Wirtschaftsmathematik. Klausur-Kennzeichen BB-WMT-S Datum

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1 Studiengang Betriebswirtschaft Modul Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Kennzeichen BB-WMT-S 080 Datum Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite /3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden. Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: Anzahl Aufgaben: 8 HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: 00 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Vorläufiges Bewertungsschema: von Punktzahl bis einschl. Ergebnis bestanden 0 49,5 nicht bestanden Viel Erfolg! Klausuraufgaben, Studienleistung /08, WMT, BB 008 GmbH BB-WMT-S 080

2 Klausuraufgaben, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Aufgabe 9 Punkte Gegeben sind die folgenden Mengen reeller Zahlen (Intervalle) A = { R 0 4} und = { < < 7} B R. Bilden Sie die nachfolgenden Mengen und geben Sie jeweils in obiger Schreibweise an, welche Elemente zu diesen Mengen gehören.. A B 3. A B 3.3 A \ B 3 Aufgabe 5 Punkte Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichung 3 = 9 mit R (,5;,5 ). { } Überprüfen Sie Ihre Berechnungen mit Hilfe einer Probe. Aufgabe 3 3 Punkte Gegeben ist die Funktion f ( ) =. 3. Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f (). 3. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f () Untersuchen Sie die Funktion f () auf Symmetrie. 7 Aufgabe 4 4 Punkte Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die 4. zur -Achse parallel verläuft und durch den Punkt A (4, ) geht den Anstieg hat und durch den Punkt B (, ) geht durch die Punkte C (, 6) und D (3, ) geht. 6 Geben Sie die Gleichungen der Geraden in der Form y = m + b an. BB-WMT-S GmbH Seite /

3 Klausuraufgaben, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Aufgabe 5 7 Punkte Ein Geldbetrag von K 0 =5.000, 00 wird nach dem Prinzip der Bundesschatzbriefe für 4 Jahre lang fest angelegt (Verzinsung mit Zinseszins). Für die jährlichen Verzinsungen gelten folgende Staffelzinssätze:. Jahr: p =,5 % p.a.. Jahr: p =,50 % p.a. 3. Jahr: p 3 = 3,00 % p.a. 4. Jahr: p 4 = 4,00 % p.a. Welches Guthaben steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung? Aufgabe 6 Punkte Herr Mustermann möchte seinen Gebrauchtwagen verkaufen. Er erhält folgende zwei Angebote: Sofortzahlung von 5.000,00 Zahlung einer monatlichen (nachschüssigen) Rente in Höhe von 00,00 über einen Zeitraum von 5 Jahren. Welches Angebot ist günstiger, wenn ein Zinssatz von 6,5 % p.a. zugrunde gelegt wird. Aufgabe 7 0 Punkte Ein Darlehen von ,00 soll mit jährlich gleich großen Tilgungsraten in 0 Jahren getilgt werden (Zinssatz 7,5 % p.a.). Berechnen Sie die Annuität, die im 5. und 8. Jahr zu entrichten ist. Aufgabe 8 0 Punkte Ein Immobilienbesitzer tilgt eine Hypotkek in Höhe von ,00 durch eine jährlich nachschüssig anfallende Annuität in Höhe von 9.000,00. Der Zinssatz beträgt 8 % p.a. 8. Bestimmen Sie die Laufzeit der Tilgung. 8. Bestimmen Sie die Restschuld am Ende des letzten ganzen Jahres der Laufzeit (letzte vollständige Tilgungsperiode). 8.3 Welche Restannuität muss für die letzte unvollständige Tilgungsperiode gezahlt werden? 4 5 BB-WMT-S GmbH Seite /

4 Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am Betriebswirtschaft BB-WMT-S 080 Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein. Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde: von Punktzahl bis einschl. Ergebnis bestanden 0 49,5 nicht bestanden Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 07. Januar 009 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, WMT, BB 008 GmbH BB-WMT-S 080

5 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstet angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind. Lösung vgl. SB, Abschn.. 9 Punkte. A B = { R A oder B} = { R 0 4 oder < < 7} = { R 0 < 7}. A B = { R A und B} = { R 0 4 und < < 7} = { R < 4}.3 A \ B = { R A und B} A \ B = { R 0 4 und ( oder 7) } A \ B = { R 0 ) } Lösung vgl. SB, Abschn..4.4 / Punkte 3 = 9 Quadrieren und Umstellen liefert: 4 3 = = 0. Dies ist eine biquadratische Gleichung, Lösung durch Substitution = z. z 0z + 84 = 0 z, = 0 ± = 0 ± 6 = 0 ± 4 z = 4, z = 6 Rücksubstitution: = 4, = 6, ± 3,4 ± BB-WMT-S GmbH Seite /6

6 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Überprüfung der ermittelten Lösungen durch eine Probe:, = ± 4 3 = 9 () 4 3 = 4 9 () 5 = 5, d. h. = 4 sind Lösungen (). 3,4 = ± 6, ± 6 3 = 9 () 6 3 = 6 9 () 3 3, d. h. = 6 sind keine Lösungen () 3,4 ± Lösung 3 vgl. SB 4, Abschn.. /. /.3 3 Punkte 3. Definitionsbereich: Der Nenner im Term darf nicht Null werden, damit 3. Nullstellen: D = R \{ 0 }. f ( ) = = 0 = 3.3 Symmetrie: = 0 =, = gerade Funktion (Formelsammlung 6.): f ( ) = f ( ) f ( ) = + f ( ) ungerade Funktion (Formelsammlung 6.): f ( ) = f ( ) f ( ) = + = = f ( ) Die Funktion ist ungerade, d. h. punktsymmetrisch zum Ursprung. BB-WMT-S GmbH Seite /6

7 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Lösung 4 vgl. SB 4, Abschn Punkte 4. Lineare Funktion y = f ( ) = m + b parallel zur -Achse m = 0 y = b Einsetzen von A (4, ) liefert 4. Lineare Funktion y = f ( ) = m + b = b und damit y =. Anstieg m = Einsetzen von B (, ) liefert 4.3 Lineare Funktion y = f ( ) = m + b Sei C (, 6) = (, y) und D ( 3,) = (, y ). = ( ) + b. Daraus folgt b = 4 und y = + 4. Anwendung der -Punkteform der Geradengleichung (Formelsammlung 6.5): y y 6 m = = = Anwendung der Punkt-Steigungsform (Formelsammlung 6.5): y = m + ( y m ) = 3 + (6 3 ) = Lösung 5 vgl. SB, Abschn..3 7 Punkte Das Endkapital K 4 ergibt sich mit den Aufzinsungsfaktoren zu p,5 q = + = + =, p,50 q = + = + =, p3 3,00 q3 = + = + =, p4 4,00 q4 = + = + =, K 4 = K0 q q q3 q4 K 4 = ,05,05,03,04 = 6 840,7. BB-WMT-S GmbH Seite 3/6

8 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Lösung 6 vgl. SB, Abschn.. und SB 3, Abschn.. Punkte Alternative : Bezug auf den Zeitpunkt Null (Sofortzahlung) Berechnung der Jahresersatzrate: i re = r m + ( m ) Formelsammlung 9.4 Mit r = 00 (0,5), m = Monate (0,5) und i = 0, 065 () folgt: 0,065 r E = 00 + =.33,69. Berechnung des Barwertes der Rente: R 0 r = q E n n q q Formelsammlung 9. (Verwendung von r E anstelle Rate r) Mit r E =.33, 69 (0,5), n = 5 Jahre (0,5) und q =, 065 () folgt 5.33,69,065 R 0 = = 5.79,3. 5,065 0,065 Der Rentenbarwert ist größer als die Sofortzahlung von 5.000,00, damit ist die Rente günstiger. Alternative : Berechnung des Rentenendwertes und Vergleich mit verzinster Sofortzahlung Berechnung der Jahresersatzrate wie bei Alternative, r E =.33, 69 Berechnung des Rentenendwertes: n q Rn = re q Formelsammlung 9. (Verwendung von r E anstelle Rate r) Mit r E =.33, 69, n = 5 Jahre und q =, 065 folgt,065 R 5 =.33,69 = 6.97,80. 0,065 5 Bestimmung Kapitalwert der Sofortzahlung bei Verzinsung von 5.000,00 über 5 Jahre: n K n = K0q Formelsammlung 8. Mit K 0 = 5.000, 00, n = 5 Jahre und q =, 065 folgt 5 5 = K = 5.000, ,67 Der Rentenendwert ist größer als der Kapitalwert der Sofortzahlung bei Verzinsung, damit ist die Rente günstiger. Hinweis: Die Alternative ist maimal mit Punkten zu bewerten. BB-WMT-S GmbH Seite 4/6

9 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB Lösung 7 vgl. SB 3, Abschn.. 0 Punkte siehe Lösung ÜA.): Es sind die Berechnungsvorschriften für eine Ratentilgung anzuwenden. Aus der Aufgabenstellung folgt S 0 = (0,5), n = 0 (0,5) und i = 0, 075 (). Die Tilgung berechnet sich nach Formelsammlung 0. zu: S T = 0 = = n 0 Die Annuität A j A j, die im j-ten Jahr zu entrichten ist, bestimmt sich nach Formelsammlung 0. zu: [ + ( n j + i] = T ). Mit T = folgt für A 5 und A 8 : [ + (0 5 + ) 0,075]. 750 A 5 = = [ + (0 8 + ) 0,075] A 8 = =. Lösung 8 vgl. SB 3, Abschn..3 0 Punkte 8. Es handelt sich um eine Annuitätentilgung (Formelsammlung 0.) mit S 0 = ,00 (0,5), A = 9.000, 00 (0,5) und i = 0, 08 (). Laufzeit: log A logt n = Formelsammlung 0. log q T ist die Tilgung im ersten Jahr T Z = A Formelsammlung 0., Z sind die Zinsen im ersten Jahr Z = S 0 i Mit S 0 = , 00, i = 0, 08, q =, 08 () und A = 9.000, 00 folgt Z = , ,00 = T = ,00 = log log n = = 4,7 Jahre. log,08 Die Laufzeit beträgt 5 Jahre (4 vollständige und eine unvollständige Tilgungsperiode). BB-WMT-S GmbH Seite 5/6

10 Korrekturrichtlinie, Studienleistung /08, Wirtschaftsmathematik, BB 8. Es ist die Restschuld S 4 nach Zahlung von 4 Annuitäten zu bestimmen. j j q S j = S0q A Formelsammlung 0. q Mit S 0 = , 00, j = 4 Jahre (), q =, 08 und A = 9.000, 00 folgt: 4 4,08 S 4 = , =.355,4. 3 0, Es ist nur noch die Summe aus der Restschuld T r (entspricht S 4 aus Teilaufgabe.) und den dafür fälligen Zinsen Z r zu zahlen. Ar = Z r + Tr = Tr q Formelsammlung 0. Mit T = S.355, 4 (), r = 5 Jahre () und q =, 08 folgt: 5 4 = A =.355,4,08 543,66. 5 = BB-WMT-S GmbH Seite 6/6