= a) Berechnen Sie die fehlenden Funktionswerte der Wertetabelle. n

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Benedikt Holtzer
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Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 1 Aufgabe 1: rekursive Funktionen Die Hofstadter-Funktion ist definiert durch: hof ( n hof ( n 1)) + hof ( n hof ( n 2)) hof ( n) = 1 a) Berechnen

1 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 1 Aufgabe 1: rekursive Funktionen Die Hofstadter-Funktion ist definiert durch: hof ( n hof ( n 1)) + hof ( n hof ( n 2)) hof ( n) = 1 a) Berechnen Sie die fehlenden Funktionswerte der Wertetabelle. n hof(n) für n > 2 für n =1oder n = 2 b) Schreiben Sie eine rekursive DELPHI-Funktion, die den Funktionswert hof(n) berechnet. function hof(n: integer): integer; { Rekursiver Algorithmus } c) Beurteilen Sie die Effizienz dieses Verfahrens (keine exakte Laufzeitabschätzung erforderlich). Erläutern Sie anschließend eine Idee, wie die Berechung der Funktionswerte effizienter gestaltet werden könnte. Aufgabe 2: rekursive Funktionen Karlchen wohnt in einem Hochhaus in der vierten Etage. Bis zu seinem Stockwerk sind es 63 Stufen, welche er jeden Tag hinauflaufen muss. Damit es nicht so langsam (und langweilig) ist, nimmt Karlchen schon mal zwei Stufen oder sogar drei Stufen in einem Schritt. a) Karlchen möchte den ersten Treppenabsatz mit vier Stufen hinauflaufen. Geben Sie alle verschiedenen Schrittfolgen an, die es für Karlchen gibt, um die vier Stufen zu erklimmen? Hinweis: Da Karlchen ein, zwei oder drei Stufen auf einmal nehmen kann, wären z. B. 1 3 oder aber auch verschiedene Schrittfolgen. Wie Sie erkennen können, spielt die Reihenfolge der Schritte eine Rolle. b) Der zweite Treppenabsatz hat schon sechs Stufen. Ermitteln Sie die Anzahl der verschiedenen Schrittfolgen, um diese sechs Stufen hinaufzulaufen. c) Stellen Sie eine (rekursive) Formel auf, mit deren Hilfe man zu einer vorgegebenen Stufenanzahl n die Anzahl der verschiedenen Schrittfolgen berechnen kann. Berechnen Sie anschließend mithilfe Ihrer Formel, wie viele verschiedene Schrittfolgen es gibt, wenn 10 Stufen erklommen werden müssen. Hinweis: Fertigen Sie sich für die Berechnung eine Tabelle wie in Aufgabe 1 an. Aufgabe 3: rekursive Turtlegrafik Implementieren Sie eine rekursive DELPHI-Prozedur procedure Tribaum(n: integer; Astlaenge: double); welche die folgende Ausgabe produziert. Hinweis: Die Astlängen werden in jedem Rekursionsschritt um den Faktor 0,7 gestaucht. n = 1 n = 2 n = 3 n = 8

2 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 2 Aufgabe 4: rekursive Prozeduren Gegeben ist die folgende rekursive Delphi-Prozedur: procedure draw(x1,y1,x2,y2: integer); // Zwei Punkte (x1 y1) und (x2 y2) if (abs(x1-x2)>=2) or (abs(y1-y2)>=2) then draw(x1,y1,(x1+x2) div 2,(y1+y2) div 2); draw((x1+x2) div 2,(y1+y2) div 2,x2,y2); end else form1.canvas.pixels[x1,y1]:= clblack; Hinweise: Die Funktion abs(n) berechnet den Betrag n einer ganzen Zahl. Die Eigenschaft Pixels enthält die Pixel-Farbwerte der Zeichenfläche canvas des Formulars form1. Diese können per Zuweisung (:= clblack) auf schwarz gesetzt werden. a) Übertragen und vervollständigen Sie die grafische Darstellung des rekursiven Abstiegs für den Aufruf draw(5,3,13,7): draw(5,3,7,4) draw(5,3,9,5) draw(7,4,9,5) draw(5,3,13,7) draw(9,5,13,7) b) Stellen sie den rekursiven Abstieg für den Aufruf draw(6,2,8,5) grafisch dar. draw(5,3,6,3) draw(,,, ) Pixels[5,3] := clblack c) Nachfolgend sehen Sie die Zeichenfläche canvas stark vergrößert. Die obere linke Ecke hat die Koordinaten (0 0), die untere rechte Ecke die Koordinaten (17 8) Zeichnen Sie das Ergebnis des Aufrufs aus Teilaufgabe a) draw(5,3,13,7) auf diese Zeichenfläche d) Beschreiben Sie in eigenen Worten, was die Prozedur draw leistet. Begründen Sie anschließend, warum die Prozedur genau das produziert, was sie vermuten.

3 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 3 Aufgabe 5: rekursive Berechnungsverfahren Aus dem Mathematikunterricht kennen Sie die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen; kurz ggt(a,b). Ein effizientes rekursives Verfahren kann algorithmisch wie folgt beschrieben werden: ALGORITHMUS ggt Input-Objekte: a, b: Integer Output-Objekte: result: Integer Hilfs-Objekte: r: Integer Falls b = 0 dann: result a sonst r Rest der Division a : b result ggt(b, r) a) Veranschaulichen Sie den Algorithmus am Beispiel des Aufrufs ggt(100,15) und am Beispiel des Aufrufs ggt(73, 117) b) Implementieren Sie ein Delphi-Funktion, welche nach dem obigen Verfahren den ggt zweier Zahlen berechnet. Hinweis: Der Rest der Division a : b berechnet sich durch a mod b. Viel Erfolg!!

4 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 4 Aufgabe 1: rekursive Funktionen Gegeben ist die folgende Funktion f: hof ( n hof ( n 1)) + hof ( n hof ( n 2)) für n > 2 hof ( n) = 1 für n =1oder n = 2 a) n hof(n) b) function hof(n: integer): integer; { Rekursiver Algorithmus } if n<=2 then result:= 1 else result:= hof(n-hof(n-1))+hof(n-hof(n-2)); c) Die Berechung ist nicht effizient, da Funktionswerte mehrfach berechnet werden. Beispielsweise wird für hof(3) zwei mal hof(2) und zwei mal hof(1) berechnet. Besser wäre die Zwischenspeicherung vorher berechneter Funktionswerte z. B. in einem Array. Aufgabe 2: rekursive Funktionen Prozeduren a) b) Insgesamt: 24 c) f ( n) = f ( n 1) f ( n 2) + f ( n 3) n = 1 n = 2 n = 3 n > 3 n f(n) Aufgabe 3: rekursive Turtlegrafik procedure TForm1.BaumfigurZeichnen(n: integer; Laenge: double); if n<=1 then Turtle.VW(Laenge); Turtle.RW(Laenge); end else Turtle.VW(Laenge); Turtle.DL(45); BaumfigurZeichnen(n-1, Laenge*0.7); Turtle.DR(45); BaumfigurZeichnen(n-1, Laenge*0.7); Turtle.DR(45); BaumfigurZeichnen(n-1, Laenge*0.7); Turtle.DL(45);

5 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 5 Turtle.RW(Laenge); Aufgabe 4: rekursive Prozeduren a) draw(5,3,13,7 draw(5,3,9,5) draw(9,5,13,7) draw(5,3,7,4) draw(7,4,9,5) draw(9,5,11,6) draw(11,6,13,7) draw(5,3,6,3) draw(6,3,7,4) draw(7,4,8,4) draw(8,4,9,5) draw(9,5,10,5) draw(10,5,11,6) draw(11,6,12,6) draw(12,6,13,7) Pixels[5,3] := clblack Pixels[6,3] := Pixels[7,4] := P [8,4] := Pixels[9,5] := Pixels[10,5] := Pixels[11,6] Pixels[7,4] := P [12,6] := b) draw(6,2,8,5) draw(6,2,7,3) draw(7,3,8,5) Pixels[6,2] := clblack draw(7,3,7,4) draw(7,4,8,5) b) 0 Pixels[7,4] Pixels[7,3] := Pixels[7,4] := c) Das Programm zeichnet eine Linie zwischen den beiden Punkten (x1 y1) und (x2 y2). Dabei wird die Linie ohne den Endpunkt gezeichnet. Die Prozedur draw arbeitet wie folgt: Besteht die Linie aus höchstens zwei Punkten, so wird der Anfangspunkt gezeichnet. Andernfalls wird der Mittelpunkt der Strecke gebildet und das Zeichnen der Linie aufgeteilt auf die beiden Strecken von (x1 y1) zum Mittelpunkt und vom Mittelpunkt zu (x2 y2). Da stets der Anfangspunkt gezeichnet wird, wird auch der zuvor berechnete Mittelpunkt beim zweiten rekursiven Aufruf gezeichnet.

6 Info 12 IF1 GK (GA) Bearbeitungszeit: 135 min Seite 6 Aufgabe 5: rekursive Berechnungsverfahren a) ggt(100,15) = ggt(15,10) = ggt(10,5) ) ggt(5,0) = 5 ggt(73,117) = ggt(117,73) = ggt(73,44) = ggt(44,29) = ggt(29,15) = ggt(15,14) = ggt(14,1) = ggt(1,0) = 1 b) function ggt(a,b: integer): integer; if b=0 then ggt:= a else ggt:= ggt(b, a mod b);

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