last) { int i = idx + 1, j; while (2 * i <= last) { j = 2 * i; if (j < last && f[j-1].compareto(f[j]) > 0) j++; if (f[i-1].compareto(f[j-1]) > 0) { swap(f,i-1,j-1); i = j; else break; Saake/Schallehn Algorithmen & Datenstrukturen II Uni Magdeburg, WS 2005/06

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