Lösungen der Aufgaben (Januar - Februar 2003 für die Stufen 9 und 10)

Transkript

1 Lösungen der Aufgaben (Januar - Februar 2003 für die Stufen 9 und 10) Zur 1. Aufgabe: a) 15 verschiedene Rückseiten wurden geprägt: Belgien, Deutschland, Finnland, Frankreich, Griechenland, Irland, Italien, Luxemburg, Monaco, Niederlande, Österreich, Portugal, San Marino, Spanien und Vatikanstaat. b) Es sind genau zwei Umdrehungen erforderlich; denn nach der Hälfte des Weges der Rollmünze um die feste Münze ist der halbe Umfang abgerollt worden und die Rollmünze berührt die festliegende diametral (mit dem zum Anfangsberührpunkt am weitesten entfernten Punkt). Dabei sieht es dann so aus, als wäre die Rollmünze dorthin verschoben worden; die 1 zeigt in dieselbe Richtung wie ursprünglich. Folglich hat die 1 genau eine Umdrehung vollzogen und benötigt eine zweite bis zur Ausgangsposition. c) I. Dieses Problem kann mithilfe von Experimenten abgeschätzt werden: Während die erste Münze an der zweiten vorbeirollt, dreht sich die 1 um ca. 230 ± 5. II. Kundige berechnen! Grundlage der Berechnungen ist die Erkenntnis, dass der Winkel der Richtungsänderung proportional zur Länge des abgerollten Münzrandes (Kreisbogen) ist. Für α als Winkelmaß der Richtungsänderung und d als Durchmesser der Münze sowie 2d als Länge des Rollweges mit π d als Umfang der Münze gilt: 2d : π d = α : 360 α = 720 : π 229,18. Die Richtungsänderung der 1 beträgt also ca. 229,2. Zur 2. Aufgabe: Hierzu gibt es viele brauchbare Lösungen; ihre Genauigkeit hängt von der Informationsquelle ab: Nach Herstellerangaben soll die 1-Euro-Münze einen Durchmesser von 23,25mm haben; messen kann man 23mm ( 2cm wäre ein zu grobes Maß). Die Münzdicke wird mit 2,2mm von den Münzprägestätten gearbeitet, messbar sind 2mm. Es war hier hilfreich, über die Bedeutung von Mindestmaß nachzudenken. (Hier gab es viele Hinweise in den Einsendungen wie z. B. alle Längen minimal, Umfang der Grundfläche minimal, Summe aller Kantenlängen minimal, Grundfläche minimal, Oberfläche des Quaders minimal oder das Volumen (Rauminhalt) minimal zu halten.) Die tabellarische Übersicht enthält einige dieser Angaben. Letztlich kam es nicht darauf an, alle Lösungen dieser Art zu finden, sondern einigen Lösungswegen dieser Art nach eigener Grundsatzerörterung nachzugehen. Erläuterung der Abkürzungen: l Maß der Länge, b Maß der Breite, h Höhenmaß, nl Anzahl der Münzen in einer Reihe nebeneinander, nb Anzahl der Reihen hintereinander, nh Anzahl der Münzen übereinander, V Volumen, Rauminhalt, Fassungsvermögen der Schachtel, O (Innen-)Oberfläche der quaderförmigen Schachtel, A Grundfläche, Standfläche der Schachtel.

2 Mindestmaße einer Schachtel zur Unterbringung von 12 Münzen reihenweise 279,00 23,25 2, , , , reihenweise 139,50 46,50 2, , , , reihenweise 139,50 23,25 4, , , , reihenweise 93,00 69,75 2, , , , reihenweise 93,00 23,25 6, , , , reihenweise 69,75 46,50 4, ,4 7509, , reihenweise 69,75 23,25 8, ,7 4880, , reihenweise 46,50 46,50 6, ,3 5552, , reihenweise 46,50 23,25 13, ,1 4003, , Reihe mittlere Reihe Schräg versetzt Reihe ,13 43,39 2, , , ,5 104,63 63,52 2, , , ,7 81,38 43,29 4, ,3 8141, ,2 Zeilennummer Zeilennummer Mindestmaße einer Schachtel zur Unterbringung von 15 Münzen reihenweise 348,75 23,25 2, , , , reihenweise 116,25 69,75 2, , , , reihenweise 116,25 23,25 6, ,8 8655, , reihenweise 69,75 23,25 11, ,7 5289, , Münzen in 2. Reihe mittlere Reihe 186,00 43,39 2, , , ,2 127,88 63,52 2, , , , übereinander 23,25 23,25 33,00 540,6 4150, ,6 8

3 Zeilennummer Mindestmaße einer Schachtel zur Unterbringung von 16 Münzen Nebeneinander 372,00 23,25 2, , , , Nebeneinander 186,00 46,50 2, , , , Nebeneinander 182,00 23,25 4, , , , Nebeneinander 93,00 93,00 2, , , , Neben./ übereinander 93,00 23,25 8, ,3 6370, , übereinander 23,25 23,25 35,20 540,6 4354, , Reihe und 4. Reihe 9 197,62 43,39 2, , , ,8 104,63 83,66 2, , , ,4 d) Die Quadrate der Figur sind durch zueinander senkrecht angeordnete im Abstand von 6 cm parallel verlaufende rote Fäden gebildet worden. Die 10-Cent-Münze hat im Rahmen der Genauigkeit bezüglich der nicht angegebenen Fadendicke einen ca. 2 cm großen Durchmesser. 4 cm 6 cm 4 cm 6 cm Welche Fälle sind möglich? Wenn der Mittelpunkt der Münze näher als 1 cm an einem roten Faden liegt, so liegt er auf dem Faden. Wenn der Mittelpunkt weiter weg ist, also innerhalb eines 4cm x 4cm-Quadrates, dann tritt der gesuchte Fall ein. Augenscheinlich kann bei dieser Art Decke mit n solchen Quadraten die Wahrscheinlichkeit für eine zufällig auf die Decke geworfene Münze folgendermaßen berechnet werden: 2 2 n 4 cm p = = = = 44 % n 6 cm 36 9

4 Mit nur etwa 44% Wahrscheinlichkeit bleibt die zufällig geworfene Münze innerhalb eines roten Quadrates liegen. Zur 3. Aufgabe: Gisela, Heinz und Julia könnten sich folgende Gedanken gemacht haben: 2003 entfällt, weil die Summe zweier dreistelliger Zahlen kleiner als 1999 ist. Die größte Zahl (aus den Ziffernkarten) habe die Ziffernfolge ( hze), h z e, dann besteht nach Giselas Aussage die Alternative zwischen der daraus gebildeten kleinsten Zahl ( ezh) und der nächstkleineren Zahl ( hez ), wobei z=e nicht von vornherein auszuschließen ist. Fall I: Betrachten wir ( hze) und ( ) ezh ; ihre Werte sind dann 100 h+ 10 z+ 1 e bzw. 100 e+ 10 z+ 1 h und ihre Summe hat den Wert 101 h+ 20 z+ 101 e = 101 ( h + e) + 20 z = 100 ( h+ e) + 20 z+ ( h+ e) < Weil 100 ( h+ e) 1000 sein muss, gilt einerseits ( h+ e) 10 ; andererseits gilt für die Summe zweier Ziffern( h+ e) 19. Das bedeutet ( h+ e) = 13, ( h+ e) = 15 oder ( h+ e) = 16 wegen der Einerziffern 3 bzw. 5 bzw. 6 der möglichen Summenwerte. Mit ( h+ e) = 15 folgt: Wegen h z egibt es dann folgende Tripel ( h/ z/ e ) - nämlich (9/ z /6) oder (8/ z /7) - zu untersuchen; doch schon die Betrachtung10115 = 1515> 1365 schließt diesen Fall aus. Mit ( h+ e) = 16 folgt: Wegen h z egibt es dann folgende Tripel ( h/ z/ e ) - nämlich (9/ z /7) oder (8/ z /8) - zu untersuchen; doch schon die Betrachtung10116 = 1616> 1356 schließt auch diesen Fall aus. Mit ( h+ e) = 13 folgt: Wegen h z egibt es dann folgende Tripel ( h/ z/ e ) - nämlich (9/ z /4), (8/ z /5) oder (7/ z /6) - zu untersuchen. 1353= 101 ( h + e) + 20 z= zliefert 40 = 20 z, also z = 2. Aber weder 924, noch 825 oder 726 haben die Ziffern in der geforderten Anordnung kann also nicht Summenwert sein. 1433= 101 ( h + e) + 20 z= z liefert 120 = 20 z, also z = , 865 und 766 sind drei Lösungen für die größten Ausgangszahlen. Julia kennt also die Summe Aber die Ausgangszahlen sind nicht eindeutig zu ermitteln, weil drei Zifferngruppen möglich sind. Fall II: Betrachten wir ( hze) und ( ) hez ; Gisela, Heinz und Julia könnten sich hierzu folgende Gedanken gemacht haben: Die größte Zahl (aus den Ziffernkarten) habe die Ziffernfolge ( hze), h z e(*), die Zahl mit den vertauschten Ziffern ist dann ( ) 100 h+ 10 e+ 1 z und ihre Summe hat den Wert 1000< 200 h+ 11 z + 11 e = 200 h+ 11( z+ e) < hez ; ihre Werte sind dann 100 h+ 10 z+ 1 e bzw.

5 In der Tabelle soll untersucht werden, welche Annahmen zu Lösungen führen unter Beachtung von 200 h = ( 00)[endet auf zwei Nullen!]. mögliche Summe Annahme z + e =... 11(z+e) Differenz..00? Folgerung Nein Annahme falsch Nein Annahme falsch 1353 entfällt Nein Annahme falsch Nein Annahme falsch 1356 entfällt Nein Annahme falsch Ja H müsste dann 6 sein. 696 oder 687 widersprechen (*) entfällt auch Ja h = 7: 730 und 721 erfüllen die Voraussetzungen Nein Annahme falsch Julia kennt in diesem Fall zwar die Summe der Zahlen , nicht aber die Ausgangsziffern; denn mit den möglichen Lösungen 730 und 721 sind die ursprünglichen Karten von Gisela und Heinz nicht eindeutig zu ermitteln. Schlussfolgerung: Julia kennt die Summe 1433 der aus den Ziffernkarten gebildeten Zahlen, die Ziffernkarten können in keinem der Fälle eindeutig ermittelt werden.