Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung BW-WMT-P

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1 Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum Studiengang Fach rt der Leistung Klausur-Knz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung Datum.. BW-WM-P Verwenden Sie ausschließlich das vom ufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem ufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie tte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer ntworten, auf welche ufgabe bzw. eilaufgabe sich diese bezieht. Viel Erfolg! usgegebene rbeitsblätter bgegebene rbeitsblätter Ort, Datum ufsichtsführende(r) Ort, Datum Prüfungskandidat(in) ufgabe Summe ma. Punktezahl erreichte Punktezahl. Prüfer Gesamtpunktzahl Prüfungsnote Datum,. Prüfer Datum,. Prüfer Mantelbogen, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WM-P

2 Mantelbogen, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft nmerkungen des Erstprüfers: Datum,. Prüfer nmerkungen des weitprüfers: Datum,. Prüfer BW-WM-P Seite

3 Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik rt der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WM-P Datum.. Bei jeder ufgaben ist neben der Lösung auch der Lösungsweg anzugeben. us der Dokumentation des Lösungsweges sollte eindeutig zu erkennen sein, wie Ihre Lösung zustande gekommen ist. Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: Minuten aschenrechner nzahl ufgaben: - - Formelsammlung WM (SB ) Höchstpunktzahl: - - Vorläufiges Bewertungsschema: Punktzahl Note von s einschl. 9, sehr gut 9 9,, sehr gut 8 89,,7 gut 8 8,, gut 7 79,, gut 7 7,,7 befriedigend 9,, befriedigend,, befriedigend 9,,7 ausreichend,, ausreichend 9,, nicht ausreichend Viel Erfolg! Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WM-P

4 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft ufgabe Punkte Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K() Berechnen Sie die Grenzkostenfunktion K (). ln e. ufgabe Punkte Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K(), 8, mit : Output in ME (Mengeneinheiten) K(): Gesamtkosten in GE (Geldeinheiten) für Output. K() Die zur Gesamtkostenfunktion K() gehörende Stückkostenfunktion sei k (). Für welche Outputmengen betragen a) die Gesamtkosten 7 GE? 7 Pkte b) die variablen Kosten GE? 7 Pkte c) die durchschnittlichen fien Kosten GE pro ME? Pkte d) die gesamten Stückkosten GE pro ME? Pkte ufgabe Punkte Berechnen Sie das bestimmte Integral e d. Diese ufgabe wurde nachträglich aus der Bewertung genommen (kein prüfungsrelevanter Inhalt)!! ufgabe Punkte Gegeben sind die Matrizen und B. a) Berechnen Sie das Produkt B. Pkte b) Berechnen Sie die transponierten Matrizen und B. Pkte c) Berechnen Sie das Produkt B. Pkte d) eigen Sie die Gültigkeit der Beziehung ( B) B. Pkte BW-WM-P Seite /

5 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft ufgabe Punkte Untersuchen Sie die Funktion f (,y ) 9y 8y auf lokale Etremwerte. ufgabe Punkte In der Schweißerei eines Kfz-ulieferbetriebes kommen für gewisse Stanzteile sowohl das Widerstandspunktschweißen (RP-Schweißen) als auch das Widerstandsbuckelschweißen (RB-Schweißen) zur nwendung. Einsatzzeit und Leistung der Schweißverfahren: RP-Schweißen: Std./ag Schweißpunkte/Stunde RB-Schweißen: Std./ag Schweißpunkte/Stunde Für sämtliche Neben- und usatzarbeiten stehen rbeitskräfte jeweils 8 Stunden/ag zur Verfügung. eitlicher ufwand für das Setzen der Schweißpunkte: RP-Schweißen: RB-Schweißen: min/schweißpunkt min/schweißpunkt Die Schweißerei erzielt folgende Stückdeckungsbeiträge: RP-Schweißen: RB-Schweißen: /Schweißpunkt /Schweißpunkt Der gesamte Deckungsbeitrag soll maimiert werden. Erstellen Sie für dieses lineare Optimierungsproblem (LO) a) die ielfunktion Pkte b) die Restriktionsungleichungen Pkte c) die Nichtnegativitätsbedingungen Pkt d) das usgangstableau für den Simplealgorithmus. Pkte e) Berechnen Sie die optimale Lösung dieses LO-Problems für die Basisvariablen und die Pkte Nichtbasisvariablen und geben Sie jedes Simpletableau an. f) Geben Sie die ahl der Schweißpunkte/ag für das RP- und das RB-Schweißen an. Pkte g) Nennen Sie den Deckungsbeitrag. Pkt BW-WM-P Seite /

6 Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am.. Betriebswirtschaft BW-WM-P Um eine vergleichbare Bewertung zu erreichen, ist nachfolgend zu jeder ufgabe eine Musterlösung inklusive der Verteilung der Punkte auf eilaufgaben bzw. Lösungsschritte zu finden. Natürlich ist es nicht möglich, jede denkbare Lösung anzugeben. Stoßen Sie daher bei der Korrektur auf einen anderen als den angegebenen Lösungsweg, so nehmen Sie tte die Verteilung der Punkte auf die einzelnen Lösungsschritte sinngemäß vor. Sind in der Musterlösung die Punkte für eine eilaufgabe summarisch angegeben, so ist die Verteilung dem Korrektor überlassen. Rechenfehler sollten nur zur bwertung des betreffenden eilschrittes führen. Wird also mit einem falschen wischenergebnis richtig weitergerechnet, so sind die hierfür vorgesehenen Punkte zu erteilen. Die Bewertung der Prüfungsleistung erfolgt differenziert. Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist folgendes Notenschema zugrunde zu legen: Punktzahl Note von s einschl. 9, sehr gut 9 9,, sehr gut 8 89,,7 gut 8 8,, gut 7 79,, gut 7 7,,7 befriedigend 9,, befriedigend,, befriedigend 9,,7 ausreichend,, ausreichend 9,, nicht ausreichend Die Prüfungsleistung gilt als bestanden, wenn mindestens fünfzig Punkte erreicht wurden. Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WM-P

7 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl. SB, Kap... Punkte Durch Umformung der usgangsgleichung für K() erhält man K() ln e ln e ln e. ( Pkt) Durch nwendung der Differentiationsregeln (vgl. SB, S. 9/) ergibt sich K () K () e [e [ ] e ] (je erm Pkte, ma. Pkte) ( Pkte) K () e ( ). ( Pkte) Lösung vgl. SB, Kap.. Punkte a) Output bei Gesamtkosten von 7 GE 7 Pkte us K () 7 folgt, 8 7. ( Pkte) Multiplikation der Gleichung mit und nwendung der p,q-formel liefert: 9 ( Pkt), ±, ± ( Pkte) und < (ökonomisch nicht relevant). ( Pkte) Für einen Output von ME betragen die Gesamtkosten 7 GE. b) Output bei variablen Kosten von GE 7 Pkte Die Gesamtkostenfunktion hat die allgemeine Form K () Kv () Kf, wobei K v () die variablen Kosten und K f die fien Kosten darstellen (vgl. SB, S. ). us der Struktur der usgangsgleichung folgt Kv (), 8 und K f. us K v () folgt, 8. ( Pkte) Multiplikation der Gleichung mit und nwendung der p,q-formel liefert ( Pkt), ±, ± ( Pkte) und < (ökonomisch nicht relevant). ( Pkte) Für einen Output von ME betragen die variablen Kosten GE. BW-WM-P Seite /

8 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft c) Output bei durchschnittlichen fien Kosten von GE pro ME Pkte Die durchschnittlichen fien Kosten pro ME entsprechen dem Quoitenten K f. ( Pkt) K Mit f und K f folgt ME. ( Pkte) Für einen Output von ME betragen die durchschnittlichen fien Kosten GE pro ME. d) Output bei Gesamtstückkosten von GE pro ME Pkte K() K() us k () und, 8 folgt ( Pkte), 8. ( Pkt) Multiplikation der Gleichung mit und nwendung der p,q-formel liefert: ( Pkt), ±, Für einen Output von ME betragen die Gesamtstückkosten GE pro ME. ( Pkte) Lösung vgl. SB 7, Kap.. Punkte. Bestimmung einer Stammfunktion F() nwendung der Substitutionsregel (vgl. SB, S.): Mit z folgt dz und damit d dz. ( Pkte) d Damit erhält man z z dz e dz e z e d e. ( Pkte) Rücksubstitution z liefert e e d. ( Pkte). Einsetzen der Integrationsgrenzen e d lternative Lösung: e (e e ) 7., Umrechnung der Integrationsgrenzen bei Substitution z liefert für die untere Integrationsgrenze z und für die obere Integrationsgrenze z. Damit erhält man dann in analoger Weise ( Pkte) e d z e dz e z dz [e z ] [e e ] 7.,. BW-WM-P Seite /

9 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WM-P Seite / Lösung vgl. SB, Kap.. & Kap.. Punkte a) Produkt B (vgl. SB, S. 8) Pkte B ( Pkte) ( Pkt) b) ransponierte Matrizen (vgl. SB, S. 7) Pkte ; B c) Produkt B (vgl. SB, S. 8) Pkte B ( Pkte) ( Pkt) d) Gültigkeit der Beziehung B B) ( Pkte Nach a) ist B und somit B) ( ( Pkt) Nach c) ist B Daraus folgt B B) (. ( Pkt)

10 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl. SB 9, Kap.. Punkte Bilden der partiellen bleitungen liefert f f y (,y ) 9y (,y ) 78y 9. ( Pkte) Schritt : Notwendige Bedingungen für ein Etremum sind f (,y ) und f (,y ) (vgl. SB, S. ). ( Pkt) y Es sind f : 9y (I) ( Pkt) und f y : 78y 9 y (II) ( Pkt) Einsetzen von (II) in (I) liefert 9 und damit bzw. ( ) (III) ( Pkt) us (III) folgt und. ( Pkt) Einsetzen von in (II) ergibt y, d.h. P (, ) ist ein mögliches Etremum. ( Pkt) Einsetzen von in (II) ergibt y, d.h. P (, ) ist ein mögliches Etremum. ( Pkt) Schritt : E E yy E E y E E > Prüfen ob die hinreichende Bedingung f (,y ) f (,y ) f (,y ) (vgl. SB, S. ). Bilden der zweiten partiellen bleitungen liefert f (,y), f (,y) 78, f (,y ) 9 oder f (,y) 9 erfüllt ist ( Pkt) yy y y. ( Pkt) Schritt : Betrachtung des Punktes P (, ) : f (, ), fyy (, ) 78, fy (, ) 9 (, ) f (, ) f (, ) ( 9) 8 ( Pkt) f yy y < kein Etremum ( Pkt) Betrachtung des Punktes P (, ) : f (, ) 9, fyy (, ) 78, fy (, ) 9 f (, ) fyy (, ) fy (, ) 9 78 ( 9) 8 > Da f (, ) > bzw. (, ) ( Pkt) Etremum ( Pkt) Minimum (vgl. SB, S. ). f yy > gilt, handelt es sich im Punkt P (, ) um ein lokales ( Pkt) BW-WM-P Seite /

11 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl. SB, Kap.. Punkte, bezeichne die nzahl der Schweißpunkte/ag für das RP- bzw. RB-Schweißverfahren. Damit läßt sich das lineare Optimierungsproblem mathematisch wie folgt beschreiben: a) ielfunktion Ma! Pkte b) Restriktionsungleichungen Pkte RP-Schweißen: ( Pkt) RB-Schweißen: ( Pkt) Neben- und usatzarbeiten: 88 ( Pkt) c) Nichtnegativitätsbedingungen Pkt ; d) usgangstableau Pkte Nach dem Einführen von Schlupfvariablen erhält man folgendes Gleichungssystem: y y y 88 (mit ; ; y ; y ; y ) us diesem Gleichungssystem ergibt sich das usgangstableau wie folgt: (je Gleichung Pkt, ma. Pkte) y y y y y y 88 (je Matrizeile, Pkt, ma. Pkte) e) Optimale Lösung Pkte Version Version soll Basisvariable werden soll Basisvariable werden. Spalte sei Pivotspalte. Spalte sei Pivotspalte q ist das Minimum aller q ist das Minimum aller. eile sei Pivotzeile. eile sei Pivotzeile Dies führt zu der folgenden modifizierten Form des usgangstableaus: ( Pkte) y y y [ ] y y y y y y [ ] y y y 88 ( i q bezeichnet den Quotient aus der Division von i b durch die auf der gleichen eile stehenden positiven Elemente der Pivotspalte) ( Pkt) BW-WM-P Seite /

12 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung /, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Die folgenden ransformationen führen zum verbesserten Simpletableau: Pivotzeile von der. eile subtrahieren -faches der Pivotzeile zur. eile addieren. Pivotzeile durch Pivotelement dividieren neue Pivotzeile Pivotzeile von der. eile subtrahieren -faches der Pivotzeile zur. eile addieren. Damit wird zur Basisvariablen. Damit wird zur Basisvariablen. ( Pkte). ableau y y [ ] y y y 8 8 y y [ ] y y y 7 88 ( Pkt) soll Basisvariable werden soll Basisvariable werden:. Spalte sei Pivotspalte Die. Spalte sei Pivotspalte. q ist das Minimum aller q ist das Minimum aller. eile sei Pivotzeile. eile sei Pivotzeile Die folgenden ransformationen führen zum verbesserten Simpletableau: Pivotzeile durch Pivotelement dividieren neue Pivotzeile Pivotzeile von der. eile subtrahieren. -faches der Pivotzeile zur. eile addieren. /-faches der Pivotzeile zur. eile addieren /-faches der Pivotzeile von der. eile subtrahieren. Damit wird zur Basisvariablen. Damit wird zur Basisvariablen. ( Pkte) ( Pkte). ableau y [ ] y y y 8 7 y [ ] y y y 8 7 ( Pkt) Da die ielfunktion keine negativen Koeffizienten mehr aufweist, enthält das. ableau die optimale Lösung. Da die ielfunktion keine negativen Koeffizienten aufweist, enthält das. ableau die optimale Lösung. f) ahl der Schweißpunkte/ag Pkte ahl der RP-Schweißpunkte: ahl der RB-Schweißpunkte: 8 ( Pkt) ( Pkt) g) Deckungsbeitrag Pkt Der Deckungsbeitrag beläuft sich auf 7 /ag. BW-WM-P Seite /