Ergänzung zu Theoretische Informatik II

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1 Ergänzung zu Theoretische Informatik II Prädikatenlogik Carlos Camino Sommersemester 2018

2 Strukturen Eine Struktur A (schön-a oder kalligrafisches A) ist ein Tupel A = (U, I ) bestehend aus einer Menge U und einer Funktion I. U heißt Universum oder Grundmenge und seine Elemente Individuen. I heißt Interpretation und bildet n-stellige Prädikatsymbole P, Q, R,... auf Relationen I (P), I (Q), I (R),... U n, n-stellige Funktionssymbole f, g, h,... auf Funktionen I (f ), I (g), I (h),... : U n U ab. und Variablen x, y, z,... auf Individuen I (x), I (y), I (z),... U

3 Strukturen Eine Struktur A = (U, I ) passt zu einer Formel F, I für jedes in F vorkommende Prädikatsymbol, jedes in F vorkommende Funktionssymbol und jede in F vorkommende freie Variable (z. B. y in xp(x, y)) definiert ist.

4 Erinnerung: Relationen Eine n-äre Relation R über einer Menge M ist eine Teilmenge von M n = M }. {{.. M }. Zum Beispiel ist R = {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} eine 2-äre (binäre) Relation über A = {1, 2, 3}. n mal Für n = 0 gibt es wegen A 0 = {()} nur zwei mögliche Relationen: R = {} und R = {()}. Dieser Fall ist zwar selten, aber trotzdem sehr interessant, weil sich nullstellige Prädikatsymbole wie atomare Formeln in der Aussagenlogik verhalten. Jedes nullstellige Prädikatsymbol P kann als I (P) = {} (dann ist A(P()) = 0) oder I (P) = {()} (dann ist A(P()) = 1) interpretiert werden. Bei n = 1 lassen wir runde Klammern weg und schreiben beispielsweise einfach R = {1, 2, 3} statt R = {(1), (2), (3)}. Graphisch kann man also unäre Relationen durch ein Mengendiagramm (auch: Euler-Diagramm) darstellen. Binäre Relationen lassen sich graphisch als Graphen mit gerichteten Kanten (also Pfeilen) darstellen.

5 Erinnerung: Funktionen Eine n-stellige Funktion f : A n A ist eine Relation f A n A in der jedes Element aus A n mit genau einem Element aus A (seinem Bild) in Relation steht. Beispielsweise ist f = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} eine Funktion f : {1, 2, 3} {1, 2, 3}, aber g = {(1, 3), (1, 2), (3, 1)} nicht. (a 1,..., a n ) a n+1 heißt f (a 1,..., a n ) = a n+1 bzw. ((a 1,..., a n ), a n+1 ) f. Bei nullstelligen Funktionssymbolen a(), b(), c(),... lassen wir ebenfalls die Klammern weg und schreiben stattdessen a, b, c,... und nennen sie Konstanten. I (a), I (b), I (c),... sind dann Individuen aus dem Universum U. Die graphische Vorstellung von einstelligen Funktionen entspricht der einer binären Relation. Im Bild wird dann jedes Individuum von genau einem Pfeil verlassen.

6 Beispiel: la bagarre générale Sei A = (U, I ) eine Struktur mit einer Menge U = {Asterix, Obelix, Majestix, Miraculix, Troubadix,...} von Bewohnern eines bekannten Dorfes in Gallien und I (P) = {(x, y) x schlägt y} die in diesem Dorf natürlichste Interpretation eines binären Prädikats P(x, y).

7 Beispiel: la bagarre générale Formel Bedingung, die von I (P) erfüllt werden muss 1. x yp(x, y) Jemand schlägt jemanden. 2. x yp(x, y) Jemand schlägt jeden. 3. x yp(x, y) Jeder schlägt jemanden. 4. x yp(x, y) Jeder schlägt jeden. 5. y xp(x, y) Jemand wird von jemandem geschlagen. 6. y xp(x, y) Jemand wird von jedem geschlagen. 7. y xp(x, y) Jeder wird von jemandem geschlagen. 8. y xp(x, y) Jeder wird von jedem geschlagen. 9. x y P(x, y) Jemand schlägt jemanden nicht. 10. x y P(x, y) Jemand schlägt niemanden. 11. x y P(x, y) Jeder schlägt jemanden nicht. 12. x y P(x, y) Niemand schlägt jemanden. 13. y x P(x, y) Jemand wird von jemandem nicht geschlagen. 14. y x P(x, y) Jemand wird von niemandem geschlagen. 15. y x P(x, y) Jeder wird von jemandem nicht geschlagen. 16. y x P(x, y) Niemand wird von jemandem geschlagen.

8 Beispiel: la bagarre générale Mögliche Modelle für den Fall U = 3 : x yp(x, y) x yp(x, y) x yp(x, y) x yp(x, y) y xp(x, y) y xp(x, y) y xp(x, y) y xp(x, y)

9 Beispiel: la bagarre générale Mögliche Modelle für den Fall U = 3 : x y P(x, y) x y P(x, y) x y P(x, y) x y P(x, y) y x P(x, y) y x P(x, y) y x P(x, y) y x P(x, y)

10 Noch ein Beispiel Gegeben sei die prädikatenlogische Formel F = 1. x yp(x, y) 2. y x P(x, y) 3. x P(x, x). Um F zu erfüllen, muss P als Relation interpretiert werden, für die folgendes gilt: 1. Für jedes Element x gibt es ein Element y, so dass x mit y in Relation steht. 2. Es gibt ein Element y, so dass für alle Elemente x gilt: x steht nicht mit y in Relation. 3. Für alle Elemente x gilt: x steht nicht mit sich selbst in Relation.

11 Noch ein Beispiel Gegeben sei die prädikatenlogische Formel F = 1. x yp(x, y) 2. y x P(x, y) 3. x P(x, x). Kürzer: 1. Jedes Element steht mit mindestens einem Element in Relation. 2. Es gibt ein Element, mit dem kein Element in Relation steht. 3. Kein Element steht in Relation mit sich selbst.

12 Noch ein Beispiel Gegeben sei die prädikatenlogische Formel F = 1. x yp(x, y) 2. y x P(x, y) 3. x P(x, x). Die Interpretation von P erfüllt alle drei Bedingungen. Somit wird F von der Struktur A = (U, I ) mit U = {1, 2, 3} und I (P) = {(1, 3), (2, 3), (3, 2)} erfüllt. D. h. A ist ein Modell für F.

13 Infos Dass x und y unterschiedliche Variablennamen haben, heißt nicht, dass sie immer auf unterschiedliche Elemente zeigen. Wenn im Beispiel jeder jeden schlägt, dann muss sich auch jeder selber schlagen. Die Übersetzung von Prädikatenlogik ins Deutsche ist sehr schwierig! Bestimmt habe ich im Beispiel einiges falsch formuliert. Unter findet man viele hilfreiche Beispiele, um Quantoren besser zu verstehen.

14 Quiz Wir betrachten die Formel F = x y P(x, y) y xp(x, y) und eine zu F passende Struktur A = (U, I ) mit Universum U = {1, 2}. Frage: Wie muss man I (P) definieren, damit A ein Modell für F ist?

15 Quiz Wir betrachten die Formel F = x y P(x, y) y xp(x, y) und eine zu F passende Struktur A = (U, I ) mit Universum U = {1, 2}. Frage: Wie muss man I (P) definieren, damit A ein Modell für F ist? Antwort: Die einzigen Möglichkeiten sind I (P) = {(1, 1), (2, 2)} und I (P) = {(1, 2), (2, 1)}.