Kapitel ML: X (Fortsetzung)
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- Klaudia Fürst
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1 Kapitel ML: X (Fortsetzung) X. Cluster-Analyse Einordnung Data Mining Einführung in die Cluster-Analyse Hierarchische Verfahren Iterative Verfahren Dichtebasierte Verfahren Cluster-Evaluierung ML: X-107 Cluster Analysis c STEIN
2 Prinzipien der Fusionierung hierarchisch iterativ agglomerativ divisiv exemplarbasiert austauschbasiert Single-Link, Group Average Min-Cut-Analyse k-means, k-medoid Kerninghan-Lin Cluster- Analyse dichtebasiert punktdichtebasiert anziehungsbasiert DBSCAN MajorClust metasuchegesteuert gradientengesteuert konkurrenzgesteuert Simulated Annealing genetische Algorithmen statistisch Gauß-mischverteilt... ML: X-108 Cluster Analysis c STEIN
3 Dichtebasierte Verfahren versuchen, den Graphen G = V,E,w bzw. die Punktmenge V in Bereiche gleicher Dichte aufzuteilen. Ansätze zur Dichteschätzung: parameterbasiert: die unterliegende Verteilung ist bekannt parameterlos: Histogramme (Konstruktion von Bar-Charts), Kerndichteschätzer (Überlagerung kontinuierlicher Funktionen) ML: X-109 Cluster Analysis c STEIN
4 Dichtebasierte Verfahren versuchen, den Graphen G = V,E,w bzw. die Punktmenge V in Bereiche gleicher Dichte aufzuteilen. Ansätze zur Dichteschätzung: parameterbasiert: die unterliegende Verteilung ist bekannt parameterlos: Histogramme (Konstruktion von Bar-Charts), Kerndichteschätzer (Überlagerung kontinuierlicher Funktionen) Beispiel (karibische Inseln): ML: X-110 Cluster Analysis c STEIN
5 Dichteschätzung mit Gauß schem Kern für das Beispiel Cuba Dominican Republic Puerto Rico ML: X-111 Cluster Analysis c STEIN
6 Dichteschätzung mit Gauß schem Kern für das Beispiel Cuba Dominican Republic Puerto Rico ML: X-112 Cluster Analysis c STEIN
7 Dichteschätzung mit Gauß schem Kern für das Beispiel Cuba Dominican Republic Puerto Rico ML: X-113 Cluster Analysis c STEIN
8 Dichteschätzung mit Gauß schem Kern für das Beispiel Cuba Dominican Republic Puerto Rico ML: X-114 Cluster Analysis c STEIN
9 DBSCAN: Prinzip der Dichteschätzung [Ester et al. 1996] Sei N ε (v) die ε-nachbarschaft eine Punktes v. Unterscheidung von drei Punkttypen: Core point Noise point Border point ε v v v 1. v ist Kernpunkt (core point) N ε (v) MinPts 2. v ist Rauschen (noise point) v ist von keinem Kernpunkt aus dichteerreichbar (density-reachable) 3. v ist Randpunkt (border point) in allen anderen Fällen ML: X-115 Cluster Analysis c STEIN
10 DBSCAN: Prinzip der Dichteschätzung Ein Punkt u ist dichteerreichbar von einem Punkt v, falls gilt: (a) u N ε (v), wobei v ein Kernpunkt ist, oder (b) es gibt eine Menge von Punkten {v 1,...,v l }: v i+1 N ε (v i ) und v i ist Kernpunkt, i =1,...,l-1, und v 1 = v, v l = u. ε v u Bedingung (b) läßt sich als transitive Anwendung von Bedingung (a) auffassen. ML: X-116 Cluster Analysis c STEIN
11 DBSCAN: Cluster-Interpretation Ein Cluster C V erfüllt folgende Bedingungen: 1. u, v : Falls v C und u dichteerreichbar von v, dann ist u C. C v u v u Maximalitätsbedingung ML: X-117 Cluster Analysis c STEIN
12 DBSCAN: Cluster-Interpretation Ein Cluster C V erfüllt folgende Bedingungen: 1. u, v : Falls v C und u dichteerreichbar von v, dann ist u C. C v u v u Maximalitätsbedingung 2. u, v : u ist dichteverbunden mit v, d. h., es existiert ein Punkt t von dem u und v dichteerreichbar sind. C 1 C 2 v u v u Zusammenhangsbedingung ML: X-118 Cluster Analysis c STEIN
13 DBSCAN: Algorithmus Input: Output: G = V,E,w. Weighted graph. d. Distance function for nodes in V. ε. Neigborhood radius. MinPts. Lower bound for point number in ε-neigborhood. γ : V Z. Cluster assignment function. 1. i =0 2. WHILE v :(v V γ(v) = ) DO // = undefined, unclassified 3. v = choose_unclassified_point(v ) 4. N ε (v) =neighborhood(g, d, v, ε) 5. IF N ε (v) MinPts THEN // v is core point 6. i = i C i = density_reachable_hull(g, d, N ε (v)) // form a new cluster 8. FOREACH v C i DO γ(v) =i 9. ELSE γ(v) = 1 // v is _preliminarily_ classified as noise 10. ENDDO 11. RETURN(γ) ML: X-119 Cluster Analysis c STEIN
14 DBSCAN ML: X-120 Cluster Analysis c STEIN
15 DBSCAN ML: X-121 Cluster Analysis c STEIN
16 DBSCAN ML: X-122 Cluster Analysis c STEIN
17 DBSCAN ML: X-123 Cluster Analysis c STEIN
18 DBSCAN ML: X-124 Cluster Analysis c STEIN
19 DBSCAN Core point Border point ML: X-125 Cluster Analysis c STEIN
20 DBSCAN Core point Border point ML: X-126 Cluster Analysis c STEIN
21 DBSCAN Core point Border point Noise point ML: X-127 Cluster Analysis c STEIN
22 DBSCAN Core point Border point Noise point ML: X-128 Cluster Analysis c STEIN
23 DBSCAN Noise point ML: X-129 Cluster Analysis c STEIN
24 Prinzipien der Fusionierung hierarchisch iterativ agglomerativ divisiv exemplarbasiert austauschbasiert Single-Link, Group Average Min-Cut-Analyse k-means, k-medoid Kerninghan-Lin Cluster- Analyse dichtebasiert punktdichtebasiert anziehungsbasiert DBSCAN MajorClust metasuchegesteuert gradientengesteuert konkurrenzgesteuert Simulated Annealing genetische Algorithmen statistisch Gauß-mischverteilt... ML: X-130 Cluster Analysis c STEIN
25 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung [Stein/Niggemann 1999] Die gewichteten Kanten im Graph G = V,E,w werden als Kräfte interpretiert; Knoten desselben Clusters bündeln ihrer Kräfte. Illustration: eindeutige Zugehörigkeitsentscheidung (mit Agglomeration): ML: X-131 Cluster Analysis c STEIN
26 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung [Stein/Niggemann 1999] Die gewichteten Kanten im Graph G = V,E,w werden als Kräfte interpretiert; Knoten desselben Clusters bündeln ihrer Kräfte. Illustration: eindeutige Zugehörigkeitsentscheidung (mit Agglomeration): eindeutige Zugehörigkeitsentscheidung (mit Cluster-Wechsel): ML: X-132 Cluster Analysis c STEIN
27 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung [Stein/Niggemann 1999] Die gewichteten Kanten im Graph G = V,E,w werden als Kräfte interpretiert; Knoten desselben Clusters bündeln ihrer Kräfte. Illustration: eindeutige Zugehörigkeitsentscheidung (mit Agglomeration): eindeutige Zugehörigkeitsentscheidung (mit Cluster-Wechsel): mehrdeutige Zugehörigkeit: ML: X-133 Cluster Analysis c STEIN
28 MajorClust: Algorithmus Input: Output: G = V,E,w. Weighted graph. d. Distance function for nodes in V. γ : V N. Cluster assignment function. 1. i =0, t = False 2. FOREACH v V DO i = i +1, γ(v) =i ENDDO 3. UNLESS t DO 4. t = True 5. FOREACH v V DO 6. γ = argmax i: i {1,..., V } {u,v}:{u,v} E γ(u)=i w(u, v) 7. IF γ(v) γ THEN γ(v) =γ, t = False ENDIF // relabeling 8. ENDDO 9. ENDDO 10. RETURN(γ) ML: X-134 Cluster Analysis c STEIN
29 MajorClust ML: X-135 Cluster Analysis c STEIN
30 MajorClust ML: X-136 Cluster Analysis c STEIN
31 MajorClust ML: X-137 Cluster Analysis c STEIN
32 MajorClust ML: X-138 Cluster Analysis c STEIN
33 MajorClust ML: X-139 Cluster Analysis c STEIN
34 MajorClust ML: X-140 Cluster Analysis c STEIN
35 MajorClust ML: X-141 Cluster Analysis c STEIN
36 MajorClust ML: X-142 Cluster Analysis c STEIN
37 MajorClust ML: X-143 Cluster Analysis c STEIN
38 MajorClust ML: X-144 Cluster Analysis c STEIN
39 MajorClust ML: X-145 Cluster Analysis c STEIN
40 MajorClust ML: X-146 Cluster Analysis c STEIN
41 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) Jedes C = {C 1,...,C k } induziert k Teilgraphen. MajorClust ist eine Heuristik zur Maximierung des gewichteten partiellen Kantenzusammenhangs, Λ(C). Λ(C) = k C i λ i i=1 ML: X-147 Cluster Analysis c STEIN
42 Dichtebasierte Verfahren MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) Jedes C = {C 1,...,C k } induziert k Teilgraphen. MajorClust ist eine Heuristik zur Maximierung des gewichteten partiellen Kantenzusammenhangs, Λ(C). Λ(C) = k C i λ i i=1 ML: X-148 Cluster Analysis c STEIN
43 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) Jedes C = {C 1,...,C k } induziert k Teilgraphen. MajorClust ist eine Heuristik zur Maximierung des gewichteten partiellen Kantenzusammenhangs, Λ(C). Λ(C) = k C i λ i λ 1 = 1 i=1 λ 2 = 2 λ 2 = 1 λ 1 = 2 λ 3 = 2 λ 1 = 2 λ 2 = 3 ML: X-149 Cluster Analysis c STEIN
44 MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) Jedes C = {C 1,...,C k } induziert k Teilgraphen. MajorClust ist eine Heuristik zur Maximierung des gewichteten partiellen Kantenzusammenhangs, Λ(C). Λ(C) = k C i λ i λ 1 = 1 i=1 λ 2 = 2 Λ = = 11 λ 2 = 1 λ 1 = 2 λ 3 = 2 Λ = = 14 λ 1 = 2 λ 2 = 3 Λ = Λ* = = 20 ML: X-150 Cluster Analysis c STEIN
45 Dichtebasierte Verfahren MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) C i Ci C i Min-Cut-Clustering Λ-Maximierung ML: X-151 Cluster Analysis c STEIN
46 Dichtebasierte Verfahren MajorClust: Prinzip der Dichteschätzung (Fortsetzung) C i Ci C i Min-Cut-Clustering Λ-Maximierung Satz 7 (Strong Splitting Condition [Stein/Niggemann 1999]) Sei C = {C 1,...,C k } eine Partitionierung eines Graphen G = V,E,w ; weiterhin bezeichne λ(g) den Kantenzusammenhang von G und λ 1,...,λ k die Kantenzusammenhänge der von den C 1,...,C k induzierten Subgraphen. Gilt λ(g) < min{λ 1,...,λ k } (Strong Splitting Condition), so liefert Λ-Maximierung eine Aufteilung am minimalen Cut. ML: X-152 Cluster Analysis c STEIN
47 DBSCAN versus MajorClust: niedrigdimensionale Daten Karte der karibischen Inseln, etwa Punkte: ML: X-153 Cluster Analysis c STEIN
48 DBSCAN versus MajorClust: niedrigdimensionale Daten Karte der karibischen Inseln, etwa Punkte: DBSCAN: ε = 3.0, MinPts = 3 ε = 5.0, MinPts = 4 ε = 10.0, MinPts = 5 ML: X-154 Cluster Analysis c STEIN
49 DBSCAN versus MajorClust: niedrigdimensionale Daten Problematik geeigneter ε-werte bei DBSCAN: ε = 3.0, MinPts = 3 ε = 3 v Zwei separate Cluster wurden gefunden. ε = 8 v Die Cluster werden vereinigt. u ML: X-155 Cluster Analysis c STEIN
50 DBSCAN versus MajorClust: niedrigdimensionale Daten Karte der karibischen Inseln, etwa Punkte: MajorClust: Initialisierung ML: X-156 Cluster Analysis c STEIN
51 DBSCAN versus MajorClust: niedrigdimensionale Daten Problematik der globalen Analyse (keine Beschränkung auf eine ε-nachbarschaft) bei MajorClust: t = 16 t = 16 v ML: X-157 Cluster Analysis c STEIN
52 DBSCAN versus MajorClust: hochdimensionale Daten Dokumentenkategorisierung mit dem Reuters-Korpus: 1000 Dokumente 10 Kategorien: Politik, Kultur, Wirtschaft, etc. die Dokumente sind gleichverteilt, gehören genau zu einer Kategorie Dimension des Merkmalraums: > DBSCAN: degeneriert mit steigender Zahl der Dimensionen Ursache ist die Bestimmung der ε-nachbarschaft Ausweg ist eine Dimensionreduktion, z. B. eine Einbettung der Daten mittels multidimensionaler Skalierung (MDS) ML: X-158 Cluster Analysis c STEIN
53 DBSCAN versus MajorClust: hochdimensionale Daten Klassifikationsergebnisse (F -Measure), aufgetragen über Dimensionalität: F-Measure (52.1) 3 (49.1) 4 (44.3) 5 (43.5) 6 (40.7) 7 (37.6) 8 (35.1) 9 (34.2) 10 (11.6) 11 (10.8) 12 (10.2) 13 (9.6) Number of dimensions, (Stress) MajorClust (original data) MajorClust (embedded data) DBSCAN (embedded data) [Stein/Busch 2005] ML: X-159 Cluster Analysis c STEIN
54 Bemerkungen: Das Problem der Nachbarschaftssuche in hochdimensionalen Räumen ist meistens nicht effizient lösbar: Ab Dimensionen größer als ist das lineare Durchsuchen aller Objekte effizienter als die Verwendung von hochentwickelten, raumpartitionierenden Datenstrukturen wie R-Tree, X-Tree, Quadtree, KD-Tree, etc. Einen Ausweg bieten die Ansätze wie Locality-Sentitve-Hashing oder Fuzzy-Fingerprints. Siehe auch: [Weber 99] [Gionis/Indyk/Motwani 99-04] [Stein 05] [Stein/SMZE 05] DBSCAN verwendet zur Bestimmung der ε-nachbarschaft die R-Tree-Datenstruktur. Diese Datenstruktur leistet einen wesentlichen (wenn nicht sogar den größten) Teil der Cluster- Analyse innerhalb von DBSCAN. Möchte man DBSCAN für hochdimensionale Daten verwenden, ist eine Einbettung der Daten in einen niedrigdimensionalen Raum unvermeidbar. Dabei ist zu bedenken, daß eine Dimensionsreduktion durch Einbettung rechenintensiv ist und das gute Laufzeitverhalten von DBSCAN zunichte macht.
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