Mathematik. Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Modul. Art der Leistung Studienleistung Klausur-Knz. WB-WMT-S Datum

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1 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Modul Mathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Knz WB-WMT-S Datum Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer Lassen Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw Teilaufgabe sich diese bezieht Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen Unleserliches wird nicht bewertet Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner Anzahl Aufgaben: 6 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: 00 Vorläufiges Bewertungsschema: von Viel Erfolg! Punktzahl bis einschl Ergebnis bestanden 0 9,5 nicht bestanden Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, WMT, Wirtschaftsingenieurwesen WB-WMT-S-07060

2 Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, Mathematik, WB Aufgabe 6 Punkte Bestimmen Sie die Lösung(en der folgenden Bruchgleichung in der Grundmenge der reellen Zahlen R: Hinweis: Beachten Sie die Definitionsbereiche der einzelnen Terme Aufgabe Punkte Der Graph einer quadratischen Funktion f ( hat den Scheitelpunkt auf der y-achse und geht durch die Punkte A ( ; und B ( ; 0 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion f ( Aufgabe 8 Punkte Die im nebenstehenden Bild dargestellte so genannte Gruppenschaltung enthält gleiche Batterien mit der Quellenspannung U q und dem Innenwiderstand R I Dabei sind jeweils n Batterien in Reihe geschaltet Daran wird ein äußerer Widerstand Ra gelegt Der Stromfluss hängt ab von der Zahl n der Batterien, die in Reihe geschaltet sind Es ergibt sich folgender Zusammenhang: I n U q ( n Ra + n RI Bestimmen Sie für die Zahlenwerte U q V, R a Ω und R I 6 Ω die Funktionsgleichung für I (n Die physikalischen Einheiten sind dabei wegzulassen Für welche Zahl n an Batterien ergibt sich ein maimaler Stromfluss? 6 Hinweis: Bei der Bildung der zweiten Ableitung reicht es, wenn Sie nach Anwendung der Ableitungsregeln nicht weiter ausmultiplizieren WB-WMT-S Seite /

3 Klausuraufgaben, Studienleistung 06/07, Mathematik, WB Aufgabe Punkte Bestimmen Sie näherungsweise (mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens eine Nullstelle der Gleichung f ( ln auf Nachkommastellen genau Zeigen Sie zunächst, dass 0 0, ein geeigneter Startwert für die Iteration ist und führen Sie anschließend die Iterationen mit dem Startwert 0 0, durch Hinweis: Bitte führen Sie Ihre Berechnungen mit mindestens Nachkommastellen durch Aufgabe 5 6 Punkte Gegeben ist die Funktion ln f ( 5 Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f ( 5 Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f ( Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die partielle Integration 5 Berechnen Sie das bestimmte Integral e ln d Aufgabe 6 Punkte Gegeben ist die Funktion f ( + mit D R 6 Bestimmen Sie die Nullstelle von f ( 6 Die Funktion f ( rotiert in den Grenzen von bis um die -Achse Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers 6 Welche geometrische Form hat der Rotationskörper? 9 WB-WMT-S Seite /

4 Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Mathematik am Wirtschaftsingenieurwesen WB-WMT-S Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste ein Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl Ergebnis von bis einschl bestanden 0 9,5 nicht bestanden Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 8 Juli 007 in Ihrem Studienzentrum ein Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel 00 / 509 bzw birgithupe@hamburger-fhde Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/07, WMT, Wirtschaftsingenieurwesen WB-WMT-S-07060

5 Lösung vgl SB, Kap 6 Punkte Hauptnenner: ( Multiplizieren mit dem Hauptnenner: ( + ( + 5( Ausmultiplizieren und zusammenfassen: Lösen der quadratischen Gleichung: 7 9 7, ± ± ± ± , Damit ist L, Lösungsmenge der Bruchgleichung Lösung vgl SB, Kap Punkte Allgemeine Form einer quadratischen Funktion: f ( a + b + c (Parabel mit a 0 Aus der Information, dass der Scheitelpunkt auf der y-achse liegt, kann man Bedingungen ableiten, die zu etwas anderen Lösungen führen: Variante : Variante : Für den Scheitel einer Parabel in der Form f ( + p + q gilt nach Formelsammlung 6: p p S ; + q Lage von S auf y-achse: p 0 p Mit a 0 folgt b 0 b a 0 Ab hier sind Variante und identisch!! Die Funktion ist symmetrisch zur y-achse und damit ist C (, 0 auch ein Punkt der Parabel Einsetzen der Punkte A, B und C in die Parabelgleichung: (I 6 a + b + c 0 (Punkt C einsetzen (II 6 a b + c 0 (Punkt B einsetzen (III a + b + c (Punkt A einsetzen Subtrahiert man Gleichung (II von (I so erhält man 8 b 0 und damit b 0 5 WB-WMT-S Seite /5

6 Man erhält zwei neue Gleichungen: (IV 6 a + c 0 (entspricht Einsetzen von Punkt B für b 0 (V a + c (entspricht Einsetzen von Punkt A für b 0 Auflösen von (IV nach c ergibt: c 6a Einsetzen in (V und Auflösen: a + c a 6a a a 6 c 6a Die gesuchte Funktion ist f ( Lösung vgl SB 5, Kap 8 Punkte Mit U V, R Ω und R 6 Ω ergibt sich q I( n a n U I 6n q Ra + n RI n Bestimmung der Ableitungen durch Anwendung der Quotientenregel g h gh I (Formelsammlung 8, h Ableitung: g( n 6n g ( n 6 h( n n h ( n n 6(96 + 6n 6n 6 + 8n 768n 6 8n I ( n (96 + 6n (96 + 6n (96 + 6n Ableitung: g( n 6 8n g ( n 768n h ( n (96 + 6n h ( n (96 + 6n n n(96 + 6n (Kettenregel 768n(96 + 6n + (6 8n n(96 + 6n I ( n (96 + 6n WB-WMT-S Seite /5

7 Notwendige Bedingung: I ( n 0 6 8n I ( n 0 (96 + 6n 6 8 n 0 (wegen n 0 ist der Zähler ungleich Null n 6 n, n Da es keine negative Zahl von Batterien gibt, muss n sein Überprüfen der hinreichenden Bedingung I ( n 0 : 768 ( I ( < 0 ( Damit liegt für n ein lokales Maimum vor Lösung vgl SB 5, Kap 7 Punkte Startbedingung für das NEWTON-Verfahren (vgl Formelsammlung 9: f ( 0 f ( 0 Bestimmung der Ableitungen: 0 f ( ln < f ( + Überprüfung der Bedingung (Einsetzen von 0 0, : f (0, 0, ln 0, 0,6 0, 0, 98 0, f (0, + 0 0, f (0, f (0, 0, 0,6 0 ( 9,8 0,0 < Damit ist 0 0, ein geeigneter Startwert WB-WMT-S Seite /5

8 Rekursionsformel NEWTON-Verfahren (Formelsammlung 9: f ( n n n Iteration: n f ( 0 0,6 0 0, 0,9 ( 9,8 0 Iteration: f (0,9 0,9 ln 0,9 0,0 0,9 0,9 7,77 0,9 f ( 0,0 0,9 ( 7,77 Iteration: 0,78 f (0,78 0,78 ln 0,78 9, 0 0,78 0,78 6,98 0,78 f ( 9, 0 0,78 0,79 ( 6,98 Da sich die dritte Stelle hinter dem Komma nicht mehr verändert, kann abgebrochen werden Lösung 5 vgl SB 7, Kap, und 6 Punkte 5 Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen ( 0 definiert, der Nenner nur für Zahlen 0 Damit besteht der Definitionsbereich aus allen positiven reellen Zahlen 0, D ( 0, 5 Stammfunktion: ln F( d + C Partielle Integration (Formelsammlung 0: g( h ( d g( h( g ( h( d ln f ( g ln ; g h ; h ln WB-WMT-S Seite /5

9 5 ln ln d (ln d ln d (ln ln (ln d Eine Stammfunktion (für C 0 ist e ln (ln d e (ln e (ln F ( (ln Lösung 6 vgl SB 7, Kap Punkte Auflösen nach liefert: 6 Volumen des Rotationskörpers bei Rotation um -Achse (Formelsammlung 05: V b π [ f ( ] a d V π ( + d π ( + + d V π V π π 6π 6 Da zwischen und die Nullstelle der Funktion (Gerade liegt, handelt es sich bei dem Rotationskörper um zwei Kegel, die sich an der Spitze berühren (Doppelkegel WB-WMT-S Seite 5/5