Überlegungen zum Visualisieren

Transkript

1 Überlegungen zum Visualisieren und Modellieren Vortrag am Samstag, 18. Juli 2009 Bei der T3-Tagung in Freiburg Michael Bürker, Universität Freiburg Michael Bürker, Uni Freiburg 1

2 Überblick Grundsätzliche Bemerkungen ZurSpannungzwischenFachwissenschaftund Fachdidaktik zurrolledermedienin derfachdidaktik Seminar über Medieneinsatz im MU. Fachwissenschaft und Visualisierung Wachstumsprozesse Explizite Darstellungen Offene Aufgaben Michael Bürker, Uni Freiburg 2

3 Grundsätzliche Bemerkungen Mathematik als Fachwissenschaft expandiert. Wichtige Theorien in der Physik und in anderen Wissenschaften sind in der abstrakten Sprache der Mathematik formuliert und sind für viele unverständlich. Damit entsteht eine (größer werdende) Kluft zwischen Fachwissenschaft und Allgemeinwissen Michael Bürker, Uni Freiburg 3

4 Auswirkungen auf die Fachdidaktik Die Fachdidaktik steht zwischen diesen Polen der Wissenschaftlichkeit und dem Allgemeinwissen Michael Bürker, Uni Freiburg 4

5 Aufgabe des MU Er soll seinen Beitrag zu geistiger Orientierung und Urteilsfähigkeit leisten. Insbesondere soll er unverzichtbare mathematische Kompetenzen und überfachliche Kompetenzen vermitteln Michael Bürker, Uni Freiburg 5

6 Urteilsfähigkeit Wenn die Welt komplizierter wird und die S&S weiterhin geistige Orientierung und Urteilsfähigkeit erlangen sollen, muss der Fachdidaktik auf die Kluft zwischen Fachwissenschaft und Allgemeinwissen reagieren. Beispiel Finanzkrise Michael Bürker, Uni Freiburg 6

7 Die Rolle der Medien Mit ihrer Hilfe können wir komplexe Zusammenhänge sichtbar machen und visualisieren durch dynamische Komponenten das entdeckende Lernen fördern Teilgebiete besser miteinander vernetzen Komplexe Rechnungen durchführen (lassen) leichter modellieren Michael Bürker, Uni Freiburg 7

8 Medien im Mathematikunterricht Der Grafisch-numerische Taschenrechner ermöglicht die Verlagerung von umfangreichen Rechenaufgaben hin zur Entwicklung von Problemlöseverständnis. (aus dem Bildungsplan BW) Michael Bürker, Uni Freiburg 8

9 Vernetzung in Klasse Michael Bürker, Uni Freiburg 9

10 Vernetzung in der Kursstufe Michael Bürker, Uni Freiburg 10

11 Medienseminar Im folgenden bringe ich ein paar Beispiele aus meinem Seminar Medieneinsatz im Mathematikunterricht. Das Seminar wird in jedem Semester angeboten Dieses Seminar ist auch mit Unterrichtsversuchen an Freiburger Schulen bzw. dem Freiburg-Seminar verknüpft Michael Bürker, Uni Freiburg 11

12 Beispiele zum Visualisieren Dynageo\Höhen_sp_parabel_koord.geo (Idee nach Stachniss-Carp) Michael Bürker, Uni Freiburg 12

13 Michael Bürker, Uni Freiburg 13

14 Beispiele (2) Dynageo\Stud\Parabel_Scheinw.geo Dynageo\Stud\Sinus_Param.geo Dynageo\Abl_sinus.geo Michael Bürker, Uni Freiburg 14

15 Modellieren Beispiel für Wachstumsprozesse (siehe Blatt) Michael Bürker, Uni Freiburg 15

16 Diskrete und kontinuierliche Modellierung Beschränktes Wachstum (Temperaturbeisp.): Diskret: B(t+1) = B(t) + k (20 B(t)) Kontin.: f(t) = ,5 t Anfangsbedingungen: B(0) = 4, B(1) = 12 Logistisches Wachstum: (perfekt!) Diskr.: B(t+1) = B(t) + k B(t) (20 B(t)) (chaotisch!) Kont.: f(t) = 20 ( t )) -1 Anfangsbedingungen: B(0) = 4, B(1) = Michael Bürker, Uni Freiburg 16

17 Michael Bürker, Uni Freiburg 17

18 Michael Bürker, Uni Freiburg 18

19 Fazit In beiden Beispielen sind die Anfangsbedingungen genau gleich. Trotzdem ist die diskret-rekursive Modellierung beim Temperaturwachstum perfekt beim Höhenwachstum chaotisch! Michael Bürker, Uni Freiburg 19

20 Mathematischer Hintergrund Das kann kein Zufall sein. Was aber ist genau der Grund für den Unterschied in der Modellierung der beiden Probleme? Im Fall des beschränkten Wachstums haben wir eine lineare Rekursionsgleichung Im Fall des logistischen Wachstums haben wir eine quadratische Rekursionsgleichung! Michael Bürker, Uni Freiburg 20

21 Entscheidender Punkt Der mathematisch entscheidende Punkt ist, dass bei linearen Differentialgleichungen f (x) = rf(x) + s (und nur bei diesen) der Quotient nicht von x abhängt (sondern höchstens von h) Michael Bürker, Uni Freiburg 21

22 Schrittstabile Funktionen Ich nenne Funktionen f, welche die Eigenschaft haben, dass nicht von x abhängt, schrittstabil Michael Bürker, Uni Freiburg 22

23 Klassifikationssatz Schrittstabile Funktionen sind genau die Funktionen f mit der Form f(x) = ca x + d Michael Bürker, Uni Freiburg 23

24 Konsequenz für die Modellierung Zu jeder rekursiv definierten Folge B n mit linearer Rekursionsgleichung gibt es eine Funktion f von der Form f(x) = ca x + d, so dass für alle natürlichen Zahlen n gilt. B n = f(n) Michael Bürker, Uni Freiburg 24

25 Explizite Darstellungen Diese Funktion f nennt man auch die explizite Darstellungder rekursiv definierten Folge a n mit a n+1 = (1 + p) a n + r Explizit: Diese Formel sollte in die Lehrbücher und Formelsammlungen kommen! Michael Bürker, Uni Freiburg 25

26 Beispiele Beschränktes Wachstum: Michael Bürker, Uni Freiburg 26

27 Vielen Dank! Homepage: