6. Ollo der Tollpatsch II

Transkript

1 Die Spannung im Weihnachtsdorf ist groß: Das Finale der Outdoor-Basketball-Liga findet heute statt. Die Blizzards und die Eisbären haben es geschafft und werden am Abend gegeneinander antreten. Wichtel Ollo hat den Auftrag bekommen, beide Mannschaften während des Spiels mit heißer Schokolade zu versorgen. Das gibt ihnen Wärme und neue Energie. Ollo hat dafür zu Hause 16 Liter Schokolade zubereitet für jede Mannschaft 8 Liter. Da er keine zwei Kannen hat, in die jeweils 8 Liter passen, füllt er die heiße Schokolade in drei Kannen ab: eine mit 8 Litern, eine mit 5 Litern und eine mit 3 Litern Fassungsvermögen. Ollo ist schon spät dran. Schnell stellt er die Gefäße auf seinen Schlitten und düst los. Doch beim Abheben bleibt er mit einer Kufe an einem Stein hängen und kommt ins Schlingern. Dabei fliegen die beiden kleineren Kannen in hohem Bogen aus dem Schlitten. Nur die schwerere große Kanne bleibt stehen. Zum Glück sind alle Kannen heil geblieben, doch Ollo muss dabei zusehen, wie 8 Liter Schokolade im Schnee versickern. Ollo hat keine Zeit, um noch einmal umzukehren und neue Schokolade zu kochen. Er kann nur die verbliebenen 8 Liter gerecht aufteilen, damit beide Mannschaften zumindest die gleiche Menge Schokolade bekommen. Zum Abmessen hat Ollo nur die drei Kannen, ohne Markierungen. Er versucht nun, die Schokolade geschickt hin- und herzuschütten, um am Ende zwei Kannen mit jeweils 4 Litern zu haben. Ist es möglich, dass Ollo die 8 Liter Schokolade durch geschicktes Hin- und Herschütten auf zwei Kannen mit jeweils 4 Litern Schokolade aufteilen kann? [Hinweis: Gehe davon aus, dass Ollo beim Umschütten keine Schokolade verliert.] a) Ja, er schafft das mit nur 3-mal Umschütten. b) Ja, er muss dafür mindestens 7-mal Umschütten. c) Ja, er schafft es, aber nicht mit weniger als 11-mal Umschütten. d) Nein, das ist nicht möglich.

2 Diese Aufgabe wurde vorgeschlagen von: Luiz Hellige, Schüler der 7. Klasse Friedrich-Schiller-Gymnasium, Königs Wusterhausen (Brandenburg)

3 Zusatzaufgabe Wähle eine Zahl zwischen 1 und Die Zahl kann bis zu zwei Nachkommastellen haben (wie bei Geldbeträgen mit Euro und Cent). Diese Zahl gibst du als deine Antwort für die Zusatzaufgabe ab. Wähle die Zahl so, dass sie möglichst nah an der Lösungszahl der Zusatzaufgabe liegt. Die Lösungszahl wird folgendermaßen bestimmt: 1. Alle abgegebenen Antworten der Gewinnspielteilnehmer_innen werden addiert und durch die Anzahl der abgegebenen Antworten geteilt. Es wird also das arithmetische Mittel aller Antworten der Zusatzaufgabe gebildet (siehe Mathematische Exkursion der Aufgabe 4). 2. Von diesem Mittelwert werden zwei Drittel berechnet. Das Ergebnis von dieser Berechnung ist die Lösungszahl. Die Gewinnspielteilnehmer_innen, deren abgegebenen Antworten am dichtesten an der Lösungszahl liegen, gewinnen. [Hinweis: Die Aufgabenstellung ist für beide Kalender die gleiche. Die Lösungszahl der Zusatzaufgabe hängt von allen abgegebenen Antworten der Gewinnspielteilnehmer_innen ab. Sie wird bestimmt sobald die Lösungsabgabe geschlossen ist. Wie du bei der Sonderverlosung gewinnen kannst, erfährst du hier: 05/sonderverlosung_1/ ]

4 Lösung Antwortmöglichkeit b) ist richtig. Es ist möglich. Ollo muss dafür mindestens 7-mal umschütten. Ollo 8 Liter von seiner Schokolode. Er hat 3 Kannen, die 8 Liter, 5 Liter und 3 Liter fassen. Damit möchte er nun zweimal 4 Liter abmessen. Da die Kannen keine Markierungen haben, kann er immer nur abmessen, indem er so lange schüttet, bis eine Kanne ganz leer oder ganz voll ist. Bevor du anfängst, die Schokolode wild hin- und herzuschütten, solltest du ein paar Vorüberlegungen machen: 4 Liter kannst du mit diesen Kannen nicht direkt abmessen. Dehalb musst du dir überlegen, wie du 4 Liter erhalten kannst. Dies geht entweder, indem du im letzten Schritt zweimal 2 Liter zusammengießt oder zu 3 Litern noch einen Liter dazuschüttest. 2 Liter erhältst du, wenn du mit einer vollen 5-Liter-Kanne die 3-Liter-Kanne füllst. Dann bleiben nämlich 2 Liter in der 5-Liter-Kanne zurück. Doch danach hast du ein Problem. In der 8-Liter-Kanne befinden sich die restlichen 3 Liter Kakao. Es gibt damit keine Möglichkeit, mit diesen drei Gefäßen ein zweites Mal 2 Liter abzumessen, da sich die schon abgemessenen 2 Liter nirgendwo zwischenlagern lassen. Alle drei Kannen sind belegt! Eine andere einfache - und zügige - Möglichkeit zweimal 2 Liter mit den drei Gefäßen abzufüllen, gibt es also nicht. Deswegen geht nur die zweite Möglichkeit: Wenn du es schaffst 1 Liter abzumessen, kannst du die 3-Liter-Kanne mit Schokolade füllen und zu dem 1 Liter hinzugießen. 1 Liter Schokolade kannst du erhalten, wenn du in der 8-Liter-Kanne 6 Liter Schokolade hast und damit dann die 5 Liter Kanne füllst. In der 8-Liter-Kanne bleibt dann noch 1 Liter übrig. Natürlich könntest du auch 1 Liter bekommen, wenn du 4 Liter in einer Kanne hast und es in die 3 Liter Kanne gießt. Aber wenn du in einer Kanne 4 Liter hast, bist du ja schon fertig. Darauf müssen wir nun hinarbeiten. Am Anfang hast du eine volle 8 Liter Kanne. Um mit möglichst wenigen Umschüttungen 6 Liter zu erhalten, musst du so vorgehen: 1. Schütte die Schokolade aus der vollen 8-Liter-Kanne in die 5-Liter-Kanne. Es bleiben dann noch 3 Liter in der großen Kanne übrig. 2. Als Nächstes gießt du die Schokolade aus der 5-Liter-Kanne in die leere 3-Liter-Kanne bis diese voll ist. Es bleiben dann 2 Liter in der 5-Liter-Kanne übrig. 3. Schütte nun die 3 Liter aus der vollen 3-Liter-Kanne zurück in die 8-Liter-Kanne und schon hast du 6 Liter in der großen Kanne! 4. Schütte nun die 2 Liter aus der 5-Liter-Kanne in die 3-Liter-Kanne. 5. Anschließend schüttest du von den 6 Litern in der 8-Liter-Kanne 5 Liter in die 5-Liter-Kanne. So hast du es geschafft, einen Liter in einer der Kannen zu haben. In der 3-Liter-Kanne ist noch ein Liter Platz. 6. Jetzt füllst du die 3-Liter-Kanne mit der Schokolade aus der 5-Liter-Kanne auf, sodass noch 4 Liter in der 5-Liter-Kanne übrig bleiben. Jetzt bist du so gut wie fertig. 7. Im letzten Schritt füllst du noch die 3 Liter zu dem einen Liter in der 8-Liter-Kanne, und erhältst so zwei Kannen mit jeweils 4 Litern.

5 Insgesamt muss Ollo also mindestens 7-mal umschütten, um die gewünschten zwei Kannen mit je 4 Litern zu bekommen. In der Vorüberlegung haben wir bereits begründet, dass es nicht mit weniger Umschüttungen geht. Die Umschüttungen sind nochmal übersichtlich in der folgenden Tabelle zu sehen:

6 Lösung der Zusatzaufgabe Die Lösungszahl der Zusatzaufgabe ist 208,54. Ihr habt die unterschiedlichsten Zahlen für die Zusatzaufgabe abgegeben von 1 bis war alles dabei! Insgesamt haben Gewinnspielteilnehmer_innen eine Antwort abgegeben. Nachdem wir alle eure Antworten addiert haben und durch geteilt haben, kam 312,81 raus. Zwei Drittel von 312,81 sind 208,54. Daher ist 208,54 die Lösungszahl der Zusatzaufgabe. Die Gewinner_innen der Sonderverlosung werden am 7. Dezember um 14 Uhr bekannt gegeben. Blick über den Tellerrand Die Lösungszahl der Zusatzaufgabe war von allen abgegebenen Antworten der Gewinnspielteilnehmer_innen abhängig. Deshalb war es sicher auch nicht so einfach für dich, eine Zahl auszuwählen. Du wirst dich gefragt haben, welche Zahlen wohl die anderen gewählt haben oder welche sie noch wählen werden. Und auch alle anderen haben sich genau die gleichen Fragen gestellt. Diese Überlegung hast du sicher in deine Entscheidung mit einbezogen aber auch alle anderen haben vermutlich ähnliche Überlegungen angestellt. Bei der Entscheidungsfindung passiert also Folgendes: Du denkst, dass die anderen denken, dass du denkst, dass die anderen denken, dass du denkst, dass die anderen denken... eine Endlosschleife entsteht. Entscheidungsprobleme dieser Art begegnen dir in vielen Situationen: Das Ergebnis - und damit der Erfolg - hängt häufig nicht nur vom eigenen Handeln und Denken ab, sondern auch davon, wie die anderen Beteiligten denken und handeln. Es ist deshalb sehr nützlich, wenn man die Denkweise und das Verhalten der anderen gut einschätzen kann. Aus diesem Grund werden in vielen verschiedenen Bereichen Situationen von Expert_innen analysiert, um so Ergebnisse besser vorhersagen zu können und um entsprechend darauf reagieren zu können. Vor allem bei wirtschaftlichen Fragestellungen findet dies große Anwendung. Aber es gibt auch andere Bereiche, in denen der Erfolg von der Denkweise und Entscheidung anderer abhängt. Dazu findest du im Folgenden ein paar Beispiele: 1. Beispiel: Elfmeterschießen Bestimmt hast du beim Fußball schon mal ein Elfmeterschießen verfolgt: Der Torwart überlegt sich währenddessen, in welche Ecke der Schütze wohl schießen wird. Gleichzeitig fragt sich der Schütze, was wohl der Torwart machen wird. Und beide wissen, dass sie jeweils darüber nachdenken. Auch das wird also in ihre Entscheidung einfließen, wohin sie schießen bzw. in welche Richtung sie springen um den Ball zu erwischen. Obwohl in diesem Fall nur zwei Personen beteiligt sind, ist die Entscheidung auch hier nicht gerade einfach. 2. Beispiel: Lotto Ein anderes Beispiel kannst du beim Lottospielen finden. Beim Lotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Wer alle diese 6 Zahlen richtig getippt hat, bekommt den Hauptgewinn. Nun kann man sich zum einen natürlich über die Wahrscheinlichkeiten Gedanken machen, 6 richtige Zahlen gewählt zu haben das wollen wir an dieser Stelle jedoch nicht tun. Uns interessiert eine andere Frage: Welche Zahlen solltest du wählen, um im Fall von 6 Richtigen den Hauptgewinn nicht mit anderen teilen zu müssen? Dafür musst dich also fragen, welche Zahlen die anderen

7 Lottospieler_innen eher nicht wählen werden. Möglichweise stellen sich die anderen aber genau die gleiche Frage oder aber auch nicht. Das einzuschätzen ist sicher nicht einfach. 3. Beispiel: Wahlen Auch bei einer politischen Wahl, kannst du so ein Problem beobachten. Nämlich dann, wenn eine Wählerin oder ein Wähler taktisch wählt. Taktisch wählen heißt, dass die Person ihre Entscheidung, welche Partei sie bei einer Wahl wählt, davon abhängig macht, welche Partei der Rest der Gruppe wohl wählen wird. Diese Person würde zum Beispiel aus Überzeugung eigentlich Partei A wählen wollen, da sie aber denkt, dass zu wenige andere ebenfalls diese Partei wählen werden und sie deshalb keine Chance hat zu gewinnen, wählt sie lieber die Partei B, die nach Einschätzung der Person bessere Chancen hat zu gewinnen. Es stellt sich dann natürlich sofort die Frage, was passiert, wenn es viele Personen gibt, die taktisch wählen, ihre Entscheidung also davon abhängig machen, was die meisten anderen wohl wählen werden. 4. Beispiel: Aktienmarkt Ein weiteres Beispiel ist der Aktienmarkt. Falls du nicht weißt, was das ist, kannst du jemanden fragen oder du suchst im Internet danach. Die Situation ist folgende: Eine Person möchte in Aktien investieren. Aber in welche? Die Person wird sich überlegen, welche Aktien den größten Gewinn bringen werden. Für eine einzelne Person kann es nach unseren bisherigen Überlegungen zu solchen Entscheidungsproblemen nicht besonders sinnvoll sein, in Aktien zu investieren, die diese Person selbst zwar für kaufwürdig hält, von denen sie aber gleichzeitig weiß (oder sich denkt), dass ein großer Teil der anderen Personen, die ebenfalls Aktien kaufen, diese Meinung nicht teilt. Um möglichst große Gewinne zu erzielen, muss sich die Person also fragen, was die anderen kaufen werden. Genau wie in den anderen Beispielen, denken diese Personen womöglich ebenfalls darüber nach und auch das müssen alle Personen jeweils wieder in ihre Entscheidung mit einfließen lassen.