Datenbanken 1. Kapitel 4: Interne Datenorganisation 4-1. Datenbanken 1 (Bachelor)

Transkript

1 Datenbanken 1 Kapitel 4: Interne Datenorganisation 4-1

2 Interne Datenorganisation Inhalte des Kapitels Aufbau eines Speichermediums, Pages und Pufferverwaltung Datenorganisation Index und B-Baum Hash-Indexe Lernziele Die mit dem Zugriff auf den Sekundärspeicher verbundenen Performance- Probleme sollen klar sein. Die grundlegende Idee der Pufferverwaltung sollte bekannt sein. Die interne Datenorganisation und unterschiedliche Zugriffsstrukturen sollen in ihrer Implementierung und strategisch verstanden sein. 4-2

3 Datensuche wertebasiert heap-organisiert Wo finde ich die Prüfungsakte des Studenten mit der Matrikelnummer ? Irgendwo hier, in einem dieser Ordner! Suchstrategie? Aufwand? Suchstrategie? Aufwand? C 4-3

4 Datensuche wertebasiert sequenzielle Ablage Klar, in welchem Ordner ich die Prüfungsakte des Studenten mit der Matrikelnummer finde! C 4-4

5 Datensuche wertebasiert mit direkter Referenz Wo finde ich die Prüfungsakte des Studenten mit der Matrikelnummer ? Woher weiß er das so genau??? Suchstrategie? Aufwand? Du findest sie in Ordner Nr. 18, darin die 4. Akte! C 4-5

6 Aufbau eines Speichermediums Pages Magnetplattengerät mehrere Platten (Oberflächenspeicherung, beidseitige Speicherung) Spuren, die konzentrische Kreise um die Drehachse bilden Zylinder (unmittelbar übereinander liegende Spuren) a b Lese- / Schreibkopf Sektoren *) (kleinste Einheiten, die das DBMS adressieren und auf die es zugreifen kann) Pages (Datenseiten, Datenblöcke) nennt man die Zusammenfassung von mehreren benachbarten Sektoren zu einer Verarbeitungseinheit (Größe einer Page: zwischen 512 Bytes und 8k Bytes). In einer Page können ein oder mehrere vollständige Datensätze, Teile von Datensätzen oder Indexeinträge gespeichert werden. *) Sektorenadresse: Angaben zu Zylinder, Plattenoberfläche und Nr. des Sektors auf der Spur 4-6

7 Aufbau eines Speichermediums Pages Zum Lesen der Daten muss das DBMS eine Page komplett in den Hauptspeicher laden. Eine Page ist die kleinste physische Einheit, die vom DBMS in den Hauptspeicher geladen werden kann (und ist deshalb immer der kleinsten physischen Einheit, die das Betriebssystem mit einem Zugriff in den Hauptspeicher laden kann). Pages sind grundlegende Einheiten für das Lesen und Transferieren von Daten. Adressierung von Datenblöcken (Pointer) Die Adressierung einer Page erfolgt über physische Adressen (relevant für das Betriebssystem) und logische Adressen (relevant für das DBMS). Ein Pointer kann sich nicht nur auf eine Page beziehen, sondern auch auf einen bestimmten Datensatz innerhalb einer Page. Man nennt einen solchen Pointer dann auch Record-ID (RID): RID = Adresse der Page + Aufsetzpunkt für den Datensatz innerhalb der Page 4-7

8 Zugriffszeiten Größenordnung Zugriffszeiten Beispiel: 100 Pages lesen Hauptspeicher: 100 x 100 ns = ns = 0,01 ms Plattenspeicher: 100 x 10 ms = ms = 1 s Zugriffslücke: ns Register ns Cache ns Hauptspeicher 10 ms Plattenspeicher sec Archivspeicher Quelle: Kemper:

9 Pufferverwaltung Puffer: ausgezeichneter Bereich des Hauptspeichers. Er ist in Pufferrahmen gegliedert, jeder Pufferrahmen kann eine Page (Seite) der Platte aufnehmen. DB-Buffer B A C D Einlagerung D A B E F Auslagerung G... E F Jede Seite, die von der Platte in den DB-Puffer gelesen wird, wird dort so lange wie möglich vorgehalten, um unnötige I/Os auf die Platte zu vermeiden (vgl. auch Kapitel 7, Transaktionsmanagement). 4-9

10 Interne Datenorganisation Aufbau eines Speichermediums, Pages und Pufferverwaltung Datenorganisation Index und B-Baum Hash-Indexe 4-10

11 Interne Datenorganisation Die interne Datenorganisation sollte so eingerichtet sein, dass die Anzahl der Plattenzugriffe bei der Recherche oder der Manipulation von Daten minimal ist. Hierfür wird die Anordnung der gespeicherten Daten auf der Platte so optimiert, dass der gewünschte Datensatz durch möglichst wenige I/Os gefunden wird. Eine solche Anordnung nennen wir Speicherstruktur. Verschiedene Speicherstrukturen haben verschiedene Performance- Charakteristika, die für jeweils unterschiedliche Applikationen / Datenbankbereiche von Vorteil sein können. Eine optimale Datenorganisation kann nur erzielt werden, wenn die Datenstrukturen, statistische Informationen zum Datenvolumen sowie Ausprägungen innerhalb der Wertebereiche bekannt sind und berücksichtigt werden ( Optimizer, Systemkatalog, Kapitel 5). Es gibt keine Speicherstruktur, die optimal für alle Applikationen ist! 4-11

12 Datenorganisation Beim Zugriff auf die Daten einer Datenbank spielt neben dem Mindest- Füllgrad der Pages auch die Organisationsform der zugrunde liegenden Daten eine Rolle. Unter der Organisationsform von Daten versteht man die Form des Abspeicherns und die Möglichkeiten des Zugriffs. Folgende Organisationsformen werden vorgestellt: - Heap-Organisation mit linearer Suche, - Sequenzielle Organisation mit binärer Suche, - Indexsequentiellen Organisation, bei der eine sequenzielle Datei- Organisationsform durch eine Indexdatei über dem Sortierattribut der sequenziellen Datei ergänzt wird. Im Folgenden wird generell von Dateien gesprochen, im Zusammenhang mit relationalen DBMS kann man sich jeweils Tabellen vorstellen. 4-12

13 Die Heap-Organisation lineare Suche Die Daten der Datei liegen in unsortierter Form vor: Heap-Organisation einer Datei ISBN Titel VerlagID EJahr Preis Record ID 3011 YYY ,90 Record Klm ,95 Record mmm ,80 Record Abc ,80 Record rst ,80 Record 5 Die Daten werden fortlaufend in der Reihenfolge ihrer Eingabe gespeichert. In dieser Reihenfolge werden sie auch wieder gelesen und verarbeitet. Der Aufwand für (Lineare) Suche in einer unsortierten Datei mit n Datensätzen beträgt O(n), d.h. im worst case müssen alle Datensätze durchlaufen werden, bis der gesuchte Satz gefunden ist. 4-13

14 Die Sequenzielle Organisation binäre Suche Verbesserungsansatz gegenüber linearer Suche: Die Datei wird nach einem Schlüssel, z.b. nach dem Primärschlüssel, sortiert abgespeichert, mehrere Records werden in einer Page untergebracht, und die Adresse der Pages in einem Pointer verfügbar gemacht. Primär Schlüssel ISBN Titel VerlagID EJahr Preis Page ID 1011 XXX ,90 Page Abc , Klm , mmm ,80 Page YYY ,90 Page rst ,

15 Die Sequenzielle Organisation binäre Suche Vorteil: Binäre Suche ist möglich, in der jeweiligen Page müssen die Daten jedoch immer noch sequentiell gelesen werden. Der Aufwand für Binäre Suche in einer sortierten Datei mit n Records beträgt O(log 2 (n)) vgl. auch Anhang A. ABER: Das Update in einer Datei, die nach einem Schlüssel sortiert ist, ist mit erheblichen Aufwänden verbunden, insbesondere wenn beim Einfügen oder Löschen von Datensätzen Pagegrenzen überschritten werden! Die Sortierreihenfolge nach einem bestimmten Attribut lässt sich i. d. R. innerhalb einer Datei nicht mit der Sortierreihenfolge nach einem anderen Attribut vereinbaren. 4-15

16 Interne Datenorganisation Aufbau eines Speichermediums, Pages und Pufferverwaltung Datenorganisation Index und B-Baum Hash-Indexe 4-16

17 Die Indexdatei Zu Attributen, die in einer Datei besonders oft als Selektionskriterien verwendet werden, wird eine zweite, sortierte Datei angelegt, die zu jeder Ausprägung des Attributes den Pointer auf die entsprechende Page bzw. den zugehörigen Record enthält. Diese Datei nennt man Index(-datei). Als Plural im Kontext mit Datenbanken spricht man häufig von Indexen. Eine Indexdatei hat im Prinzip eine 2-spaltige Struktur : Wert des indizierten Attributes auf- oder absteigend sortiert physische Adresse PID oder RID 4-17

18 Die Indexdatei Ein Index ist immer sortiert nach dem ihm zugeordneten Attribut und deshalb geeignet, binäre Suche zu unterstützen. Index für die eindeutigen Werte des Attributes ISBN Index für die nicht notwendig eindeutigen Werte des Attributes Erscheinungsjahr EJahr ISBN Page ID EJahr Record ID

19 Die Indexdatei Ein Index erhöht die Geschwindigkeit beim Suchen, aber er reduziert die Geschwindigkeit bei Updates. Bei jedem Hinzufügen eines neuen Records oder beim Ändern der entsprechenden Attribute wird auch unmittelbar der Index modifiziert. Diese Updates erfolgen analog den entsprechenden Vorgängen in sortierten Dateien. Zu einer Datei kann es beliebig viele Indexe geben. Ein Index kann auch aus mehreren Attributen eines Records zusammengesetzt sein. Der Begriff des Index ist nicht spezifisch für relationale DBMS sondern spielt auch in DBMS auf der Grundlage anderer Datenbankmodelle eine wichtige Rolle als Zugriffspfad! 4-19

20 Beispiele von Indexen Index auf dem Attribut VerlagID für die Buch-Datei VerlagID (Index) Buch-Datei (Daten) Dekor (Index) YYY Fisch Klm Fisch XXX Rose Abc Rose mmm Rose 4-20

21 Beispiele von Indexen Index auf dem Attribut VerlagID und auf dem Attribut Erscheinungsjahr (EJahr) für die Buch-Datei VerlagID (Index) Buch-Datei (Daten) EJahr (Index) YYY Klm XXX Abc mmm

22 Beispiele von Indexen Index über die zwei Attribute VerlagID und Erscheinungsjahr (EJahr) für die Buch-Datei VerlagID EJahr (Index) Buch-Datei (Daten) YYY Klm XXX Abc mmm

23 Dünne und dichte Indexe Man unterscheidet grundsätzlich zwei Arten von Indexen: dünner Index: die Schlüsselwerte sind eindeutig, und die zugehörigen Tupel werden sortiert gespeichert. dichter Index: die Schlüsselwerte sind eindeutig, aber die zugehörigen Tupel werden unsortiert gespeichert (Heap-Organisation), oder die Schlüsselwerte können in der Datei mehrmals vorkommen. Welche Schlüsselwerte einer Relation sind immer eindeutig, welche können mehrmals vorkommen? Inwiefern kann man bei eindeutigen Schlüsselwerten und zugehörigen, sortiert gespeicherten Tupeln die Anzahl der Einträge im Index reduzieren? 4-23

24 Dünner Indexe Dünner Index auf dem Primärschlüsselfeld ISBN der Buch-Datei. Der Index enthält jeweils den ersten Schlüssel, der in einer Page vorkommt. ISBN (Index) ISBN PID 1000 PID PID PID PID 4.. Wo findet man den Datensatz mit ISBN 2889? PID XXX 1997, 1012 Abc Klm 2005 PID PID YYY rst

25 Dünner Indexe Dünner Index (non dense index) Die Index-Datei enthält nicht für jeden gespeicherten Record einen Eintrag, sondern nur für jede Page (Datenblock). Die Index-Datei hat weniger Datensätze als die eigentliche Datei, sie ist also dünner! Der Index enthält jeweils den ersten (oder letzten) Schlüssel, der in einer Page vorkommt und dessen Adresse (Pagepointer). Um die RID des gesuchten Record in der Index-Page zu finden, muss diese Page im Hauptspeicher noch sequentiell durchsucht werden. Dünne Indexe werden im allgemeinen für die Primärschlüssel der Records einer Datei erstellt (Primärindex). 4-25

26 Dichter Indexe Dichter Index (dense index) Die Index-Datei enthält für alle Records einen eigenen Index-Eintrag. Die Index-Datei hat genau so viele Datensätze, wie die eigentliche Datei, sie ist also genau so dicht wie die eigentliche Datei! Die Suche im dichten Index erfolgt analog einer Suche in sortierten Dateien. Der Index enthält jeweils den Schlüsselwert und die Adresse des zugehörigen Records (Record-pointer, RID). Dichte Indexe werden im allgemeinen für die Sekundärschlüssel der Records einer Datei erstellt (Sekundärindex). In relationalen Datenbanken ist es i. d. R. sinnvoll, auf einen Fremdschlüssel einen Sekundärindex zu legen (vgl. auch Kapitel 5). 4-26

27 Indexsequenzielle Dateiorganisation Eine sequenzielle Datei-Organisationsform kann durch eine Indexdatei über dem Sortierattribut der sequenziellen Datei ergänzt wird. Man spricht dann von indexsequenzieller Dateiorganiation. Eine indexsequentielle Datei kann man sich als Baum mit mindestens zwei Ebenen vorstellen: Blattebene: Hauptdatei mit den gespeicherten Datensätzen Die Knoten in allen anderen Ebenen des Baumes sind Indexdateien Man spricht von einem n-stufigen Index, wenn es eine Hauptdatei und n Indexdateien gibt Der ISBN-Index auf Folie 4-24 ist ein 1-stufiger Index. Der i+1-te Index zeigt auf den i-ten Index. Wird eine Indexdatei selbst zu groß, so kann diese wieder indexsequenziell verwaltet werden. 4-27

28 Indexiert-nichtsequenzieller Zugriffspfad Ist keine Sortierung in der Hauptdatei gegeben, so kann man dennoch einstufige oder mehrstufige, indexiert-nichtsequenzielle Zugriffspfade aufbauen. Die höheren Indexstufen sind dann wieder indexsequentiell organisiert. Unabhängig von der zugrunde liegenden Dateiorganisation der Hauptdatei gilt: Eine Indizierung von Indexstufen kann beliebig oft weiter geführt werden. Man erhält dann eine Baumstruktur, die in der Praxis i.d.r. als B-Baum (balancierter Baum, Bayer-Baum) realisiert wird, um eine Homogenität der Zugriffspfade zu erreichen. 4-28

29 Indexe und Bäume Ein mehrstufiger Index als Baumstruktur besitzt die folgenden Komponenten: Die unterste Ebene eines mehrstufigen Index (Indexbaum) nennt man Blätter des Baumes (sie entsprechen den Records der Datei). Die Adressverweise auf bestimmte Pages des Speichers nennt man Knoten. Der oberste Knoten in der Hierarchie, der keinen Vorgänger mehr hat, heißt Wurzel. Für einen Knoten x nennen wir einen darunter liegenden Knoten Sohn, einen darüber liegenden Knoten Vater (bzw. child und parent)

30 B-Baum Ein B-Baum (Bayer-Baum (1972), balancierter Baum) ist ein mehrstufiger Index, bei dem alle Pfade von der Wurzel zu den Blättern gleich lang sind, ein B-Baum ist also immer höhenbalanciert. Im Datenbankbereich sind die Knoten der Suchbäume zugeschnitten auf die Seitenstruktur des DBMS. Ein B-Baum der Ordnung m hat die folgenden Eigenschaften: Alle Knoten sind gleich groß (aber sie müssen nicht alle immer gleich viele Einträge haben!). Jeder Knoten enthält höchstens 2m Records. Jeder Knoten - mit Ausnahme der Wurzel - enthält mindestens m Records. Die Wurzel enthält maximal 2m Records und mindestens einen Record. Jeder Record besteht aus einem Schlüssel- und einem nicht-schlüssel-anteil. Ein Knoten - mit Ausnahme von Wurzel und Blättern - hat n+1 Nachfolgeknoten, wenn er n Schlüssel enthält (m n 2m). a b c n=3 a a, b b, c c 4-30

31 Seitenformat des B-Baums Seitenformat: Z 0 S 1 Z 1 D 1 S 2 Z 2 D 2 S 3 S m Z m D m frei Z i = Zeiger auf Seite der nächsten Stufe S i = Schlüssel (Zugriffsattributwert) D i = Daten des Satzes oder Verweis auf den Satz (bzw. die Sätze) d.h. materialisiert oder referenziert Ein B-Baum ist als Primär- und Sekundärindex geeignet. Um in einem B-Baum mit n Knoten der Ordnung m einen Wert zu suchen, muss man höchstens log m (n)-mal auf die Platte bzw. den Index zugreifen. 4-31

32 Variante B + -Baum Der B + -Baum ist die in der Praxis am häufigsten eingesetzte Variante des B-Baumes: Änderungsoperationen sind effizienter, die Baumhöhe ist verringert. Die Daten befinden sich nur auf den Blattseiten. Die inneren Knoten enthalten nur Schlüssel und Zeiger auf die nachfolgende Seite der nächsten Stufe: Seitenformat innere Knoten: Z 0 S 1 Z 1 S 2 Z 2 S 3 S m Z m frei Z i = Zeiger auf Seite der nächsten Stufe S i = Schlüssel Seitenformat Blattknoten: V S 1 D 1 S 2 D 2 S 3 S m D m frei N S i = Schlüssel D i = Daten des Satzes oder Verweis auf den Satz V = Vorgänger-Zeiger N = Nachfolger-Zeiger 4-32

33 B-Baum vs. B + -Baum 13 Schulz 14 Meier keine Daten(-verweise) in den inneren Knoten es passen mehr Einträge auf eine Seite Reduktion der Höhe des Baumes weniger Seitenzugriffe bei lookup, insert, delete aber jetzt immer log m (n) 4-33

34 B- und B + -Bäume B- und B + -Bäume sind geeignet sowohl für Punktanfragen ("Prodnr = ) als auch für Bereichsanfragen ("Preis und Preis "). In einem B- bzw. B + -Baum werden neben dem Suchen (Lookup) alle Arten von Update-Operationen ausgeführt (insert, update, delete). Bei Update- Operationen muss jeweils für die Balanciertheit des Baumes gesorgt werden. vgl. Hörsaalübung Algorithmen zum Suchen, Einfügen und Löschen in B-Bäumen: vgl. Anhang B. 4-34

35 Index inclusion Anmerkung zu Praktikum 2 Warum kommt es im angegebenen Fall zu einer Index inclusion? Wie kann man diese Index inclusion verhindern???? /*=========================================================*/ /* Table: BOOT */ /*=========================================================*/ create table BOOT ( BOOTSTYP VARCHAR2(20) not null, BOOTSNR INTEGER not null, LETZTEWARTUNG DATE, constraint PK_BOOT primary key (BOOTSTYP, BOOTSNR) ); /*=========================================================*/ /* Index: BOOTSTYPZUORDNUNG_FK */ /*=========================================================*/ create index BOOTSTYPZUORDNUNG_FK on BOOT ( BOOTSTYP ASC ); 4-35

36 Interne Datenorganisation Aufbau eines Speichermediums, Pages und Pufferverwaltung Datenorganisation Index und B-Baum Hash-Indexe 4-36

37 Hash-Indexe Nachteil der Datenverwaltung über B-Bäume: In der Regel sind beim Durchlaufen der Pfade mehrere I/Os auf externen Speicher notwendig. Eine alternative Methode zur Datenverwaltung mit Hilfe von Indexen sind die Hash-Indexe: Die Record-Adressen werden über einen geeigneten Algorithmus, der Hash-Funktion, aufgrund des Schlüsselwertes unmittelbar berechnet. Eine Hash-Funktion sollte einfach zu berechnen sein, und die Menge der Schlüsselwerte möglichst gleichmäßig und zufällig auf die Menge der verfügbaren Adressen abbilden. Schlüsselmenge (Keys k) {1011, 1012, 1013, , 1022, 1023, , 3012,...} Hash-Funktion h(k) Menge der Speicherplätze (Adressen) logisch physisch 4-37

38 Hash-Indexe Voraussetzung : Datenbestände, die relativ statisch sind, und bei denen möglichst selten Löschoperationen auftreten. Hash-Indexe eignen sich also nicht für sehr dynamische Datenbestände. Die bekannteste Hash-Funktion ist die Modulo-Funktion (Divisions- Rest-Verfahren): h(k) = k mod p k=schlüsselwert, p=anzahl der vorhandenen Adressen Die Modulo-Funktion lässt sich nur auf ganzzahlige numerische Schlüssel anwenden. Alphanumerische oder dezimale Schlüssel müssen so umgewandelt werden, dass sie ebenfalls in ganzzahliger, numerischer Form vorliegen. Beispiel: p=1000, k={27, 489, 1.020, 2.027,...} h(27) = 27 h(489) = 489 h(1.020) = 20 h(3027) =

39 Hash-Indexe Kollisionsbehandlung (1) Für jede Adresse wird ein Überlaufbereich vorgesehen, und gleiche Hash- Funktionswerte werden durch Pointer linear verkettet. Suche nach einem Record entspricht der Berechnung des Hash- Funktionswertes und anschließender sequentieller Suche nach dem Schlüssel. Nachteil: Dieses Verfahren benötigt u. U. viel Speicherplatz und ist häufig ineffizient in der Suche. 4-39

40 Hash-Indexe Kollisionsbehandlung (2) Offene Hash-Verfahren Im Fall einer Kollision wird für den betroffenen Record durch Anwenden einer zweiten Hash-Funktion eine Ersatzadresse ermittelt. Dieses Verfahren kann falls nötig beliebig oft fortgeführt werden, und Adressen aus kollidierenden Bereichen können durch lineare Listen verkettet werden (Kollisionsketten). Die Berechnung des ersten Hash-Funktionswertes bezeichnet man als Streuen, die Berechnung der Ersatzwerte als Sondieren. Beispiel: h i (k)=(h(k)+c i) mod m, c=const., lineares Sondieren h i (k)=(h(k)+i 2 ) mod m, quadratisches Sondieren Sind Hash-Indexe für Punkt- und Bereichsabfragen gleichermaßen geeignet? 4-40

41 Zusammenfassung Persistente Daten werden auf dem Plattenspeicher in Form von Pages verwaltet. Der DB-Puffer ist geeignet, einmal geladene Pages im Hauptspeicher vorzuhalten, um den Zugriff auf die Daten zu beschleunigen. Indexe (B-Bäume und Hash-Indexe) sind Zugriffsstrukturen, die dazu geeignet sind, wertebasierte Suche performant zu unterstützen. Primärindexe sind geeignet für Primärschlüsselspalten, Sekundärindexe für Fremdschlüsselspalten. Ein strategisches Unterscheidungsmerkmal für unterschiedliche Zugriffsstrukturen ist ihre Eignung für Punkt- und / oder Bereichsabfragen. 4-41

42 Datenbanken Einführung Semantische Datenmodellierung Relationenmodell Interne Datenorganisation 5. SQL - Structured Query Language 6. Prozedurale Spracherweiterungen von SQL, Stored Procedure und Trigger, JDBC 7. Transaktionsmanagement 4-42

43 Anhang A: Binäre Suche in Arrays Der Algorithmus a[n] sei ein geordnetes Array mit n Elementen, d.h. anfangs 0 = min (Index-Minimum), n-1 = max (Index-Maximum). x sei der gesuchte Wert. x wird gesucht im Bereich a[min]... a[max]. Wähle einen Index pos zwischen min und max, idealerweise [(min+max)/2], wobei [ ] die Gauss-Klammer darstellt. Folgende Schritte werden wiederholt durchgeführt: a[pos] > x suche weiter im Bereich a[min]... a[pos-1] a[pos] < x suche weiter im Bereich a[pos+1]... a[max] a[pos] = x Der Wert x befindet sich im Array bei Index pos. Der Wert x ist nicht im Array enthalten, wenn min > max erreicht wird. 4-43

44 Anhang A: Binäre Suche in Arrays Wählt man für den Start-Index pos zwischen min und max den Wert in der Mitte, so halbiert sich der Aufwand für die Lösung des Problems bei jedem Schritt. eine Verdoppelung der Arraygröße bewirkt beim linearen Suchen eine Verdoppelung des Aufwandes, beim binären Suchen eine Erhöhung des Aufwandes um einen Schritt! Einen Bereich von n Elementen kann man höchstens log 2 (n) mal halbieren.*) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürliche Zahl m, sodass n zwischen den Zahlen 2m und 2m+1 liegt, d.h. 2m n 2m+1. *) Zur Erinnerung: log 2 (n) = y : n = 2 y, z.b. log 2 (32) = 5, denn 2 5 =

45 Anhang A: Binäre Suche in Arrays Beispiel Es sei n=19 m =4, denn 24 = 16 < 19 < 32 = 24+1 = 25. Um in einem Array mit 19 Elementen einen vorgegebenen Wert zu finden, benötigen wir maximal 4 Schritte: n=19 n=9 n=4 n=2 n=1 4-45

46 Anhang A: Binäre Suche in Arrays Die Komplexität f(n) eines Algorithmus ist i.d.r. funktional abhängig von einer Leitgröße n. Beim linearen Suchen können wir lineare Abhängigkeit beobachten, beim binären Suchen dagegen logarithmische Abhängigkeit: best case average case worst case lineare Suche 1 n/2 n binäre Suche 1 log 2 (n)-1 log 2 (n) Es ist schwierig, den genauen Aufwand zu bestimmen. Man schätzt deshalb für große n den Aufwand durch eine Funktion g(n) ab, sodass gilt: f(n) c g(n), mit einer Konstanten c. Man sagt, f(n) ist höchstens von der Ordnung g(n) und schreibt f(n) = O(g(n)) ( O-Notation ). Es gilt also: n/2 entspricht O(n), n entspricht O(n), log 2 (n)-1 entspricht O(log(n)) und log 2 (n) entspricht O(log(n)). Häufige Komplexitäten von Algorithmen sind: konstant, linear, polynomial (alle Komplexitäten der Form n 2 -quadratisch, n 3 -kubisch, n 4,...), logarithmisch, log-linear und exponentiell. 4-46

47 Anhang B: Suche in B-Bäumen Suchen eines Schlüssels s im B-Baum 1. Prüfe, beginnend bei der Wurzel, ob s im gerade betrachteten Knoten x enthalten ist. Falls ja fertig. Falls nein Prüfe, ob x ein Blatt (= Knoten ohne Söhne ) ist. Falls ja erfolgloses Ende der Suche. Falls nein Stelle fest, zwischen welchen Schlüsseln s i-1 und s i des Knotens x der Schlüssel s liegt (bzw. ob s < s 1 oder s > s k ist) und setze die Suche danach mit 1. beim Knoten x.sohn[i] fort. 4-47

48 Anhang B: Einfügen in B-Bäume Das Einfügen eines Schlüssels s geschieht grundsätzlich in den Blättern. 1. Durchlaufe den B-Baum mit dem neu einzutragenden Schlüssel wie beim Suchen, bis das Blatt gefunden wird, wo der Schlüssel einzutragen ist. Die Zahl der Schlüssel je Knoten (mit Ausnahme der Wurzel) muss zwischen m und 2m liegen. 2.a Anzahl der Schlüssel im Knoten < 2m Einfügen erfolgreich beendet. 2.b Anzahl der Schlüssel im Knoten = 2m es entsteht ein Überlauf, da das Blatt nach Einfügen 2m + 1 Schlüssel enthalten würde. Teile den Knoten in zwei Knoten zu je m Schlüsseln. Der mittlere Schlüssel des Knoten wird vom Vater aufgenommen; die beiden Zeiger rechts und links dieses Schlüssels im Vater zeigen dann auf das alte und das neue darunterliegende Blatt. Läuft auch der Vaterknoten über, so muss dieser ebenfalls in zwei Knoten aufgeteilt werden etc. 3. Läuft die Wurzel über, dann wird sie aufgespalten und eine neue Wurzel angelegt. Der B-Baum ist dann um eine Stufe gewachsen. B-Bäume wachsen von den Blättern zur Wurzel hin! 4-48

49 Anhang B: Löschen in B-Bäumen 1. Suche den Knoten x, in dem der Schlüssel s enthalten ist. 2. x ist ein Blatt lösche s (ggf. muß ein Unterlauf bereinigt werden, s.u.), andernfalls Ermittle den nächstgrößeren Schlüssel s zu s in einem Blatt des Baumes. 4. Ersetze s durch s und lösche s im Blatt x. Enthält das Blatt x weiterhin m Schlüssel, so ist das Löschen beendet; andernfalls In x stehen nur noch (m-1) Schlüssel, man spricht von einem Unterlauf. Fasse x und einen benachbarten Knoten x, der den selben Vater wie x hat, zu einem neuen Knoten zusammen und übernehme dabei denjenigen Schlüssel aus dem Vaterknoten, dessen beide Zeiger auf die benachbarten Knoten gezeigt haben. 6.a Ist der neue Knoten zu groß, muß er entsprechend dem Überlaufverfahren (s. Einfügen) wieder in zwei gleichgroße Knoten aufgeteilt werden, wobei der mittlere Schlüssel vom Vater aufgenommen wird. 6.b Ist der Vater beim Zusammenfassen von x und x zu klein geworden, so muß auch er mit einem benachbarten Knoten zusammengefaßt werden etc. Dieser Prozeß kann sich bis zur Wurzel fortsetzen. Enthält die Wurzel vor dem Zusammenfassen nur einen Schlüssel, so verringert sich die Höhe des Baumes um 1. Die Höhe eines B-Baumes kann sich beim Löschen verringern! 4-49