Seminar Frühes Universum Wintersemester 2003/04. Markus Kromer

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1 Seminar Frühes Universum Wintersemester 2003/04 Weltmodelle I: Friedmann-Modell des Universums Markus Kromer

2 Friedmann-Modell des Universums - Einführung 2 Einführung Hubble-Gesetz Grundgedanken der ART Grundlagen Kinematik Dynamik Gliederung Lösungen der Friedmann-Gleichung: Vortrag Weltmodelle II

3 Friedmann-Modell des Universums - Einführung 3 Hubble-Gesetz Spektrallinien entfernter Galaxien (Abstand d) sind rotverschoben z= observed emitted emitted = observed emitted 1 Deutung als Dopplereffekt Fluchtgeschwindigkeit v=cz das Universum expandiert Hubble 1929: z ~ d z= observed emitted emitted z = v c Hubble-Gesetz: v=cz=h 0 d mit Hubble-Konstante H 0 = (72±8) km s -1 Mpc -1 Hubble-Zeit definiert Weltalter 0 = d v = 1 H 0 13, a d [Mpc]

4 Friedmann-Modell des Universums - Einführung 4 Grundgedanken der ART Wie in der SRT: vierdimensionale Raum-Zeit physikal. Ereignisse werden durch Punkte x=x a in diesem 4-dimensionalen Raum beschrieben Linienelement ds 2 =g ab dx a dx b legt die Geometrie fest Neu: Energie krümmt die Raum-Zeit Wechselwirkung beschrieben durch Einsteinsche- Feldgleichungen G ab g ab =8 G T ab Einstein-Tensor Ricci-Tensor R ab Ricci-Skalar R G ab =R ab 1 2 R g ab Energie-Impuls-Tensor T ab Funktionen von g ab Bezeichnungen x=x a Vierervektor a,b,...=0,1,2,3 x =x α Dreiervektor α,β,...=1,2,3 g ab Metrischer Tensor Λ Kosmologische Konst. G Gravitationskonstante Bewegung in der gekrümmten Raum-Zeit entlang Geodäten

5 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 5 Gliederung Einführung Grundlagen Galaxiengas & Kosmologisches Prinzip Kosmologisches Prinzip in der ART Mitbewegtes Koordinatensystem Skalenfaktor Robertson-Walker-Metrik Kinematik Dynamik

6 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 6 Galaxiengas & Kosmologisches Prinzip Betrachtung des Universums als Ganzes Galaxien sind Elementarteilchen eines Gases Galaxienverteilung durch ausgeschmierte Dichte ρ beschrieben Forderung: Galaxiengas soll eine ideale Flüssigkeit sein mit dem Gas bewegter Beobachter (Geschwindigkeit u) sieht die Galaxien in seiner Umgebung in Ruhe einfache Form des Energie-Impuls-Tensor T ab Weitere Forderung: sog. kosmologisches Prinzip (KP) Das Universum bietet zu jedem Zeitpunkt von jedem Punkt aus den gleichen Anblick Homogenität und Isotropie des Raumes. Friedmann-Modell beruht allein auf diesen Annahmen!

7 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 7 Kosmologisches Prinzip in der ART Betrachte raumartige Hyperflächen t=const. der Raum-Zeit KP: jede raumartige Hyperfläche muss homogen und isotrop sein Isotropie Weltlinien des Galaxiengases müssen raumartige Hyperflächen orthogonal schneiden t=t 2 Geometrie des Raumes durch Massenverteilung bestimmt Massen müssen homogen und isotrop verteilt sein Ist dies tatsächlich erfüllt? E F t=t 1

8 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 8 Galaxienverteilung 2dF Galaxy Redshift Survey

9 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 9 Diffuser Röntgenhintergrund ROSAT (MPE)

10 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 10 Isotropie der 3K-Hintergrundstrahlung NASA/WMAP Science Team

11 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 11 Mitbewegtes Koordinatensystem mit dem Galaxiengas bewegter Beobachter bleibt für beliebige t=const. am selben Ort auf der Hyperfläche Wahl der Zeitkoordinate t als Eigenzeit entlang Weltlinie eines Teilchens Wegen g ab = folgt dann g 0 = x 0 und g 00 =1 x a x b x = t Metrik ds 2 =g ab dx a dx b zerfällt in x =0 der Raum-Zeit Misner, Thorne, Wheeler ds 2 =dt 2 g dx dx g positiv definite (3x3)-Matrix

12 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 12 Skalenfaktor I Betrachte die zeitliche Entwicklung des Raumanteils der Metrik d s 2 = g t, x dx dx Eigenentfernung benachbarter Weltlinien (x 1,x 2,x 3 ) und (x 1 + x 1,x 2 + x 2,x 3 + x 3 ) auf beliebiger Hyperfläche mit t=t * s t * = g t *, x x x Eigenentfernung auf Hyperfläche t=t dann s t Verhältnis a t = s t / s t * unabh. von Richtung zwischen den Punkten (Isotropie) Ausgangsposition (Homogenität) Zeitabhängigkeit der 3-Metrik steckt allein im Skalenfaktor a(t) d s 2 = a 2 t g x dx dx x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 s t * s t x 1 x 1 x 2 x 2 x 2

13 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 13 Skalenfaktor II Misner, Thorne, Wheeler

14 Friedmann-Modell des Universums - Grundlagen 14 Robertson-Walker-Metrik Forderung nach Homogenität und Isotropie schränkt die 3-Metrik des Raumanteils weiter ein insbesondere sphärische Symmetrie Linienelement der Raum-Zeit ds 2 =dt 2 a 2 dr 2 t [ 1 kr r 2 d 2 sin 2 d 2 ] 2 Robertson-Walker-Metrik (RWM) r,θ,φ sind die mitbewegten Koordinaten Strobel k {-1,0,1} legt die Krümmung der Hyperfläche fest k= 0: ebene euklidische Geometrie k= 1: geschlossener Fall k=-1: offener Fall

15 Friedmann-Modell des Universums - Kinematik 15 Einführung Grundlagen Kinematik Lichtausbreitung Rotverschiebung Relativistisches Hubble-Gesetz Dynamik Gliederung

16 Friedmann-Modell des Universums - Kinematik 16 Lichtausbreitung ART: Photonen propagieren entlang Nullgeodäten ds 2 =0 0=dt 2 a 2 t [ Isotropie Einschränkung auf radiale Bewegung dθ=dφ=0 dt a t = ±dr 1 kr 2 Lichtausbreitung dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 ] 1 kr 2 Galaxie E (Weltlinie r E ) sendet zu t=t E Photon t O + t O Beobachter O (Weltlinie r O =0) empfängt es zu t=t O t O dt t E a t = r O dr r E 1 kr = r E dr kr =f r 2 k E Analog für einen späteren Zeitpunkt t O t E + t E t O t O t E t E dt a t = r E 0 dr 1 kr 2 =f k r E t E Also: 0= t O t O t O dt a t t E t E t E dt a t O E

17 Friedmann-Modell des Universums - Kinematik 17 Rotverschiebung Für ausreichend kleine t O und t E gilt dann 0= t O a t O t E a t E t O = a t O t E a t E Falls ν O =1/ t O und ν E =1/ t E folgt also E O = O E = a t O a t E Rotverschiebung 1 z= a t O a t E z= O E E = O E 1 Kosmologische Rotverschiebung beruht allein auf der Ausdehnung des Raums!

18 Friedmann-Modell des Universums - Kinematik 18 Relativistisches Hubble-Gesetz Experimentelle Evidenz: v=z=h 0 D (klass. Hubble-Gesetz) Betrachte wie beim Skalenfaktor den Eigenabstand zwischen zwei Weltlinien zu verschiedenen Zeiten x D t =a t d 2 x 2 x 2 D t t =a t t d Differenzenquotient von D(t) D a t t d a t d = t t Grenzübergang t 0 liefert v v= d D =ȧ t d=ȧ t D t =H t D t d t a t relativistisches Hubble-Gesetz mit Hubble-Funktion H t = ȧ t a t Identifiziere Hubble-Konstante H 0 =H(t 0 ). x 1 x 1 x 1 x 1 D t t D t x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 t

19 Friedmann-Modell des Universums - Dynamik 19 Gliederung Einführung Grundlagen Kinematik Dynamik Friedmann-Gleichung im Rahmen der ART Friedmann-Gleichung im Rahmen der Newtonschen Gravitation

20 Friedmann-Modell des Universums - Dynamik 20 Friedmann-Gleichung im Rahmen der ART Lösung der Einsteinschen-Feldgleichungen: G ab g ab =8 GT ab KP vereinfacht die Metrik und damit auch den Einstein-Tensor T ab hat die Form einer idealen Flüssigkeit. Exakte Rechnung liefert Friedmann-Gleichungen a 2 = 8 G a a2 k ä a = 4 G 3 p 3 3 k {-1,0,1} Krümmung ρ Energiedichte von Materie und Strahlung p Druck von Materie und Strahlung Λ kosmologische Konstante Vakuumenergie Zeitliche Entwicklung der Hubble-Funktion H 2 t = ȧ t 2 a t = 8 G 3 3 k a 2 t

21 Friedmann-Modell des Universums - Dynamik 21 Friedmann via Newton Newton: Grenzfall der ART für kleine Massen und Skalen KP Skaleninvarianz Newton auf große Skalen übertragbar Expandierende Kugel mit Radius R t =a t r und Masse t [a t r ]3 M= 4 3 Gravitationskraft auf Galaxie (Masse m) an der Kugeloberfläche m d 2 [a t r ] = GMm dt 2 [a t r ] 2 ä t a t = 4 G t 3 Multiplikation mit ȧ t und Integration liefert die Energiegleichung a 2 t = 8 G t a 2 t const. 3 a(t) r M m

22 Friedmann-Modell des Universums - Literatur 22 Literatur M. Camenzind: From Big Bang to Black Holes ( R. d'inverno: Einführung in die Relativitätstheorie (VCH, 1995) L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. II - Klassische Feldtheorie (Verlag Harri Deutsch 1997) C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation (Freeman 1973) T. Padmanabhan: Theoretical Astrophysics, Vol. III - Galaxies and Cosmology (Cambridge University Press 2002) A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos (Springer 2002) 2dF Galaxy Redshift Survey, ROSAT (MPE), N. Strobel, NASA/WMAP Science Team,