Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
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- Carsten Beutel
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1 Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen Jens Saak Seminar: Algebraische Matrixgleichungen WS 09/10 Chemnitz, den /17 Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
2 Outline 1 Motivation Why use Low Rank Approximation? Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations 3 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs NK-ADI vs. QADI 4 ADI Shift Parameter Choice Min-Max-Problem Common ADI Shift Parameter Choices /17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
3 Motivation Why use Low Rank Approximation? The spectrum of an AREs solution eigenvalues of P h for h=0.01 Motivating Example 10 0 Linear 1D heat equation with point control. Ω = [0, 1]. FEM discretization using linear B-splines. h=0.01. λ k Index k eps n X = X T 0 = X = ZZ T = λ k z k zk T k=1 r λ k z k zk T = Z (r) Z(r) T. k=1 3/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
4 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations 1 Motivation Why use Low Rank Approximation? Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations 3 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs NK-ADI vs. QADI 4 ADI Shift Parameter Choice Min-Max-Problem Common ADI Shift Parameter Choices 4/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
5 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Consider FX + XF T = GG T ADI Iteration for the Lyapunov Equation (LE) [Wachspress 88] For j = 1,..., J X 0 = 0 (F + p j I )X j 1 = GG T X j 1 (F T p j I ) (F + p j I )Xj T = GG T X T (F T p j 1 j I ) 5/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
6 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Consider FX + XF T = GG T ADI Iteration for the Lyapunov Equation (LE) [Wachspress 88] For j = 1,..., J X 0 = 0 (F + p j I )X j 1 = GG T X j 1 (F T p j I ) (F + p j I )Xj T = GG T X T (F T p j 1 j I ) Rewrite as one step iteration and factorize X i = Z i Zi T, i = 0,..., J Z 0 Z0 T = 0 Z j Zj T = p j (F + p j I ) 1 GG T (F + p j I ) T +(F + p j I ) 1 (F p j I )Z j 1 Zj 1 T ji ) T (F + p j I ) T 5/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
7 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Z j = [ p j (F + p j I ) 1 G, (F + p j I ) 1 (F p j I )Z j 1 ] [Penzl 00] 6/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
8 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Z j = [ p j (F + p j I ) 1 G, (F + p j I ) 1 (F p j I )Z j 1 ] [Penzl 00] Observing that (F p i I ), (F + p k I ) 1 commute, we rewrite Z J as Z J = [z J, P J 1 z J, P J (P J 1 z J ),..., P 1 (P P J 1 z J )], where and P i := z J = p J (F + p J I ) 1 G pi pi+1 [ I (pi + p i+1 )(F + p i I ) 1]. [J. R. Li/White 0] 6/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
9 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Algorithm 1 Low-rank Cholesky factor ADI iteration (LRCF-ADI) [Penzl 97/ 00, J. R. Li/White 99/ 0, Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] Input: F,G defining FX + XF T = GG T and shifts {p 1,..., p imax } Output: Z = Z imax C n t imax, such that ZZ H X 1: V 1 = Re (p 1 )(F + p 1 I ) 1 G : Z 1 = V 1 3: for i =, 3,..., i max do 4: V i = Re (p i )/ Re (p i 1 )(V i 1 (p i + p i 1 )(F + p i I ) 1 V i 1 ) 5: Z i = [Z i 1 V i ] 6: end for 7/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
10 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Algorithm Generalized Low-rank Cholesky factor ADI iteration (G-LRCF-ADI) [Benner 04, Benner/S. 09, S. 09] Input: E,F,G defining FXE T +EXF T = GG T and shifts {p 1,..., p imax } Output: Z = Z imax C n t imax, such that ZZ H X 1: V 1 = Re (p 1 )(F + p 1 E) 1 G : Z 1 = V 1 3: for i =, 3,..., i max do 4: V i = Re (p i )/ Re (p i 1 )(V i 1 (p i + p i 1 )(F + p i E) 1 EV i 1 ) 5: Z i = [Z i 1 V i ] 6: end for 8/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
11 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations Consider Schur/singular value decomposition X = UΣU T, U R n n, U T U = I, Σ = diag (σ 1,..., σ n ) and σ 1 σ σ n. The best rank-m Frobenius-norm approximation to X is thus given by [ ] Σm 0 X m := U U T = U 0 0 m Σ m Um T. 9/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
12 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations Consider Schur/singular value decomposition X = UΣU T, U R n n, U T U = I, Σ = diag (σ 1,..., σ n ) and σ 1 σ σ n. The best rank-m Frobenius-norm approximation to X is thus given by [ ] Σm 0 X m := U U T = U 0 0 m Σ m Um T. Krylov Projection Idea [Saad 90, Jaimoukha/Kasenally 94] Solve (U T m FU m )Y m + Y m (U T m F T U m ) = U T m GG T U m, (1) on colspan(u m ) and get X m as X m = U m Y m U T m. 9/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
13 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations Consider Schur/singular value decomposition X = UΣU T, U R n n, U T U = I, Σ = diag (σ 1,..., σ n ) and σ 1 σ σ n. The best rank-m Frobenius-norm approximation to X is thus given by [ ] Σm 0 X m := U U T = U 0 0 m Σ m Um T. Krylov Projection Idea [Saad 90, Jaimoukha/Kasenally 94] Solve F m Y m + Y m F T m = G m G T m, F m R m m, m n (1) on colspan(u m ) and get X m as X m = U m Y m U T m. 9/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
14 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations Consider Schur/singular value decomposition X = UΣU T, U R n n, U T U = I, Σ = diag (σ 1,..., σ n ) and σ 1 σ σ n. The best rank-m Frobenius-norm approximation to X is thus given by [ ] Σm 0 X m := U U T = U 0 0 m Σ m Um T. Krylov Projection Idea [Saad 90, Jaimoukha/Kasenally 94] Solve F m Y m + Y m F T m = G m G T m, F m R m m, m n (1) on colspan(u m ) and get X m as X m = U m C m C T m U T m where Y m = C m C T m. 9/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
15 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations Algorithm 3 Basic Krylov Subspace Method for the Lyapunov Equation Input: F,G defining FX + XF T = GG T, an initial Krylov subspace V, e.g., V = K p (F, G) with orthogonal basis V C n p. Output: Z C n t, such that ZZ H X repeat if not first step then increase dimension of V and update V. end if Solve the small LE for Z with a classical solver: (V T FV ) Z Z T + Z Z T (V T F T V ) = V T GG T V, Lift Z to the full space: Z = U Z until res(z)< TOL 10/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
16 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations F Z Z T + Z Z T F T = G G T Legend: new factor old factor original matrix original rhs projected matrix projected Cholesky factor projected rhs 11/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
17 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations F Z Z T + Z Z T F T = G G T F m Fm T G Gm T m Legend: new factor old factor original matrix original rhs projected matrix projected Cholesky factor projected rhs 11/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
18 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations F m Cm C T m + C T m F T m G m Cm = G T m Legend: new factor old factor original matrix original rhs projected matrix projected Cholesky factor projected rhs 11/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
19 Low Rank Solvers for Lyapunov Equations Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations F m Cm C T m + C T m F T m G m Cm = G T m F Z Z T + Z Z T F T = G G T Legend: new factor old factor original matrix original rhs projected matrix projected Cholesky factor projected rhs 11/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
20 LRCF-NM for the ARE 1 Motivation Why use Low Rank Approximation? Low Rank Solvers for Lyapunov Equations (G-)LRCF-ADI Krylov Subspace Based Solvers for Lyapunov Equations 3 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs NK-ADI vs. QADI 4 ADI Shift Parameter Choice Min-Max-Problem Common ADI Shift Parameter Choices 1/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
21 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Consider R(X ) := C T C + A T X + XA XBB T X = 0 Newton s Iteration for the ARE R X (N l ) = R(X l ), X l+1 = X l + N l, l = 0, 1,... where the Frechét derivative of R at X is the Lyapunov operator R X : Q (A BB T X ) T Q + Q(A BB T X ), i.e., in every Newton step solve a Lyapunov Equation [Kleinman 68] (A BB T X l ) T X l+1 + X l+1 (A BB T X l ) = C T C X l BB T X l. 13/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
22 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Consider R(X ) := C T C + A T X + XA XBB T X = 0 Newton s Iteration for the ARE R X (N l ) = R(X l ), X l+1 = X l + N l, l = 0, 1,... where the Frechét derivative of R at X is the Lyapunov operator R X : Q (A BB T X ) T Q + Q(A BB T X ), i.e., in every Newton step solve a Lyapunov Equation [Kleinman 68] F T l X l+1 + X l+1 F l = G l G T l. 13/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
23 LRCF-NM for the ARE Newton s Method for AREs Consider R(X ) := C T C + A T X E + E T XA E T XBB T X E = 0 Newton s Iteration for the ARE R X (N l ) = R(X l ), X l+1 = X l + N l, l = 0, 1,... where the Frechét derivative of R at X is the Lyapunov operator R X : Q (A BB T X ) T QE + E T Q(A BB T X ), i.e., in every Newton step solve a Lyapunov Equation [Kleinman 68] F T l X l+1 E + E T X l+1 F l = G l G T l. 13/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
24 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] is sparse + low rank is low rank factor 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
25 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] apply LRCF-ADI in every Newton step is sparse + low rank is low rank factor exploit structure of F l using Sherman-Morrison-Woodbury formula (A BK l + p (l) k In) 1 = (I n + (A + p (l) k In) 1 B(I m K l (A + p (l) In) 1 B) 1 K l )(A + p (l) k k In) 1 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
26 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] apply LRCF-ADI in every Newton step is sparse + low rank is low rank factor exploit structure of F l using Sherman-Morrison-Woodbury formula (A BK l + p (l) k In) 1 = (I n + (A + p (l) k In) 1 B(I m K l (A + p (l) In) 1 B) 1 K l )(A + p (l) k k In) 1 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
27 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] apply LRCF-ADI in every Newton step is sparse + low rank is low rank factor exploit structure of F l using Sherman-Morrison-Woodbury formula (A BK l + p (l) k In) 1 = (I n + (A + p (l) k In) 1 B(I m K l (A + p (l) In) 1 B) 1 K l )(A + p (l) k k In) 1 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
28 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] apply LRCF-ADI in every Newton step is sparse + low rank is low rank factor exploit structure of F l using Sherman-Morrison-Woodbury formula (A BK l + p (l) k In) 1 = (I n + (A + p (l) k In) 1 B(I m K l (A + p (l) In) 1 B) 1 K l )(A + p (l) k k In) 1 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
29 LRCF-NM for the ARE Low-Rank Newton-ADI (LRCF-NM) for AREs Factored Newton-Kleinman Iteration [Benner/J. R. Li/Penzl 99/ 08] F l = A BB T X l =: A BK l G l = [C T Kl T ] apply LRCF-ADI in every Newton step is sparse + low rank is low rank factor exploit structure of F l using Sherman-Morrison-Woodbury formula (A BK l + p (l) k E) 1 = (I n + (A + p (l) k E) 1 B(I m K l (A + p (l) E) 1 B) 1 K l )(A + p (l) k k E) 1 14/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
30 LRCF-NM for the ARE QADI (A T Kj 1B T T + p j I )X T j 1 = Q Xj 1(A T p j I ), (A T K T j 1 B T + p j I )X j = Q X j 1 (A p j I ). 15/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
31 LRCF-NM for the ARE QADI (A T Kj 1B T T + p j I )X T j 1 = Q Kj 1RK T j 1 Xj 1(A T BK j 1 p j I ), (A T K T j 1 B T + p j I )X j = Q K T j 1 RK j 1 X j 1 (A BK j 1 p j I ). 15/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
32 LRCF-NM for the ARE QADI (A T Kj 1B T T + p j I )X T j 1 = Q Kj 1RK T j 1 Xj 1(A T BK j 1 p j I ), (A T K T j 1 B T + p j I )X j = Q K T j 1 RK j 1 X j 1 (A BK j 1 p j I ). NK-ADI (A T Kj 1B T T + p k I )X T k 1 = Q Kj 1RK T j 1 Xk 1(A T Kj 1B T T p k I ), (A T Kj 1B T T + p k I )X k = Q Kj 1RK T j 1 X k 1 (A BK j 1 p k I ). 15/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
33 ADI Shift Parameter Choice Min-Max-Problem Optimal parameters solve the min-max-problem min {p j R j=1,...,j} R max λ σ(h),γ σ(v ) J (p j λ)(p j γ) (p j + λ)(p j + γ). j=1 Remark Also known as rational Zolotarev problem since he solved it first on real intervals enclosing the spectra in Another solution for the real case was presented by Wachspress/Jordan in Wachspress and Starke presented different strategies to compute suboptimal shifts for the complex case around /17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
34 ADI Shift Parameter Choice Min-Max-Problem Optimal parameters solve the min-max-problem min {p j R j=1,...,j} R max λ σ(f ), J (p j λ) (p j + λ). j=1 Remark Also known as rational Zolotarev problem since he solved it first on real intervals enclosing the spectra in Another solution for the real case was presented by Wachspress/Jordan in Wachspress and Starke presented different strategies to compute suboptimal shifts for the complex case around /17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
35 ADI Shift Parameter Choice Common ADI Shift Parameter Choices We will discuss three possible parameter choices here: 1 (sub-) optimal parameters [Wachspress: ADI model problem 95] : optimal for real spectra Solve the min-max-problem on an elliptic functions region. Computation needs knowledge of the complete spectrum of F. parameters real if imaginary parts are small heuristic parameters [Penzl: Lyapack 99] use Ritz values as shifts suboptimal convergence might be slow in general complex for complex spectra 3 semi-optimal parameters: Idea: combine the advantages of these methods [Benner/ Mensa/ S. 08: ALA006] use Arnoldi s method to approximate the outer spectrum compute the (sub-)optimal real parameters for this approximation 17/17 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Verfahren für große dünnbesetzte Matrixgleichungen
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