Mathematische Zusammenhänge beschreiben und begründen

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1 2 Mathematik Mathematische Zusammenhänge beschreiben und begründen 1 Einführung Vergleiche auch die Tipps zum Verfassen von Sachtexten! In deiner neuen Schule und vielleicht schon im Probeunterricht wird dir gelegentlich eine neue Art von Aufgaben begegnen: das Beschreiben und Begründen mathematischer Zusammenhänge. Bei diesen Aufgaben geht es meist nicht darum, etwas auszurechnen, sondern darum, zu erklären, wie man etwas ausrechnen könnte. Zusammen mit deiner Freundin oder deinem Freund kannst du diese Fähigkeiten besonders gut üben: Erkläre deiner Freundin / deinem Freund, wie du die Hausaufgabe gelöst hast. Anschließend erklärt deine Freundin / dein Freund dir ihren / seinen Lösungsweg. Dabei werdet ihr sehr schnell merken, dass es ziemlich schwierig ist, eine Lösung so darzustellen, dass der andere sie versteht. Hier ein paar Regeln, die dabei helfen: Überlege genau, was bekannt ist und was du erklären sollst. Achte auf die richtige Reihenfolge der einzelnen Lösungsschritte! Erkläre die einzelnen Lösungsschritte knapp und genau. Kein schmückendes Beiwerk! Verwende stets die mathematischen Fachausdrücke. Es kommt hier nur auf sachliche Richtigkeit an. Ob du lieber in der Ich- oder in der Man-Form schreibst, bleibt dir überlassen. 2 Aufgabentypen Zunächst einmal musst du wissen, wie du diese neue Art von Aufgaben erkennen kannst. Oft findest du Hinweise in der Aufgabenstellung: Im Text heißt es beschreibe, begründe mit Worten oder erkläre. Dadurch wird auch zum Ausdruck gebracht, dass du in ganzen Sätzen schreiben sollst.

2 Mathematische Zusammenhänge beschreiben und begründen 3 Die Lösung der Aufgabe steht schon da. Du sollst begründen, warum die Lösung richtig / falsch ist. In der Aufgabenstellung werden keine oder nicht ausreichende Zahlenangaben gemacht. Im Folgenden schauen wir uns die gängigen Aufgabentypen, bei denen du etwas Mathematisches mit Worten beschreiben sollst, etwas genauer an. 2.1 Einfache mathematische Zusammenhänge beschreiben Bei diesen Aufgaben geht es um Dinge, die man kurz, also in einem oder zwei Sätzen, erklären kann. Beispiel Beschreibe in Worten, woran du erkennst, dass eine Zahl durch 10 teilbar ist. Beim Multiplizieren einer Zahl mit 10 wird jede Ziffer der Zahl um eine Stelle aufgewertet, aus den Einern werden also Zehner, aus den Zehnern Hunderter,, aber an der Einerstelle steht eine Null. Kurz: Wir multiplizieren eine Zahl mit zehn, indem wir (rechts) eine Null anhängen. Du könntest also antworten: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre Einerziffer 0 ist. Schreibe die Lösungen der folgenden Aufgaben jeweils in ganzen Sätzen auf. Achte besonders auf die Fachausdrücke! Aufgabe 1 Ein Geldbetrag ist mithilfe der Kommaschreibweise in Euro angegeben. Erkläre mit Worten, wie du den Eurobetrag in Cent umwandelst. Aufgabe 2 Erkläre mit Worten, was eine gerade Zahl ist und wie man gerade Zahlen erkennen kann. Aufgabe 3 Mia meint: Ob eine Zahl durch 5 teilbar ist, erkenne ich an ihrer Einerstelle. Erkläre, wie Mia dabei vorgeht.

3 4 Mathematik Aufgabe 4 Lorenz bekommt 2 von seiner Mutter. Er soll drei Körnersemmeln beim Bäcker holen. Als Lorenz vom Bäcker zurückkommt, gibt er der Mutter 40 Cent Wechselgeld zurück. Seine Mutter sagt: Das kann nicht stimmen! Wie kommt sie darauf? Aufgabe 5 Erkläre mit Worten, woran du erkennst, dass ein Viereck ein Quadrat ist. 2.2 Begründen, warum ein vorgegebener Lösungsweg richtig / falsch ist Bei diesem Aufgabentyp wird dir meist eine vollständige Lösung oder ein Lösungsansatz zu einer Sachaufgabe vorgelegt. Du sollst dann erklären, warum diese Lösung richtig bzw. falsch ist. Beispiel Felix möchte sich eine CD kaufen und verschafft sich erst einmal einen Überblick über sein Vermögen. Er hat noch 3,20 in der Tasche, außerdem hat ihm seine Tante Beate 5 zugesteckt und gestern hat er vom Nachbarn 2 fürs Gassigehen mit Waldi bekommen. Nächste Woche ist das Taschengeld in Höhe von 10 fällig; davon kauft sich Felix immer eine Zeitschrift für 2,50 und Gummibärchen für 1,50. Felix rechnet: 3,20 + 5,00 + 2, ,00 = 20,20 2,50 + 1,50 = 4,00 20,20 4,00 = 16,20 Warum kann Felix so rechnen? Felix addiert zuerst alle Geldbeträge, die er einnimmt, zu den vorhandenen 3,20 hinzu. Damit erhält er die Gesamtsumme seiner Einnahmen. Nun zählt er seine Ausgaben zusammen und ermittelt so die Gesamthöhe seiner Ausgaben. Jetzt zieht er die Ausgaben von den Einnahmen ab und weiß somit, wie viel Geld ihm dann noch zur Verfügung steht.

4 Mathematische Zusammenhänge beschreiben und begründen 5 Und hier sind ein paar Aufgaben zum Üben für dich. Zunächst sind alle vorgelegten Lösungswege richtig. Aufgabe 6 Peter ist mit seiner Mutter beim Einkaufen. Sie kaufen eine Kiste Limonade mit 12 Flaschen für 12, das Pfand beträgt 3. Peter fragt sich, was eine Flasche Limonade ohne Pfand kostet und rechnet: 900 ct : 12 = 75 ct Beschreibe, was sich Peter bei dieser Rechnung gedacht haben könnte. Aufgabe 7 Jessica hilft am Samstag ihrer Oma, die einen Obststand auf dem Wochenmarkt hat. Heute kostet eine Schale Erdbeeren im Sonderangebot 1,99. Eine Kundin verlangt drei Schalen. Jessica berechnet blitzschnell den Preis: 600 ct 3 ct = 597 ct = 5,97 Beschreibe in Worten, wie Jessica auf diese Rechnung kommt. Aufgabe 8 Ein Grundstück hat die folgende Form: 12 m 5 m Die Aufgaben 8 und 9 sind nur für die 5. Klasse! 20 m 30 m Lea berechnet den Flächeninhalt des Grundstücks so: 12 m 20 m + 18 m 15 m Begründe, warum Lea so rechnen kann.

5 6 Mathematik Aufgabe 9 Max berechnet den Flächeninhalt des Grundstücks aus Aufgabe 8 so: 30 m 20 m 18 m 5 m Begründe, warum sein Ansatz ebenfalls richtig ist. Schwieriger ist es, wenn der vorgelegte Lösungsansatz falsch ist, denn dann musst du ja den Fehler erst finden. In diesem Fall überlegst du dir am besten zuerst, wie du die Aufgabe anpacken würdest. Dann fällt es dir sicher nicht schwer, den Fehler zu entlarven. Beispiel Jemand berechnet den Umfang des Grundstücks aus Aufgabe 8 folgendermaßen: 12 m + 20 m + 30 m + 5 m Dieser Ansatz ist ganz offensichtlich falsch, denn zwei Begrenzungslinien des kleineren Teils des L-förmigen Grundstücks wurden nicht berücksichtigt; diese beiden Strecken sind 18 m und 15 m lang. Und hier sind jetzt die Aufgaben mit falschem Lösungsweg: Aufgabe 10 Der Lenzenbauer möchte seinen Hausgarten neu mit Maschendraht einzäunen. Der Garten ist 40 m lang und 30 m breit. An einer Längsseite soll ein 2 m breites Tor eingebaut werden. Maria berechnet den benötigten Maschendraht folgendermaßen: 2 38 m m Erkläre, warum dieser Rechenweg nicht stimmt. Aufgabe 11 Eine Flasche mit Inhalt kostet 12. Der Inhalt kostet 10 mehr als die Flasche. Bruno meint: Dann kostet die Flasche also 2. Begründe mit Worten, warum Bruno nicht recht hat. Aufgabe 12 Jemand behauptet: Alle Zahlen mit der Einerziffer 3, 6 oder 9 sind durch 3 teilbar. Was meinst du zu dieser Behauptung?

6 Mathematische Zusammenhänge beschreiben und begründen 7 Aufgabe 13 Hier siehst du einen Würfel: Begründe, warum das folgende Netz nicht zu diesem Würfel gehören kann: B A 2.3 Einen Lösungsweg beschreiben Bei diesem Aufgabentyp werden keine oder nur wenige Zahlenangaben gemacht. Du kannst dir in diesem Fall manchmal die Lösung erleichtern, wenn du dir ein passendes Zahlenbeispiel überlegst. Beispiel Die Klasse 4 b macht einen Ausflug zu einem Bauernhausmuseum. Der Eintritt kostet pro Kind 1,50. Die Fahrt mit dem Bus hat die Lehrerin schon im Voraus bezahlt. Beschreibe in Worten, wie die Lehrerin berechnet, wie viel Geld sie von jedem Kind einsammeln muss. Die Kosten für jedes Kind setzen sich aus den Fahrtkosten und dem Eintritt ins Museum zusammen. Zur Berechnung der Fahrtkosten pro Kind wird der Gesamtpreis für die Busfahrt durch die Anzahl der Kinder geteilt. Zu diesem Ergebnis addiert die Lehrerin noch den Eintrittspreis in Höhe von 1,50. Dies ist der Betrag, den jedes Kind bezahlen muss. So, jetzt bist du an der Reihe! Wähle dir möglichst einfache Zahlen, wenn du mit einem Beispiel arbeitest!

7 8 Mathematik Aufgabe 14 Du hast im Supermarkt drei gleiche Tafeln Schokolade und einen Beutel Gummibärchen gekauft, weißt aber nur noch den Preis der Gummibärchen und den Gesamtpreis. Wie kannst du ausrechnen, was eine Tafel Schokolade gekostet hat? Aufgabe 15 Du sollst einen Würfel mit möglichst wenigen verschiedenen Farben so färben, dass an keiner Kante oder Ecke Flächen gleicher Farbe zusammenstoßen. Beschreibe, wie du dabei vorgehst. Gib auch an, wie viele Farben du mindestens brauchst. Aufgabe 16 Aus einem 30-Liter-Fass mit Öl sollen genau 5 Liter abgezapft werden. Es stehen aber nur Messgefäße mit 3 Litern und 4 Litern Inhalt zur Verfügung, außerdem gibt es einen 10 Liter fassenden Eimer. Beschreibe, wie du vorgehen kannst, um die gewünschte Menge Öl abzumessen.